Manteles a medida

En Manteles y servilletas se daba la unidad y había que averiguar la medida. En En busca de la unidad perdida se daba la medida y había que rehacer la unidad. Aquí están las dos cosas y lo que falta es el mantel: llega un encargo —«un mantel que mida 5/6 u»— y hay que fabricarlo. La fracción deja de ser el resultado al que se llega y pasa a ser el plano con el que se corta.

En una secuencia didáctica este material va después de Tiras a medida, que plantea el mismo encargo con longitudes. La longitud es más sencilla de manipular: una tira solo se dobla de una manera y se mide concatenando. Con el área hay que elegir además la forma de las partes, y medir pasa a ser cubrir.

Por qué no basta con dibujarlo

Sobre el papel esto se resuelve con una cuenta y un rectángulo cualquiera, porque nadie va a comprobar que el rectángulo mida lo que dice. Aquí el mantel se fabrica de verdad: sale de doblar lo que hay en el tablero y de repetir trozos, y no hay ninguna manera de estirar una pieza hasta que le cuadre. Si el trozo del que se parte no es el que tenía que ser, no hay forma de disimularlo.

Y hay una segunda cosa que solo se ve manipulando: el mantel encargado no tiene una forma obligatoria. Los mismos trozos puestos en fila, en dos filas o en bloque son el mismo encargo, porque lo que lo define es lo que ocupa entre todos. Dos alumnos pueden entregar dos manteles que no se parecen en nada y los dos estar en lo cierto. Lo que sí es obligatorio es que acabe siendo un rectángulo, que es lo que es un mantel.

Los dos modos

Se eligen en el desplegable de arriba del panel, y son dos problemas distintos aunque el encargo esté escrito igual.

Desde la unidad. En el tablero está la unidad, la pieza con la u en el cartel. Todo lo que se construya sale de ella, o de las copias que se saquen de ella.

Desde otro mantel. La unidad no aparece por ningún lado. En su lugar hay un mantel A del que sí se sabe lo que mide —lo dice su cartel, «A · 3/4 u»— y el encargo sigue estando escrito en unidades. Hay más de un camino para llegar, y no cuestan lo mismo; averiguar cuál se toma es parte de la tarea.

Los dos modos admiten también escribir el encargo a mano: 5/6, y en el segundo modo 5/6 desde 3/4 si se quieren fijar los dos datos.

Preparar un encargo para una sesión

Como docente, puedes dejar preparado el encargo que quieras trabajar. Escríbelo en la casilla y pulsa Crear; después, ⤓ Guardar descarga un archivo manteles-a-medida.json con el encargo, la referencia y todo lo que haya en el tablero. Cada archivo lleva un solo encargo: para varios, un archivo por cada uno.

Ese archivo sirve luego de dos maneras. En clase, ⤒ Abrir lo carga en el tablero (también vale arrastrarlo encima). Y se puede compartir con el alumnado, por el aula virtual o como sea: cada cual abre el manipulativo, abre el archivo y se encuentra el mismo encargo, con la misma referencia. También guarda una construcción a medias, con su banco si lo hay, para seguir otro día.

Los niveles no son solo números más grandes

Merece la pena decir qué cambia, porque es donde se decide la dificultad de verdad. Un nivel no pone un tope a los números: elige de qué denominadores se sortea el encargo. En fácil son mitades, tercios y cuartos; en normal entran quintos, sextos y octavos; en difícil son séptimos, novenos y onceavos, que no se dejan doblar por mitades y obligan a contar.

La diferencia importa: con solo poner topes, el nivel difícil seguiría sacando 3/2 tan a menudo como el fácil, porque un máximo no impide que salga un número pequeño.

Y en el modo desde otro mantel hay una segunda palanca. En fácil y en normal, el mantel pedido siempre se puede sacar de un solo doblez de la referencia, con pocas partes. En difícil, no: el nivel escoge a propósito referencias con las que ese doblez no cabe en una pieza, así que el mantel hay que construirlo por etapas. Averiguar cuál es la etapa intermedia es justo lo que el nivel quiere que se piense.

Esa decisión llega hasta el banco de pruebas: allí tampoco se podrá doblar el patrón de una vez, y habrá que medir con partes de algo construido por el camino. El programa lleva la cuenta igual, diciendo cuánto vale cada uno de esos trozos.

Dos sitios: uno para construir y otro para probar

Es la decisión de diseño que lo gobierna todo, la misma que en la unidad perdida. No hay botón de comprobar, ni verde, ni rojo, ni «casi». Lo que hay, a la derecha del tablero, es un banco de pruebas, y la prueba es medir.

Cuando el alumno tiene montado su mantel, lo selecciona y pulsa ▶ Llevar al banco. Allí aparecen dos copias limpias, sin ninguna de las divisiones que se hayan hecho para construir: su mantel fundido en una sola pieza, rotulado «tu mantel» y sin ningún número, y la referencia otra vez entera, que ahí hace de patrón. Lo de la izquierda se queda intacto, y volver a pulsar rehace el banco.

Y ahí ya se mide como se ha medido siempre: se dobla el patrón en las partes que haga falta, se duplica una de ellas y se cubre el mantel con las copias. El patrón entero también sirve; puesto encima cuenta como lo que él mide. Si lo que se pone cubre el mantel sin huecos ni solapes, ahí está su medida: se compara con la del encargo y el asunto queda zanjado sin que nadie haya dado una nota.

