Resolución de problemas | Pablo Beltrán-Pellicer

«Less is more»: un juego de nrich en un aula thinking de 5º de Primaria

Sun, 02 Aug 2026 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter/X y este hilo de BlueSky.

Aprender a través de la resolución de problemas, nrich y thinking classrooms. Os cuento cómo fue llevar un juego de nrich a un 5.º de Primaria a lo thinking, con mesas apartadas, alumnado de pie, escribiendo e interactuando en pizarras y… una pregunta casi cansina: ¿por qué?

El punto de partida: el currículo

El punto de partida, los ya no tan nuevos currículos LOMLOE. En nuestro caso, el currículo aragonés, la resolución de problemas y el juego aparecen por todos lados (competencias, principios pedagógicos, orientaciones metodológicas). ¡Si aparece mencionado el propio nrich!

El juego: «Less is more»

El juego es «Less is more». Se generan al azar ocho cifras del 0 al 9 y hay que colocarlas para formar dos parejas de números de dos cifras, de modo que se cumpla $a<b$ y $c<d$. Si se cumplen las dos, puntúas $a+c$. El objetivo es conseguir la puntuación más alta posible.

En la web de nrich ya nos indican las dos modalidades de juego que hay. Colocación inmediata (vas colocando cada cifra según sale) o posterior (esperas a tener las ocho). La primera obliga a decidir bajo incertidumbre, sobre la marcha; la segunda es optimizar con toda la info.

Marida estupendamente con el enfoque de enseñanza a través de la resolución de problemas y con la metodología thinking classrooms:

Tarea abierta.
Multinivel.
Sin una única solución óptima evidente.
Moviliza valor posicional y composición y descomposición de números.

Pero sobre todo, genera la necesidad genuina de convencer al resto del equipo. Es decir, la interacción para COMUNICAR ideas matemáticas forma parte de la actividad. ¡Anda! Hola, competencia específica de comunicación y representación.

En sus libros @pgliljedahl metería esta actividad dentro de las «no curriculares» (ojo comillas), porque no van teledirigidas a aprender un contenido en concreto. Y que por eso vienen tan bien para crear cultura de aula a principio de curso.

Ojo comillas porque sí que es curricular. Moviliza competencias específicas claramente. Y hay saberes matemáticos, como ya hemos señalado: al menos, sistema decimal posicional. Cosillas de estocástico también, intuitivamente o… dependiendo del curso… más formalmente.

Gestión de aula

Gestión de aula. Se apartan las mesas y se colocan pizarras a modo de Superficies Verticales No Permanentes, orientadas de distintas maneras para que unos grupos vean lo que hacen los otros (movilidad del conocimiento). Instrucciones orales y en la pizarra solo lo imprescindible.

Seguimos con el canon thinking. Agrupamientos visiblemente aleatorios, que se hicieron con una baraja con los números del 1 al 8 y tres palos. Cada cual, a la pizarra de su número. Todos de pie salvo quien tenía movilidad reducida. 24 alumnos, 50 minutos de juego (una sesión).

Los primeros cinco minutos, la docente-investigadora ni se acerca. Que experimenten, jueguen, se atasquen (eso son matemáticas, sí). Solo después empieza a recorrer el aula, recoger información y dar pistas que no resuelvan. Que las pistas no sean spoilers es importante.

Las preguntas

Era la primera vez que trabajaban justo así, y llovieron las preguntas de proximidad. Respuesta habitual: «¿Qué recuerdas que he dicho?». Si lo tenían claro, sonrisa y a otra cosa (lo interpretaban como confirmación). Si no, a preguntar al equipo o a otro grupo.

Las preguntas de proximidad son las que se hacen, casi de manera automática, porque tienes al profe cerca.

También salieron las preguntas para dejar de pensar: «¿está bien?», «¿podemos hacer una mejor?». Ahí, «¿tú qué crees?», «¿qué opinan tus compañeras?». Y a una alumna que decía que las mates no eran lo suyo: si lo habéis probado todo, confía en tu criterio y en el de tu equipo.

Porque de eso va el proceso/competencia de razonamiento, argumentación, conjetura y prueba: de armar argumentos que convenzan. Al principio, todos los equipos decían haberlo resuelto «al azar», probando.

Como tenían varios casos escritos en la pizarra, se les pidió analizarlos y buscar patrones, diferencias, regularidades. Extraer conjeturas fue lo más costoso, con diferencia.

Y… «¿por qué?», una y otra vez. Un grupo explicaba que ponía los números grandes a la derecha y los pequeños a la izquierda, pero en uno de sus casos habían hecho justo lo contrario. ¿Por qué? Ahí es donde empieza a aparecer la conjetura.

Enternece ver que tendían a borrar la pizarra cuando se acercaba un docente. Si no venía nadie, los errores no los borraban, los tachaban. Las SVNP reducen el anonimato del pupitre, sí, pero la cultura de aprender a partir del error se construye despacio.

Qué recogimos

La experiencia, que formaba parte del TFG de la primera autora, Beatriz Sánchez-Valls, incluía una rúbrica de observación sistemática, autoevaluación grupal e individual (continuos con indicadores solo en los extremos, tipo escala visual analógica) y diarios de aprendizaje.

La asunción de riesgos fue el indicador mejor autoevaluado por todos los grupos, por delante de perseverancia y colaboración. ¿Lo peor valorado? Compartir el rotulador. ¿Cuesta repartir protagonismo?

Oralmente explicaban estrategias completamente razonadas, con búsqueda de patrones y valor posicional. Por escrito, diarios escuetos. 22 de 24 evidencian sentido numérico, pero solo 7 llegan a describir su estrategia. Escribir en mates también se aprende.

Sobre esto, recomiendo ver las pizarras que comparte @chussiabaleston y cómo se ve una evolución de los primeros días de curso al final. Tremendo es poco.

En lo emocional, 22 de los 23 que lo mencionan lo hacen en positivo: «entretenido», «a gusto». Alguno desde la comparación: «Estos problemas son mucho mejores que los de los libros». Y solo cuatro (tres de ellas chicas) aluden a la competición como motivación.

Cierre y referencias

La limitación es evidente, es una sola sesión que formaba parte de un TFG (excelente). No obstante, es un ejemplo que permite ver que construir la cultura de aula no es cosa de un día y enseñar a trabajar en grupo (quizá con roles al principio, para retirarlos después).

Este hilo ha sido un resumen de nuestro artículo con Beatriz Sánchez-Valls en Edma 0-6, Una propuesta desde el enfoque thinking classrooms y el juego para “aprender a pensar”. Si te ha gustado y quieres saber más… en acceso abierto: ENLACE EDMA 0-6

Enlace al juego de nrich: less is more. Ojo que hay continuaciones que siguen dando juego.

Y enlace al grupo de Telegram Aulas para pensar: https://t.me/AulasParaPensar

Dibuja un triángulo y pinta los ángulos

Mon, 23 Feb 2026 00:00:00 +0000

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¿Lo mejor de la semana? El por qué que soltó una alumna en un taller de origami y matemáticas en Primaria. Dibujad triángulos. Mejor si somos creativos. Pintamos los ángulos y los rompemos.

¿Cómo? Sí, y tratamos de juntar los vértices en un punto. A ver qué observamos.

Ahí no hay nada de origami, vale. Es el aperitivo. Y ya en lo de ser creativos dibujando triángulos había matemáticas. Porque salirse de los estereotipos en geometría… Pero ¡¡¡por qué pasa eso, si nos has dejado dibujar el triángulo que quisiéramos!!!

No habrá origami todavía, pero matemáticas hay un rato. Observar, conjeturar de manera bastante sólida que está pasando algo muy curioso con cualquier puñetero triángulo, tiene un valor tremendo ya. Para dar respuesta a ese por qué tendríamos que iniciar un caminito de comparación de ángulos y cómo esto se relaciona con la idea de paralelismo. Pero… yo lo que venía a hacer aquí es otra cosa.

Esto era curioso, ¿verdad? Pues ahora el reto:

¿Seríamos capaces de juntar los tres vértices en un punto, sin cortar, para mostrar qué se forma igualmente un ángulo llano?

Esto último es un ejercicio para los lectores. Es algo que se ve menos que el aperitivo, que es un clásico que debería ser habitual. No vale ver el dibujico en un libro de texto y hala, los ángulos de cualquier triángulo suman 180º.

Descubriendo algoritmos desde la resolución de problemas

Sun, 23 Nov 2025 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Martínez-Juste, S. (2025). Descubriendo algoritmos desde la resolución de problemas. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 110, 7-12. https://www.grao.com/revistas/aprendizaje-heuristico-aprender-a-transformar-que-hay-detras-de-un-algoritmo-78535?contenido=504350

Evolución de la actitud hacia las matemáticas de alumnado de primaria tras cambios en la cultura de aula

Wed, 13 Aug 2025 00:00:00 +0000

Evolution of primary school students’ attitudes toward mathematics following changes in classroom culture

Abstract

Both the primary education Spanish curriculum and many national and international studies highlight two key elements for improving mathematics learning: attention to the social and affective domain and generalizing approaches to teach mathematics through problem-solving. This study explores how changes in the approach to mathematics teaching experienced by a group of primary students as they transition from 3rd to 4th grade and from 4th to 5th grade influence their beliefs about mathematics. Specifically, three components of the affective domain are analyzed: views on mathematics, mathematical self-concept, and emotional domain. The results show that the transition from an instrumental model to a relational one promotes a richer view of mathematical activityamong students, improves self-concept, and fosters the emergence of positive emotions towards mathematics. Additionally, the return to an instrumental model leads to the emergence of negative emotions towards mathematics in students who have developed a relational view of mathematics. These findings point to the importance of classroom culture in the affective domain of students and, therefore, how appropriate classroom culture can contribute to improving mathematics learning and reducing undesirable outcomes in national and international assessments, such as the gender gap.

Cítese como:

Martínez-Juste, S., Beltrán-Pellicer, P., Siaba-Lestón, M. J., & Morales-Ordoñez, G. (2025). Evolución de la actitud hacia las matemáticas de alumnado de primaria tras cambios en la cultura de aula. Revista Interuniversitaria de Formación del Profesorado. Continuación de la antigua Revista de Escuelas Normales, 39(2), 21-34. https://doi.org/10.47553/rifop.v39i2.114622

Mathematical practices when solving problems involving joint and conditional probabilities without prior instruction

Sat, 30 Dec 2023 00:00:00 +0000

Cite as:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2023). Mathematical practices when solving problems involving joint and conditional probabilities without prior instruction. En P. Drijvers, C. Csapodi, H. Palmér, K. Gosztonyi, & E. Kónya (Eds.), Proceedings of the Thirteenth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME13) (pp. 1038-1045). Alfréd Rényi Institute of Mathematics and ERME.

Un problema de combinatoria con piezas LEGO

Mon, 07 Aug 2023 00:00:00 +0000

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Al salir de la LegoHouse en Billund te llevas un regalo único. Una combinación personalizada de 6 piezas de LEGO 2x4. Venga, ¿cómo de único es este obsequio? ¿Cuántas combinaciones diferentes de 6 piezas iguales 2x4 se pueden hacer?

Es que hace unos días disfrutamos en familia de la experiencia LEGO completa: LegoLand y LegoHouse en Billund 😊😍. Totalmente recomendable. Y bueno, ya veis dónde está la deformación profesional de uno 🙃.

Esta es la zona, con una máquina en funcionamiento que inyecta (gracias, Ismael 😉) el plástico y va haciendo los bricks:

Ojo spoiler

👇

Muy interesante el comentario de @raulf, con una historia que no conocía.

Te refieres a los 102 981 500 que dijo Lego en el 1974 o al cálculo de 915 103 765 posterior?

Si quieres saber más, visita este enlace: A LEGO Counting problem

Volando voy (Graphing Bee): final de la XXX Olimpíada Matemática de 2.º ESO

Mon, 30 Jan 2023 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Muñoz-Escolano, J. M. (2023). Volando voy (Graphing Bee): Final de la XXX Olimpíada Matemática de 2.º ESO. Entorno Abierto, 50, 4-7.

Un pequeño gran extra sobre nuestro equipo de baloncesto

Sun, 04 Dec 2022 00:00:00 +0000

¿Recordáis esta actividad? La estamos haciendo en «tiempo de descuento» con 2ºESO y venía a compartir un par de regalos. Hay cosas que no dejan de sorprenderme.

El regalo, para mí, es que surjan espontáneamente cositas como esta (en dos puntos independientes de la clase). Da pie a poner en común:

La forma de representar gráficamente los datos, distinta completamente a la sugerida mediante un diagrama de puntos.
La forma de codificar el eje de ordenadas. Son datos de % de acierto. Lo reduce a una escala de 0 a 10.
Poner la media en cada gráfica.

Técnicamente, el eje de abscisas no representa una magnitud continua, vale. No obstante, está clara la ventaja de hacer la poligonal para hacer comparaciones, y mientras tengamos claro el objetivo de estos gráficos y lo pongamos sobre la mesa…

Así tal cual ya era oro puro. Pero se podía explotar más. No he tenido más que sugerir pintar todo en los mismos ejes (gráfica de abajo a la derecha). Solo nos faltaría conectar esto con una hoja de cálculo.

Y ha habido otra novedad. Para decidir cuál es la más regular, una alumna ha marcado un intervalo (arbitrario, de +-5) en torno a la media para contar el número de datos que caían ahí dentro. Eso es una medida alternativa a las que veremos después, pero tremenda por el juego que da.

Casi me da vergüenza hacer estadística con todo el pescado vendido. En mi defensa, el curso pasado este alumnado empezó en 1º ESO con probabilidad y estadística y no vieron nada de álgebra.

Estrategias ante un problema que moviliza ideas sobre probabilidad condicional en la XXX Olimpiada Aragonesa de 2.º ESO

Wed, 30 Nov 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2022). Estrategias ante un problema que moviliza ideas sobre probabilidad condicional en la XXX Olimpiada Aragonesa de 2.º ESO. Entorno Abierto, 49, 2-9.

La inquietud más habitual al empezar con un enfoque didáctico a través de la resolución de problemas

Sat, 14 May 2022 00:00:00 +0000

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Una inquietud muy habitual cuando empezamos con una enseñanza a través de la resolución de problemas es que se pierde mucho tiempo.

Hago breve hilo que aprovecharé para sacar a pasear hilos antiguos sobre esta cuestión.

Que se pierde mucho tiempo. Que es muy lento. A veces, con esto, se te pide una justificación directa. Otras, argumentos con que contestar cuando alguien les saca la cuestión.
Que se pierde mucho tiempo. Que es muy lento. Respuesta al mismo nivel de argumentación: es que de la otra manera vas muy rápido. 🤷🏻‍♂️
Ya, pero el currículo.
Bueno, precisamente porque el currículo no es un temario. Que por escribir en la pizarra a toda leche el teorema de, yo qué sé, Pitágoras y hacer una página de ejercicios de aplicación no se puede dar por dado.

Cuando empezamos con un enfoque a través de la resolución de problemas, muchas veces se rompe un contrato didáctico que exige un cambio en la cultura de aula. Esto no tiene lugar, ni de casualidad, de la noche a la mañana.

Ni siquiera en dos semanas. En un 1º ESO es más fácil que en un 4º ESO. Y aún así, me atrevería a fijar el período de adaptación en no menos de mes y medio o dos meses. Merece la pena. En cualquier curso.

Ya, pero en 2º de bachillerato…
Que sí, que 2º de bachillerato es especial. Pero aun teniendo la sombra de la EvAU (por favor, que se cambie ese modelo ya), se pueden hacer cosillas. Y la madurez ayuda en cierta manera.

La enseñanza a través de la resolución de problemas es IMPORTANTE para EL ALUMNADO:

Para saber más

En efecto, hay una resistencia cuando se quiere cambiar la cultura de aula. No lo digo yo, está estudiao:

Para saber más

Esta preocupación es más vieja que para qué. Y así seguimos…

Para saber más

La enseñanza a través de la resolución de problemas atiende a la diversidad en todos los sentidos.

Para saber más

¿Cambios que se producen en el alumnado? Con tiempo y coherencia incansable te encuentras con que alumnado «normal» (por favor, comillas, es para decir que no son del grupo que iría a olimpíadas y tal) hace cosas como esto.

Para saber más

De todas maneras, ¿a qué estamos jugando?

Para saber más

Un poco más desarrollado el asunto en este artículo.

¡Pero si se me había olvidado lo mejor! ¿Por qué estas dudas e inquietudes con algo como esto? Pues porque no hemos vivido -en general- este tipo de enfoque como alumnos. Y luego tendemos a buscar seguridad en lo conocido. Enlace al hilo de Twitter

Los profesores de matemáticas, y yo diría que de todas las materias, mostramos cierta tendencia a dar clase de la misma forma que experimentamos como estudiantes, atribuyéndole nuestro éxito. Esto conlleva una aceptación de la ideología dominante. #DidMatCita de Wright (2017)

Wright profundiza en las contradicciones que existen entre las motivaciones y aspiraciones de los profesores al comienzo de sus carreras y la práctica real en los centros. Gates (2006) describe cómo el bagaje social y cultural de los docentes moldea sus creencias pedagógicas.

Créditos

Imagen destacada de Unsplash

La vida cotidiana de las hormigas

Mon, 18 Apr 2022 00:00:00 +0000

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Supongamos que hacen falta tres hormigas para arrastrar una bola de papel de aluminio de 2 cm de diámetro. ¿Cuántas harán falta para arrastrar una bola de 4 cm de diámetro? 🤪

La pregunta directa ya tiene su chicha. Pero ya va apareciendo por los comentarios alguna extensión 😍. ¿Hay un tamaño de bola que sea imposible de transportar para las hormigas? Si tienes que hacer suposiciones, adelante. Básate en la imagen que se proporciona e indícalas.

Os recomiendo bucear por las interacciones del hilo y guardar la imagen de las hormiguitas. ¿Por qué querrían llevar una bola de papel de aluminio? Pues mira, eso os lo puedo decir. Es parte del envoltorio de una tableta de chocolate. Se iban a llevar un chasco, eso sí.

El teorema de Pitágoras a través de la resolución de problemas

Mon, 21 Feb 2022 00:00:00 +0000

Through problem solving

Abstract

The Pythagorean theorem is undoubtedly one of the most fascinating mathematical objects in compulsory education. Its teaching cannot be reduced to the application of the formula $a^2 + b^2 = c^2 $, where $a$ and $b$ are the lengths of the legs of a right triangle, and $c$ that of the hypotenuse. Many authors agree in emphasizing the opportunity it offers to work on conjecture and proof in mathematics. In this article we reflect first on its meaning, reviewing some teaching proposals and research results. Later, we describe in detail the design and implementation of a didactic proposal for 2nd ESO, paying special attention to the planning of the scaffolding and interaction in the classroom, relying on student productions for this.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2022). El teorema de Pitágoras a través de la resolución de problemass. La Gaceta de la RSME, 25(1), 149-169.

Enlace al número de La Gaceta: http://gaceta.rsme.es/vernumero.php?id=119

Aprender a pensar como un matemático

Sat, 29 Jan 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter, junto con alguna mención a otras cosas que puse estos últimos días.

Comprendo que la frase esa de que no te tienen que enseñar matemáticas (o lo que sea), sino a pensar como un matemático (o lo que toque), pueda parecer místerwonderfuliana y produzca rechazo. Pero cuidado.

Porque vamos a volver a lo de siempre. ¿Qué es enseñar matemáticas? ¿Qué es aprender matemáticas? O sea, me tienen (¿tengo?) que meter en la cabeza definiciones y procedimientos hasta que un día diga…

Ahoooora, ahoooora ya puedo empezar a pensar como un matemático.

A ver. Si para ti, pensar como un matemático empieza con «Sea un épsilon tal que…», entonces deja de leer este hilo y sigue a tu rollo.

No creo que la f(x)=tipo de pensamiento sea una función discontinua 😉. Es decir, no te levantas un día y dices:

Ayer no pensaba como un matemático. Pero hoy, mira por dónde, sí.

Esto solo pasa en las pelis de Spiderman. Cambia lo de los superpoderes por un «Sea un épsilon…».

En INFANTIL se puede empezar a pensar como un/a matemático/a. Se debe, qué narices. Porque desde el momento que les sueltas un cubo de piezas de Duplo, o de bloques lógicos y se ponen a clasificarlos… ¡están haciendo matemáticas!

Es más, están pensando como lo haría un matemático. Desde el principio. Se discuten criterios de clasificación, se abstraen propiedades de esos objetos que no dependen de que se cambien de orientación, etc. Y cada vez emplearán argumentos y criterios más elaborados, claro.

Aprenderán hechos matemáticos, nuevo vocabulario, etc. Sin embargo, se aprende a pensar como un matemático desde el primer minuto. Y esto enriquece a cualquiera, aunque luego no vaya a hacer un grado de matemáticas.

No olvidemos que quizá, el contrato didáctico más poderoso y determinante sea el que establece quién es el primero que dice qué sobre el objeto de aprendizaje.

Te invito a leer este hilo de @sergioMJGR. O pasarte por mis entradas sobre aprendizaje a través de la resolución de problemas. Aunque, ya que estamos, quizá quieras leer nuestro reciente artículo sobre el tema.

Relacionado

@aperezsanz mencionó la excelente reflexión de Paul Lockhart en su Lamento de un matemático. Enlace al artículo en la Gaceta de la RSME.

Enseñar a través de la resolución de problemas

Fri, 31 Dec 2021 00:00:00 +0000

Through problem solving

Abstract

We describe the fundamentals of teaching mathematics through problem solving, the essence of which is that the content emerges from the situations and problems that are proposed to students. Based on our experience, we walk through the curriculum to illustrate what the tasks are like, the organization of the classroom and the role of the teacher in providing the necessary scaffolding. We also offer some ideas to face a possible lock down, due to a pandemic scenario, to maintain coherence with this way of conceiving teaching and learning.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Martínez-Juste, S. (2021). Enseñar a través de la resolución de problemas. Suma, 98, 11-21.

Estrategias de resolución en un problema sobre probabilidad condicional en la XXIX Olimpiada aragonesa

Tue, 30 Nov 2021 00:00:00 +0000

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). Estrategias de resolución en un problema sobre probabilidad condicional en la XXIX Olimpiada aragonesa. Entorno Abierto, 43, 27-32.

Sistemas de ecuaciones en 2º ESO

Wed, 24 Nov 2021 00:00:00 +0000

¡Pero si no había subido este hilo a la página! Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Sistemas de ecuaciones en 2º ESO. Elige tu propia aventura como profesor:

A. Esto es sustitución, esto es igualación y esto reducción. Ejemplos y ejercicios.

B. ¿Cuánto vale un croissant?

Los problemas como el del croissant vienen de la tesis de Abraham de la Fuente. Había hecho cosas parecidas anteriormente, pero el desarrollo gradual y explotación que permite su propuesta es tremendo. Aquí solo muestro las líneas generales. Referencias al final.

Vamos allá. La opción A es propia de un enfoque PARA resolver problemas. En este caso la consecuencia habitual es que no se contempla con cuidado el paso de la aritmética al álgebra y todo esto desemboca en malabares mentales y aprendizaje de procedimientos con poco significado.

No es una cuestión trivial. En el de sustitución, por ejemplo, se sustituye una variable por una expresión más compleja. ¿Se ha hecho esto antes? ¿Qué significa? Y si vamos al de reducción, vemos que juntamos expresiones alegremente.

La opción A también te permite «pulirte» el currículo en un par de días.

Vamos a la opción B, que es la que me interesa contaros. No comienza exactamente con el problema del tuit inicial, sino que arrancamos con algo más sencillo que enlaza con los conocimientos previos del alumnado. Esta aparente sencillez lleva asociada ya una carga de profundidad.

Primer problema

Somos tres amigos que han comprado dos ensaladas y tres pizzas para cenar. Solo tenemos el precio total, 19,90 €.

a) ¿Podemos saber el precio de una ensalada y una pizza por separado?

Esta pregunta se podría discutir entre todos, a modo de charla de aula, como calentamiento. Después lo ideal es trabajar en pequeños grupos de 3 o 4 alumnos. Dejar que vayan discutiendo (importante que sea el alumnado), pasar por las mesas y luego al final puestas en común.

Vale, no, no podemos saber cuánto vale una pizza o una ensalada por separado. Sin embargo, con esta información, seguro que podemos decir algo más.

b) Razona que dos ensaladas no pueden costar más de 20 euros.

c) Razona que una pizza no puede costar más de 7 euros.

No os hagáis el remolón. Os invito a tratar de razonar estas preguntas para poneros en el lugar del alumno que trata de abordarlas. Muy pegado al razonamiento aritmético todavía.

d) Razona que cuatro ensaladas y siete pizzas cuestan más de 39 euros.

Hay que estar muy atento a cómo se expresan al responder todas estas cuestiones. Claro, aquí ocurre que 4 ensaladas y 7 pizzas son más del doble.

Y en la siguiente se pregunta exactamente por el doble.

e) ¿Puedo saber cuánto cuestan 4 ensaladas y 6 pizzas? ¿Por qué?

f) ¿Puedes saber cuánto cuestan una ensalada y dos pizzas? Razona la respuesta.

