Figuras equivalentes

Dos polígonos son equivalentes si al descomponer el primero se puede armar el segundo con todas las piezas. De ahí sale una manera de calcular áreas que no pasa por aprenderse ninguna fórmula: si sé recomponer una figura en un rectángulo, y del rectángulo sí sé el área, ya sé la suya. Este material da la figura, unas tijeras y un tablero, y deja el resto.

Por qué no es lo mismo que hacerlo en papel

Recortar de verdad tiene mucho a favor y una pega grande: cada figura se recorta una vez. Si el corte no era el bueno, hay que imprimir otra. Y como imprimir cuesta, en la práctica todo el grupo trabaja con el mismo paralelogramo, así que el que lo ha visto en la mesa de al lado ya no lo descubre.

Aquí las dos cosas se caen. Ctrl+Z deshace un corte y Otra al azar da otra figura del mismo tipo con otras medidas, así que en la clase hay tantos paralelogramos distintos como alumnos y la solución del compañero no es la de uno. Y hay una tercera que en papel directamente no se puede: el polígono regular sube hasta treinta lados, con la circunferencia dibujada detrás, que es lo que hace falta para el último paso de todos.

Lo que sí se conserva del papel es lo que importa. Las piezas de la figura no se pueden tirar: no hay botón para quitarlas del tablero. El rectángulo hay que hacerlo con todas.

Cómo se usa

• Se elige la figura en la lista de la izquierda. La de partida se queda dibujada a trazos por debajo, con sus medidas, para no perder de vista qué era cada una cuando ya está todo cortado.
• ✂ Cortar para partirla, ✥ Mover para llevar las piezas a su sitio, ↔ Medir para dejar puestas las medidas del rectángulo que salga.
• El imán casa los lados iguales al soltar, así que no hay que acertar el ángulo a mano.
• Volver a empezar recompone la figura sin borrar lo que hayas medido; Limpiar, arriba, deja el tablero como recién abierto.

En primaria, sin fórmulas y sin letras

Merece la pena ponerlo pronto, porque condiciona cómo se prepara la sesión. En Ver hay un desplegable, «Las medidas, con…», que decide qué ponen las acotaciones de la figura: b = 6, solo b o solo 6.

Con la tercera opción no aparece una sola letra. Y entonces todo esto se puede hacer en primaria tal cual: se corta, se arma el rectángulo, se cuentan los cuadros de un lado y los del otro, y se multiplica. La cuadrícula está para eso, y como Otra al azar cambia las medidas cada vez, la cuenta hay que rehacerla siempre; lo que se repite no es el número, es el camino.

Ahí está lo que se busca. Después de tres o cuatro paralelogramos distintos, alguien acaba diciendo que para qué corta, si ya se ve que va a salir un rectángulo con la misma base y la misma altura. Eso es exactamente base por altura, dicho sin álgebra y sin habérselo aprendido. Lo mismo con el polígono regular, donde lo que hay que ir a buscar es cuánto miden el lado y la apotema: con las medidas en números están ahí escritas, y con la casilla Comprobaciones puesta salen también el perímetro y, si se pide la circunferencia, el radio.

Para el otro extremo —justificar la fórmula por escrito, que es lo que se pide en el grado— basta con dejar el desplegable en solo la letra.

✂ Cortar

Un corte va de borde a borde y puede doblar la esquina: se toca un punto del borde de una pieza, luego los puntos por los que pasa el corte y termina al volver a tocar el borde. El punto se pone verde cuando estás en él. Retroceso quita el último punto y Escape anula el corte entero.

Que el corte pueda doblar en un punto interior no es un adorno. Con cortes rectos de lado a lado no hay manera de sacar una porción de un polígono regular de un número impar de lados, que es exactamente lo que hace falta más adelante.

La punta se pega sola a los vértices, a los puntos medios de los lados, al centro de la figura, a la cuadrícula y a las direcciones paralelas y perpendiculares a cada lado. Eso último es lo que hace que un corte por la altura salga exacto sin tener que apuntar: basta con salir del vértice y bajar hacia la base. Un corte que no parte la pieza en dos no se hace.

✳ Abanico

Parte una pieza en triángulos de una vez, desde el punto que toques: si tocas un vértice salen los triángulos que salen desde un vértice, y si tocas por dentro, uno por cada lado. Es lo mismo que dar varios cortes seguidos, y está para que con figuras de muchos lados no haya que darlos uno a uno. El punto lo eliges tú, y no todos sirven igual.

✥ Mover y el imán

Se arrastran las piezas; con Mayúsculas se van sumando a la selección y arrastrando sobre el tablero vacío se dibuja un marco que coge varias. El tirador ⟳ gira lo seleccionado, y Q y E también; con la casilla Giro de 15° puesta, de quince en quince. ⇄ Dar la vuelta refleja la selección, que es lo que se hace al girar un recorte de papel por el otro lado.