Que las copias del banco lleguen sin los cortes que se hicieron para construir no es un detalle: obliga a medir de nuevo desde cero en vez de leer la respuesta en las marcas que ya estaban.

Al banco se puede llevar cualquier cosa que se haya construido, no solo lo que uno crea que es la respuesta. Eso permite parar a medio camino y comprobar una pieza intermedia antes de seguir.

La casilla Comprobaciones, en la barra de arriba, está apagada de entrada. Encendida, el programa lleva él la cuenta: en cuántas partes se ha doblado el patrón, cuánto vale cada una en unidades y cuánto se ha puesto encima, con la fracción sin simplificar —arriba las partes que lo cubren, abajo en las que se dobló—. Ni siquiera entonces mira si cubre o no. Apagada, el recuento lo lleva el alumno, que es lo suyo mientras se pueda.

Cómo se usa

• Nuevo encargo saca uno al azar en el modo y el nivel elegidos, y reinicia el tablero con él. El encargo se lee siempre en el recuadro de arriba del panel, y también en el rótulo del banco mientras se mide.
• Se selecciona una pieza pinchándola, y los botones de columnas y filas la parten en partes iguales. Son marcas: la pieza sigue entera. Se puede partir la referencia igual que un trozo propio.
• Al pinchar, seleccionar tiene dos modos, los mismos de Manteles y servilletas. Con Pieza (1) se elige la pieza entera. Con Subunidad (2) se elige solo la parte en la que se pincha de una pieza partida. En los dos, arrastrando se mueve la pieza entera.
• ⧉ Duplicar (D), con una subunidad seleccionada, trae al tablero una copia suelta de esa parte, con su misma forma, y la deja justo debajo de la pieza. Vale con cualquier pieza, también con la referencia y con el patrón del banco. Con uno de tus trozos seleccionado entero, pone otra copia ya enganchada a su derecha, y ⧉ Debajo (B) la pone enganchada por abajo: es la manera rápida de repetir un trozo muchas veces. Con la referencia entera, Duplicar saca debajo otra igual, con sus marcas.
• ＋ Otra unidad (U) saca al tablero otra referencia igual, entera y sin partir: otra unidad o, en el modo desde otro mantel, otro mantel A. Se pueden sacar las que hagan falta, y quitar las que sobren mientras quede una.
• ✂ Cortar (C) rompe de verdad uno de tus trozos. Con una subunidad seleccionada, la separa: cae debajo de la pieza y lo demás se queda en su sitio, en los rectángulos que queden. Con el trozo entero, lo corta por todas las marcas.
• ⬒ Unir (J) funde en un solo rectángulo la pieza seleccionada y todas las pegadas a ella. Vale también con la referencia: una unidad con un trozo pegado se une en una sola pieza, que deja de ser referencia y pasa a ser un trozo más. La referencia no se corta.
• ▶ Llevar al banco (P) monta el banco con el trozo seleccionado y todos los pegados a él. Si entre todos no forman un rectángulo, avisa y no lo monta: hay que recolocarlos.
• Reiniciar vuelve a empezar el mismo encargo, dejando la referencia sola.

Las etiquetas, que miden en unidades

Al encender Etiquetas, cada trozo del tablero escribe dentro lo que vale en unidades: si la referencia está doblada en seis, cada parte pone lo suyo, y cambiar el doblez cambia todas las etiquetas a la vez. Conviene tenerla apagada al principio, porque encendida regala buena parte de la cuenta.

Tu mantel no lleva etiqueta nunca. Cuánto mide es justo lo que está en juego.

Lo demás

El imán engancha bordes con bordes y marcas con marcas, que es lo que permite colocar sin pulso. ◑ Transparencia vuelve translúcidos los trozos y deja ver lo que hay debajo, imprescindible para saber si se está cubriendo o solapando. Se guarda y se abre en un archivo, se exporta a PNG, y ↶ o Ctrl+Z deshace. Es un único archivo HTML: se descarga, se mete en el Moodle del centro o en un USB y funciona sin conexión.

Algunas preguntas

• ¿De cuántas formas distintas se puede entregar el mismo encargo? ¿Todas se pueden llevar al banco?
• ¿Hay encargos que se hagan sin doblar nada? ¿Y alguno para el que no haya que repetir ningún trozo?
• Dos alumnos entregan manteles con formas muy distintas y los dos miden lo que pedía el encargo. ¿Cómo se comprueba, sin medirlos, que ocupan lo mismo?
• Si al medir en el banco sale una fracción distinta de la del encargo, ¿el mantel se ha quedado grande o pequeño? ¿Cuánto? ¿Qué habría que hacerle?
• En el modo desde otro mantel: ¿hace falta rehacer la unidad para llegar, o se puede ir directo de A al mantel pedido? ¿Cuántas partes de A hay que juntar entonces, y de dónde sale ese número?
• Con el mismo encargo, ¿es más fácil partir de la unidad o partir de un mantel A? ¿Y hay algún A que lo ponga especialmente fácil?
• Un mantel encargado sirve luego como referencia para otro encargo. ¿Qué encargos se dejan hacer a partir de él y cuáles no?
• ¿Qué encargos son más difíciles, los que piden más de una unidad o los que piden menos? ¿Por qué?

Si te interesa esto de la fracción como resultado de medir, por la página hay más de una entrada. Y está el grupo de Telegram de Números racionales.