Vaya, resulta que puedo conocer el precio de algunas combinaciones.

h) ¿De qué otras combinaciones puedes saber el precio? Explica.

Aún más. Si supiera el precio de la ensalada, podría decirte el precio de la pizza. ¿No?

i) Di 5 posibles precios de la ensalada y los correspondientes de cada pizza. Explica cómo encuentras la forma de saber el precio de la pizza a partir del precio de la ensalada.

INCISO. Con estos grupos habíamos trabajado proporcionalidad incidiendo mucho en la necesidad de asumir una condición de regularidad antes de comparar cantidades de magnitud o encontrar el valor faltante. Pues bien, aquí hubo alumnos que volvieron a hacerlo explícito.

No me lo esperaba. Pero es lo bueno que tiene que esto no sean «unidades» al uso, que facilitan conexiones que ni te esperas.

Si cada ensalada cuesta lo mismo…

Seguimos con un problema similar

a) Razona si con la información que tenemos podemos saber el precio de una porción y una bebida.

Preguntas que siempre hay que discutir y razonar.

b) ¿Podemos saber el precio de 8 porciones y 12 bebidas? ¿Y de 4 bebidas y 2 porciones? ¿De qué combinaciones podemos saber el precio?

c) ¿Podemos saber el precio máximo para una pizza y una bebida?

Por ejemplo, se puede decir el precio de 2 porciones y de 3 bebidas, porque es la mitad.

Se deja algo de libertad para explorar.

d) Di 5 cosas que podemos asegurar del precio de las porciones de pizza, de la bebida o de alguna combinación a partir de la información que tenemos. Esta información puede incluir valores máximos.

e) Di 5 posibles precios de la bebida y los correspondientes de cada porción de pizza. Explica cómo encuentras la forma de saber el precio de la porción de pizza a partir del precio de la bebida.

Aquí viene otra estructura…

Preguntas similares a las anteriores, donde la clave es…

Si somos tres amigos, ¿puedo decir cuánto hemos de pagar cada uno? Es decir, ¿puedo saber cuánto vale una porción y una bebida? ¿Podemos conocer más cosas?

Y vamos con un saltito. Si juntamos la información sobre el precio de las dos compras, ¿podemos saber el precio de una porción y tres bebidas? ¿Hay alguna otra combinación de la que podamos conocer el precio? Razonadlo

Con esta información, puedes saber el precio de cada porción y el precio de cada bebida. Explica cómo los encontrarías. ¿Hay más de una forma de saberlo?

En este momento están empleando estrategias verbales que se alinearán con las algebraicas. Es clave que se exploren alternativas y se juegue con la información disponible.

Ahora lo que viene ya son problemas similares donde esas diferentes formas de resolverlo se relacionan con diferentes técnicas algebraicas. Yo en 2º de ESO no les pondría ni nombre, pero veréis que son los clásicos sustitución, igualación y reducción.

Vamos con el del tuit inicial. ¿Cuánto vale un croissant? ¿Cuánto vale un café? Venga, daros un tiempo para pensar un par de formas sin usar álgebra.

Como sé que 2 croissants y un café son 2,8 €, lo que falta hasta 4,8 € serán 2 €.

Me voy a la de arriba y averiguo el precio de un croissant, porque sé que un croissant y un café son 2 euros. Lo que falta hasta los 2,80 € del precio será el precio del croissant.

Veníamos de trabajar lenguaje algebraico con la secuencia de enteros desde el álgebra de Cid. Ningún problema en expresar lo de arriba como $2c+t=2,8$. Lo que hemos hecho antes es sustitución de expresiones algebraicas.

Pero se pueden hacer más cosas. Como sé el precio de 2 croissants y 1 taza de café (por eso la t, que ojo, esto de los literales que uso no es trivial tampoco), puedo saber el precio del doble, es decir, de 4 croissants y 2 tazas.

¡Anda! A qué me suena (como profesor) este método. Ya tengo la c, el precio del croissant, como $5,6-4,8 = 0,8€$.

$4c+2t=5,6$

$3c+2t=4,8$

¿Cuál es la diferencia?

No quiero alargarme mucho más, solo dar a conocer esta aproximación. La cosa sigue con problemas similares. Similares, pero que van introduciendo giros interesantes. Aquí, por ejemplo, el hecho de que ambos conjuntos valgan lo mismo… es uno de mis momentos favoritos.

Es que sé cuántos sombreros valen lo que una gafa.

Ahí lo dejo. Y cuando vemos el siguiente problema entendemos más cosas. ¿Puedo hacer algo similar al anterior? Sí, pero habrá que igualarlos antes…

La evaluación

No quiero alargarme en exceso, solo dar a conocer esta aproximación. Pero sí que me gustaría enseñaros la evaluación. Además de lo que se va viendo en clase, que ya es una evidencia (y se ve mucho si los dejas trabajar), la autoevaluación que hicimos era básicamente esto.

Eso es más que de sobra. Había una tarea extra:

Tarea 2. (EXTRA) Inventa un problema de dos ecuaciones de dos incógnitas y que tenga solución. Resuélvelo, al menos, de una manera. Y bueno, lo llamamos autoevaluación porque van sin nota e indican su percepción.

Esas autoevaluaciones se comentan en clase. Dan mucho juego. Aquí por ejemplo vemos un uso extraño del lenguaje algebraico (los números que multiplican a las letras se suelen poner antes, como coeficientes, para no dar lugar a equívocos).

En general, esa sesión de comentarios es sumamente interesante para poner en común errores o imprecisiones y métodos alternativos de resolución.

Y hasta aquí. Faltaría conectar con la representación gráfica y alguna cosa más, pero eso da para varios hilos y creo que con esto nos hacemos a la idea. Vuelvo a dar crédito a Abraham de la Fuente, a su director de tesis, Jordi Deulofeu por los problemas (imágenes incluidas, salvo la de las palmeras). Es algo que también aparece desarrollado en el libro Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria, de C. Calvo, J. Deulofeu, J. Jareño y L. Morera (2016). El enfoque es similar al que puede verse, por ejemplo, en los trabajos del Grup Vilatzara.

Os remito a su tesis Construcción del lenguaje algebraico en un entorno de resolución de problemas. El rol del conocimiento del profesor, disponible en el siguiente enlace

Y a la presentación de su ponencia en la #IVJEMA de la @sapmciruelos. «Aprender a usar el álgebra mediante la resolución de problemas. Una propuesta de Abraham de la Fuente». Enlace a la presentación

Por mi parte, si os interesan hilos como este, sabed que los tengo bien cosidos en mi tuit fijado.

¡Feliz clase!

Pd. Leches, se me olvidaba. Justo hoy me preguntaban por las adaptaciones significativas y atención a la diversidad. Pues bien. Estas tareas son para todos, no tienes que hacer materiales aparte. Suelo bajo y techo alto.

El problema de esas ACS, que no se nos olvide, es que tal como están las cosas prácticamente imposibilitan la titulación. Pero eso sí que es otro melón.

El caso del número que al multiplicarlo por 45 da 555555555

Mon, 15 Nov 2021 00:00:00 +0000

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Multiplica el número 12345679 por 45. Va hilo con actividad maja para ~5ºEP-2ºESO.

Ahora, multiplica 12345679 por 27.

¿Qué observas?

Bueno, pues aprovechando que peque mayor (5ºEP) se ha prestado, os comento. Esto es lo que sale la primera (luego comento sobre el algoritmo).

Y esto es lo que sale la segunda multiplicación.

Amazing, ¿verdad? ¿Qué observas? Tómate tu tiempo, que luego viene lo que viene.

¿Qué observas? Si es que hasta me lo ha escrito…

Nota de clase: no hacer spoilers. Cosas como esta, salen. La mejor forma de trabajarlas, dejarlos en grupos de cuatro.

Preguntas.

¿Y por qué número he de multiplicar para obtener todo doses? ¿Y todo ochos?

Aquí la respuesta de peque mayor.

Efectivamente, por 18. Aquí le he invitado a usar la calculadora, que estaba por la mesa.

Vale, ¿y para obtener todo 8 ochos?
Pues por 72.

¿Es posible obtener números formados por todo 1, todo 2, todo 3, … todo 9?
Sí… vamos a ver.
Pero compruébalo, eh.
Todo 1, por 9. Todo 2, por 18. Todo 3, por 27…

Hasta aquí hemos conjeturado. Y hemos comprobado todos los casos. Sin embargo, ¿por qué ocurre esto?

Al principio, me ha repetido lo de bajar una unidad y subir otra.

Mmm, pero eso es lo que has hecho para construir esos números, no es una razón para que funcione, ¿no? ¿Qué más observas?

Realmente, antes de esta pregunta ya había observado que todo eran múltiplos de 9. Ahora es cuando ha vuelto a ver que si para sacar todo 1 se multiplica por 9, para sacar todo 2 habrá que multiplicar por el doble (18, que es el siguiente múltiplo…).

Cuando lo he hecho en clase sale también la cuestión de las factorizaciones, que realmente es decir lo mismo con otro lenguaje.

$45=5\times 9$.

Por lo tanto, si $12345679 \times 9=111111111$, $12345679 \times 9 \times 5 = 555555555$.

Había prometido que hablaría sobre los algoritmos de los tuits iniciales. Ni le he dicho de hacerlos a mano ni cómo. Como veníamos de hacer el otro día esta otra actividad

Me ha preguntado si podía hacerlo como quería, y le he dicho que sí. Ahora bien, al final le he preguntado si tener los algoritmos ahí delante le ha ayudado con sus observaciones o no. Es decir, si se había fijado en ellos o no.

No, lo de cada fila no tiene nada que ver…

De hecho, esta actividad la vi hace tiempo en la Guía Praxis, aunque está recogida en más sitios. Y se propone directamente con calculadora. Porque aquí el algoritmo no aporta nada.

Con este hilo he querido mostrar, por un lado, una actividad sobre «la multiplicación» y sus cositas asociadas. Por otro, contrastar el objetivo con el de la del otro día, la de hacer el algoritmo de izquierda a derecha, que también era rica, pero diferente.

Alejados de la vida cotidiana TM

Ayer escribí un hilo sobre una actividad para hacer en clase de matemáticas que, en realidad, está muy alejada de la «vida cotidiana» TM. Es puramente intra-matemática. ¿Cómo se motiva al alumnado para hacer esto?

Si esperáis una receta mágica, aquí no la encontraréis. PERO.

Me atrevo a sintetizar el asunto en las siguientes claves:

Que estas tareas se planteen sobre los significados personales de los alumnos. Es decir, sobre lo que ya conocen los alumnos, no sobre lo que se supone que saben. Insisto, sobre lo que conocen y cómo lo conocen.

Para eso es indispensable que el trabajo parta de ellos. Por esta razón, en algún momento del hilo hablaba de que estén en grupos de cuatro, de puestas en común, etc.

De esta manera los significados se «negocian», en lugar de «imponerse». Y esto quiere decir que se construyen. Es eso lo que permite que el aprendizaje sea significativo (por esto hablo en este hilo de significado) y no si el contexto (o decorado) es de la vida cotidianaSigno de marca registrada o no.

Que la cultura de aula tenga integradas este tipo de tareas, donde aunque las preguntas iniciales puedan parecer tontorronas, sepan que siempre hay algo más. Ese tipo de tareas no hace falta disfrazarlas de nada.

Estos cambios en la cultura de aula no llegan de un día para otro. Siempre lo digo. Esa resistencia, además, no es cosa mía, está recogida en la literatura científica sobre el tema. Y la solución, que no receta mágica, pasa por mostrarse coherente.

Así que, respondiendo a la pregunta inicial, no se motiva a los alumnos de ninguna forma específica para realizar esa tarea. Lo que se busca es la motivación intrínseca.

Y bueno, en la búsqueda de esa coherencia, ayuda mucho, especialmente, la evaluación. Pero eso es otra historia, sobre la que ya hemos hablado alguna vez, y seguiremos haciéndolo.

¿Y si empiezas a multiplicar al revés, de izquierda a derecha?

Sun, 14 Nov 2021 00:00:00 +0000

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Peque mayor (5º primaria) me ha dejado plantearle un problema. Están con multiplicaciones. Algoritmo tradicional.

Vale, ¿y si empiezas al revés?
¿Cómo que al revés?
Sí, de izquierda a derecha.

Hemos empezado con uno más tontorrón.

Y a escuchar justificaciones.

Aritmética sexagesimal en la piscina

Mon, 11 Oct 2021 00:00:00 +0000

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Me gusta nadar. Así que tendréis que aguantar unas breves divagaciones acuático-matemáticas por mi parte.

En natación, al igual que en atletismo, suele hablarse de ritmo en lugar de velocidad. Es decir, cuando decimos que vamos a uno treinta el cien, significa que tardamos 1'30'' en nadar 100 m. Siempre ritmos. En cambio, en Tokyo 2020 las retransmisiones mostraban esto:

Bueno, menos mal que por lo menos iba en m/s y no km/h. Reconozco que servía para comparar, pero hubiese dado mucha más información conocer el ritmo de los 100 m o los 50 m.

El segundero de pared que podemos encontrar en muchas piscinas precisamente permite controlar, entre otras cosas, los ritmos. Y las cuentas que se echan para ello son en sexagesimal.

Si vamos a hacer series de 100 crol cada 1'30'', eso significa que se sale cada ese tiempo. Es decir, que la idea es llegar antes y descansar hasta que toque salir. Saliendo con la «roja arriba» en la primera, en la segunda se sale con la «roja abajo». Y así.

Sin embargo, si la cosa no cuadra tanto, se complica un poco. Supongamos que hacemos series de 50 m cada 50''. Salimos con la roja arriba. En la segunda, tocará salir con la roja a menos diez. En la tercera, con la roja a menos veinte. Y así.

Esto, además de ser un sistema que te indica cuándo salir, te permite contar las series. Si vas cansado o te despistas pensando en otra cosa, es habitual perder la cuenta. ¿Llevamos 5 o 6 series? La respuesta siempre es 6, aunque lo más probable es que llevemos 5.

Bromas aparte, el control con el segundero te permite saber la respuesta real. En la quinta se sale a y veinte. Y en la sexta a y diez.

Todo esto abre la puerta a plantear problemillas majos en clase. Desde indicar en qué posiciones se sale en las series si son cada cierto tiempo, a indicar en qué posición estará la aguja de un determinado color en la serie número n.

Más aún. A qué intervalo estamos haciendo las series si estamos por la quinta, hemos salido con la azul arriba y ahora está en esta posición. Vamos, creo que esto da para una secuencia de tareas ricas. Y solo son pinceladas.

Si se va a nadar algo medianamente largo, como a partir de un 200 m o un 400 m, una mirada al salir de la vuelta te permite controlar el ritmo. Para eso tienes que saber cuándo has salido o cuándo has tocado la última pared.

Alguna vez, hablando con @SergioMJGR, me señalaba la posible pérdida del 25 como punto de referencia sencillo para las cuentas mentales, al no existir monedas de 25 ct de euro.

El caso es que en natación sigue usándose mucho. 4x25 son 100 metros, 8x25 son 200 m y para nadar 400 m tendrás que hacer 16 largos. Piscina de 25 m, claro.

Todavía recuerdo cuando un chico en la piscina creía haber nadado 3000 m, todo orgulloso, cuando en realidad había nadado 1500 m. Menudo chasco cuando le dije que eran 25 m cada largo, no 50 m.

Cosas que tuvimos en cuenta al hacer la programación didáctica de 2º de ESO

Fri, 01 Oct 2021 00:00:00 +0000

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Os puedo contar cómo hicimos la programación de Matemáticas el curso 20/21 para 2º ESO. Todos sabemos que fue un curso especial y que añadió un reto especial por lo del curso anterior. Creo que ilustra el proceso de planificación anual.

A ver, antes de que alguien se haga ilusiones, no voy a describir cómo hacer el documento de la programación. Me voy a centrar solo en el aspecto más importante, la organización de los contenidos. Es necesario, al menos en Matemáticas, para que tenga cierta coherencia.

¿El reto? Pues que este alumnado durante el curso 19/20, en 1º ESO, había trabajado en presencial probabilidad y estadística, naturales, divisibilidad y racional (fracciones, conexión con la notación decimal y proporcionalidad).

En modo confinamiento optamos principalmente por tareas ricas de geometría relacionadas con el área de figuras planas y lugares geométricos. Muchas de ellas, aunque siempre había alternativas, para hacer con GeoGebra.

Hubo tareas de conjetura que suponían avanzar hacia la generalización. Pero álgebra como tal, no. Y si alguien echa de menos los enteros, qué poco me ha leído Cara guiñando un ojo. Esperábamos hacerlo en un entorno algebraico y decidimos dejarlo para el curso siguiente.

¿A favor? Que en estos grupos hasta marzo del 19/20 se consiguió construir una cultura de aula en un enfoque de enseñanza y aprendizaje a través de resolución de problemas. Y que las actividades en tiempo en confinamiento fueron bastante coherentes con ello.

Hasta aquí el contexto. Siempre es importante, pero, en este caso, más. Vamos a ver ahora cómo planteamos el asunto. En primer lugar, tomamos la decisión priorizar bloques que no se hubiesen visto bien durante el curso anterior.

Por ello, probabilidad y estadística iban a tener poca presencia. Ninguna no, que os veo venir. El curso anterior se trabajaron muy bien. Y se planificó incluir alguna tarea aislada o charlas de aula, así como dedicar unos días sobre dispersión al final.

Plato fuerte. Evidentemente, álgebra y enteros. No es mayor problema, casi mejor porque el alumnado es más maduro y, como he dicho, estos grupos desarrollaron una actitud muy proactiva hacia la resolución de problemas.

Enteros y álgebra. Parte 1. Lo que pensábamos haber hecho en primero y que son unos dos meses. Es una secuencia particular a la que os podéis aproximar desde estos hilos.

Estuvimos hasta mediados de noviembre, más o menos según lo planificado. Intercalando alguna actividad corta de números o estimación.

Hasta la primera semana de enero, nos pusimos con funciones. Que tampoco se vieron el curso anterior y ofrecen una conexión brutal con el enfoque que estábamos usando para el álgebra, donde la idea de letra como variable es fundamental.
Vuelta al álgebra con la parte 2, que culmina en la «formalización» completa de los enteros y sus propiedades. Esto fue un mes más. En este punto se ha hecho álgebra, mucha álgebra. Ecuaciones de primer grado con las técnicas estándar habituales, ninguna. Ni falta que hace.

Que el álgebra aparezca en dos momentos (serán tres) ofrece una oportunidad para reenganchar a alumnado al que le cuesta esa inevitable capa de abstracción. El esquema de evaluación lo tengo por los hilos y, desde el sábado, en el canal de MatEduMat.

Divisibilidad. Una semana. Se había trabajado bien el curso anterior. Problemas ricos y pa’lante. Esto nos plantaba, más o menos, en marzo.
Modelo de reparto para revisitar las fracciones y obtener representaciones polinómicas decimales y conectar con la notación decimal en un sentido. Necesario porque en 3º ESO se usará para culminar esa conexión entre representaciones vía álgebra en el otro sentido.

En paralelo, a veces se planteaban pequeñas situaciones o cálculo mental sobre diversos aspectos, como propiedades de potencias. Con esto nos poníamos a finales de marzo.

Algunos días para proporcionalidad compuesta e inversa y porcentajes. Hasta mediados de abril o así. Los días los íbamos ajustando sobre la marcha, que una cosa es la planificación inicial y otra la realidad, claro. Recuerdo que hablo de la planificación anual.

El ajuste se consigue en aquellos bloques familiares para el alumnado, con la selección de más o menos tareas de clase. El currículo a día de hoy es espiral… Suele ser una espiral de atontamiento, pero también podemos usarla para el bien.

Así que a finales de abril nos ponemos con geometría. Secuencia del teorema de Pitágoras donde se revisitaba la cuestión de las áreas de figuras planas, cosillas de álgebra (anda, he dicho álgebra en tres momentos, pero serán cuatro).
Mediados de mayo. Vuelta al álgebra, con sistemas de ecuaciones. Esto lo tengo que contar porque nos encantó el trabajo. Había hecho cosillas parecidas, pero nada tan sistematizado como la propuesta de @srdelafu. ¿Cómo? ¿Sistemas sin haber «visto» ecuaciones? Sí. Y repetiría.
En junio hicimos lo de la dispersión que comentaba al principio. El tener juniembre es algo lamentable (septiembre también, pero juniembre más), por lo que creo que el trabajo de planificación fue más necesario que nunca.

Y hasta aquí. Obviamente, es necesario sentarse en las no-reuniones de no-departamento (aquí en los CPI no tenemos departamentos) para ir ajustando y planificando a corto-medio plazo. Sin embargo, es indispensable organizar el curso de manera coherente.

Créditos

Imagen de cabecera: Unsplash

La probabilidad en los problemas de olimpiadas matemáticas de Secundaria en España

Thu, 09 Sep 2021 00:00:00 +0000

The probability in the problems of High School Math Olympics in Spain

Abstract

Among the participants in Mathematical Olympiads, it is usual to find mathematically gifted students. Therefore, from the point of view of the research about gifted students, it is interesting to analyze the problems proposed in these events. The objective of this work is to analyze the cognitive demand, the languages and the procedures of the mathematical tasks proposed in the problems on probability in the individual tests of both the semifinal and the final in the Aragonese Mathematical Olympiad (1989-2019) and the problems carried out in the individual test of the National Mathematical Olympiad (1990-2019). We focus our attention on probability problems to characterize the representativeness of this content in the Olympics. The results show that all the proposed tasks in the Olympics are of a high level according to the cognitive demand model, which is suitable as a proposal for the high mathematical ability students, including tasks of the higher level according to the same model, whose satisfactory resolution could become an indicator of high mathematical ability. On the other hand, the scarcity of probability problems in these tests, shows the need to propose more in these contests, promoting their learning in secondary education.

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). La probabilidad en los problemas de olimpiadas matemáticas de Secundaria en España. Contextos Educativos. Revista de Educación, 28, 29-50. https://doi.org/10.18172/con.4970

La resolución de problemas, mucho más que un eslogan

Wed, 01 Sep 2021 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Martínez-Juste, S. (2021). La resolución de problemas, mucho más que un eslogan. Entorno Abierto, 42, 13-16.

Sobre la clase magistral en comparación con otras cosas

Thu, 29 Jul 2021 00:00:00 +0000

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Ya que últimamente han caído en mi TL algunos tuits sobre la «clase magistral» vs «otras cosas», solo quiero aportar mi punto de vista desde las matemáticas.

Se está diciendo que la clase magistral es compatible con otras metodologías, que no es solo expositiva, que con técnicas variadas de instrucción directa se puede promover la actividad del alumnado, etc.

En matemáticas (disculpadme, pero hablo de mi campo, ya si queréis establecer paralelismos, vosotros mismos), ocurre que hay una diferencia radical de enfoque, con muchas implicaciones, entre exponer las matemáticas o construirlas.

Hablo de enfoque en lugar de metodología. La clase magistral, desde luego, se ubica en ese enfoque expositivo de las matemáticas. Es decir, vemos la teoría primero para luego hacer ejercicios para luego, si acaso, ver problemas de aplicación majetes.

Aunque se trabajen heurísticos de resolución de problemas de forma explícita, ese proceder no hace de la resolución de problemas el eje vertebrador. No se construyen las matemáticas. Se dan.

De hecho, trabajar explícitamente heurísticos como los de Polya ya se vio hace bastante (años 80) que no llevaba a ningún sitio. De ahí el rumbo que tomó la cuestión con Schoenfeld y otros autores.

¿Es la clase magistral, entendida como expositiva, la única metodología que se ubica en ese enfoque de enseñanza PARA la resolución de problemas (teoría->ejercicios->¿problemas?)?

No. Y menciono los proyectos (ABP) porque se les ha puesto últimamente de ejemplo como una de las metodologías enfrentadas a la clase magistral. Un proyecto puede pecar exactamente de lo mismo que va a pecar -sí o sí- la clase magistral: dar las matemáticas ya construidas.

El otro enfoque, constructivo, es una enseñanza A TRAVÉS de la resolución de problemas. Implica hacer primero problemas o situaciones, desde donde emerge «la teoría».

Posteriormente, hay un espacio para hacer más problemas, ejercitar las técnicas que sean necesarias, desarrollar más el significado, etc.

En este enfoque no admito que quepa la clase magistral. Que sí, que viene de «hecho con maestría» y tal, pero en este contexto es una clase expositiva. Y, como he dicho antes, no es solo que sea una metodología distinta, conlleva un enfoque opuesto.

Obviamente, en una enseñanza a través de la resolución de problemas, los procesos de institucionalización donde se gestionan las puestas en común pueden tener más o menos «peso» del docente, sobre todo en contextos como los de este curso, donde la interacción se ha visto mermada.

Pero nada que ver. Pongo «peso» entre comillas, porque en el fondo, el papel del docente es brutal, y complejo, en todo momento. Hay que darse cuenta de las producciones que va haciendo el alumnado, animar a los grupos a que exploren, proponer variantes, etc.

