Tiras a medida

En Tiras de papel se daba la unidad y había que averiguar cuánto medía cada tira. Aquí se da la medida y lo que falta es la tira: llega un encargo —«una tira que mida 5/6 u»— y hay que fabricarla. Es la tarea inversa a medir: construir la cantidad cuya medida se conoce.

En una secuencia didáctica este material va antes que Manteles a medida, que plantea el mismo giro con áreas. La longitud es más sencilla de manipular, y pasar después a la superficie no es solo un cambio de escenario.

Por qué la longitud va antes que el área

En una tira, doblar es una sola cosa. Un cuarto de unidad solo puede ser de una manera: se dobla en cuatro y ya está. Y medir con él es concatenar subunidades, una a continuación de otra (qué es «caber» depende de la magnitud: si es longitud, como aquí, es concatenar; si es área, cubrir).

Con el mantel, que vendría después, eso deja de ser así. Allí hay que elegir columnas y filas: un cuarto de unidad puede ser una franja vertical, una horizontal o un cuadradito, los tres con la misma área y ninguno intercambiable con los otros a la hora de cubrir. Elegir cuántas partes ya no basta; hay que elegir también la forma.

A cambio, la tira es más exigente al recomponer. Una tira es un segmento: solo hay una manera de recomponerla, y por eso unir exige que los trozos estén en la misma fila y seguidos, sin huecos y sin montarse unos sobre otros. Los trozos de un mantel, en cambio, pueden embaldosar un rectángulo de muchas maneras distintas y todas valen. Poner los mismos trozos en dos filas, que allí será una solución legítima, aquí no es una tira.

Usar los dos materiales seguidos, primero este y luego el de los manteles, y comparar qué se puede hacer en cada uno vale más que cualquier explicación de la diferencia entre longitud y superficie.

Los dos modos

Se eligen en el desplegable de arriba del panel, y son dos problemas distintos aunque el encargo esté escrito igual.

Desde la unidad. En el tablero está la tira unidad, la del cartel u —amarilla, la misma de siempre—. Todo lo que se construya sale de ella, o de las copias que se saquen de ella.

Desde otra tira. La unidad no aparece por ningún lado. En su lugar hay una tira A de la que sí se sabe lo que mide, y lo dice su cartel: «A · 3/4 u». El encargo sigue estando escrito en unidades. Hay más de un camino para llegar, y no cuestan lo mismo; averiguar cuál se toma es parte de la tarea.

También se puede escribir el encargo a mano: 5/6, y en el segundo modo 5/6 desde 3/4 si se quieren fijar los dos datos.

Preparar un encargo para una sesión

Como docente, puedes dejar preparado el encargo que quieras trabajar. Escríbelo en la casilla y pulsa Crear; después, ⤓ Guardar descarga un archivo tiras-a-medida.json con el encargo, la referencia y todo lo que haya en el tablero. Cada archivo lleva un solo encargo: para varios, un archivo por cada uno.

Ese archivo sirve luego de dos maneras. En clase, ⤒ Abrir lo carga en el tablero (también vale arrastrarlo encima). Y se puede compartir con el alumnado, por el aula virtual o como sea: cada cual abre el manipulativo, abre el archivo y se encuentra el mismo encargo, con la misma referencia. También guarda una construcción a medias, con su banco si lo hay, para seguir otro día.

Los niveles no son solo números más grandes

Un nivel no pone un tope a los números: elige de qué denominadores se sortea el encargo. En fácil son mitades, tercios y cuartos; en normal entran quintos, sextos, octavos, décimos y doceavos; en difícil son séptimos, novenos y onceavos, que no se dejan doblar por mitades y obligan a contar. Los denominadores 13, 17 y 19 se quedan fuera a propósito, como en Tiras de papel: doblar una tira en trece partes no enseña nada que no enseñe doblarla en siete, y desespera.

En el modo desde otra tira hay una segunda palanca. En fácil y en normal, la tira pedida siempre sale de un solo doblez de la referencia. En difícil, no: el nivel escoge a propósito referencias con las que ese doblez no cabe en una tira, así que hay que construirla por etapas. Averiguar cuál es la etapa intermedia es justo lo que el nivel quiere que se piense.

Esa decisión llega hasta el banco de pruebas: allí tampoco se podrá doblar el patrón de una vez, y habrá que medir con partes de algo construido por el camino. El programa lleva la cuenta igual, diciendo cuánto vale cada uno de esos trozos.

Dos sitios: uno para construir y otro para probar

No hay botón de comprobar, ni verde, ni rojo, ni «casi». Lo que hay, debajo del tablero —debajo y no al lado, porque las tiras son largas y el sitio que escasea es el horizontal—, es un banco de pruebas, y la prueba es medir.

Cuando el alumno tiene montada su tira, la selecciona y pulsa ▶ Llevar al banco. Allí aparecen dos copias limpias, sin ninguno de los dobleces que se hayan hecho para construir: su tira fundida en una sola pieza, rotulada «tu tira» y sin ningún número, y debajo la referencia otra vez entera, que ahí hace de patrón. Lo de arriba se queda intacto, y volver a pulsar rehace el banco.

