En busca de la unidad perdida

En Manteles y servilletas se daba la unidad y había que averiguar la medida. Aquí se da la medida y lo que falta es la unidad. Cada mantel llega con un cartel —«5/6 u», «3/2 u»— y de la unidad con la que se midió no queda nada: hay que rehacerla. Ese giro cambia por completo lo que hay que hacer con la fracción, porque ahora no es el resultado al que se llega, sino el dato del que se parte.

Por qué no basta con dibujarlo

Sobre el papel, esta tarea se convierte enseguida en una cuenta: se multiplica por el inverso y ya está. Lo que hace el material es quitar los números de en medio. En la pantalla no hay reglas, ni ejes, ni medidas de los lados del mantel: no se dice cuánto miden porque no hay con qué compararlos. Lo único que hay es un rectángulo, una fracción escrita en un cartel, y unas tijeras.

Y hay una segunda cosa que solo se ve manipulando: la unidad reconstruida no tiene una forma obligatoria. Los mismos trozos puestos en fila, en bloque, en ele o desperdigados son la misma unidad, porque lo que la define es lo que ocupa entre todos, no la silueta. Dos alumnos pueden acabar con dos figuras que no se parecen en nada y estar los dos en lo cierto. En un cuaderno eso no se ve; aquí se ve al comparar dos pantallas.

Dos sitios: uno para construir y otro para probar

Es la decisión de diseño que lo gobierna todo. No hay botón de comprobar, ni verde, ni rojo, ni «casi». Lo que hay, a la derecha del tablero, es un banco de pruebas, y la prueba es medir.

Cuando el alumno tiene montado lo que cree que era la unidad, la selecciona y pulsa ▶ Probar esta unidad. En el banco aparecen dos copias limpias, sin ninguna de las divisiones que se hayan hecho para construir: el mantel otra vez entero y la unidad fundida en una sola pieza, rotulada con una u. Lo de la izquierda se queda intacto, y volver a pulsar rehace el banco.

Y ahí ya se mide como se ha medido siempre: se dobla la unidad en las partes que haga falta, se saca una y se cubre el mantel con ella. La unidad entera también sirve; puesta encima cuenta como una. Si lo que se pone cubre el mantel sin huecos ni solapes, ahí está su medida: se compara con la del cartel y el asunto queda zanjado sin que nadie haya dado una nota.

Que el mantel del banco llegue sin los cortes que se hicieron para construir no es un detalle: obliga a medirlo de nuevo desde cero en vez de leer la respuesta en las marcas que ya estaban.

Llevar la unidad al banco exige que forme un rectángulo. Una unidad en ele es perfectamente legítima —ocupa lo que ocupa—, pero no se puede doblar, así que para medir con ella hay que recolocar los trozos antes. Que eso se descubra chocando con ello no es un defecto de la herramienta.

La casilla Comprobaciones, en la barra de arriba, está apagada de entrada. Encendida, el programa lleva él la cuenta: cuánto vale cada parte de la unidad y cuánto se ha puesto encima del mantel, con la fracción sin simplificar —arriba las partes que caben, abajo en las que se ha doblado la unidad—. Ni siquiera entonces mira si cubre o no. Apagada, el recuento lo lleva el alumno, que es lo suyo mientras se pueda.

Cómo se usa

• Nuevo mantel saca uno al azar en tres niveles, con su medida en el cartel. También se puede escribir la fracción que se quiera (5/6, 3/2) y pedir ese mantel concreto: útil para preparar una sesión.
• Se selecciona una pieza pinchándola, y los botones de columnas y filas la parten en partes iguales. Son marcas: la pieza sigue entera. Se puede partir el mantel igual que un trozo propio.
• ✂ Sacar un trozo (S) trae al tablero una copia de una de esas partes. Si la pieza está sin partir, la copia es entera.
• ⧉ Duplicar a la derecha (D) y debajo (B) ponen otra copia ya enganchada al lado. Es la manera rápida de repetir un trozo muchas veces.
• ⬒ Unir en una pieza (J) funde en un solo rectángulo el trozo seleccionado y todos los pegados a él. ⁙ Separar en trozos (E) hace lo contrario: rompe un trozo por sus marcas y quedan sueltos. El mantel ni se une ni se rompe.
• ▶ Probar esta unidad (P) monta el banco con el trozo seleccionado y todos los pegados a él.

Las etiquetas, que miden con la unidad del alumno

Merece un apartado porque es donde se ve la idea entera. Al encender Etiquetas, cada trozo del tablero escribe dentro lo que vale con la unidad que haya llevado al banco: si la unidad está doblada en seis, cada parte pone 1/6 u; si se dobla en doce, 1/12 u. Cambiar la unidad cambia todas las etiquetas a la vez, en los dos lados del tablero.

El mantel no lleva etiqueta nunca. Lleva su cartel, que es el dato, y nada más.

Lo demás

El imán engancha bordes con bordes y marcas con marcas, que es lo que permite colocar sin pulso. ◑ Transparencia vuelve translúcidos los trozos y deja ver el mantel por debajo, imprescindible para saber si se está cubriendo o solapando. Se guarda y se abre en un archivo, se exporta a PNG, y ↶ o Ctrl+Z deshace. Es un único archivo HTML: se descarga, se mete en el Moodle del centro o en un USB y funciona sin conexión.

Algunas preguntas

• ¿Puede haber dos unidades con formas distintas que midan el mantel igual? ¿Y dos con la misma forma que lo midan distinto?
• ¿Hay algún mantel para el que no haga falta cortar nada?
• Con la unidad ya en el banco, ¿en cuántas partes hay que doblarla? ¿Da igual doblarla en columnas que en filas?
• Si al medir sale una fracción distinta de la del cartel, ¿qué dice eso de la unidad construida: que se ha quedado grande o pequeña? ¿Cuánto?
• ¿De cuántas maneras distintas se puede partir un mismo mantel y acabar en la misma unidad? ¿Se llega siempre a trozos del mismo tamaño?
• Con dos manteles a la vez en el tablero: la unidad hecha con uno, ¿sirve para medir el otro? ¿Y si no sirve, qué habría que hacerle?
• ¿Qué manteles son más fáciles, los que miden más de una unidad o los que miden menos? ¿Por qué?

Si te interesa esto de la fracción como resultado de medir, por la página hay más de una entrada. Y está el grupo de Telegram de Números racionales.