No puedes alternar un día expositivo y otro a través. Formar una cultura de aula basada en la resolución de problemas lleva tiempo e implica ruptura del contrato didáctico. ¿Cómo? ¿Que no me vas a explicar primero? Ah.

Observad la diferencia: se empieza abordando situaciones que, aunque tengan cierto andamiaje (esto es clave, no es dejarlos en la selva) y suelo bajo, son problemáticas. No se sabe muy bien cómo afrontarlas, y se pueden poner en juego diversas técnicas.

Cambiar esa cultura de aula exige un trabajo muy coherente y machacón en la misma línea. Hombre encogiendo los hombros

Y como sobre esto ya he dado la turra en otras ocasiones, cierro enlazando este otro hilo (va con alguna referencia).

Y aquí otro hilo para los que queráis profundizar en esto de los enfoques.

Créditos

Foto destacada de Unsplash

¿En serio pones este problema en 2º ESO?

Wed, 28 Jul 2021 00:00:00 +0000

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Este curso, después de trabajar el siguiente problema con los alumnos del máster ESOb, me preguntaron que si eso de verdad se lo planteaba a mis alumnos de secundaria.

Sí, me gusta verlo en 2º ESO.
Ah, ¿en serio?
A ver si mañana os puedo enseñar algo que hicimos en enero.

¿Y si antes de continuar pruebas a resolverlo? 😉

Se trata de que, si yo te pregunto por cuántos cuadraditos pasará en una retícula de $m \times n$, seas capaz de decírmelo. Coge una hoja cuadriculada y dale, que luego se vienen spoilers.

Aunque no voy a dar la solución, por lo menos de entrada, que hoy ya hay muchas pistas en el ambiente tuitero-matemático.

Si lo habéis intentado, habréis visto que tiene miga. De ahí la pregunta de los alumnos del máster. Al día siguiente, pregunté a una alumna de 2ºESO que si me dejaba hacerle una foto a lo que hizo con el problema, que quería enseñarla.

No llegó a la solución final, que es un poco lo de menos en este caso, pero actitudes hacia la resolución de problemas…

Aquí dibujando diferentes casos para luego conjeturar.

Más casos.

Aquí todas las observaciones que hizo en el proceso. Realmente, le faltó un pelo. Tenía prácticamente todos los ingredientes sobre la mesa. Y se intuía que el problema era de “divisibilidad”.

Muchos otros alumnos hicieron también observaciones muy interesantes que les llevaban, de una forma u otra, hacia la divisibilidad: pares, impares, primos, etc. Unos poquitos dieron con la solución general y unos poquitos menos fueron capaces de argumentar un poco más el porqué.

Es un problema muy majete. Ya estaba en los materiales que heredamos de Julio Sancho para el máster y es un problema que aparece en el librito del Shell Problems with patterns and numbers, descargable en https://mathshell.com

Yo tengo en papel la edición en español. Al contrario que con El lenguaje de funciones y gráficas, la traducción de este, que yo sepa, no está disponible gratuitamente en la web del ministerio.

También aparece, por lo menos, en uno de esos materiales fenomenales de finales de los años 90. Las guías Praxis. Pero eso ya… como no lo encontréis en vuestro departamento o en alguna biblioteca …

No os perdáis este hilo de @rober_fun (ha sido verlo y pensar en este problema, ya os decía que hoy había pistas 😉). Y, si sois docentes, dejad volar la imaginación en torno a las aplicaciones didácticas de lo que sale ahí. Bueno, o dejadlo para septiembre.

Una propuesta didáctica de probabilidad para el comienzo de la secundaria

Thu, 01 Jul 2021 00:00:00 +0000

A didactic proposal of probability for the beginning of secondary school

Abstract

Considering that probabilistic reasoning should be an educational priority, this article presents the design and theoretical foundation of a didactic sequence for the teaching of probability in the early years of secondary education (12-13 years). The sequence has a teaching approach through problem solving, specifically based on the articulation of three of the meanings of probability in secondary education: intuitive, frequentist, and classical. With this didactical objective, six problem-situations are described, and some additional observations that complement them. The first one, to express the probability as a degree of personal belief, introduce non-equiprobable events and construction of absolute frequency diagrams. The second creates situations to assign probability to an event and assign an event to a probability. The third is a situation to discuss random and deterministic phenomena. The fourth situation has the objective of formalising concepts such as impossible event or certain event, as well as procedures such as tables and tree diagrams to disaggregate sample spaces and the application of Laplace’s rule when considering compound events. The fifth and sixth address situations where Laplace’s rule cannot be applied. The sequence is a flexible proposal that articulates playful strategies, use of origami, and visualisations of fragments series, which stablish connections with other curricular contents and influence in the affective domain. Besides, the sequence can be adapted to different educational contexts.

Uma proposta didática de probabilidade para o início do ensino fundamental II

Resumo

Considerando que o raciocínio probabilístico deve ser uma prioridade educacional, este artigo apresenta o desenho e a fundamentação de uma sequência didática para o ensino da probabilidade no ensino fundamental II (12-13 anos). A sequência se localiza em uma abordagem de ensino por meio da resolução de problemas, a partir da articulação de três dos significados de probabilidade no ensino médio: intuitivo, frequente e clássico. Com este objetivo didático, seis situações-problema são descritas, e algumas observações adicionais que as complementam. O primeiro, para expressar a probabilidade como um grau de crença pessoal, introduz eventos não equiprováveis e construção de diagramas de frequência absoluta. O segundo está relacionado à ideia de atribuir probabilidade a um evento e atribuir um evento a uma probabilidade. A terceira é uma situação para discutir fenômenos aleatórios e determinísticos. A quarta situação tem como objetivo formalizar conceitos como evento impossível ou determinado evento, bem como procedimentos como tabelas e diagramas de árvore para desagregar espaços amostrais e a aplicação da regra de Laplace na consideração de eventos compostos. O quinto e o sexto tratam de situações em que a regra de Laplace não pode ser aplicada. A sequência inclui atividades baseadas em jogos, uso de origami modular e visualizações de fragmentos de séries, que estabelecem conexões com outros conteúdos e afetam o domínio afetivo. Além disso, é apresentado de forma flexível para que possa ser adaptado a diferentes contextos educacionais.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Giacomone, B. (2021). Una propuesta didáctica de probabilidad para el comienzo de la secundaria. Educação Matemática Pesquisa: Revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, 23(4), 246-272.

Elige tu propia aventura: un teorema célebre

Mon, 28 Jun 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. He aprovechado para eliminar alguna redundancia que siempre se me termina escapando al escribir en esa red, pero siempre quedará ese aroma a hilo. Por un lado, debo decir que me gusta el tipo de lenguaje que hay que emplear al escribir un hilo, porque obliga a ir al grano y sintetizar mucho. Sin embargo, por otro lado, también soy consciente de que es… peculiar.

Vamos con otro de los de elige tu propia aventura. Eres profe de mates y toca ponerse con «el teorema de Pitágoras», digamos en 2º ESO. Dos opciones:

A) $a^2+b^2=c^2$

B) Calcula el área de este cuadrado.

La opción A es propia de una enseñanza para la resolución de problemas. Presentas el teorema. Posiblemente, esperando que el alumnado se maraville ante un resultado tan maravilloso (lo es). Esa misma clase expones cómo aplicarlo para calcular distancias desconocidas.

Los problemas de aplicación que vengan después pueden ser más o menos interesantes. Sin embargo, ¿estaríamos tratando realmente el teorema de Pitágoras? ¿Qué implica este teorema como contenido? ¿Cómo se conecta con otros contenidos?

La opción B, que es la que desarrollaré, es una propuesta de actividades a través de la resolución de problemas. La principal diferencia con la A es que no se exponen las matemáticas, sino que se construyen con el alumnado.

Este vídeo está genial. Pero si empiezas con él, aunque haya indagación, es muy probable que la propuesta sea de tipo A. Por otro lado, el vídeo tiene su cabida en la B, pero más adelante. ¡Es un spoiler!

Si tienes muy claro que lo tuyo es la opción A, sáltate el hilo, porque con la B puedes estar casi dos semanas.

La secuencia de actividades se titula «Un teorema célebre». No me gusta adelantar acontecimientos. Ya bautizaremos el resultado al final. Si algún alumno conoce el teorema y las actividades empiezan a recordarle el asunto, no pasa nada.

Sí, por ahí van los tiros, ya verás.

El punto central de la propuesta es explotar la idea de que el teorema de Pitágoras es una relación de áreas. La situación-problema será el cálculo del área de cuadrados cuyos vértices se ubican en los puntos de una retícula cuadrada (geoplano cuadrangular).

Tareas troncales a realizar

Primera tarea (razón de ser)

Esto es un cuadrado de tipo $(3,5)$. El primer número es el desplazamiento en horizontal que hacemos desde un punto fijo. El segundo, el desplazamiento en vertical. Y así tenemos un lado del cuadrado. Encuentra el área de este cuadrado y explica cómo lo has hecho.

Ponte en la piel de alguien que no conoce el teorema de Pitágoras y prueba a contestar antes de seguir, porque aquí empiezan a pasar cositas. Desde alumnos que señalan que el lado del cuadrado mide 5 unidades hasta diferentes tipos de descomposiciones.

Inciso: lo de que mida 5 u el lado o contar puntos en lugar de «huequitos». No me cansaré de decir lo importante que es el trabajo en magnitudes y medida. Con 13-14 años no conservan la longitud. Y para eso están estas secuencias. Si quieres saber más visita este post sobre una secuencia en torno a la medida.

Esto es el suelo bajo de la secuencia (ya veréis que el techo es alto). ¿Por qué el suelo es «bajo»? Porque es accesible para todos. Esta tarea podría llevármela a 4º de primaria y trabajarla tranquilamente allí.

Es más, esta tarea forma parte del trabajo en magnitudes y medida que se esperaría hacer en primaria. Por lo que, aparte de ser suelo bajo, es una oportunidad para establecer conexiones con conocimientos previos.

En el caso de estos alumnos, las conexiones más cercanas son con cosas que hicimos el curso pasado durante el confinamiento. Por un lado, la actividad que se describe en este post, donde se trabajan descomposiciones y recomposiciones de figuras planas para hallar su área.

Y con una secuencia que hicimos después de la actividad anterior, en torno al teorema de Pick. Secuencia en la que, llegar al teorema de Pick casi es lo de menos. Empezaba pidiendo calcular las áreas de estas figuras.

En clase normal habríamos discutido diferentes técnicas. En modo confinamiento, tal como lo planteamos nosotros, propusimos las siguientes:

Creo que las conexiones con lo que estábamos planteando se ven claras, ¿verdad? Es posible que la secuencia de Pick no la haya desarrollado por aquí, así que me lo apunto 😉. Os dejo un avance:

Volviendo a nuestro «cuadrado inclinado» $(3,5)$. La forma más habitual de enfrentarse fue inscribirlo en otro más grande de área conocida y restar los sobrantes, que son fáciles de obtener.

Pero hay pequeñas variantes, como esta. E incluso otras, recomponiendo el cuadrado, que ya no muestro por no extenderme. En clase hemos de estar atentos y procurar discutir todas. ¿Qué observas? ¿Cuál es más fácil en este caso? ¿Se te ocurre otra forma?

Siguientes tareas: hacia la generalización

Vamos a asegurarnos de que sabemos dibujar estos cuadrados inclinados y calcular el área. Hagamos el $(3,7)$ y el $(2,3)$.

Paso necesario, porque hubo alguna dificultad para dibujarlos. Por esto no me gustan los cuadernos especialmente pulcros, sin registro de lo que ha podido pasar.

Siguiente tarea. Nos dejamos de geoplano y empezamos el camino hacia la generalización. Conexiones, esta vez, con álgebra. Se trata de dibujar a mano alzada un cuadrado $(3,b)$ y calcular su área.

Aquí hay dos grandes dificultades. Por un lado, dibujar el cuadrado $(3,b)$ «general». Y, por otro, calcular su área, para la que les hacía falta la del cuadrado inscrito, que algebraicamente es $(b+3)^2$ y ya sabemos lo que supone. Hicimos ambas cosas meses antes, en álgebra. Por eso, esta tarea tiene especial valor. No pasa nada, nos detenemos, abordamos la cuestión y seguimos.

Siguiente tarea. Ahora vas a dibujar una secuencia de cuadrados $(a,b)$ en la que el valor de $b$ es siempre 1 y el valor de $a$ va cambiando de una en una unidad. El primero ya está dibujado. Intenta dibujar los 4 siguientes.

Cuestiones que tienen que responder y que luego discutimos.

a) ¿Puedes encontrar el área de cada uno?

b) Puedes encontrar un método para encontrar el área de cualquiera?

c) Calcula el área de los primeros 6 cuadrados obtenidos con el mismo método.

d) ¿Qué observas en esta serie de números que representan las áreas de estos cuadrados?

Estas preguntas son exploratorias. Básicamente, es dejarlos hacer y comparar entre ellos lo que van obteniendo. De hecho, ya hay alguno que se pispa del atajo para calcular las áreas.

La siguiente tarea estructura un poco más estas reflexiones y sugiere recopilar las áreas calculadas en una tabla como esta.

Estos están dibujados al revés, pero da un poco igual. Se comenta que es cuestión de la notación.

Es lo mismo, ¿no? Las áreas son iguales, solo tendría que girar la hoja…

Aquí la tabla a medio hacer. ¿Se intuye lo que está pasando? Los alumnos añadían sus comentarios a la derecha:

La fila esta es como la anterior sumando 4.
Aquí se está sumando $b^2$.

Preguntas que acompañan a la tabla y que luego se ponen en común:

a) ¿Puedes construir la siguiente fila (la que tiene para la $b$ el valor 5)?

b) ¿Y la fila correspondiente a $b$ con valor 10?

c) ¿Y ahora puedes escribir cuál será el área para un cuadrado $(a,b)$?

Observad que las respuestas aquí ya juegan mucho con la simbolización. Estamos formalizando ya la idea central del teorema de Pitágoras. Por lo menos, hemos resuelto el problema de inicio. Calcular el área de esos cuadrados inclinados.

Porque mira que es petardo el profesor de Matemáticas. No, nos puede dar el lado y ya. Nos pone el cuadrado inclinado. ¡Qué necesidad!

Es que si os doy el lado es una tontada de actividad…

Por si no ha quedado claro el asunto, se propone dibujar un cuadrado general $(a,b)$ y obtener el área.

El colofón

Vamos cerrando la construcción. Compara las áreas de la parte sombreada y explica tu método.

Preguntas. Empezamos suave:

a) Si las dos áreas analizadas arriba son iguales, entonces escribe las conclusiones que se pueden observar.

Y… la pregunta:

b) Si ahora pensamos en que el lado del cuadrado gris de la izquierda mide c, indica cuánto es el área de ese cuadrado y escribe de nuevo las conclusiones del apartado anterior.

Ahora sí. Pues había un matemático que se llamaba Pitágoras que, en torno al siglo VI a.C., le daba vueltas a estas cosas…

Las tareas realizadas hasta aquí son básicamente las que se proponen en la unidad «Discovering the Pythagorean Theorem» del Mathematics Assessment Project. Ya sabéis lo fan que soy del Shell.

¿Cómo continuamos?

Pues poniendo sobre la mesa diferentes pruebas de Pitágoras. La idea sale de otra fuente imprescindible de recursos: NRICH.

Se trata de proponer diferentes pruebas de Pitágoras y trabajarlas. Tampoco es necesario que todos los alumnos hagan todas. Aquí entré a clase con la idea de repartir por secciones de aula según mi criterio, pero como se pusieron al tajo por la que les dio la gana, me amoldé.

La presentación de la actividad. Ahora ya sabes que el teorema célebre se llama Teorema de Pitágoras. ¿Qué significa? Te vamos a proponer varias pruebas. ¿Cuál te parece más convincente? ¿Cuál te resulta más fácil de entender? ¿Cuál te resultaría más fácil de explicar?

Primera prueba. Los recortes. ¿Siempre podemos hacer esta descomposición?

Segunda prueba. En el link de nrich que he puesto antes hay un applet bastante majo de Geogebra. Lo usamos en clase, pero en la hoja les pusimos lo siguiente.

Con un poquito de andamiaje…

a) Escribe la expresión del área del cuadrado grande del paso 3.

b) Utiliza la expresión de a) para calcular el área del trapecio del paso 1.

c) Averigua el área del trapecio del paso 1 sumando las áreas de los tres triángulos rectángulos del paso 1.

d) Utiliza los resultados de los apartados a, b y c para dar una prueba del teorema de Pitágoras explicando cada uno de los pasos.

Tercera prueba. Conexiones con proporcionalidad y asomándonos a la semejanza…

Aumenta el triangulito pequeño por un factor de escala a para hacer el triángulo rojo y por un factor de escala b para hacer el triángulo azul. Une ambos como se indica en la figura.

a) Demuestra que los podemos unir de esa manera y que ese triángulo es igual al original aumentado en un factor de escala c.

b) Utiliza lo observado en el apartado anterior para probar el teorema de Pitágoras.

Como última prueba, la «clásica» disposición. Que, realmente, ya estaba trabajada.

Problemas de aplicación

Finalmente, problemas de aplicación. Alguno que otro sacado de nrich y alguno que otro inventado (cálculo de distancias del fusor de una impresora 3D…).

Sí que hay tres de nrich que quiero dejaros por aquí.

Uno que parece una tontería, pero que tiene más jugo del que parece: Si dos de los lados de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 6 cm, ¿cuántas posibilidades hay para la longitud del tercer lado?

Otro que admite varias aproximaciones: El triángulo de la figura es isósceles. Se ha dibujado un cuadrado sobre cada uno de sus lados. La suma de las áreas de estos tres cuadrados es 72 cm2. ¿Cuál es el área del triángulo?

Y otro, también recogido en nrich, pero que llega desde el fantástico blog de Don Steward (DEP). Que, por cierto, no es nada inocente de entrada.

Ojo con este último porque es un ejemplo magnífico de techo alto. ¿Y si utilizamos variables? ¿Sabrías obtener la expresión algebraica? Puede que sea uno de los primeros problemas de optimización a los que se enfrenten.

La secuencia está abierta a mejoras o a incluir otras tareas, claro. Por ejemplo, se queda en el tintero el interesante camino que se abre al generalizar el teorema construyendo sobre los lados del triángulo rectángulo otras figuras que no sean cuadrados.

Confío en que hayáis disfrutado con el hilo. Para afinar la propuesta fueron indispensables las sesiones de trabajo con mi compañera de no-departamento Ana Martínez. (Esto de las no-cosas son cosas de los CPI de aquí).

Porque no se trata solo de plantear las tareas. Eso solo es el primer paso. Se trata de explotar las discusiones al máximo. Y, para ello, las conversaciones sobre cómo están yendo estas secuencias en clase son de lo mejor.

Pd1. Este es otro de los de «Elige tu propia aventura» porque, para los que me seguís hace poco, planteé el de la mediatriz de la misma manera. En cualquier caso, hay más hilos similares por mi perfil y, al poco, los dejo en mi blog.

Pd2. Es posible que más adelante os hable de la evaluación de esta secuencia. Como todo lo de este curso, basada en autoevaluaciones sistemáticas y en la mejora continua.

Material relacionado

La fundamentación de la secuencia está desarrollada en este artículo

Los materiales los dejo aquí por si vienen bien.

La suela de la zapatilla: ¿qué observas? ¿qué te preguntas?

Fri, 28 May 2021 00:00:00 +0000

Esto da para empezar una clase. ¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

La probabilidad en la Olimpiada Matemática Aragonesa de 2.º ESO

Sat, 01 May 2021 00:00:00 +0000

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltran-Pellicer, P. (2021). La probabilidad en la Olimpiada Matemática Aragonesa de 2.º ESO. Entorno Abierto, 40, 14-15.

Qué limonada sabe más a limón

Sun, 11 Apr 2021 00:00:00 +0000

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Dedicando unos días a revisitar en este curso tan raro la proporcionalidad en 2°ESO, cosa que vieron en profundidad en 1º ESO. Charlas de aula powered by @nrichmaths. ¿Qué refresco sabe más a limón?

Y es que iniciamos la clase con el applet del Mixing Lemonade de nrich.

Es un problema clásico de comparación de razones (sí, hay un mundo más allá de los problemas de valor desconocido en esto de la proporcionalidad). El año pasado ya hicimos uno similar.

La pequeña app de nrich, después de presentar el problema permite indagar alrededor de diferentes estructuras numéricas, conectando lo hecho en fracciones, lo del curso pasado, etc.

Fuente: Mixing Lemonade, de nrich

Y la guinda. Si mezclamos los vasos qué ocurre con el refresco resultante. ¿Sabe más o menos a limón que los originales? ¿Por qué? Conectamos con repartos. 😍

Tienen también un póster. En un aula materia disfrutaría mucho con estas cosas…

Créditos

Imagen destacada obtenida de UnSplash

Unas tareas de comparación de repartos

Tue, 16 Mar 2021 00:00:00 +0000

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Momentos estelares de esta semana en 2º ESO con tareas de este tipo.

Considerando que a/b representa un reparto igualitario, compara las siguientes fracciones.

¿Dónde hay más tortillas? ¿Dónde menos? ¿Dónde hay más personas? ¿Dónde menos? ¿En qué reparto recibe cada participante una cantidad mayor de tortilla?

Son preguntas spoiler que se guarda uno en la recámara solo por si acaso. Porque al haber trabajado ya comparaciones desde este punto de vista entre:

$\cfrac{4}{5}$ y $\cfrac{7}{5}$

$\cfrac{4}{5}$ y $\cfrac{4}{7}$

$\cfrac{3}{5}$ y $\cfrac{4}{7}$

ya se han puesto en juego todos los elementos.

De hecho, para fomentar el razonamiento desde la idea de reparto los hemos presentado con otra notación.

Sí, entre paréntesis. El primer elemento indica el número de tortillas (o de objetos fraccionables a repartir) y el segundo, el número de participantes. Más adelante se relaciona (es algo que queda evidente) con las fracciones.

Bueno, el (4,5) es menor que el (7,5) porque tenemos menos tortillas para el mismo número de personas, de manera que los participantes reciben una cantidad menor de tortilla.

El (4,5) es mayor que el (4,7) porque hay el mismo número de tortillas en ambos repartos, pero en uno participan 5 personas y en otro 7, por lo que en el (4,5) se come más.

Y qué hacemos para comparar (3,5) y (4,7). Pues hay varias formas. Podemos buscar repartos equivalentes en los que se iguale el número de participantes o el número de tortillas, reduciendo esto a uno de los casos anteriores.

Por ejemplo, (3,5)=(21,35) y (4,7)=(20,35). En el primero hay más tortillas para las mismas personas, por lo tanto es mayor.

O también, (3,5)=(12,20) y (4,7)=(12,21). En el primero hay menos personas para la misma cantidad de tortilla, por lo tanto, es mayor.

Pero no es la única forma. En clase ha surgido que en el de (3,5) se come más porque cada participante recibe media tortilla más la media que falta a repartir entre 5. Mientras que en el (4,7) reciben media tortilla más la media que falta, pero a repartir entre 7.

Con lo dicho hasta aquí hay material de sobra para resolver el 1) del tuit inicial.

¿Y si vamos al ejercicio 2) del principio? Queremos comparar a/b y (a+1)/(b+4)

Una forma es, como hemos hecho antes, obtener repartos equivalentes con el mismo número de participantes o de tortillas. Por ejemplo, amplificando el primero por (b+4) y el segundo por b.

En clase ha surgido la idea de que si a/b=1/4, esos repartos son equivalentes. Y una vez establecido eso, se observa que si aumento el número de tortillas (me voy a fracciones mayores que 1/4), se recibe más en el a/b.

Una justificación plena de este razonamiento es vía la idea de socialización. El reparto (a+1)/(b+4) viene de juntar los repartos a/b y 1/4. Es decir, que hemos socializado las tortillas de esos dos repartos (a+1) y las personas (b+4), para hacer un nuevo reparto (a+1)/(b+4).

Y ese nuevo reparto está entre los dos originales. Porque los participantes del mayor de ellos, pasarán a comer menos en el socializado. Y los participantes del menor de ellos, pasarán a comer más.

Por tanto, una de tres:

$\cfrac{a}{b} < \cfrac{a+1}{b+4} < \cfrac{1}{4} $

$\cfrac{a}{b} > \cfrac{a+1}{b+4} > \cfrac{1}{4} $

$\cfrac{a}{b} = \cfrac{a+1}{b+4} = \cfrac{1}{4} $

Entonces:

Si a/b < 1/4, cosa que ocurre cuando b>4a, resulta que estamos en el primero de los casos anteriores y, por tanto, a/b será menor que (a+1)/(b+4).
Si a/b=1/4 serán iguales.
Y si b<4a, será a/b >(a+1)/(b+4)

Y fin.

Como parece que suscita interés, debo decir que esto ha de verse como otro ejemplo de cómo introducir los conceptos desde la atención a la diversidad con un enfoque a través de la resolución de problemas.

Es decir, un punto de entrada accesible que establece conexiones y con el que llegas a ideas matemáticas potentes y profundas. Y todos están en condiciones de participar en esos razonamientos.