Y ahí ya se mide como se ha medido siempre: se dobla el patrón, se duplica una de sus partes y se van concatenando copias sobre la tira, una a continuación de otra. El patrón entero también sirve; puesto encima cuenta como lo que él mide. Si lo que se pone llega justo de un extremo a otro de la tira, sin huecos ni sobrantes, ahí está su medida.

Al banco se puede llevar cualquier cosa que se haya construido, no solo lo que uno crea que es la respuesta. Eso permite parar a medio camino y comprobar una pieza intermedia antes de seguir.

La casilla Comprobaciones, en la barra de arriba, está apagada de entrada. Encendida, el programa lleva él la cuenta: en cuántas partes se ha doblado el patrón, cuánto vale cada una en unidades y cuánto se ha puesto encima, con la fracción sin simplificar —arriba las partes que se han concatenado, abajo en las que se dobló—. Ni siquiera entonces mira si lo puesto llega justo o no.

Cómo se usa

• Nuevo encargo saca uno al azar en el modo y el nivel elegidos, y reinicia el tablero con él. El encargo se lee en el recuadro de arriba del panel, y también en el rótulo del banco mientras se mide.
• Se selecciona una tira pinchándola, y + y − la doblan en partes iguales. ×2 y ×3 multiplican los dobleces de golpe, que es como se dobla el papel de verdad, hasta 24 partes. Son marcas: la tira sigue entera.
• Al pinchar, seleccionar tiene dos modos, los mismos de Tiras de papel. Con Tira (1) se elige la tira entera. Con Subunidad (2) se elige solo la parte en la que se pincha de una tira doblada. En los dos, arrastrando se mueve la tira entera.
• ⧉ Duplicar (D), con una subunidad seleccionada, trae al tablero una copia suelta de esa parte y la deja justo debajo. Vale con cualquier tira, también con la referencia y con el patrón del banco. Con uno de tus trozos seleccionado entero, pone otra copia ya enganchada a su derecha, que es la manera rápida de repetir un trozo muchas veces. Con la referencia entera, saca debajo otra igual, con sus marcas.
• ＋ Otra unidad (U) saca al tablero otra referencia igual, entera y sin doblar: otra unidad o, en el modo desde otra tira, otra tira A. Se pueden sacar las que hagan falta, y quitar las que sobren mientras quede una.
• ✂ Cortar (C) rompe de verdad uno de tus trozos. Con una subunidad seleccionada, la separa: cae a la fila de debajo y lo que tenía a los lados se queda en su sitio, con sus marcas. Con el trozo entero, lo corta por todas las marcas.
• ⬒ Unir (J) funde en una sola pieza la tira seleccionada y todas las pegadas a ella, si están seguidas y en la misma fila. Vale también con la referencia: una unidad con un trozo a continuación se une en una sola tira, que deja de ser referencia y pasa a ser un trozo más. La referencia no se corta.
• ▶ Llevar al banco (P) monta el banco con el trozo seleccionado y todos los pegados a él.
• Reiniciar vuelve a empezar el mismo encargo, dejando la referencia sola.

Las etiquetas, que miden en unidades

Al encender Etiquetas, cada trozo escribe dentro lo que vale en unidades, y cambiar el doblez las cambia todas a la vez. Conviene tenerla apagada al principio, porque encendida regala buena parte de la cuenta. Tu tira no lleva etiqueta nunca: cuánto mide es justo lo que está en juego.

Lo demás

El imán engancha extremos con extremos y marcas con marcas, y pone las tiras en la misma fila o en la de al lado; es lo que permite ir encadenando trozos sin pulso. ◑ Transparencia viene encendida de entrada, al revés que en los manteles: una tira puesta sobre otra la tapa entera, y sin ver lo de debajo no hay manera de saber si los trozos llegan justo o se pasan. Se guarda y se abre en un archivo, se exporta a PNG, y ↶ o Ctrl+Z deshace. Es un único archivo HTML: se descarga, se mete en el Moodle del centro o en un USB y funciona sin conexión.

Algunas preguntas

• ¿De cuántas formas distintas se puede entregar el mismo encargo? ¿Todas se pueden llevar al banco?
• ¿Hay encargos que se hagan sin doblar nada? ¿Y alguno que no obligue a repetir ningún trozo?
• Si al medir en el banco sale una fracción distinta de la del encargo, ¿la tira se ha quedado larga o corta? ¿Cuánto? ¿Qué habría que hacerle?
• En el modo desde otra tira: ¿hace falta rehacer la unidad para llegar, o se puede ir directo de A a la tira pedida? ¿Cuántas partes de A hay que concatenar entonces, y de dónde sale ese número?
• Con el mismo encargo, ¿es más fácil partir de la unidad o partir de una tira A? ¿Hay algún A que lo ponga especialmente fácil?
• Una tira encargada sirve luego como referencia para otro encargo. ¿Qué encargos se dejan hacer a partir de ella y cuáles no?
• Y comparando con Manteles a medida: el mismo encargo, ¿cuesta lo mismo en tira que en mantel? ¿Qué se podrá hacer allí que aquí no, y al revés?

Si te interesa esto de la fracción como resultado de medir, por la página hay más de una entrada. Y está el grupo de Telegram de Números racionales.