El imán es lo que remata: al soltar, si un lado de lo que mueves mide lo mismo que un lado de lo que está quieto y lo has dejado cerca, las dos piezas casan exactamente, girando lo poco que falte. Por eso las piezas de un heptágono encajan igual de bien que las de un cuadrado, aunque el ángulo que hay que girarlas no sea un número redondo de grados. Solo corrige giros pequeños: la orientación aproximada la pones tú.

Las piezas van traslúcidas a propósito. Donde dos se montan, el color sale más oscuro, y eso lo ve quien mira. No hay ningún botón que diga si está bien: hay cuadrícula, cinta métrica y, si se quiere, el recuento del área total, que es contabilidad de lo que has hecho y sale igual esté bien o mal. Juzgar si las piezas cubren un rectángulo sin huecos y sin solapes es cosa del que lo hace.

⧉ Duplicar, y lo que sí se puede tirar

Hay un camino que mucha gente encuentra por su cuenta y que conviene que quepa: juntar la figura con una copia suya para armar otra más fácil —dos trapecios iguales dan un paralelogramo, dos triángulos también— resolver esa, y quedarse con la mitad de lo que salga. En papel eso pide fotocopiadora; aquí es el botón ⧉ Duplicar.

La copia sale con el borde a rayas, y lo que se corte de una copia sigue siendo copia. La distinción importa, porque duplicar deja sobre el tablero el doble de superficie de la que se buscaba y hay que poder deshacerse de lo que sobra: las copias sí se tiran (✕ Quitar la copia, o la tecla Supr), las piezas que salen de la figura no. Si lo pulsas con una pieza de la figura seleccionada, lo que sale es el aviso de por qué esa no se tira. Con Comprobaciones puesta, el recuento dice cuántas piezas son copias y cuánto suma el área sin ellas, que es el número que hace falta al final de ese camino.

↔ Medir y las comprobaciones

Arrastra de un punto a otro y la medida se queda puesta, con su longitud; los extremos se pegan a los vértices, a los puntos medios y a la cuadrícula. Tocando una medida sin arrastrar, se quita.

La casilla Comprobaciones, apagada de entrada, saca el número de piezas, el área que suman entre todas, las medidas de la figura de partida —perímetro y, en el polígono regular, apotema, radio y longitud de la circunferencia— y, si hay una sola pieza seleccionada, lo que mide cada uno de sus lados. Viene apagada porque casi siempre es mejor que la cuenta la lleve quien trabaja; para el último paso, en cambio, es justo lo que hay que mirar.

Dibujarla yo

La última opción de la lista deja marcar los vértices sobre la cuadrícula y cerrar tocando otra vez el primero, o con Intro. Vale cualquier polígono, también cóncavo. Sirve para poner a prueba lo que se haya ido descubriendo con una figura que no estaba en el guion.

Preguntas que funcionan en clase

Paralelogramo. ¿Cuántos cortes hacen falta? ¿Cuánto miden la base y la altura del rectángulo que sale, comparadas con las del paralelogramo? Dale a Otra al azar unas cuantas veces: ¿vale siempre el mismo corte? ¿Y si el paralelogramo estuviera mucho más tumbado?

Rombo y deltoide. ¿Qué tienen que ver los lados del rectángulo con las diagonales de la figura? Los dos acaban en la misma expresión, ¿por el mismo motivo?

Triángulos. ¿Por dónde hay que cortar para que la pieza de arriba encaje debajo? ¿Por qué el obtusángulo se resiste al corte que valía para el acutángulo, y qué hay que hacerle? ¿Y el rectángulo, necesita algún corte? ¿Sale un rectángulo de la misma base que el triángulo, o de otra? Prueba también a duplicarlo en vez de cortarlo: ¿qué sale, y qué hay que hacer después?

Trapecios. Hay tres en la lista: el isósceles, el rectángulo y uno cualquiera. ¿Vale el mismo camino para los tres? ¿Cuántas maneras distintas encontráis? ¿Cuál de ellas explica mejor de dónde sale cada trozo de la expresión final?

Hexágono y heptágono. ¿De qué depende la base del rectángulo, y de qué la altura? ¿Hace falta cambiar algo al pasar de seis lados a siete, o el razonamiento es el mismo? ¿Y para un polígono regular de n lados cualquiera?

El círculo. Pon la circunferencia y ve subiendo el número de lados. ¿Hacia qué se va acercando el perímetro del polígono? ¿Y la apotema? Si la longitud de una circunferencia de radio R es 2πR, ¿qué le pasa a la expresión del área del polígono regular cuando n se hace muy grande?