Hay que tener en cuenta que no es llegar un día a clase y soltar estas cuestiones (u otras) esperando que el alumnado se implique, participe y podamos construir a partir de sus aportaciones. Es un trabajo que comenzó el curso pasado con estos grupos.

Esto del racional, por otro lado, es un ejemplo claro de conocimiento didáctico-matemático. De hecho, es conocimiento especializado del contenido que no verás ni en el grado de Matemáticas, ni en Física, Ingenierías, etc.

Análisis de los problemas de probabilidad en las olimpiadas matemáticas

Fri, 01 Jan 2021 00:00:00 +0000

Abstract

This paper analyses the cognitive demand of mathematical, languages and procedures tasks proposed in the problems on probability in the individual tests of both the semi-final and the final in the Aragonese Mathematical Olympiad (1989-2019) and the problems carried out in the individual test of the National Mathematical Olympiad (1990-2019). The results show that all the tasks proposed in the Olympics are of a high level according to the cognitive demand model, which is suitable as a proposal for students of high mathematical ability, including tasks of the higher level according to the same model, whose resolution could become an indicator of high mathematical ability, although this analysis was not carried out in our study. On the other hand, they show the need to propose more problems in these competitions promoting the learning of probability in Secondary Education

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). Análisis de los problemas de probabilidad en las olimpiadas matemáticas. En A. Gutiérrez, M. J. Beltrán-Meneu, J. M. Ribera, R. Ramírez-Uclés, A. Jaime, E. Arbona, C. Sua, L. Rotger, C. Jiménez-Gestal, A. A. Magreñán, & A. M. Damián (Eds.), Actas de las Jornadas Internacionales de Investigación y Práctica Docente en Alta Capacidad Matemática (pp. 143-150). Universidad de La Rioja.

Sobre la resistencia al cambio en la cultura de aula

Sun, 18 Oct 2020 00:00:00 +0000

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Ya van varias conversaciones este curso al respecto de la enseñanza a través de la resolución de problemas.

Es que se quedan ahí, ni leen. No saben hacer nada. Y termino explicando yo en la pizarra.

En esa frase hay dos elementos. Primero, ese «no saben hacer nada». Partiendo de que algo sí que sabrán hacer, lo que ocurre es que es posible que apenas se hayan visto en la tesitura de tener que leer y poner en juego lo que ya saben. Segundo, ese «termino explicando yo en la pizarra». Claro, nos vemos agobiados porque si no, parece que no se avanza. Y esto es una sensación muy común.

Esta resistencia inicial, que siempre he mencionado en mis tuits, no es cosa mía. Es una ruptura del contrato didáctico, un cambio en la cultura de aula. Se ha descrito múltiples veces en la literatura especializada: ¿Qué pasa si vas con un enfoque a través de la resolución de problemas a una clase acostumbrada a otra cosa?

Si observamos que el alumnado no lee el enunciado. ¿La solución pasa por leérselo nosotros?

Si observamos que el alumnado no pone en juego conocimientos que ya posee, ¿tenemos que ponerlos nosotros sobre la mesa?

¿Qué tipo de actividad matemática tiene lugar en clase? ¿Hay actividad matemática?

Ese cambio en la cultura de aula lleva tiempo. Es mucho más fácil, además, en un 1ºESO que en un 4ºESO. Pero un par de meses no te los quita nadie. Y durante esos dos meses has de ser implacable en tu planteamiento (si es lo que quieres).

Los objetivos cambian. A lo mejor el primero de ellos es leer el enunciado de la tarea y hacerse preguntas. El papel del profesor, también tiene que amoldarse a esos objetivos.

Desbloquear, gestionar las puestas en común, hacer preguntas (sobre todo, orientadas a aprender a hacer preguntas).

Esos logros sí que perduran. Es alucinante el nivel de interacción que mantienen este curso a pesar de las evidentes dificultades.

Créditos

Imagen de cabecera: Unsplash

Una actividad para trabajar la estimación en clase de Matemáticas con arroz

Thu, 01 Oct 2020 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2020). Una actividad para trabajar la estimación en clase de Matemáticas con arroz. En P. Usán y C. Salavera (Coords.), Gamificación Educativa, Innovación en el aula para potenciar el proceso de enseñanza y aprendizaje (pp. 257-266). Pregunta Ediciones.

Se trata de una versión ampliada de Beltrán-Pellicer, P. (2019). Una de estimación en clase de Matemáticas con arroz [Entrada de blog]. Blog de experiencias de aula. Formación del profesorado (DGA). Disponible en http://dgafprofesorado.catedu.es/

Un juego que da mucho juego: pillar al tramposo

Mon, 03 Aug 2020 00:00:00 +0000

De nuevo, esto es una versión de un hilo de Twitter. Pongo esto para disculparme, en todo caso, por el estilo de escritura, adaptado a ese medio. El caso es que, en esta ocasión, me mencionó @Picanúmeros en un hilo muy interesante:

Nota: esa actividad la tenéis descrita en Por qué experimentar en probabilidad.

El tweet en cuestión era este:

En fin, que todo esto me llevó a pensar en una actividad llamada pillar al tramposo o pillar al mentiroso, que le da un giro curioso al experimento de lanzar monedas. Aprendizaje basado en juegos.

La hago habitualmente, tanto con el alumnado del máster de ESOb, como en ESO (y puede hacerse un acercamiento en primaria). Divido la clase en parejas, de forma que habrá parejas honestas y parejas tramposas.

Para ello, les entrego a todas una tarjetita de estas (las tengo plastificadas) con su rol. Os dejo el imprimible.

Dependiendo del número de alumnos, meto más o menos parejas tramposas. Funciona mejor si por lo menos hay dos tramposas. En una clase normal con unas 12 parejas, meto 3 tramposas.

¿Qué hacen las parejas honestas? Lanzar una moneda un montón de veces y anotar los resultados que van saliendo. Se anotan en bruto, sin resumir. Es decir, algo así:

CCXCCCXXCXCXXCCCCCX…

¿Cuántas veces hay que lanzarla? Cuantas más mejor, claro. Con 150 ya se pueden hacer cosas majas y se puede pillar a los tramposos, cosa que no siempre se consigue. Mejor, 200 lanzamientos. Tampoco es mucho rato, si uno lanza y otro anota en 6-7 minutillos lo tienes.

Briconsejo: que lancen las monedas sobre el cuaderno abierto. Amortigua el ruido.

Y las parejas tramposas, ¿qué hacen? Pues disimular. Tienen que hacer como que tiran las monedas, pero se tienen que inventar la secuencia. Todos saben que el objetivo del juego será pillar a las parejas tramposas.

Inciso: se puede valorar que hagan los lanzamientos en casa, pero creo que es mejor tener cierto control sobre la recogida de datos. Aunque digas que no se deben resumir… hay algunos que resumen los datos. Y entonces, mal, porque se pierde información.

Y con las secuencias “aleatorias”, empezamos con el juego y la correspondiente discusión de aula. Para ello, les digo que pongan sus nombres y que intercambien la hoja con otra pareja.

Lo primero que surge (y esto depende mucho del curso) es contar caras y cruces. vamos ¿A quién marcamos como sospechosas? Se lanza esta pregunta y se espera a ver qué dicen.

Pero la cosa es, ¿a quién marcamos?

¿A las que tienen exactamente (o muy cerca) la mitad de caras que de cruces?
¿A las que se alejan mucho?

En la discusión parece que la cosa no queda clara. Entonces, hay que buscar otra forma de pillar a los tramposos. Alguien menciona las rachas que ve en la hoja de resultados.

Entonces, se pueden contar las veces que aparece CC, XX, XC o CX. ¿Cuál es la probabilidad de aparición de cada una? Aquí conviene observar que estamos asumiendo ya un modelo probabilístico.

¿Y si miramos cómo es la longitud de la racha más larga de caras y de cruces?
¿Y si…?
¿Y si…?

En definitiva, después de llevar a cabo varios análisis. Nos intentamos poner de acuerdo en quiénes son los tramposos. Si no hay acuerdo, se les puede decir que anoten sus candidatos.

Aquí una discusión en una pizarra con N=150 (da más juego con 200). Otras veces, lo hago directamente sobre una hoja de cálculo, como he dicho antes.

Esta actividad que he contado es una adaptación del proyecto “Comprueba tus intuiciones sobre el azar”, que menciona Carmen Batanero en varias publicaciones. Por ejemplo, aquí: Batanero y Arteaga (2011). Enlace

Y aquí Gea, Fernandes, Batanero y Benavides (2016) comentan este tipo de actividad realizada con un grupo de 5º de Primaria, trabajada desde la intuición. Enlace

Y en verano, ¿qué matemáticas pueden hacer mis hijos?

Thu, 30 Jul 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

De vez en cuando, algún amigo me pregunta que qué puede hacer de matemáticas con sus hijos en verano. Dejo aquí un par de sugerencias.

Te vas a la web de @nrichmaths y seleccionas primaria o secundaria. Voy a elegir primaria.

Sí, ya me he dado cuenta de que está en inglés. Pero la gran mayoría de actividades las vas a poder hacer con la ayuda del traductor. Con tenerlo abierto en otra pestaña, ya está. Así practicas inglés y matemáticas.

Hay muchos materiales, juegos interactivos, etc. Voy a ilustrar un ejemplo. Filtro por bloques temáticos.

Elijo números (por ejemplo), y después voy a elegir “multiplicación y división”.

Va por niveles, bastante amplios. Esto suele chocar al personal. ¿Cómo? ¿Entre 7 y 11 años? ¿Es que no pueden afinar estos del nrich, tanta Universidad de Cambridge ñeñeñe para que no sepan a quién va dirigida la actividad? 😱

Pues mira, es que es porque son actividades que ofrecen diferentes puntos de entrada. Low floor / High ceiling (suelo bajo y techo alto). Voy a seleccionar uno en apariencia bastante soso. What do you need? ¿Qué necesitas?

Pues se trata de encontrar un número entre el 0 y el 99. Y nos dan una serie de pistas.

Que sí, que están en inglés, corto y pego en un traductor. En este caso, también funcionaría bien traducir la página (en los juegos esto da fallos a veces). Bueno, que lo hace bastante bien.

¿Os animáis a encontrar el número? Después, no os conforméis con eso. Se trata de pensar y discutir qué 4 pistas son innecesarias.

Los juegos también son muy majetes. Aquí están jugando al “Play to 37”. Es un jueguecillo para dos jugadores donde cada jugador suma 1, 3, 5, o 7. Y gana el que dice (o escribe) 37.

Después, se piensa qué está pasando. ¿Quién está ganando? ¿Por qué? ¿Cómo sería la secuencia más corta que me lleva a 37? En todas estas actividades vais a encontrar la solución comentada, con estas cositas que tienen que aflorar.

No los machaquéis con cuentas porque sí, que es lo fácil. En las actividades del nrich de números que he comentado se trabajan también los hechos numéricos, pero de forma más rica. Si de todas maneras quieres un par de recursos más…

Estas tablas de cálculo, de Jesús Javier Jiménez, están muy bien, para todos los niveles y de bloques variados (no dedicaría más de 5 minutillos y no todos los días)
Para los más peques, estas hojas que se colorean y muestran un personaje o un dibujillo.

En cualquier caso, tened claro que las matemáticas en primaria no son solo aritmética; y en secundaria no son solo álgebra.

He puesto como ejemplo una actividad de números, porque es lo primero que buscan mis amigos. Pero las actividades de geometría, medida, estadística, probabilidad… son preciosas (y necesarias). Aquí las de geometría del mismo nivel que he buscado antes.

La idea, en cualquier caso, es que si se hace algo, sin agobios y que sirva para desarrollar una actitud de indagación, curiosidad… Hoy en día hay un montón de recursos interesantes.

Por supuesto, lecturas. En ESO, me gusta recomendar La fórmula preferida del profesor y El tío Petros y la conjetura de Goldbach. También, divulgación, que hay un montón, muy buena y de los temas más variados. Y juegos de mesa. Sobre todo, no los torturéis durante el verano.

Atención a la diversidad a través de la resolución de problemas

Sat, 16 May 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Un aspecto que me fascina de la enseñanza a través de la resolución de problemas es cómo permite la inclusión y la atención a la diversidad. Os cuento algo al respecto.

Si queremos atender a la diversidad, la opción, por sistema, de dar unas fichas para los que van más rezagados y material extra para los que tienen mayor capacidad, no hace sino excluir dentro del aula.

La inclusión y la igualdad de oportunidades tiene lugar cuando la tarea de clase es la misma para todos. Lo que se consigue con actividades del tipo “suelo bajo y techo alto” (low floor high ceiling).

El otro día puse el ejemplo de la actividad de la mediatriz, o del punto de encuentro. Empieza con tareas muy sencillas que puede abordar todo el mundo. Colocar un punto, medir distancias, observar…

De hecho, esa parte, que podría plantearse en primaria, no sobra para nadie. Porque contribuye a desarrollar el significado de mediatriz como lugar geométrico.

Conforme avanza la secuencia de actividades, hay puntos, como el que voy a comentar, que denotan que el aprendizaje no es el mismo para todos (no puede ser de otra manera).

En una de las actividades, se trata de averiguar el circuncentro de algunos cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, trapecio isósceles, trapecio rectángulo.

El del trapecio rectángulo no se puede hacer, claro, si trazas las mediatrices no se cortan en el mismo punto. Aquí es donde una alumna de 1º ESO ha realizado la siguiente observación. Interesante es poco.

En clase presencial puedes animar a los alumnos a realizar este tipo de observaciones, eligiendo bien las preguntas. Sin embargo, la interacción online es muchísimo más reducida. Por eso me alegro tanto cuando veo estos indicios.

Le pregunté que cómo podía estar segura de lo que decía, y que se animara a utilizar las herramientas de medida de geogebra.

Después, le propuse pensar acerca del porqué de que ocurra, que implica propiedades de la mediatriz y de ángulos, así como aspectos de perpendicularidad y semejanza.

En fin, que solo venía a compartir esta pequeña alegría en tiempos de crisis. Porque las matemáticas serán maravillosas, pero también pueden ser muy segregadoras, separando entre los que controlan y los que no.

Un aprendizaje inclusivo no implica que todos terminen aprendiendo lo mismo. Se trata de equidad y de permitir y buscar el máximo desarrollo de cada uno.

Las medidas de dispersión con pinceladas de didáctica

Fri, 01 May 2020 00:00:00 +0000

Con este hilo sobre enseñanza de la dispersión participé en el concurso de Desgranando Ciencia 6 y luego se hizo un libro recopilatorio.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2020). Las medidas de dispersión con pinceladas de didáctica. En J. Garrido-Bautista y V. G. Tagua, Libro del I Congreso Virtual de Divulgación de Hilos de Twitter, Desgranando Ciencia 6 (pp. 87-90). Granada, España: Asociación Hablando de Ciencia.

Los tres actos de los enteros

Tue, 28 Apr 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de varios hilos de Twitter, sobre los que además se han incorporado una serie de correcciones y ciertos matices que se pierden en el formato de los 280 caracteres.

Los tres actos de los enteros.

1️⃣ Presentación de personajes y puesta en escena. ¿Qué modelos concretos hay?

2️⃣ El nudo. Inconvenientes.

3️⃣ Desenlace. Una propuesta.

Introducción

Vamos con una de película, porque hoy toca ver números enteros.

Hola alumnos: $(+1)+(-3)+(-4)-(-5)=¿?$
No os preocupéis que esto se ve muy bien con ascensores, termómetros, pócimas, fichas, …

¿Y si os dijera que los modelos concretos, aquí, patinan?

«Actualmente, parece haber un consenso general en que la introducción de los números negativos en el aula debe basarse en modelos concretos: deudas y haberes, temperaturas, movimiento en dos sentidos, etc. Se supone que estos modelos, al ser familiares al alumno y poseer un grado de abstracción adecuado a su edad, le ayudarán a dar sentido a los números negativos y a justificar sus reglas de cálculo. Tanto los libros de texto como la mayor parte de las propuestas de los investigadores en el tema van en esa línea, diferenciándose únicamente en la elección del modelo. A continuación, ponemos en duda la pertinencia de una introducción de los números negativos por medio de modelos concretos, analizando los efectos no deseados que produce.»

Demoledor, ¿verdad? Pues bien, el párrafo anterior está copiado literalmente del resumen de una ponencia de Eva Cid en las JAEM de 2001.

Lo que voy a hacer aquí es desgranar algunos resultados de su investigación, en tres actos.

¿Qué modelos concretos existen?
Inconvenientes de los modelos concretos.
Líneas generales de una propuesta que los evita.

Como esto es muy largo, serán tres hilos. Previsiblemente, hoy por la mañana, este, que no es más que la presentación de los personajes. Por la tarde, el segundo acto, el nudo. Y ya mañana, el desenlace.

Tengo la inmensa suerte de conocer a Eva Cid y haber hablado con ella sobre lo que he observado al llevar su propuesta con mi alumnado. Al final, para las mentes más inquietas, dejaré las referencias. Solo espero, por lo menos, motivar, al menos, la reflexión de los lectores.

Primer acto - LOS MODELOS CONCRETOS: presentación de los personajes

Hay dos tipos de modelos concretos: los de neutralización y los de desplazamiento.

Modelos de neutralización

Los modelos de neutralización se basan en la manipulación de cantidades de magnitud con sentidos opuestos que se neutralizan entre sí. Para describirlos utilizaremos un modelo de fichas de dos colores donde se supone que cada ficha de un color neutraliza a una ficha del otro color. ¿Os suena?

Ejemplos: deudas y haberes, personas que entran o salen de un recinto, juegos con puntuaciones positivas o negativas, fichas de dos colores que se neutralizan, cargas eléctricas positivas o negativas, etc. Veamos cómo se interpretan las operaciones aritméticas.

La suma es sencilla. Es una agregación de fichas seguida del correspondiente proceso de neutralización para obtener la representación canónica formal del resultado. $+2+(-3)$ implica hacer dos parejas de fichas que se neutralizan entre sí. Al final, me queda una del color que representa los negativos.

La resta se relaciona con la acción de quitar o separar fichas. Si hay que quitar más fichas de un color que las que hay, se añaden pares de fichas azules y rojas convenientemente. Reflexión: quitar fichas de un color equivale a añadir el mismo número de fichas del otro color.

Antes de ir con la operación estrella, veamos qué pasa con el orden. Resulta que para justificar la ordenación aquí hay que jugar con juicios morales, como que lo positivo es mejor que lo negativo. Es mejor tener fichas rojas que azules, o haberes que deudas.

Porque… ¿quién prefiere que le pongan puntos negativos pudiendo recibir positivos? Vamos a ver, quién.

Inciso. En los ejemplos usaremos el convenio de que las fichas rojas son las positivas y las azules, las negativas. Que es el que se suele emplear para representar cargas eléctricas.

Una manera de justificar el producto de enteros desde la neutralización es diciendo que $(–a)(–b)$ significa que a una situación cero hay quitarle $a$ veces $b$ fichas azules.

Esto lo conseguimos introduciendo $ab$ parejas de fichas rojas y azules, lo que permite quitar $b$ fichas azules un número $a$ de veces y quedan $ab$ fichas rojas. Es decir, $(–a)(–b)=+ab$. Y de forma similar para los casos: $(+a)(+b)$, $(–a)(+b)$ y $(+a)(–b)$.

Esto obliga a una nueva interpretación de los signos. Tanto en la suma como en la resta, los signos que acompañan al número son signos predicativos, signos que indican el tipo de objetos al que nos referimos (fichas rojas o azules), mientras que los signos entre números son signos operativos binarios, indican las operaciones de suma o resta. Sin embargo, en (–a)(–b) el signo que acompaña al primer número no es un signo predicativo, es un signo operativo que indica la acción de quitar.

Otra forma de justificar el producto a partir de la neutralización es mediante la noción de ganancia (aumento de la cantidad de magnitud en el sentido positivo) o pérdida (disminución de la cantidad de magnitud en el sentido positivo) por unidad de tiempo.

De esa manera, uno de los términos del producto indica la ganancia o pérdida por unidad de tiempo y el otro el número de unidades de tiempo pasado o futuro a considerar, mientras que el resultado es la pérdida o ganancia total.

Modelos de desplazamiento

Vamos con los modelos de desplazamiento. Son modelos en los que los números positivos o negativos pueden indicar posiciones en un sentido u otro, a partir de un origen, o desplazamientos de una posición en uno u otro sentido. Para describirlos vamos a utilizar un camino dividido en casillas,, donde cada una es una posición que pueden ocupar las fichas. Estas posiciones se numeran a partir de cierta posición inicial, añadiendo el signo $+$ o $-$ según sea el sentido del recorrido.

Ejemplo de modelos de desplazamiento: el termómetro, el ascensor, las escaleras que se suben y bajan, las altitudes por encima y debajo del nivel del mar, los años antes y después de Cristo, los caminos de doble sentido, las posiciones y desplazamientos sobre la recta real, etc.

Un desplazamiento de $+a$ casillas aplicado a una ficha, significa que esta se desplaza $a$ casillas en el sentido positivo de recorrido. Y si es $-a$ casillas, en sentido contrario (negativo). Así, los números enteros pueden indicar tanto posiciones como desplazamientos.

Para cada desplazamiento existe un desplazamiento opuesto. Es decir, un desplazamiento que devuelve la ficha a su posición original.

La suma de enteros se justifica como:

Un desplazamiento aplicado a una posición para obtener otra posición.
Una composición de desplazamientos que da como resultado otro desplazamiento.
O como una composición de desplazamientos que se aplica a una ficha situada en la casilla cero y da como resultado la nueva posición.

La resta de enteros se interpreta como la operación inversa de cualquiera de las anteriores.

El orden se justifica interpretando los números enteros en términos de posiciones. Un entero es menor que otro si, utilizando el sentido de recorrido definido como positivo, la posición que representa al primer número es anterior a la correspondiente al segundo número.

En algunos modelos de desplazamiento, como el del termómetro, el sentido positivo no se define solo por convenio (algo habitual en estos modelos), sino que vuelve a responder a un juicio de valor. Es mejor estar a 3 grados sobre cero que estar a 10 grados bajo cero.

El producto se interpreta como composición repetida de desplazamientos para obtener un desplazamiento resultante al que se le cambia o no el sentido según que el entero que indica la repetición sea negativo o positivo.

Es decir, $(-2)(+3)$ es un desplazamiento de 6 posiciones, pero en sentido negativo (como 3 es en sentido positivo, hay que cambiarle el sentido). También puede interpretarse que el desplazamiento resultante se aplica a una ficha situada en la posición cero.

Así, el producto representa la nueva posición de la ficha. A veces, se considera que el producto $(\pm a)(\pm b)$ indica la posición resultante de transformar una posición inicial $\pm a$.

El valor numérico de la nueva posición pasa a ser $ab$ y, dependiendo de que el signo que acompañe a $b$ sea positivo o negativo, estará situada en la misma semirrecta que $\pm a$ o en la semirrecta opuesta.

Otros autores incorporan a los modelos de desplazamiento la noción de velocidad positiva o negativa y tiempo pasado y futuro y entonces los términos del producto indican desplazamientos y tiempos y el resultado es una posición.

En ocasiones, cuando el modelo de desplazamiento es el de la recta real, se justifica el producto de enteros utilizando dispositivos gráficos parecidos a los que suelen utilizarse para explicar las homotecias de razón entera.

También hay quien interpreta el producto $ab$, con $a$ y $b$ enteros, como el área del rectángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadas $(a,b)$, $(a,0)$, $(0,b)$ y $(0,0)$ acompañada del signo $+$ o $–$ según el cuadrante en que esté situado.

Segundo acto: INCONVENIENTES DE LOS MODELOS CONCRETOS PARA LOS ENTEROS

Y ahora se pone interesante, llegamos al nudo de esta historia en tres actos.

Estructura aditiva

Del primer acto, se desprende que parece que los modelos concretos permiten justificar bien la estructura aditiva de los enteros (sumas y restas).

Pero no nos llevemos a engaño. Solo parece, porque realmente es el conocimiento que tenemos los profesores sobre los enteros lo que permite elegir argumentos para justificar las reglas de operación.

No resultan tan eficaces como medio de reconstrucción de dicha estructura en caso de olvido. Es muy fácil seguir una argumentación correcta dentro del modelo que lleve a cometer errores si no se conoce el comportamiento de los enteros. Veamos.

Alumno: $(+70)-(-10)=+70$ porque si tengo 70€ y me perdonan una deuda de 10 € sigo teniendo 70 €.
Profe: No. Tener 70 € y no deber nada es equivalente a tener 80 € y deber 10€. Si ahora quitamos la deuda de 10 €, nos queda un haber de 80 €, luego $(+70)-(-10)=+80$.

No se puede negar que el argumento del alumno es perfectamente válido desde el sentido común, que es a lo que intenta apelar el uso de modelos concretos. Pasa algo parecido con la versión termómetro…

Alumno: $(-6)-(-2)=+4$, porque entre 6 grados bajo cero y 2 grados bajo cero hay 4 grados de diferencia y $4$ es lo mismo que $+4$.
Profe: No, necesito disminuir en 4 grados una temperatura de 2 bajo cero para obtener una temperatura de 6 grados bajo cero, luego $(-6)-(-2)=-4$.

Lo que está pasando en ese momento por la cabeza del alumno. Con razón.

Orden

Con el orden de los enteros se complica mucho más. Ya hemos dicho que estos modelos obligan a efectuar juicios morales. ¿Qué alumno va a aceptar que tener 5 fichas azules es peor (o menos) que tener 2 fichas azules?

¿O que efectuar un desplazamiento hacia la izquierda de 5 casillas es peor (o menos) que efectuar un desplazamiento hacia la izquierda de 2 casillas?

La mayor parte de los modelos no permite hacer creíble esa valoración adicional que califica las situaciones de “mejores” o “peores”. Algunos, como las deudas y haberes o el termómetro, sí que admiten este tipo de argumentos.

Por ejemplo, $-10<-5$ porque deber 10 € es peor que deber 5 € o porque 5 grados bajo cero es una temperatura más alta que 10 grados bajo cero. Pero incluso en estos casos, se encuentran argumentos igualmente válidos que justifican lo contrario.

Porque podemos decir que una deuda de 10 € es mayor que una de 5 € o que el que debe 10 € debe más que el que debe 5 €, concluyendo que $-10>-5$.

O, en versión termómetro, que 10 grados bajo cero es una temperatura más baja que 5 grados bajo cero y, por lo tanto, mayor, en el sentido de que supone un aumento del frío.

En los de desplazamiento se define un sentido de recorrido y se dice que las posiciones anteriores son menores según ese sentido. Así se asume un convenio que no resulta familiar a los niños. Además, contradice el sentido de recorrido que se utiliza para dibujar el modelo.

En el caso de la recta numérica se define un sentido de recorrido de izquierda a derecha que permite justificar que $-8<-5$ porque $-8$ está a la izquierda de $-5$.

Sin embargo, los niños, al dibujar la recta numérica, ¿qué hacen?

Representar el origen.
Hacia la derecha, van representando los puntos $+1$, $+2$, $+3$, etc.
Después, dibujan los puntos $-1$, $-2$, $-3$, etc.

Es decir, recorren la recta desde el origen hacia la derecha y después desde el origen hacia la izquierda. Ese es el sentido de recorrido que se impone y, de acuerdo con él, $-5$ se dibuja antes que $-8$, lo que sugiere que $-5<-8$.

O sea, que los modelos concretos justifican mal la estructura ordinal de los números enteros (desde luego, mucho peor todavía que la suma o la resta) y fomentan la aceptación de un orden de izquierda a derecha para los enteros positivos y al revés para los negativos.

El producto de enteros

Y llegamos a la operación estrella, el producto de enteros.

Casi todos los investigadores coinciden en que las justificaciones del producto basadas en modelos concretos son tan artificiosas y tan alejadas de la experiencia de los niños, tan poco creíbles, como el hecho mismo de afirmar, sin más explicaciones, que “menos por menos es más”.

En el modelo de neutralización hay que ver $(-3)(-2)$ como quitar tres veces 2 fichas azules, deudas o cargas eléctricas negativas o puntuaciones negativas… Las manipulaciones sucesivas nos llevan a que eso es equivalente a añadir 6 fichas rojas, por lo que $(-3)(-2)=+6$.

Esto significa que $-3$ ya no indica 3 fichas azules, como hasta ahora, sino que es un operador, un multiplicador que actúa reiterando el término $-2$ (que, en cambio, sí que indica 2 fichas azules) y avisando de que el resultado de esa operación ha de ser “quitado” de algún sitio.

Es decir, hay que interpretar que el signo que acompaña al número $3$ es un signo operativo, mientras que el que acompaña al número $2$ es predicativo.

Además, el hecho de identificar el resultado $+6$ con la frase “añadir 6 fichas rojas” obliga a asumir que el signo que precede al número 6 es a la vez predicativo y operativo.

Con los modelos de desplazamiento pasa lo mismo. En el producto $(-3)(-2)$ el $-3$ no puede interpretarse como un desplazamiento o una posición, sino que ha de entenderse como un multiplicador que reitera un multiplicando (el desplazamiento o la posición $-2$), cambiando su sentido.

La confusión entre signos operativos y predicativos se produce tanto en los modelos de neutralización como en los de desplazamiento.

Por último, la posibilidad de justificar el producto de números enteros introduciendo una noción de ganancia o pérdida por unidad de tiempo o de velocidad resulta tan artificiosa como las anteriores.

Sintetizando este segundo acto, existen indicios suficientes para afirmar que los modelos concretos que se utilizan en la enseñanza de los números enteros no cumplen satisfactoriamente la doble función de justificación y reconstrucción de la noción en caso de olvido.

Para profundizar sobre este primer y segundo acto, el artículo de referencia es Los modelos concretos en la enseñanza de los números negativos, de Eva Cid (2001). De hecho, este hilo no deja de ser una especie de versión tuitera.

A continuación, el tercer acto, o desenlace. Donde comento la propuesta de Eva Cid, que evita estos obstáculos y que he llevado al aula con muy pocas variaciones. Aviso, vuelve a ser una secuencia a través de la resolución de problemas.

Tercer acto. El desenlace: UNA PROPUESTA

Venimos de describir los modelos concretos para los enteros y sus inconvenientes. Entonces, ¿qué?

A continuación, voy a intentar reflejar la esencia de la propuesta de Eva Cid. Por lo menos, ilustrar en qué consiste para que, si alguien quiere, se dedique a profundizar en las referencias que voy poniendo.

Su propuesta se basa principalmente en un análisis sistemático de la génesis histórica y en una investigación de aula. No es una propuesta del tipo “hago esto y me funciona bien”. No. Tampoco es algo que se piense ni se escriba en un fin de semana.

Vuelve a ser una secuencia a través de la resolución de problemas. Ya siento dar la turra con este tema, pero es lo que toca. Este enfoque no es nada nuevo. Eva, entre otros, lo tenía claro en 1986. Para mí, es la clave. Si queremos que nuestro alumnos sean capaces de utilizar las matemáticas para resolver problemas, tienen que pasar por la experiencia de verlas surgir en el seno de la resolución de problemas.

Lo primero que hay que tener presente es que la aritmética elemental no necesita de los números negativos. No hacen falta para modelizar aritméticamente sistemas en los que intervienen deudas y haberes, temperaturas, etc. Este tipo de problemas se resuelven con mucha más economía de medios en el ámbito de los números naturales o racionales positivos.

Entonces, ¿por qué se inventaron?, ¿qué es lo que obligó a los matemáticos a ampliar el campo de los números positivos? La respuesta, sintetizando, está en el álgebra. Es allí donde la presencia de letras impide efectuar todas las operaciones y obliga a operar con términos que a su vez son operaciones indicadas. Pero las reglas de manipulación de estos términos desembocan rápidamente en reglas para operar con términos que hacen un papel de sumandos o sustraendos dentro de la expresión algebraica. Posteriormente la aparición de los sustraendos en las soluciones de las ecuaciones y las necesidades de establecer una teoría general de ecuaciones, por un lado, y de construir la recta real para dar paso a la geometría analítica, por otro, forzaron la aceptación de los sustraendos como nuevos números en un proceso histórico que duró alrededor de 1600 años. Por eso se trata de presentar los enteros en un entorno algebraico que verdaderamente justifique su necesidad.

La secuencia está estructurada en cuatro etapas, cada una con un objetivo (razón de ser). Las tres primeras están pensadas para 1º ESO, y la última para 2º ESO. No deja de ser algo orientativo y, por ejemplo, la tercera etapa podría situarse a caballo entre ambos cursos.

Un aviso: se invierte el recorrido escolar habitual en cuanto a notaciones. Así, la notación completa va al final, en lo que ya sería 2º ESO. Empezar enfatizándola, con expresiones del tipo $(-200)+(300)+(-100)+(-100)$ tiene su origen en un excesivo (e innecesario) formalismo.

Empezar con la notación completa y con las instrucciones que promueven suprimir el signo + predicativo, en lugar del signo + operativo binario, dificulta las prácticas habituales de cálculo. ¿Quién no ha oído lo de quitar signos y agrupar positivos y negativos por separado?

Todo esto es herencia de las denominadas matemáticas modernas. Ya no vemos teoría de conjuntos en primaria y ESO, como en EGB, pero la aritmética se algebrizó para siempre, centrando la atención en el estudio de estructuras. Por eso se ven los enteros en el bloque de aritmética.

Etapa 1

Aquí se trata de trabajar prácticas de cálculo económicas y justificar el quehacer algebraico, en paralelo. Se comienza aprendiendo cómo construir expresiones algebraicas, con problemas aritméticos en los que la solución ya no es un número, sino una expresión algebraica, porque alguno de los datos es desconocido.

Parece una tontería, pero lo anterior es una de las claves de la propuesta. Los literales representan variables desde el principio, no incógnitas. Esto escenifica mejor que estamos en un mundo nuevo. Hasta ahora las soluciones de los problemas eran numéricas. A partir de ahora podrán ser fórmulas que se convertirán en números cuando nos den el valor numérico del dato desconocido o relaciones entre expresiones algebraicas. Y más adelante el establecimiento de igualdades entre expresiones algebraicas nos permitirá encontrar el valor de una incógnita. Veamos el primero de estos problemas…

Laura se llevó sus cromos al colegio para jugar varias partidas. En la primera perdió 9 cromos y en la segunda ganó 7 cromos. ¿Cuántos cromos le quedaron después de jugar?

Las respuestas de los alumnos son variadas y dan pie a discusiones de aula muy ricas.

2 cromos.
No se sabe.
2 menos que al empezar.

Entonces el profesor les comenta que no siempre que se intenta resolver un problema se conocen todos los datos necesarios para resolverlo y que en ese caso se sustituyen los datos desconocidos por letras. Los alumnos discuten sobre qué letra utilizar y aparecen una variedad de soluciones:

$a – 2$
$c – 9 + 7$
Etc.

Esto plantea dos problemas a discutir en la clase: la equivalencia de las expresiones aunque se utilicen distintas letras, es decir, la convencionalidad de la letra, y la posibilidad de obtener la expresión $a – 2$ a partir de la expresión $a – 9 + 7$.

Esta última posibilidad no está nada clara para los alumnos porque para muchos de ellos $a – 9 + 7 = a – 16$, ya que interpretan los signos como operativos binarios, que es el significado que tienen en aritmética. El profesor interviene preguntando: si a una cantidad le tengo que restar 9 y después sumarle 7, ¿eso a qué equivale? Se inicia así el paso de una interpretación de los signos como operativos binarios entre números absolutos a una interpretación como signos operativos que indican que un número es un sumando o un sustraendo.

Se siguen planteando situaciones-problema donde la solución es una expresión algebraica.

Aquí los alumnos comprueban el interés de obtener una fórmula lo más simplificada posible y de utilizarla cuando se conoce el dato que falta. Los alumnos que obtienen la expresión p + 1 y la usan para rellenar la tabla acaban mucho antes que los que manejan una expresión menos simplificada o reproducen todos los cálculos para cada valor de la variable.

Y algo de problem posing (inventar problemas) que, por cierto, es algo sobre lo que ya hemos hablado alguna vez y que tiene un potencial enorme.

En la primera etapa se sigue aprendiendo cómo simplificar expresiones algebraicas. Se plantean situaciones como las siguientes:

Otro ejemplo. A la hora de simplificar esta expresión:

$45 - f + g - 10 + 500 + f - 500 + 19 + 27 - 19$

Nada de ir en orden ni de separar positivos y negativos. Hay que inspeccionarla entera, y ver si se está sumando y restando el mismo número o cantidad. Las técnicas de cálculo algebraico no son algorítmicas, exigen toma de decisiones para realizarlas de la forma más económica posible. Po eso se pide a los alumnos que lean toda la expresión antes de tomar decisiones y que busquen la manera de hacer cálculos sencillos.

Etapa 2

El objetivo ahora es pasar del significado aritmético de la resta como sustracción al significado algebraico de la resta como diferencia y del significado operativo generalizado de los signos + y - al significado operativo unario.

En otras palabras, va a quedar establecida la estructura aditiva de sumandos y sustraendos. Se comienza con situaciones para aprender a comparar expresiones algebraicas. Veamos cómo es el primer problema, cuya estructura semántica está pensada a propósito…

Javier tiene cierto número de cromos, Carmen tiene cinco más que Javier y Carlos el doble que Javier. Si Javier y Carmen juntan sus cromos, ¿tendrán entre los dos más o menos cromos que Carlos? ¿Quién tiene más cromos, Javier, Carmen o Carlos? ¿Y quién tiene menos?

Que puede resolverle teniendo en cuenta el trabajo realizado en la etapa anterior. Javier tiene $a$ cromos. Por lo tanto, Carmen tiene $a+5$ y Carlos $2a$. Entre Javier y Carmen tienen $2a+5$, que son 5 cromos más que los que tiene Carlos. zº Tras unos problemas profundizando en esto, se plantean tareas como estas.

La etapa termina aprendiendo a encontrar la diferencia entre expresiones algebraicas. Las primeras tareas en este sentido se apoyan en un trabajo sobre cálculo mental que suele ser inexistente y que habría que reforzar.

Digo que habrá que reforzar si vemos a principio de curso que hay dificultades, por ejemplo, para hacer 567+99, donde lo ideal es sumar 100 y luego restar 1. O para hacer 67-29, que se puede hacer restando 30 y sumando 1.

Si se ha trabajado bien lo anterior, el siguiente ejercicio se puede realizar leyendo las expresiones.

Y eso da paso a una de las tareas clave donde, observemos, que no se ha hablado de deshacer nada. Solo de leer expresiones y analizarlas. Eso es lo que permite decir que restar $(a-b)$ es lo mismo que restar $a$ y sumar $b$. Ahí tienes la regla de los signos.

Y es algo que se formaliza de la siguiente manera:

Más tareas que obligan a reflexionar qué hacer con los paréntesis.

Etapa 3

El objetivo es introducir la estructura multiplicativa de sumandos y sustraendos. Comienza con situaciones para aprender a multiplicar expresiones algebraicas.

El trabajo de los alumnos consiste en trabajo por parejas o pequeños grupos… y puestas en común.

Etapa 4

Ya en 2º ESO, tras un recordatorio de lo realizado, es donde se aceptan los sumandos y sustraendos como nuevos números que amplían los conjuntos numéricos ya conocidos. Se recuperan situaciones ya vistas anteriormente, pero ahora el dato desconocido puede tener uno u otro sentido. Esto obliga a incluir la consideración de sumando o sustraendo en los valores numéricos que puede tomar la letra.

Hasta ahora las letras tomaban siempre valores absolutos, pero en el ejemplo aparecen dos fórmulas distintas: –2 + a o –2 – a, según que a sea una ganancia o una pérdida. Para poder unificar las fórmulas es necesario admitir que una letra puede tomar valores positivos o negativos. También ahora aparece por primera vez un sustraendo aislado como solución de un problema.

Se reinterpreta la estructura aditivo-multiplicativa de sumandos y sustraendos en términos de estructura numérica.

También se establece la estructura ordinal.

Ahora ya tenemos razones para considerar a los sumandos y sustraendos como nuevos números: pueden ser solución de un problema, las letras pueden sustituirse por ellos y se pueden definir operaciones y un orden entre ellos. Son los números enteros.

Una vez establecido el carácter numérico de sumandos y sustraendos se introduce la notación completa.

A todo esto, ¿qué es un número? También se atiende a esto y se revisan las propiedades que caracterizan la condición de número, con actividades de este tipo.

Nótese que solo he puesto alguna actividad ilustrativa. Como se ha podido ver, espero, una de las claves está en empezar a trabajar los literales como variables, en lugar de como incógnitas. Y en cambiar el orden habitual de la secuencia.

¿Está “mal” entonces usar modelos concretos con los enteros? Depende de muchos factores. Por eso, la respuesta a la pregunta de si la didáctica debe tener un carácter prescriptivo, dictar normas, es tan compleja. Sí y no. Up to you.

En mi opinión, lo que sí que está mal es, si elegimos un modelo, no reflexionar sobre los obstáculos que genera. Porque las dificultades de los alumnos pueden tener que ver tanto con la naturaleza del objeto a enseñar como con nuestras elecciones como profesores.

También es éticamente cuestionable no tener en cuenta los conocimientos de partida de los alumnos y plantear nuestras clases como un proceso de negociación de significados. Pero ese es otro melón, más complejo si cabe.

Por cierto, ya que estamos de confinamiento. Este tipo de propuestas no pueden hacerse a distancia. A nosotros nos ha pillado justo cuando íbamos a empezar en 1º ESO con esto. Hemos decidido tirar por geometría a partir de lo que ya conocen o deberían conocer.

El curso que viene la idea es centrarnos más en el trabajo algebraico. Para allanar el camino, continuamos trabajando estrategias de cálculo mental orientadas a la secuencia de enteros, con cuestionario como este. ¿Te animas a hacerlo?

Formulario

Estos son los resultados que hemos obtenido en nuestro 1º ESO para el cuestionario anterior. ¿Sorprende ver cuáles son las preguntas que más han fallado?

La tesis de Eva Cid, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos, del año 2015, está disponible en este enlace. En los anexos va la propuesta de aula completa (aquí solo he puesto retazos).

Y hasta aquí. Si has seguido los tres actos, mi gratitud. Y mi más sincera enhorabuena, porque creo que han sido densos. Te dejo en spoiler que tengo un entreacto, pero ya para la semana que viene.

¡Feliz clase!

Agradecimientos

Esta versión de los hilos de twitter sobre los enteros ha contado con las inestimables sugerencias de Eva Cid.

La mediatriz a través de la resolución de problemas

Sun, 12 Apr 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Eres profe de mates y toca introducir “la mediatriz”, digamos en 1º ESO. Elige tu propia aventura.

A. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

B. Coloca 5 o 6 puntos en el mapa que estén a la misma distancia de dos amigos.

Si has optado por A, has elegido una enseñanza PARA la resolución de problemas. En principio, ahora toca explicar el procedimiento para dibujarla y, después, plantear unos ejercicios para ver si el alumnado ha “entendido”.

Estos ejercicios pueden ser, dados dos puntos A y B por sus coordenadas, trazar el segmento que los une. Luego, pueden venir ejercicios de aplicación, tal vez problemas.

Por ejemplo: si m es la mediatriz del segmento AB y C es un punto de la recta m, ¿cuál es la distancia del punto C al punto A, sabiendo que la distancia de C a B es 4 cm?

Por supuesto, aquí, una muestra variada de situaciones enriquecerá algo la propuesta. Pero veamos qué pasa si optamos por la B.

La opción B forma parte de una enseñanza a través de la resolución de problemas. Que, como ya hemos dicho aquí, no es dejar al alumnado en la selva. Hay descubrimiento guiado, y hay un andamiaje.

Se les proporciona a los alumnos un geogebra con un mapa y dos puntos fijos. Sin ejes ni cuadrícula. No cuesta nada maquearlo para su localidad ( enlace a ggb).

Ana y María están en los puntos de la localidad que tienes marcados en la foto. Tienes que encontrar varios puntos (al menos cuatro) que estén a la misma distancia de las dos. Puedes comprobar las distancias midiendo con Geogebra. Marca los puntos en la hoja.

Esta actividad puede servir como introducción a geogebra. Colocar puntos, medir, arrastrar…

Una vez que tienes situados al menos cuatro puntos, contesta:

¿Qué tipo de forma o figura se formará al dibujarlos todos?
¿Podrías encontrarlos todos?

¿Qué nombre recibe el conjunto de puntos que has encontrado?
Escribe una definición de este conjunto de puntos.
¿Podrías escribir otra definición diferente?

Observemos que, hasta ahora, a los alumnos no se les ha mencionado el nombre de “mediatriz”, ni siquiera está en el título. Sin embargo, en la pregunta 3 ya aparece. Es posible que algún alumno lo conozca y asocie esta actividad con algo anterior.

Atención a las preguntas 4 y 5. En lugar de dar una definición, no se da ninguna. Y no contentos con eso, preguntamos por otra definición. ¿Estamos locos?

Para nada. Aquí la idea es que surjan dos definiciones. Una, relacionada con el significado de mediatriz como lugar geométrico, que es lo que subyace intuitivamente en la tarea. Ejemplo de respuesta: “Es la recta que tiene puntos que están a la misma distancia de otros dos”.

Otra, relacionada con alguna propiedad. “Es la recta que divide en dos partes iguales a un segmento”. Aquí se les suele olvidar el adjetivo perpendicular. Ocasión de oro para hablarlo en el aula.

Pero también hay respuestas curiosas, e interesantes por lo que nos cuentan acerca de las creencias de los alumnos. Alguno, ante la pregunta de si hay otra definición, dice que no. Que solo hay una. Claro. Ya.

En las puestas en común, el profesor puede institucionalizar el lenguaje. Así, puede hablar, explícitamente, de lugar geométrico. La diferencia está en que venimos de verlo intuitivamente y solo hay que poner nombre a las cosas

Es muy importante captar la esencia de recta como lugar geométrico. No es trivial. Que luego vienen esas dificultades para identificar la solución de un sistema como punto en común de dos rectas.

Vamos con la segunda tarea. Se vuelve a trabajar con el mismo archivo ggb. Y se les pide repetir la tarea, pero utilizando la herramienta “mediatriz”.

Tercera tarea. Ahora lo mismo, pero con tres amigos ( enlace al ggb).

Preguntas que se hacen.

¿Cuántas rectas has empleado para hallar ese punto? ¿Cómo se llaman?
¿Podrías haber determinado el mismo punto con menos rectas?
¿Podrías haber determinado el mismo punto con más rectas?

Las preguntas dos y tres son para discutir si hacen falta dos o tres rectas. Con dos es suficiente, claro. Hay que argumentar por qué.

Cuarta tarea. Institucionalizamos ese punto que está a la misma distancia de los tres amigos. Se llama circuncentro (el nombre se dice, pero no es lo más importante) y podemos dibujar una circunferencia (llamada circunferencia circunscrita) que pase por los tres.

Observemos que, cuando decimos que la enseñanza a través de la resolución de problemas permite atender a la diversidad, tiene que ver con esto. Hemos empezado con algo muy intuitivo. Y poco a poco vamos introduciendo todo el contenido matemático. Las formalizaciones, además, llegan después de trabajar las ideas, y no suponen un obstáculo. Lo fundamental aquí es seguir enfatizando la idea de lugar geométrico.

Quinta tarea. ¿Qué ocurre con el circuncentro cuando el triángulo que forman los tres amigos es acutángulo? ¿Y si es obtusángulo? ¿O rectángulo? Prueba a mover los puntos. Aquí se pasa el ggb con los puntos sin fijar ( enlace al ggb).

Maravilloso. Geogebra para explorar y conjeturar.

Sexta tarea. ¿Qué ocurre si añadimos un cuarto amigo? ¿Te valdría el circuncentro como punto a la misma distancia de los cuatro?

Séptima tarea. ¿Puedes encontrar el circuncentro (punto a la misma distancia de todos los vértices) en el caso de que los cuatro amigos formen las siguientes figuras? Cuadrado, rectángulo, trapecio isósceles, trapecio rectángulo.

Se les proporcionan los ggb de cada figura. Tienen que hacer las comprobaciones abriendo el archivo correspondiente y construyendo el circuncentro, cuando sea posible.

- Cuadrado. - Rectángulo. - Trapecio isósceles. - Trapecio rectángulo.

Octava tarea. Más problemas. ¿Puedes encontrar dónde puede estar el tercer amigo si tenemos como dato la ubicación de dos de los amigos y el circuncentro del triángulo formado por los tres? Se vuelve a proporcionar un ggb. Es importante dibujar y justificar el razonamiento ( enlace al ggb).

Novena tarea. Trata de encontrar el circuncentro sin hacer uso de la herramienta “mediatriz”.

Terminando. Recordad que veníamos de elegir la opción B (a través de la resolución de problemas), que he desarrollado a lo largo de todo el hilo.

Una actividad relacionada con el significado de mediatriz como lugar geométrico es trazar la mediatriz en geogebra, sin hacer uso de la herramienta “mediatriz”. Pero no hacerlo y ya, sino argumentar por qué se traza tal o cual arco.

Por ejemplo: trazo este arco desde este punto para encontrar todos los puntos que están a la misma distancia de él. Ahora, trazo este otro arco desde el otro punto, para ver cuántos… Y el corte está a la misma distancia de ambos…

Aquí se plantea en la tarea 9, pero debería ser el núcleo de otra actividad, donde se enfatice el porqué del procedimiento de construcción de la mediatriz.

Todo esto viene de una práctica que se hace desde hace tiempo en el área de Didáctica de la matemática de la Facultad de Educación de Zaragoza, en Didáctica de la geometría, en Magisterio de Educación Primaria. También la tratamos en el máster de ESO.

El otro día, con @lolamenting comentábamos la actividad que hay en Desmos sobre la mediatriz, y cómo la introducían ahí. Con esto cumplo mi autopromesa de escribir sobre el tema 😊.

Hasta aquí, que hacía mucho que no me daba por hacer un hilo de estos. Espero que lo hayáis disfrutado.

Y bueno, si os interesan más propuestas a través a resolución de problemas, las voy dejando en el tuit fijado de mi perfil o en mi blog.

Datos, operaciones, solución

Sun, 08 Mar 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. De nuevo, en este, sobre todo, son interesantes las respuestas al hilo y el debate que surgió.

A ver si hay tema con esto. ¿Os animáis?

Parece que hemos tocado un punto sensible. Y el ambiente está animado, pero estoy viendo que se están diciendo cosas muy interesantes. Para mí, esto forma parte del mal (mal o bien depende de cómo veamos las matemáticas).

Luego sintetizaré aquí mi punto de vista, pero ahora voy a bucear por las respuestas. Desde ya, quiero agradecer especialmente a los que empleáis esta estructuración y habéis aportado vuestros motivos. Siempre ganamos con estas discusiones.

Para los que no tienen el gusto de conocer la rejilla (@jjcanido 😉), implica que el alumno busca los números del enunciado, los pone donde indica “Datos”, elige una operación y la hace en “Operaciones” y escribe el resultado en “Resultado”.

Lo que no esperaba yo es que esto llegase a ser asunto de claustro. Veo que hay coles que han aprobado que TODOS los “““““problemas””””” (no hay comillas suficientes) se hagan así. En el hilo ya hay respuestas muy interesantes, y si llegáis ahora os recomiendo disfrutar de ellas.

Para poder decir que una cosa de estas está bien o está mal, tenemos que tratar de responder a preguntas del estilo:

¿Qué son las matemáticas para mí?
¿Qué matemáticas quiero que aprenda mi alumnado?
¿Cómo consigo que mi enseñanza sea coherente con lo anterior?

Y no, no todos vamos a responder lo mismo. Simplificando, y usando la denominación de Skemp, hay profesores:

Relacionales.
Instrumentales.

Desde los trabajos de McLeod en los 80 sobre dominio afectivo en educación matemática se ha investigado mucho.

Así, hay profesores que se declaran instrumentales, y lo son; profes que se declaran relacionales, y lo son; y profes que se declaran relacionales, pero que atendiendo a su práctica, son instrumentales en su didáctica. Cosa que puede tener que ver con su visión de la matemática.

Vamos, un lío. A lo que iba, la rejilla se ubica en una visión de las matemáticas muy instrumental, tanto en la concepción de estas como de su enseñanza. Si es lo que buscas, ok, pero puede que no estés haciendo problemas en clase de mates. Y el currículo habla sobre ellos.

¿Qué pasa si el problema no tiene datos numéricos?
¿Y si no tiene solución?
¿Y si la solución no es un número?
¿Y si no sé la operación ya no hago nada? ¿Me la juego?
¿Y los dibujos o representaciones gráficas?

Esa rejilla no es una ayuda para ningún alumno. Si pensamos en ella para los alumnos con dificultades, estamos errando. Forma parte del “vamos a disimular que estamos haciendo mates”. Os pongo un enunciado, extraéis los números, operáis, y me escribís el número que sale.

Hay otros tipos de apoyos, de los cuales, además, se beneficia todo el alumnado. Manipulables, menos carga simbólica de entrada, representaciones gráficas, etc.

En 1º EP tampoco es adecuado. Menos, si cabe. Aunque menos que cero… ver link.

Puede que esto de la rejilla venga de una malinterpretación y simplificación del modelo de Polya sobre resolución de problemas. Modelos han surgido unos cuantos, y esto de la rejilla solo tiene en común con ellos una cosa: que tiene fases.

¿Entonces qué hacemos? No es dejarlos en la selva, no, va a haber un andamiaje y un trabajo de fondo. Algunas claves:

Quiero trabajar la comprensión del enunciado. Entonces puedo preguntar ¿qué sé? ¿qué puedo saber? ¿qué puedo usar? ¿qué tengo que averiguar? (Mason, Bruton y Stacey). Traducir a tus propias palabras, resumirlo, describirlo a un compañero…

Si una fase se llama “Operaciones”, inculcamos la creencia de que hay que elegir esas operaciones y ya.

Y a esos alumnos luego les supone un choque cultural el utilizar representaciones gráficas, verbalizar mínimamente su proceso de razonamiento, etc. Cuesta mucho trabajo sacarlos de ahí.

Ya lo dejo. Que hay interacciones muy buenas por el hilo. Algunas referencias para introducirse en esto del dominio afectivo. Este artículo

El libro de Vila y Callejo “Matemáticas para aprender a pensar”, que ya he recomendado anteriormente enlace.

Y otra referencia que había puesto en alguna respuesta. “La resolución de problemas de Matemáticas en la Formación inicial de profesores de Primaria”, un libro disponible en la web de la @_SEIEM, aquí.

Inventamos un problema sobre fracciones desde el modelo de medida y lo resolvemos de dos formas

Wed, 05 Feb 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Estoy terminando de corregir el examen de magisterio de primaria (Didáctica de la Aritmética II). En una pregunta, se pide inventar un problema desde el modelo de medida que se resuelva con $\cfrac{3}{4} : 6$. Después, resolverlo de dos maneras. Una, pasando por $\cfrac{1}{24}$, y otra, sin pasar.

Un enunciado adecuado sería:

“Tengo una jarra con $3/4$ litro de leche en la nevera y me la bebo a lo largo de seis días. ¿Cuánta leche bebo cada día si cada día tomo la misma cantidad?”

Es adecuado, la fracción está en un contexto se medida, hay una magnitud muy clara (capacidad) con unas unidades (litros). Y se pregunta por una cantidad de magnitud. Tecnicismos que darían lugar para otro hilo. Centrémonos en el problema: ¿sabes resolverlo de las dos maneras?

Además de lo ricas que son estas tareas de inventar problemas, es una competencia necesaria en los futuros docentes de cualquier nivel. No sigas leyendo. Ahora, resuelve la operación $\cfrac{3}{4} : 6$, pasando por los veinticuatroavos (de litro) y sin pasar por ellos.

¿Ya lo tienes? Bien. Casi nadie ha tenido problemas en hacerlo pasando por $\cfrac{1}{24}$. Claro, si ves que es una división, y te acuerdas del truco de poner un uno debajo del 6 y que esto va en cruz… $\cfrac{3}{24} : 6 = \cfrac{3}{24}$ de litro. Que si lo simplificas (no todos lo hacen), da $\cfrac{1}{8}$ de litro.

Me alegra ver que bastantes alumnos de los que venían habitualmente a clase han desarrollado un poquito su sentido numérico para encontrar la forma de evitar los veinticuatroavos.

Pista. Un niño de primaria que no sepa “dividir” fracciones por un número natural, pero con sentido numérico, es capaz de resolverlo. Basta saber que un cuarto son dos octavos. Inténtalo.

Porque entonces los tres cuartos se convierten en seis octavos de litro. Que tomados a lo largo de seis días, tocan a un octavo de litro por día.

Y he preferido escribir el discurso de palabra, porque así es de lo más tonto. Pero es un ejemplo de uso del sentido numérico. Y muestra la potencia y la necesidad de realizar actividades y tareas de medida con diferentes magnitudes en primaria.

Actividades para ver si sabemos contar

Sun, 15 Dec 2019 00:00:00 +0000

El problema de los triángulos

¿Cuántos triángulos pueden verse en el dibujo? Los triángulos deben tener sus lados sobre las líneas del dibujo.

La solución a este… aquí:

El problema de los cuadrados y de los rectángulos

¿Cuántos cuadrados pueden verse en el dibujo? Los cuadrados deben tener sus lados sobre las líneas del dibujo. ¿Y si contamos cuántos rectángulos?

Nota: un cuadrado es un rectángulo con los lados iguales.

Una propuesta para números en 1º y 2º de ESO

Wed, 11 Dec 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Más cosas sobre números que hemos hecho en 1º y 2º de ESO en una enseñanza a través de la resolución de problemas. Sobre sistemas de numeración, estimación, potencias… Hilo #AcRiMates

En esa actividad les indico que los símbolos egipcios fueron variando según las épocas. También tienen los chinos y los hindúes.

Las tareas consisten en interpretar esos ejemplos y responder a las siguientes preguntas, que enfatizan el uso de símbolos para representar números. De paso, potencias naturales.

Son pequeñas tareas en las que el alumnado tiene la responsabilidad de ponerse a trabajar sobre ellas. Sin más explicación que la consigna de la tarea. ¿Quién no sabe “contar” en 1º de ESO? ¿Quién no puede ver que una flor de loto egipcia vale mil?

¿De verdad no se ve en el ejemplo que los chinos no ponen 7 veces el símbolo del 10000, sino que ponen su símbolo del 7 y después el del 10000, una sola vez? ¿O que los hindúes del s. III aC no tenían el cero?

Sin embargo, hay dificultades, ¡claro que las hay! Las espero, de hecho. Porque no están acostumbrados a pensar en clase. Y este tipo de tareas rompe el contrato didáctico establecido, que no es otra cosa que la creencia de cómo debe ser una clase de mates.

Esta creencia está perfectamente descrita en la p.98 del libro “Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas” (@Matias_ArceSan, @Lau_Conejo y JM Muñoz) :

«Que el profesor debe debe presentar los hechos, reglas y procedimientos para aplicar en las actividades, y que, especialmente en los estudiantes con bajo autoconcepto, el aprendizaje de las matemáticas se liga a la memorización de estos hechos y procedimientos y la repetición rutinaria de actividades prototípicas.»

¿Qué hacemos entonces cuando vamos con este enfoque a una clase habituada a otra cosa? No voy a volver a insistir. Relentless consistency.

Otras tareas que hemos hecho y que implican pensar. Parece increíble cómo van surgiendo cada vez más alumnos que aportan razonamientos, tanto en la puesta en común como en su trabajo de cuaderno.

En el primero, solo hay que hacer cuentas para comprobar.

Tiene que ser base 9. Base 8 o menos no puede ser, porque aparece el 8. Y 11 tampoco porque las cifras son más grandes…

Para el segundo. Basta con probar las tres únicas posibilidades.

No me he inventado este tipo de tareas. Para nada. Estas actividades están sacadas de prácticas que hacemos en magisterio en @FacultadEducaUZ (Rafael Escolano, Eva Cid) y del libro Números y algoritmos de Gairín y Sancho.

Esta me encanta. Anda, si para hacer el 60 vuelven a utilizar el símbolo del 1. ¿Qué magia es esta?

Pero lo han puesto en otro sitio…

Y cuando en la discusión ves que al principio dicen aditivo pero que luego hay algo raro… ves que las cosas van bien. ¡Es la posición lo que me permite reutilizar los dos símbolos!

No es tan raro. ¿Cuántos segundos hay en 33 horas, 10 minutos y 2 segundos? 😉 Pues eso, los 119492 que hemos sacado en la tarea de antes.

Por cierto, gracias @followero por este regalo. Lo he puesto en alguna clase para discutir, entre todos, que no leemos los números igual que los escribimos. Leemos incluyendo un principio multiplicativo-aditivo (y cosas más raras) y escribimos simbólicamente en posicional.

En algún grupo, con más calma y porque surgió así. Cosas curiosas y divertidas.

Al mismo tiempo, cálculo mental y juego del 24 (en este último, obligatorio escribir bien la operación con sus paréntesis y su sintaxis).

También hemos trabajado la actividad de estimar cuántos granos de arroz hay en cierto recipiente, que ya comenté en su día.

Estrategias distintas que siempre dan lugar a charlas de aula muy interesantes.

Esto del arroz, es una tarea abierta, rica y abre una puerta que terminaremos de cruzar cuando lleguemos a proporcionalidad. Y me permite, por raro que suene, empezar a ver qué saben sobre divisibilidad vía los esti-misterios de @SteveWyborney

En 2º, para lo de las potencias de exponente negativo, que es algo que cuesta comprender. Lo hemos abordado de esta manera, intentado conectar diferentes representaciones simbólicas.

Y en 1º ESO, ahora estamos terminando unas tareas con policubos sobre divisibilidad. Ahora sigo con unas reflexiones, que se me acaba la tinta… —–>

Por si alguien tiene curiosidad, veníamos de hacer actividades de este tipo. Todo muy conectado.

Vamos terminando el hilo con alguna reflexión. Ayer nos reunimos unos cuantos profes de la @SAPMciruelos para discutir sobre el currículo de bachillerato. Y discusión hubo poca.

Es un problema grave que muchos estudiantes con 13 y pico de media lleguen a carreras tecno-científicas sin una mínima actitud matemática. Reflexionar sobre el resultado de un problema, ver si es posible o no, atacarlo de alguna manera, etc.

Igualmente inconcebible es que estudiantes en el otro polo del rendimiento académico salgan sin esa misma formación. Que luego nos echamos las manos a la cabeza con ciertos fenómenos. Siempre hay objetores, claro.

Sí, tal como está la EvAU (con v en unos sitios y b en otros) lo que se pide es una instrucción a base de recetas en un bachillerato con un currículo muy extenso y poco profundo. Pero es que a la ESO no llega la sombra de esa prueba y pasa lo mismo. Y en Primaria, también.

Si sumas la Primaria y Secundaria son diez años en donde algo se podría haber hecho, digo yo. Que luego, tal como están las cosas, vienen dos cursos bastante desaprovechados por el carácter de la EvAU… vale. Pero no echemos balones fuera todo el rato.

Lo de teoría->ejercicios->“problemas” hace que la mayoría de la clase esté con encefalograma plano gran parte del tiempo de clase. Mandar la teoría a casa tampoco es solución. Que no pasa nada por hacer algo que se salga del libro de texto. De verdad, no son el currículo.

Le he oído decir a @dsierraruiz decir, con razón, que los libros de 1º y 2º son, muchas veces, indistinguibles. Tanto, que puedes ir con el de 1º a 2º sin darte cuenta y no pasar nada. Por otro lado, se siguen tan al dedillo en tantos sitios que puedes saber con una elevada probabilidad lo que están haciendo en cualquier aula en cierto momento del año. Que una cosa es en espiral y otra en círculo. 🔚

¿Sabemos contar en primero de ESO?

Sat, 07 Dec 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Esto va de contar puntitos. En 1º de ESO. Lo que pasó a continuación os sorprenderá. Mini hilo #AcRiMates

Se enmarca dentro de las primeras tareas sobre números que hemos hecho. Sigue siendo enseñanza A TRAVÉS de la resolución de problemas, que después de los hilos de probabilidad y estadística he tenido que escuchar “es que ese bloque se presta mucho, pero el de números…” 🤦🏻‍♂️

Antes de esto hicimos tareas de conteo. El título… “¿Sabemos contar?”, que me sirve para sonreír y escribir en algunas hojas ese NO, cuando se ve que a cada grupo le sale un número y que nadie tiene la respuesta correcta.

Se trata de elaborar una estrategia que me facilite contar todos los triángulos, sin dejarme ninguno y sin contar alguno dos veces. Eso es lo que hay que plasmar y es lo que les valoraré en la prueba escrita.

Decía que el visor de documentos que vengo usando desde hace unas semanas me parece brutal. Permite cosas como las capturas que voy haciendo y que comparto con mi alumnado, y maravillas como esta (lleva spoiler si queréis intentar lo de los triángulos).

Son actividades que se sugieren en el libro Números y algoritmos de J.M. Gairín y J. Sancho, de la Editorial Síntesis. Recuerdo que ese libro aborda también la enseñanza del racional.

Vamos al punto de inflexión: la tarea con la que comenzaba el hilo. Ahí tienen que hacer agrupaciones, de 4, de 6, de 10 o de 12, según el caso. E ir escribiendo lo que sobra en la casilla de la izquierda. Ellos tienen unas instrucciones más detalladas que comentamos en clase.

Una vez han terminado viene la pregunta que, a mi juicio, nos tiene que llevar a reflexionar mucho como profesores. … …

¿Cuántos puntitos hay en esos rectángulos?

Y ves que todos (con muy, pero muy pocas excepciones) se ponen a contar de uno en uno. Cuando tienen esto delante de sus narices:

Aunque oye, mucho mejor entrar con la “teoría” y luego hacer unos ejercicios, claro. Esto es una captura de un best seller de 1ºESO. Anda que no habrán hecho de esto en primaria.

¿Parece una pregunta para ir a pillar? Creo que no. Han estado agrupando en decenas y centenas. Ellos. Y si no son capaces de decir que hay 127 después de haber hecho esas agrupaciones, es que nos tenemos que plantear muchas cosas.

Ahí es donde les indico que ya las han contado. Esas anotaciones indican lo que estamos haciendo. Un grupo de diez de diez, más un grupo de diez más siete unidades sueltas.

También nos hemos entretenido escribiendo números con agrupaciones como si fuésemos extraterrestres con cuatro dedos, seis dedos y doce dedos. Que ya lo hemos hecho contando puntitos, pero ahora escribimos.

He aquí una pequeña improvisación.

¡Hicimos algo parecido con vasitos en el cole!

Vamos bien, haciendo conexiones.

Tenemos que aprovechar este bloque de números para ganar en comprensión del sistema de numeración posicional y de los usos de los números.

Perdón por el clickbait del principio, pero a mí, por lo menos, siempre me sorprende. Y me hace reflexionar. Tanto si lo hago en ESO como en la práctica de magisterio de la que procede la actividad (créditos para Rafael Escolano y Eva Cid).

Dejo los hilos que creo que merecen la pena en mi perfil. Aquí pongo enlace al anterior, sobre la enseñanza de la dispersión. A través de la resolución de problemas.

Unas jugadoras de basket no tan parecidas (enseñanza de la dispersión)

Sun, 10 Nov 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Partido de basket. Queda un minuto y el entrenador tiene que decidir a qué jugadora sacar. ¿A quién elegirá?

Si va perdiendo de 8 puntos.
Si va ganando de 2 puntos.

Dentro hilo con secuencia de aula sobre dispersión con pinceladas de didáctica de las matemáticas.

Con este hilo participo en el #HilosDC6.

Esto de la dispersión nos servirá como excusa para diferenciar una enseñanza para la resolución de problemas de una enseñanza a través de la resolución de problemas. Y esto sirve tanto para primaria como para secundaria.

Por ubicarnos, las medidas de dispersión aparecen como contenido curricular por primera vez en 2º ESO (13-14 años). Luego hablaremos sobre currículo, libros de texto y otras cosas del montón. Ahora, me centraré en presentar la secuencia de aula

A ver si vais a pensar que soy super original. No. Esta actividad que voy a contar está sacada prácticamente tal cual de la Guía Praxis, que fue coordinada por Carmen Azcárate y Jordi Deulofeu. Lo que he hecho simplemente es darle una razón de ser con las preguntas iniciales.

¿Se podría decir que es innovación? Yo creo que sí, aunque tiene tela decir que sigue siendo innovación algo sacado de una guía de finales de los 90. Pero es que queda mucho por hacer. Y vamos a usarla también para hablar de resultados de investigación.

Esto lo he hecho este curso en una clase de 2º ESO donde ya empiezan a estar habituados a trabajar A TRAVÉS de la resolución de problemas. Lo ideal aquí es tener al alumnado en parejas o grupos de hasta cuatro.

Luego profundizaré en eso de A TRAVÉS y las alternativas que hay. De momento, basta decir que se trata de presentar tareas (situaciones-problema) al alumnado, de manera que los contenidos emerjan conforme se avanza.

Podría decirse que es una enseñanza de descubrimiento guiado. Ello no implica dejar a los alumnos solos, sino que se para la clase cada cierto tiempo para hacer puestas en común y que el profesor negocie los significados de los objetos matemáticos que van apareciendo.

La tarea que va a motivar todo es la del primer tweet. Es una decisión que debe tomarse considerando los datos disponibles. ¿Sacamos al mismo tipo de jugadora cuando vamos ganando por poco que cuando el partido está prácticamente perdido, pero con alguna posibilidad de ganar?

¿Y qué datos son esos? Nada más que el porcentaje de aciertos de tiro exterior de cinco jugadoras durante los últimos diez partidos. Es decir, esta tabla. ¡Cuánto número! Algo habrá que hacer…

Aquí se puede mencionar cómo ha cambiado el baloncesto en los últimos años, y por qué equipos como los Golden State Warriors tiran tantos triples (y les ha ido bastante bien).

Primera pregunta, para entrar en calor y ver que hemos entendido el contexto. Y que va a tener miga. ¿En qué partidos consigue Alba un % por encima de sus compañeras? ¿Solo en los que sea la mejor de todas? ¿O en los que esté por encima de la media?

Ya que hablamos de la media, ahora vamos a calcular la media de los porcentajes de acierto para cada jugadora. ¿Qué observamos? Pues que todas las jugadoras… ¡tienen la misma media!

¿Qué hacer? El entrenador está en un aprieto… Ya que tenemos datos, vamos a tratar de representarlos gráficamente, a ver si con eso podemos decir algo. Se les proporciona a los alumnos el diagrama de puntos de una jugadora y se les deja trabajar y discutir a qué jugadora sacar.

Resulta que visualmente no se aprecia cuál es más regular, más fiable. En la puesta en común unos grupos defienden a Clara, otros a Sonia… Seguimos necesitando algo más.

En estas puestas en común a veces pasan cosas maravillosas. En un grupo decidieron emplear un código de colores y mostrar a todas las jugadoras en el mismo diagrama de puntos. Discutimos sobre si es más adecuado o no. Parece que se ve más claro por separado.

Sin embargo, tiene la ventaja de que te asegura la misma escala para todas las jugadoras. También, que los diagramas estén alineados para facilitar la inspección visual. En la foto vemos este error de representación.

Vamos ahora a medir, esto es, a asignar un número a cada jugadora, a cada uno de los diagramas de puntos. Lo más fácil es calcular la anchura. Esto se llama rango. ¡Todas lo tienen muy parecido! María, quizás, un poco más alto…

Pero… ¿qué pasaría con una jugadora que durante 8 días encestase el 58% de los tiros, pero un día le saliese malo y tuviese un 31% y otro día hiciese un gran partido con un 75% de acierto? ¿Cuál es su rango? ¿Su diagrama de puntos? ¿Es más o menos fiable que las anteriores?

Si lo comparamos con el de Sonia, por ejemplo, vemos que el de la nueva jugadora está mucho más concentrado en torno a la media, salvo esas dos excepciones. El de Sonia está más extendido. Atención a los gestos que hacen las jugadoras en los gifs.

Está claro entonces que el rango se queda corto y que necesitamos una medida mejor de la dispersión. No puede ser que una jugadora que tenga un rango de casi el doble sea más regular, fiable, menos dispersa. El rango, como medida, es una castaña.

El lenguaje, en sentido amplio, no solo verbal, es un elemento muy importante en todos los marcos teóricos en didáctica de la matemática. La articulación de diferentes registros y representaciones lingüísticos (verbal, gráfico, simbólico…) en indicador de una alta idoneidad.

Los gestos no son una excepción y son parte de la actividad. Abriendo o cerrando los brazos, como en los dibujines, damos una idea de rango y dispersión. De hecho, los gestos ocupan un lugar de privilegio en enfoques teóricos como el Semiotic Bundle.

A lo que íbamos, necesitamos algo mejor que el rango. Así que planteamos medir las desviaciones de cada jugadora respecto a la media. Sin embargo, al sumarlas ocurre algo ¿inesperado?

Digo que puede ser inesperado si no se trabajan las propiedades de la media en 1º ESO o antes de esta secuencia. En 1º hemos visto cómo hacer un diagrama de barras buscando cierta media. Es el principio de las gallinas que entran por las que salen.

«Un anuncio de cajas de cerillas indica que el número medio de cerillas por caja es 35. Representa una gráfica de una posible distribución del número de cerillas en 10 cajas, de modo que la media sea igual a 35»

«La altura media de los alumnos de un colegio es 1,40. Si extraemos una muestra aleatoria de 5 estudiantes y resulta que la altura de los 4 primeros es de 1,38, 1,42, 1,60, 1,40. ¿Cuál sería la altura más probable del quinto estudiante?»

Estas dos últimas actividades se han seleccionado de los apuntes de Análisis de datos y su didáctica, de Batanero y Godino. En esta referencia se muestran tipos de actividades para englobar las diferentes propiedades de la media.

Por cierto, estas capturas las estoy tomando con un visor de documentos. Desde que vi los tweets de @followero al respecto no hago más que verle potencial. Así puedo mostrar la producción de un alumno a todos y corregirla en vivo, o explicar sobre mi cuaderno, entre otras cosas.

Volviendo al lío. La suma de las diferencias respecto de la media sale cero para cualquiera de las jugadoras. Es una propiedad de la media. Tiene sentido, pues, considerar la distancia a la media. Y hacer un promedio de estas. Así obtenemos la desviación media para cada jugadora.

Si ordenamos a las jugadoras de esta manera vemos que la menos regular es María (DM=7,8), y que las más regulares (menos dispersas) son Sonia y Clara (DM=5,4). En la puesta en común hablamos de qué significan ese 7,8 y esos 5,4.

Ahora consideramos el caso de una jugadora, Berta, que ha estado lesionada durante 2 partidos. Durante los otros 8 partidos ha acumulado una cantidad de dispersión de 67. ¿Es más regular que María?

Ninguna tarea está puesta al azar. Si dividimos 67 entre 10, obtendríamos una DM de 6,7, concluyendo que es más fiable Berta. Ahora, ¿hemos tenido en cuenta que no ha jugado dos partidos?

Ah, es que habrá que dividir para 8, ¿no?
Entonces sale… 8,375, no es nada regular.

Y llegamos a la varianza. A los alumnos les hace gracia esta palabra.

Sí, varianza. Con zzzzeta.

Toca proponer considerar los cuadrados de las desviaciones, como otra estrategia. Es un punto que, de entrada, puede parecer tener poco sentido, si ya tenemos la desviación media.

Sí, aparece un poco forzado, pero tiene alguna ventaja. Como que los datos que se alejen más de la media van a tener un peso algo mayor en la medida de la dispersión. En nuestro ejemplo, nos ayudan a desempatar entre Sonia y Clara como jugadoras más fiables.

La más regular, la menos dispersa, es Clara. A la hora de interpretar esa varianza de 49 y pico, ¿qué? Al ser desviaciones al cuadrado no podemos decir que lo normal es que se desvíe 49 de la media de acierto. Por eso hacemos la raíz cuadrada para obtener la desviación típica.

Algunos alumnos se apuntan que anulamos el “efecto de elevar al cuadrado”. Señales de que vamos bien son:

Oye… ¿qué es la dispersión? ¿La varianza?
¿No lo sabes? Si llevamos tres días con esto la dispersión.
Ya…, pero no sé si es la varianza o la desviación típica.

Toca otra puesta en común. Se suelen reservar momentos para ello, pero si surge algo interesante, es el docente el que decide parar la actividad. Podemos decir que la dispersión es lo concentrados o alejados que están los datos respecto de la media (recordamos los gestos).

Una cosa distinta es cómo midamos esas dispersión. De hecho, al principio lo hemos hecho sin medir, de forma visual con los diagramas de puntos. Luego, hemos medido el rango, que no vale para mucho. Después, la desviación media, la varianza y la desviación típica.

Entonces… ¿a quién elegimos si queda un minuto y ganamos de 2 puntos? A la más fiable, claro, no queremos pifiarla. El entrenador tiene que sacar a Sonia.

Pero… ¿si vamos perdiendo de 8 puntos? Necesitamos un milagro, no vale con no pifiarla. Sacaremos a María, que teniendo la misma media que Sonia, es mucho más irregular. ¡Le puede salir uno de esos partidos en que mete todo!

O también puede que no. Sin embargo, habremos tomado la decisión adecuada.

Aclaración: los enunciados de todas estas tareas se les dan fotocopiados a los alumnos, que los pegan en el cuaderno.

Estuvimos prácticamente tres días con este problema. Finalmente, la secuencia culmina con un par de actividades de práctica. En el examen, los alumnos se enfrentaron a un problema similar. En una competición de natación, tenemos que elegir al cuarto relevista.

Decía que lo todo esto es enseñanza A TRAVÉS de la resolución de problemas (RP). Si remarco el A TRAVÉS, será que hay otra cosa, ¿no? Porque todos estamos de acuerdo en que la RP es lo más importante, pero hay varias tendencias. Gaulin lo describe bien.

Podemos enseñar SOBRE RP; es decir, técnicas y estrategias, con problemas que tampoco tienen por qué estar muy ligados a ningún contenido. Sin embargo, la alternativa opuesta a la actividad comentada se ubicaría en la enseñanza PARA la resolución de problemas.

Los puntos, en orden, que sigue una secuencia PARA la RP son:

1- Esto se hace así. 2- Ejercicios sin contexto. 3- Ejercicios con contexto, pero les llamamos “problemas”. 4- Con suerte, en una secuencia PARA la RP se proponen problemas de aplicación interesantes.

Nada más sencillo que tomar un libro de texto para comprobar esa secuencia. En la mesa tengo un bestseller de 2º de la ESO donde se identifican los tres primeros puntos. El cuarto, ni está ni se le espera.

Los autores parecen ser conscientes de la pérdida de tiempo que supone todo esto. En el margen: no te preocupes, ahora haz, que ya si eso, el curso que viene, los dominarás.

Este gif es por el tweet de antes. No, no los dominarán. He visto alumnado de bachillerato con dificultades enormes para distinguir las medidas estadísticas obtenidas de una tabla de frecuencias de los parámetros de una distribución.

Y alumnado que solo ha llegado a la varianza a partir de la tabla de frecuencias, con el xi^2fi^2. OMG. ¿Estamos locos? Que sí, que son menos cuentas, pero para llegar a esa fórmula coges un atajo de los gordos. Y en educación matemática, lo interesante suele estar en el camino.

Para llegar a esa fórmula se realizan ciertas manipulaciones algebraicas, utilizando propiedades nada triviales de la varianza y la esperanza. Que a veces se nos olvida la O de la ESO. Que tenemos que intentar, como docentes, que cada alumno alcance su máximo potencial.

Añadiendo de entrada una carga simbólica innecesaria para mostrar la idea de dispersión, nos estamos dejando atrás a muchos alumnos. Y casi todos los que consiguen sobrellevar con “éxito” la secuencia, habrán aprendido unas reglas y poco más.

Bromas aparte, algo bueno es que el libro presenta la desviación media. Visto el currículo, peor habría sido ver el rango porque sí y a otra cosa, que es lo que especifica al concretar los estándares de aprendizaje evaluables. El cómo lo hace es otra historia.

Todo mi respeto por los autores de los libros de texto. Entiendo que lo normal será estar condicionado por una línea editorial, restricciones en número de páginas y otros factores que desconozco.

¿La comprensión de la dispersión mejora con la mera repetición de ejercicios? No. Desde la didáctica de la matemática hay herramientas que permiten analizar la idoneidad de secuencias de enseñanza y aprendizaje y reflexionar sistemáticamente sobre ellas.

Indicadores de una elevada idoneidad a nivel de contenidos, sin entrar mucho en detalle: muestra representativa de situaciones-problema, articulación de diferentes registros y representaciones lingüísticas (verbal, gráfico, simbólico, etc.), modelización, problematización, …

Precisamente, en el último número de AIEM (revista de la @_seiem) hay un artículo que analiza la enseñanza de las medidas de dispersión en libros de texto de educación secundaria (3º y 4º ESO). Los resultados señalan las carencias de los libros de texto.

Hemos hablado sobre libros de texto. Son un recurso más y su uso depende de la competencia profesional del docente. Faltaría más. Sin embargo, marcan mucho el camino a seguir. Demasiado. Tanto, que algunos autores hablan de ellos como el currículo de facto. Y eso no puede ser.

Si ponemos el piloto automático con el libro, por comodidad, o porque nos empujan a ello las políticas educativas (horas lectivas, ratios, falta de formación en didáctica específica), hemos de ser conscientes de la escasa idoneidad del proceso de enseñanza y aprendizaje.

La enseñanza a través de la RP es rica, exigente y apasionante. Todo parece indicar su gran potencial, pero sigue siendo una línea abierta de investigación. Los dibujines y los gifs corren a cuenta de mi hermanita @creacionesbjara. ¿A que son geniales? 🔚

¿Por qué experimentar en probabilidad?

Sat, 09 Nov 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

¿Por qué es necesaria la experimentación (guiada) en el aprendizaje de la probabilidad?, dices mientras lanzas con ingenuidad ese dado de papel. ¿Por qué es necesaria?, ¿y tú me lo preguntas? … Dentro hilo (cuento la secuencia 1º/2º ESO)

Si me seguís, puede que sepáis que habíamos empezado por probabilidad en 1º y 2º ESO. Salvo pequeñas variaciones entre grupos, que ya sabemos que cada uno es un mundo y los profesores tenemos algo de ingenieros (o artistas) en ese sentido, la secuencia es la misma para todos.

El primer día, bueno, la presentación y esa actividad que me he acostumbrado a plantear para ir conociendo a cada clase, su cultura de aula, etc. Básicamente se pregunta: “qué sabes de matemáticas” e “inventa un problema”. Aquí enlace para saber más.

Hubo que tirar mucho de ellos para que pusieran algo de estadística y probabilidad. La geometría no creáis que salía mucho mejor parada… Además, el concepto que tenían de problema no se alejaba mucho del de ejercicio, y siempre eran problemas de situaciones aditivas.

Dedicamos tres semanas a probabilidad. Incluyendo la presentación y un examen de cuaderno, así como actividades de conteo con diagrama de árbol que son también del bloque de números. Estadística han sido dos semanas, pero dedicaremos otro hilo a ello.

¿Os acordáis de la #DidMatCita sobre qué pasa si vamos con un enfoque a través de la resolución de problemas (RP) a una clase con una cultura de aula diferente? Bien, pues el trabajo por parejas o pequeños grupos ya choca.

Lo primero: cada grupo (de 3 o 4) tuvo que construir un dado de papel. Fácil, con el módulo sonobe de origami. Se aprovecha para hablar sobre geometría. En el paso 6, “¿qué figura es esta?”. O, “ahora plegamos por la bisectriz”. Todo esto también da información al profesor.

Una vez con el dado, cada grupo lo prueba con el clásico juego de la carrera de coches o caballos. Es decir, apuestan por un número, indicando la razón de su elección (importante esto), y luego juegan. Si hay números no elegidos son PNJ (Personajes No Jugadores) o el “ordenador”.

Las razones de su elección, que a nosotros nos pueden parecer ingenuas, son sus significados personales. Algunos elegían el 3 o el 4 porque no eran números del medio, ni muy altos ni muy bajos. En 1º, muy pocos dijeron que daba igual. En 2º, hubo más.

Ahora, esto es un dado de papel hecho de aquellas maneras (a la foto me remito). A priori, por desconocimiento, la respuesta correcta es la de que da igual. Pero después de jugar, algunos grupos tienen gráficas como estas.

A los de la de colorines. Ahora, ¿qué número creéis que ganará? ¿Da igual? A los de la otra, con estos datos, ¿por cuáles no apostaríais? Con esto entramos no con el significado clásico (regla de Laplace) sino con el frecuencial. Y los vamos a ir conectando.

A nivel de contenidos la justificación de realizar esta actividad está clara. Pego aquí lo que tenemos de currículo para el bloque de probabilidad. Desde la didáctica, también, puesto que tratamos de evitar el sesgo de equiprobabilidad, entre otras cosas.

El bloque 1 no lo he pegado porque tendría que haberlo puesto casi entero 😉. Venga, va, que sí, que lo pego. Hay reflexión sobre lo hecho, actitudes personales hacia el quehacer matemático, modelización matemática, investigaciones…

Esta actividad continúa con una pequeña variante. Vamos a trucar el dado para que salga casi siempre “5”. Ahí que los tienes, dándole vueltas al coco. Esto enseguida les sale, poniendo un peso en la cara contraria. Algunos ponen una goma de borrar pegada con celo 😱.

Otros años he planteado actividades similares, incidiendo en lo mismo. Aquí describo una cosilla que hice con la impresora 3D ( enlace aquí)

Se aprovecha para preguntar cómo son los dados comerciales y por qué. Las caras opuestas siempre suman 7. Será por algo, ¿no? Hacemos algún dibujillo de dados irreales en ese sentido.

Después, vamos con el juego que, tal como lo encontré en su día, conozco con el nombre de Beano, aunque hay más variantes. Se dan doce fichas (judías, tapones…) y los jugadores las distribuyen por el tablero.

Se tiran los dados y se suman los resultados. Entonces, cada jugador retira UNA ficha de SU tablero de ese número en cuestión. Si sale el 8, todos retiran una ficha que tengan en el 8. Primero, juegan, sin más. Y sí, el 1 está puesto a propósito.

Hay muchos alumnos, más en 1º que en 2º, pero siempre ocurre, que ponen fichas en el uno. Y aquí es un ejemplo de suceso imposible (luego ponemos nombre a los objetos matemáticos, pero primero dejamos que aparezcan). La primera partida tienden a extenderlos.

En la segunda, sin tomar datos ni nada, se dan cuenta de que algo pasa. Pero ojo, ¡no es evidente! Es muy común que digan que los números altos salen más. Aunque hay algunos que ya se van oliendo la tostada y perciben que son los del medio. Te encuentras cosas así:

Ahora sí, ahora es cuando se analiza teóricamente lo que está pasando. ¡Hay sumas que salen más! Hay grupos donde cuesta más ver que hay 36 resultados posibles y, además de contarlos en la tabla, hacemos un diagrama de árbol. Si no, los árboles saldrán más adelante.

Después de esto puede ser un momento (o en otra actividad posterior) para nombrar y enunciar la regla de Laplace, que salvo lo de Laplace, es algo que han descubierto ellos. En 1º me basta con que me digan que la probabilidad del 7 es 6 de 36.

Quiero decir, que aunque lo introduzco de pasada, no enfatizo apenas la notación P(7)=6/36. Ese P(7), en el fondo, es lenguaje de funciones. Si entramos directamente con la regla de Laplace enunciada así, añadimos una capa de abstracción simbólica innecesaria.

Es importante que quede reflejado el proceso. Por eso, aquí se plantean estas preguntas:

(Nota: el próximo año llamaré al juego TAPONING en lugar de BEANO! y me evitaré la pregunta de por qué se llama así 😊.)

TO BE CONTINUED… Me falta hablar de ruletas, chinchetas, Numb3rs y del tiempo atmosférico. Y del examen de cuaderno que hicimos sobre esto. Pero también me falta tiempo 🤣

Sigamos. Antes de ello, hay quien me ha preguntado si esto vale para primaria. Nada más hacer el hilo, me he auto-retuiteado comentando que muchos de los elementos son válidos para EP. Deseables. Lo del dado de papel lo he hecho como taller en 3º-6º de EP.

En la secuencia hay que meter situaciones donde la regla de Laplace no se pueda aplicar. Por eso ahora viene una actividad con chinchetas. Son dos resultados posibles, o con la punta hacia arriba o tumbadas. La aplicación, sin razonamiento, de Laplace nos diría que es 1/2.

Pues esto lo probamos en clase. Doy a cada grupo un vaso con 10 chinchetas y a probar 10 lanzamientos. Luego, acumulamos el de todos los grupos, con lo que en pocos minutos te juntas con 600 repeticiones. ¡Anda! No se cumple Laplace. Sale un 70-30.

Importante. Antes de empezar tenían que expresar su creencia (subjetiva). Había de todo, desde los que decían que siempre tumbados, hasta los que razonaban que como el culo pesa más, caerían más veces hacia arriba. Otros, con el mismo motivo, decían que no, que tumbadas.

Después, a por las ruletas. En algunas clases no dio tiempo a hacer la experimentación física, que habría sido lo mejor, y fuimos directamente a la experimentación por simulación. Lo mejor, las dos cosas. Ya os decía que había diferencias entre grupos de clase. Pues eso.

Se trata de diseñar una ruleta (se juega con un clip y un boli) de manera que si juegas y eliges primero, tengas mayor probabilidad de ganar que el otro. La imagen de esa ruleta contiene una imprecisión, habla de mayor posibilidad (esto lo veremos después).

Lo mismo. Dejamos que expresen su intuición y luego contrastamos. Tampoco vamos a hacer un montón de repeticiones, que ya saben de qué va esto. Y haremos una simulación en el ordenador a la vista de todos.

Proponemos el Beano! pero con dos ruletas, como ejercicio. Esto solo lo comento brevemente, incidiendo en que este tipo de cosas se preguntan en el examen de cuaderno. Al día siguiente, alguien pregunta y discutimos sobre ello. También, jugar a mirar la resta en lugar de la suma.

El enlace de las simulaciones de las ruletas es este: https://nrich.maths.org/6123. @nrichmaths es lo más, ¿lo había dicho? El enlace lo tienen a su disposición, además de haberlo probado en clase.

Vamos con una actividad que está sacada, prácticamente tal cual, del librito de @edsintesis de Godino, Batanero y Cañizares. Hay que ordenar palabras, asignarles un número entre 0 y 1 y… bueno, me dicen que esto es Mates, no Lengua. De nuevo, choca con la “cultura de aula”.

Y ahí que estuvimos un rato discutiendo. Primero en pequeño grupo y después en común. Incierto no es imposible, no. Es todo lo que no es cierto. Y no se tiene mayor o menor posibilidad. Nos salió algo así:

En algunos grupos me puede detener y enseñar esta entrada de @benorlin (soy muy fan, lo sé), donde sale la escala usual de probabilidad, y la probabilidad entendida desde el punto de vista de varias profesiones. Y tal como la entiende Han Solo…

Para completar la cuestión de lenguaje e introducir un tipo de actividad que usaremos mucho, trabajamos este WODB (no dio tiempo en todos grupos, es una pena, sí). Hay que ver cuál es el que no encaja. Y la cosa es que hay que encontrar al menos una razón para cada uno.

Esto de la WODB lo tenemos publicado en las actas del último simposio de la @_SEIEM @xxiiiseiem2019. Lo presentó maravillosamente Maria Ricart. Aquí enlace al pdf.

Continuamos con la idea de juego justo, que ya habíamos introducido con lo de las ruletas. Aquí sí que vale la regla de Laplace.

Y terminamos con tareas varias y diagramas de árbol para contar. Esto último ya había aparecido como herramienta en alguna clase donde no quedaba claro el 36 aquel de los posibles resultados al sumar los dos dados.

Y aquí se me acaba el rollo. En 2º se ha hecho lo mismo que en 1º porque el curso pasado no vieron probabilidad tan apenas. Como he dicho, también hay pequeñas variaciones entre clases, que cada una es un mundo.

Este modo de trabajar choca con la cultura de aula. Tienen que pensar, ya habéis visto que a su nivel, y escribir. Y luego razonar. Decía en un tuit que un alumno me pidió, literalmente, hojas de multiplicaciones. Que más de esto no, por favor.

En esas estamos. El trabajo en grupos de 3 o 4 es lo mejor, porque permite irte pasando y controlar de forma más cómoda a todos. Pero hay clases (en este caso una) que me estoy planteando pasar a trabajo por parejas, porque no encuentro solución al tetris.

Y luego está lo del cuaderno. Lo examinamos con examen de cuaderno, donde van tanto preguntas sobre cosas que tienen que estar tal cual, como preguntas que son parecidas a las hechas en clase o las propuestas como ejercicio.

Hubo notas altas y notas bajas. Eso, como siempre, claro. Que a ver si nos vamos a pensar que esta propuesta genera matemáticos en potencia. No. Se trata de dar una respuesta inclusiva para todos y procurar explotar el máximo desarrollo de cada uno.

La cuestión es que entre las notas bajas encontramos alumnos que todavía tienen un desastre de cuaderno (iremos trabajando en ello) como otro perfil que, teniéndolo bonito y completo, está claro que no le sirve como herramienta (también trabajaremos en ello).

Lo del cuaderno es un tema interesante que trataremos otro día. Como aperitivo, os dejo con el enlace de la ponencia del otro día de @Matias_ArceSan en el seminario del @iuma_unizar @dm_unizar en la @FacultadEducaUZ y que hemos subido al canal del grupo: enlace al vídeo

En el turno de preguntas se planteó el dilema. Se piden en 1º y 2º, se corrigen (eventualmente con rúbricas, completitud, organización, …). Luego, en 3º y 4º muchas veces no se piden, creyendo que son autónomos y saben usarlos. ¿Se ha fomentando el trabajo de cuaderno adecuado?

De momento voy a dejarlo aquí, que ya me estoy yendo por las ramas. Feliz clase para todos y enhorabuena si has llegado hasta aquí.

Si te interesan más hilos como este, los voy guardando en mi perfil de Twitter. También intento ponerlos en mi web.

Quiero dar las gracias a mi compañera de no departamento (sic), Ana, porque estar alineados en el mismo enfoque es algo genial. Y sus aportaciones, siempre valiosas.

¡Pero si me había dejado de comentar una de mis actividades favoritas en la secuencia de probabilidad! #AcRiMates La cuento rápido. 👇🏻

Necesito que quitéis todo de la mesa y saquéis 16 objetos. Pueden ser 16 trocitos o gurruños de papel (me olvidé de llevar ese día los tapones del juego de Beano! 🤦🏻‍♂️). ¿Ya los tenéis?

Ahora vamos a colocarlos de forma aleatoria, al azar, sobre la mesa.

Ahora es cuando vemos el fragmento del primer episodio de la serie Numb3rs. Se hace una breve introducción, contando que son dos hermanos, uno que trabaja en el FBI y que pide ayuda a su hermano, que es matemático. ¡Prohibido tocar los trozos de papel!

Conforme ven el vídeo, ya se van dando cuenta de cómo han colocado ellos los trocitos de papel. La gran mayoría, así:

Claro, son alumnos que los han puesto y los han ido colocando, dejando huecos con una regularidad bastante acusada. ¿Es una configuración posible? Sí, pero muy improbable. Lo más probable es que hubiese amontonamientos, como señala Charlie Eppes.

Esta vez, creo que de 21 alumnos, solo dos hicieron algo así. Que básicamente consiste en dejarlos caer desde cierta altura. O en no toquetearlos demasiado.

Las imágenes son de una clase de 2º ESO. En 1ºESO, más de lo mismo. Pero no creáis que por ser mayorcitos nos salvamos de estos sesgos, que esto lo he hecho con alumnado de máster y también se detecta este fenómeno.

Se enmarca en la distinción de fenómenos aleatorios y deterministas, aunque sobre todo es un primer paso hacia la aceptación de aleatoriedad como modelo matemático. Se distingue entre el proceso de generación (el experimento, colocar los objetos) y el patrón obtenido.

Si alguien quiere profundizar un poquito, Carmen Batanero abordaba estas cosas en las JAEM de 2001.

Como dije en el hilo de la secuencia completa, algunas actividades no pude hacerlas en todos los grupos 😢. Aunque esto es una actividad rica y no lleva mucho tiempo, suma, y debido a ratios o falta de recursos de atención a ACNEAE (apoyos en el aula, …) no pude encajarla.

¿Qué pasa si vas con un enfoque a través de la resolución de problemas a una clase acostumbrada a otra cosa?

Sat, 19 Oct 2019 00:00:00 +0000

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Dentro #DidMatCita con mini-hilo. ¿Qué pasa si vas con un enfoque a través de la resolución de problemas a una clase acostumbrada a otra cosa?

Está sacada de Sullivan Knott y Yang (2015), de un capítulo dedicado a la relación (e interacción) entre el diseño de tareas, el aprendizaje del alumnado y el enfoque didáctico al que están acostumbrados; es decir, la cultura de aula.

Es común encontrar resistencia cuando el enfoque que plantea el docente es a través de la resolución de problemas y la cultura de aula es todo lo contrario. Aquí usan la expresión «cultura de aula», aunque sería igual hablar de creencias hacia las matemáticas y su enseñanza.

En el capítulo se cita a otros autores, por ejemplo Brown y Coles (2013), que acuñan el término «relentless consistency» (¿coherencia incansable?) para señalar la actitud necesaria por parte del docente.

Si el deseo es crear un ambiente de clase donde los niños se sientan cómodos enfrentándose con tareas ricas y abiertas, entonces se debe dedicar tiempo a establecer este nivel de comodidad. No vale llegar un día, probar, y decir, “no hay manera”.

Requiere un esfuerzo y dan ganas de tirar la toalla al principio. Ahí es donde toma forma eso de «relentless consistency».

Una vez que los niños se acostumbran, su expectativa de trabajar así persiste. Si se usa un enfoque a través de la RP, el docente tiene que ser incansable y continuar proponiendo ese tipo de tareas.

Esto se consigue con tareas que, teniendo el mismo enfoque, resultan familiares y asequibles para el alumnado. Así, el docente se puede centrar en lo que se va a valorar del trabajo del estudiante.

Anécdota personal: este curso tengo un alumno de 1ºESO que ya me ha dicho que prefiere que le ponga hojas enteras de multiplicaciones. Stand my ground.

Por qué la enseñanza a través de la RP es importante para el aprendizaje de los alumnos

Wed, 21 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Una #DidMatCita de Cai y Lester (2010): ¿Por qué la enseñanza a través de la RP es importante para el aprendizaje de los alumnos? Como es un poco larga para meter la traducción, aprovecho para desgranarla en un pequeño hilo.

“La investigación sugiere claramente que la RP no debe enseñarse como un tema separado en el currículo de matemáticas. De hecho, nos dice que enseñar a los estudiantes a usar estrategias generales de RP tiene poco efecto en su éxito como solucionadores de problemas.”

O sea, que nuestro bloque I no debe consistir en “parar las clases” para ponernos a resolver problemas “tipo olimpíada” que nos permitan trabajar las heurísticas de RP (Polya). El bloque I, tomado en serio y desde la investigación, debería condicionar todo lo demás.

Siempre podremos dedicar alguna sesión a ese tipo de problemas, claro, pero no es lo fundamental. Lo suyo es ver los problemas en sentido amplio, como tareas que permiten que el contenido emerja.

Cai y Lester lo dicen muy claro: “Por lo tanto, la resolución de problemas debe enseñarse como una parte integral del aprendizaje de las matemáticas, y requiere un compromiso significativo en el currículo en cada nivel de grado y en cada tema matemático”

“Además de comprometerse con la resolución de problemas en el currículo de matemáticas, los docentes deben ser estratégicos en la selección de tareas apropiadas y en la organización del discurso en el aula para maximizar las oportunidades de aprendizaje.”

Esto último es crucial. Más que buscar actividades que disfracen la actividad matemática, de “poner la zanahoria al burro”, se trata de seleccionar o diseñar tareas ricas. No es fácil, pero se puede. Y los alumnos responden.

“En particular, los maestros deben involucrar a los estudiantes en una variedad de actividades de RP: (a) encontrar múltiples estrategias de solución para un problema, (b) participar en la exploración matemática, (c) dar razones para sus soluciones y (d) hacer generalizaciones.”

“Centrarse en la resolución de problemas en el aula no solo afecta el desarrollo de las habilidades de pensamiento de orden superior de los estudiantes, sino que también refuerza las actitudes positivas.”

Ese fomento de las actitudes positivas es sumamente importante. Que luego nos quejamos de que llegan a bachillerato y no saben resolver problemas o que se cruzan de brazos.

“Finalmente, no hay evidencia de que debamos preocuparnos de que los estudiantes sacrifiquen sus habilidades básicas si los profesores se centran en desarrollar las habilidades matemáticas para resolver problemas.”

Esto último se relaciona mucho con la pregunta: ¿qué queremos que aprendan nuestros alumnos? ¿Queremos que hagan castillos de fracciones lo más rápido posible? ¿O preferimos dedicar más tiempo a plantear problemas? Y ojo, que los contenidos no se descuidan.

Al contrario, en una enseñanza a través de la RP los contenidos se van trabajando con sentido y atendiendo a la diversidad (por ambos lados).

La traducción, libre, la he ido poniendo entrecomillada. Jinfa Cai y Frank Lester son autores de referencia en investigación en educación matemática. Una de sus líneas de trabajo es, precisamente, la RP. Fuente

Voy a dejar aquí la cita traducida.

Los recursos didácticos en la formación continua

Tue, 20 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Más sobre la interesante ponencia de @MaiteNavarro2 en #19jaem19. Aunque titulada “Los recursos didácticos en la formación continua…”, ha ido sobre el papel de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. Quiero centrarme ahora en el turno de preguntas.

En una pregunta, se ha citado el artículo de Kirschner, Sweller y Clark (2006), sobre que el guiado mínimo no funciona. Que lo mejor es la enseñanza magistral. En la misma pregunta, se ha señalado que esto de la educación es una ciencia social.

Precisamente ahí está la clave. En que es una ciencia social y se asumen presupuestos de partida. Para empezar, ¿qué queremos que aprenda nuestro alumnado?

En el artículo de Kirschner et al. se citan un montón de referencias. Entre ellas, algunas sobre la bondad de enseñar vía ejemplos resueltos, como esta referencia de Sweller.

En el artículo de los ejemplos resueltos, se describe con detalle la metodología seguida en las investigaciones. Cuento el procedimiento descrito en uno de ellos, si lo he entendido bien:

A los dos grupos (control y experimental) se les da una hoja con un ejemplo resuelto. Se les deja tiempo y se asegura de que los comprenden. Todo el trabajo es individual, tanto en esta fase como en las siguientes.

Fase de adquisición. Al grupo de control se le dan 8 problemas a resolver con lápiz y papel. Al experimental se le dan los mismos, pero -OJO- incluyendo ejemplos resueltos.

En ambos grupos se les anima a ser rápidos y precisos. Si la respuesta es incorrecta, vuelven a intentarlos.

Fase de evaluación. A ver cómo se desempeñan con una nueva batería.

Claro, adivinad a quiénes les cuesta más y comenten más errores

Como detalle. Estos artículos están publicados en revistas del campo de la psicología cognitiva. Que tiene mucho que decir en esto de la educación, faltaría más, pero no estaría mal que tuviesen en cuenta bibliografía de la didáctica específica.

Lo interesante, desde mi punto de vista, es que la fase 1 no es enseñanza a través de la resolución de problemas. Ni de lejos, vaya. Y la fase de adquisición con los de control es un “sálvese quien pueda”. Tampoco es enseñanza a través de RP.

A ambos grupos se les presenta primero la teoría (mira, esto se hace así) y luego se les ejercita. Vuelvo a la pregunta que nos hemos de hacer: ¿qué queremos que aprendan nuestros alumnos?

Seamos honestos. En los handbooks de Didáctica de la Matemática se señala que hay una tendencia en considerar que lo ideal es la enseñanza a través de la RP. Pero al mismo tiempo, no se duda en indicar que falta más investigación sobre el tema.

Y que esta investigación es difícil, al igual que diseñar secuencias de aula que sean verdaderamente enseñanza a través de la RP (English & Gainsburg, 2016: Problem Solving in a 21st-Century Mathematics Curriculum en el Handbook of international research in ME.

Ahí ha estado genial @MaiteNavarro2. La solución es formación, formación y formación. Como ha dicho, debería ser en el horario de trabajo y obligatoria (y yo añadiría, aunque la frase se alargue, que de calidad y refrendada por las didácticas específicas de cada materia).

Por eso, decía antes que es necesario que se hable sobre la necesidad de enseñar a través de la resolución de problemas. Lástima que estos turnos de preguntas sean tan cortos. Porque había debate.

Valoración final del curso de los alumnos de 1º ESO

Tue, 20 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Ahora que ya casi no me queda papeleo por hacer del instituto, y antes de ponerme con otra cosa, dejo hilo prometido sobre la valoración final que hicieron del curso los de mi 1ºESO.

Es el curso donde más elementos de didáctica de la matemática he incorporado. Con diferencia. Si me seguís por aquí, sabréis a qué me estoy refiriendo, porque he ido compartiendo cosas, y más que espero compartir.

Se trata de innovación. Aunque llamar innovación a propuestas como las del Shell Centre para funciones que vienen de los 80 daría para otro hilo. Pero bueno, otras cosicas sí son más recientes, como los negativos en un entorno algebraico, que viene de la tesis de Eva Cid.

Ahora voy con el hilo. Pero quería dejar claro que lo que he hecho es enseñanza a través de la resolución de problemas, entendiendo problemas en sentido amplio. No penséis en problemas de olimpíada, que también ha habido de eso, sino más bien en tareas de clase.

Medir ha sido una de esas tareas. De esto, los que vayáis a las @19jaem19, os hablarán @auroradp64 y @SergioMJGR. Su propuesta, que es la que he adaptado para mis clases, está basada en investigaciones de R. Escolano y JM Gairín y es la que trabajamos en @FacultadEducaUZ.

Creo que tenía que dejar claro a qué estoy llamando innovación. Sobre todo, dado el debate que sigue imperando por estos lares. El polo de la enseñanza “tradicional” que denosta cualquier cosa que huela a innovación, frente al polo de la innovación de fuegos artificiales.

Venga, comento ya lo de mi 1º ESO. Al principio de curso les hice una evaluación inicial a partir de una idea de Mercado (2007) @suma_fespm Básicamente:

¿Qué sabes de #matemáticas?
En la otra cara, proponer un problema.

Esta forma de hacer la evaluación inicial me parece maravillosa. No empiezas con un examen a bocajarro (que sí, que no vale para nota, pero…) y sales del aula con una idea muy clara de qué tipo de experiencia han tenido con las mates y sobre lo que vieron el curso pasado.

Conforme los alumnos la van haciendo, es cuestión de pasarse, animando a que escriban más, y comentando cosas como:

Mmm, veo mucho de geometría, ¿visteis algo el curso pasado entonces?

Y dejar que fluya la conversación.

Resumo lo que pusieron en esa evaluación inicial los de mi 1ºESO:

Mucha operación. Mostraban orgullosos que sabían hacer divisiones con decimales, operaciones combinadas.
Más operaciones. Los más atrevidos, multiplicaciones de fracciones.

Conversiones de unidades (en la foto, con errores)
Fórmulas de áreas.

Y… no sé si será porque se preguntaba aparte, pero nadie habló de saber resolver problemas. Todo eran cuentas. Imagen

Este alumno enumera lo que sabe hacer. De nuevo, nada de problemas.

Todos los “problemas” que inventaron se resolvían con operaciones combinadas. Algunos, con una suma, otros con una multiplicación. Pongo problemas entre comillas porque esto son ejercicios. Podían haber puesto algún ejercicio-problema de geometría, por ejemplo, pero no.

Y ahora, en junio, les volví a preguntar lo mismo. Dándoles también espacio para que pusieran un comentario libre sobre el curso. Vamos con lo que saben ahora de matemáticas.

Sobre geometría, y mira que hemos visto pocas cosas y muy rápido. Ahora saben transformar figuras. Bien, no les hace falta saberse las fórmulas. Las saben obtener a partir de la del rectángulo.

Saben hacer cosas nuevas. Nombran los problemas de proporcionalidad. Aquí, el de la izquierda se refiere a lo que hemos hecho sobre interpretación de gráficas y lenguaje de funciones (lo del precio de la foto). Y el álgebra lo nombran mucho, se ve que les ha causado impacto.

Y todos, menos uno, se han expresado de forma similar en el comentario. Que han aprendido mucho, que ha sido diferente. Muchos también señalan la dificultad. Me encanta: “Ha sido complicado, pero divertido”.

Así y todo, me llamó la atención el alumno que se desmarcó. Porque escribió lo siguiente, y cito: “El sistema educativo está anticuado y mejorarlo no estaría mal ya que el rendimiento académico subiría en muchas personas y estaríamos más preparados para la vida real”.

Eso demuestra que los mensajes que mandan los grandes medios diciendo tontadas sobre nuestro sistema educativo, vertiendo basura sobre los profesores, llegan. Y vaya que si llegan.

Si se repiten mucho estos mantras, se convierten en creencias. Y luego, son muy difíciles de cambiar. Tanto, que después de todo un curso a través de la resolución de problemas y trabajando de un modo distinto al que estaba acostumbrado, escribe eso.

No digo que mis clases sean de 10, no. Y que mira tú este chico. No. Soy consciente de que tengo mucho por mejorar, y me alegro por ello, porque sino, vaya aburrimiento. Ahora, tachar de anticuado lo que hemos hecho en ese primero, precisamente en ese primero…

A lo mejor es porque solo he usado el ordenador con ellos en 3 o 4 sesiones (@geogebra mediante) y se esperaba más medios tecnológicos. No lo sé. Y mira que les dejaba cosas en Edmodo y tal.

Conforme me entregaban esa evaluación final, les devolví la de principio de curso. Algo se emocionaron.

¿Pero es que la has estado guardando?
Ay, mira qué letra tenía a principio de curso.
¿Esta división puse?

Después les puse un vídeo (que me guardo para nosotros) que hice recopilando alguna fotico de ellos trabajando, sus producciones y fragmentos de los vídeos que prepararon para el proyecto @eTwinning_es con los franceses de @MaryseDuprey.

Bueno, sí que hubo tres “quejas” por no haber usado el libro. Más bien, por haberlo comprado y no haberle dado uso. Lo primero que hice al conocer mi destino del curso que viene fue llamar para avisar de que no usaré libro.

Y eso es todo. Esto ha ido, principalmente, de contrastar las creencias sobre las matemáticas a principio y a final de curso. 🔚

Dejo aquí enlace a los vídeos del proyecto #eTwinning que he mencionado. Los compis de Inglés suelen entrar fácil al trapo. En clase de Mates se trabajan los problemas, las estrategias, etc. y en Inglés preparan los vídeos. Por si se anima el personal.

Resolución de problemas y divisibilidad con el juego del 21

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Acabo de ver un post sobre un juego que da mucho juego 😉 en #matemáticas. Me ha recordado lo que hicimos hace unos meses en 1ESO. Lo cuento un poquito en un mini-hilo. 👇

“One of Favorite Games: The Skip Count Game” vía @jennalaib #AcRiMates

Suele conocerse como el 21. El primer jugador dice un número del 1 al 3. Y el otro jugador elige sumar 1, 2 o 3. Así, hasta que uno de los dos llega a 21, ganando la partida.

Se juegan dos o tres partidas y luego se busca la estrategia ganadora. Es fácil ver la secuencia que hay que encontrar.

Permitiendo elegir números hasta el 5 o el que sea. Si no ha salido la idea de divisibilidad con las primeras partidas, buscar la estrategia general en las variantes lo fuerza un poco.

O el modo de jugar que plantea @jennalaib en su post: pierde el que dice 21.

Aunque conmigo la clase es en castellano, decidimos hacer esto en un proyecto @eTwinning_es #etwinning en inglés con alumnos del Lycée et Collège Sainte-Anne. Gracias @EtwTerp por ponerme en contacto con Maryse Duprey.

Después de ese rato en clase de mates, los alumnos prepararon la explicación con su profe de inglés, Isabel, a la que nunca agradeceré lo suficiente que se haya prestado a estas cosas.

Uno de los resultados fueron estas explicaciones tan majas, que compartimos con nuestros amigos franceses desde el canal del @IESValdesparter @plan54zaragoza

Una actividad de interpretación de puntos

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

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El otro día en 1°ESO tuvimos una interesante charla a partir de una actividad de interpretación de puntos tomada del libro “El lenguaje de funciones y gráficas” del Shell Centre. Comento brevemente.

Se trata de situar en cada gráfica, de forma aproximada, un montón de deportistas. Hay saltadores de altura, levantadores de peso y lanzadores de dardos. El eje horizontal es el peso del deportista. Los verticales: altura que saltan, peso que levantan y puntuación en los dardos.

Las fotos son producciones de los alumnos. Se ven diferentes notaciones (letras, colores) y distribuciones curiosas que pudimos comentar (para entender su significado y adecuación al contexto), como esa sinusoide para los de los dardos.

Tuvimos nuestra pequeña discusión sobre qué hacer con los de los dardos. Ahí que nos ves en clase buscando vídeos de campeonatos de dardos.

En el cuaderno anotan las razones que les llevan a colocar los puntos. El lenguaje aquí importa, y mucho.

Lo mejor, este tipo de actividades permite trabajar directamente sobre los significados personales de los alumnos y progresar, incorporando vocabulario y contenido de funciones y desarrollando la competencia de interpretación de gráficas.

A lo mejor me repito mucho, pero el libro, con un toque retro encantador, es la esencia de la enseñanza y aprendizaje de las funciones. Más info aquí

Dados griegos, sesgos de razonamiento probabilístico y actividad de modelado en 3D

Sun, 04 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Estos dados griegos (s. V-IV aC) de la exposición del CaixaForum en Zaragoza me recuerdan mucho a los que diseñaron algunos de mis alumnos de 2ºESO de Matemáticas cuando les propuse diseñar, imprimir en 3D y probar un dado impresión3D. Dentro hilo.

La consigna de la actividad fue: diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade 0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados.

Conste que diseñar un dado no es nada fácil. No hay más que pasarse por esta discusión en thingiverse.

Una vez diseñado el dado les preguntaba

¿Es este el dado que diseñaste? ¿Te gusta cómo ha quedado?
¿Lo usarías para jugar a algún juego de mesa?
¿Cómo sabrías si es un buen dado? ¿Hacemos la prueba?

Ningún alumno vio nada raro en su dado que le llevase a pensar que no fueran adecuados para ser utilizados en algún juego. Pero prácticamente todos tenían graves sesgos. Por ejemplo:

No retiraban la misma cantidad de material en todas las caras.
Parecido si en lugar de retirar material, se añade (lo que ya es raro de por sí)
No se tiene en cuenta que la suma de las puntuaciones de las caras debería sumar 7 para facilitar el equilibrado, si se hace con puntitos (tiene que ver con el error de tipo 1)
No se centran o alinean los puntos de cada cara, lo cual influye también en la distribución de masa del dado.
El dado no presenta las mismas dimensiones en todas sus caras.

El dado griego chiquitín es un claro error de tipo 5 (cogerían la piedra o el hueso que les viniera bien). Y el grandote es un intento de cubo con esquinas muy pronunciadas, que apenas rodaría. Lo otro es una canica 😊

No es fácil diseñar un dado. Los sesgos vistos con el alumnado de 2º de ESO en esta experiencia son los mismos que los de los artesanos griegos de hace más de 2400 años.

No es fácil tampoco el aprendizaje de la #probabilidad. Hay multitud de investigaciones que muestran los sesgos de razonamiento tanto en edad escolar como adulta. Es necesario plantear experiencias de aula y reflexionar sobre lo que está pasando.

Es una pena que muchas veces sea lo primero en caerse porque no da tiempo. Históricamente, esta rama tan “fácil” no empezó a estudiarse en condiciones hasta el siglo XVI (Cardano) y XVII (Pascal y Fermat). Vaya trío de ases.

Si has llegado hasta aquí y te interesa saber más sobre la experiencia de #impresión3D del dado, la describí en thalesepsilon

¡Saludos y feliz clase!

Una actividad de estimación con arroz

Sat, 03 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Estimación, necesidad de precisión en la medida, técnicas para estimar mejor, operaciones con naturales e iniciación a la proporcionalidad en mi grupo de 1ºESO de #Matemáticas. Solo con arroz, ¿qué más se puede pedir? Inspirado en este tweet:

Y todo, a través de la resolución de un problema. ¿Cuántos granos de arroz hay aquí? Trabajo por pequeños grupos (2, 3, o 4)

Estimación inicial (sin tocar el vasito).
Estimación con el vasito en la mesa.
Manos a la obra. Con discusiones de aula intercaladas.

Sí, al principio muchos grupos iban a contarlos de 5 en 5 o de 10 en 10. Con la idea de encontrar la cantidad “exacta”. Pero uno de los grupos ha acabado enseguida y los ha pillado por sorpresa.

-Claro, es que no nos interesa distinguir si son 2345 o 2357. Con saber que son, digamos, 2300 y pico, ya vale, ¿no? Redondeo a las centenas aquí.

El grupo tempranero ha tenido “suerte”. Han echado los granos sobre una de sus pizarras, que casualmente…

…tenía una cuadrícula la mar de maja. Se han dado cuenta de que bastaba ver cuántos cuadritos ocupaban 100 granos. Y a multiplicar. Proporcionalidad inside. Pero otros compañeros lo han tenido igual de cerca y no lo han visto de primeras.

Aquí tenemos como unidad de medida el puño de una de ellas (480 granos creo recordar). Buena idea, pero aquí entra en juego la precisión de la medida. Se ha ido por bastante de las demás.

Una pareja se ha ido a un razonamiento multiplicativo (proporcional) pero a través de la altura que ocupan los granos de arroz. Si en 1/2 cm caben estos, en 3,5 cm, 7 veces más. Veo caras raras 🤨.

Buena idea, pero aquí hay un error bastante grave, ¿no?

Y oye, que me han dicho que claro, el vasito es más estrecho por abajo. Ha habido otras estrategias, pero esencialmente son estas. Al final, preguntan “¿pero cuántos hay?”

Pongámonos de acuerdo. Son todas muy parecidas menos una (la de los puñados). ¿Hacemos la media?

Así nos han salido unos 2380 granos. Muy alejados de los 100, 400,… o 3000 y pico que ha dicho alguno. Acabando. Lo bueno de esta actividad es que su valor no se queda en el día de hoy.

Porque, cuando toquemos la cuestión de la proporcionalidad, tenemos ya trabajados un contexto y unas acciones a las que referirnos. Y eso es muy, pero que muy importante. ¡Un saludo y #felizclase!

¿Qué sistema de numeración utiliza este juego?

Sat, 03 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Tengo un grupo de 1°ESO con mucha curiosidad. Llevamos unos días trabajando el tema de “Números”. Pongo esta imagen en clase y pregunto: “¿Qué tipo de sistema de numeración usa este juego para llevar la puntuación?”

Y sí, ha salido sin dar más pistas. -¿Aditivo? Alguna cara extrañada, porque claro, hay que darse cuenta en la foto de que los puntos pueden tener algo que ver con ese montoncito de gemas.

-¿Por qué? -Bueno, no sé cómo va la cosa pero esas piedrecitas de colores… imagino que cada una valdrá algo. -¿Y específicamente aditivo por qué?

-Mmm…porque da igual cómo las pongas ¿no? -👏

Creo que ha sido una pequeña discusión de aula muy interesante. Denota comprensión, además de decirme que tengo algunos alumnos con capacidad de análisis. Y que posiblemente hayan jugado a juegos más allá de los típicos.

En general les ha parecido una pregunta rara y no sabían a ciencia cierta si lo estaban haciendo “bien”. Eso es una evidencia de que en estos primeros días se va formando el “contrato didáctico”.

Y como estábamos terminando, he aprovechado para contarles de qué iba el juego. Que para visualización y geometría está muy bien. Pero de eso ya hablaremos en otra ocasión.

Análisis del tercer problema de la Olimpiada: Las partidas de dardos

Thu, 30 May 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2019). Análisis del tercer problema de la Olimpiada: Las partidas de dardos. Entorno Abierto, 28, 15-18.

El problema de contar cubitos

Sun, 18 Nov 2018 00:00:00 +0000

Es muy, pero que muy importante conectar registros y representaciones diferentes de un mismo objeto matemático. Por registros entendemos el registro verbal natural, el gráfico, el simbólico-numérico, el simbólico-algebraico, etc. Por representaciones, por ejemplo, diferentes expresiones algebraicas equivalentes. O diferentes gráficos sobre un mismo problema.

Voy a dejar aquí el material para llevar a cabo una sesión de visualización de descomposición de números, con sus factorizaciones y sus potencias (descargables al final). Se trata del problema de contar cuántos cubos pequeños faltan para completar el cubo grande. A partir de este problema, para lo que me he inspirado en el libro de Problemates de Lluís Segarra (de hecho, la primera configuración que se plantea es exactamente la misma que aparece en el libro).

La tarea

Antes de realizar la tarea que propongo en esta sesión, es preferible haber realizado alguna más de visualización de operaciones, como la que muestro en la imagen de cabecera. Con los policubos, o regletas, o cualquier otro material, se trata de componer números y escribir las operaciones que conducen a ellos. Viendo que, precisamente, el dos al cubo se llama así porque…¡es un cubo!
Nota: las configuraciones las he dibujado con esta herramienta del NCTM, enlace que he compartido con ellos y que hemos usado en clase para ayudar con la visualización.

Vamos a contar cuántos cubos pequeños faltan para completar el cubo grande

Dejamos tiempo. De hecho, yo lo propuse como tarea para el siguiente día. Y algunos alumnos consiguieron ver que faltaban 42 cubitos, pero otros no. Así que la siguiente sesión comenzó mostrando una posible visualización, prestando especial atención a la expresión aritmética que representa esa forma de contar.

Y después, la ficha con la tarea. Hay que pintar sobre cada una de las configuraciones y escribir en el recuadro la expresión correspondiente. También les entrego una hoja con un geoplano isométrico para la segunda parte. Conviene observar que esta tarea es un ejemplo claro de atención a la diversidad, cosa que no siempre conseguimos. Los alumnos que visualizan con más facilidad, tienen que buscar más expresiones para una misma configuración. Por ejemplo, contando los que hay en lugar de los que faltan.

Descargables

Ficha con el problema de contar cubitos, lista para imprimir.
Geoplano isométrico.

¡Un saludo y feliz clase!

Una introducción a Desmos

Sat, 13 Oct 2018 00:00:00 +0000

La utilización de las TIC en nuestras clases puede responder a diversos propósitos. Estando claro que no hay que introducirlas porque sí, podemos distinguir entre herramientas generalistas, como Moodle o Edmodo, de carácter organizativo; o Kahoot, con el que se consiguen interacciones de aula que pueden resultar atractivas de cuando en cuando. Sin embargo, la dinámica de uso de todas estas herramientas es la misma sea cual sea la materia. Me explico, da lo mismo si estamos enseñando historia, lengua, música o matemáticas. O lo que sea. Sin desdeñar estas herramientas (soy el primero en usarlas), siento más interés por otras que sí que afectan en cómo aprenden nuestros alumnos. En los significados que adquieren. El ejemplo más claro en matemáticas es Geogebra. Esta entrada la voy a dedicar a otro software con elementos de geometría dinámica, Desmos, que también añade la posibilidad de plantear secuencias didácticas muy interesantes. Vale, algunas de ellas pueden llevarse a cabo sin TIC, como el polígrafo, sí, pero Desmos lo facilita mucho. Y otras conjugan la potencia de la geometría dinámica con discusiones de aula muy ricas.

¿Qué es Desmos?

Realmente, Desmos se compone de diferentes aplicaciones:

Una calculadora gráfica.
Una calculadora con cuatro campos de entrada que se pueden relacionar de forma interactiva.
Una calculadora científica.
Una herramienta de geometría dinámica.

Sin embargo, el factor diferenciador de Desmos son las actividades y secuencias didácticas que ofrece, ya preparadas para su utilización y edición. Comentaremos a continuación las más TOP.

Las canicas

Supongamos que echamos un vistazo a la lista de las actividades más populares y que elegimos Marbleslides: Lines. La descripción inicial indica la duración aproximada (45-60 minutos) e incluye una breve explicación y se clasifica a las actividades por tipos: introducción, desarrollo, para practicar o para aplicar. Marbleslides: Lines es una actividad de desarrollo, con la que los estudiantes pueden profundizar en lo que significan los parámetros de la ecuación de una recta, o cómo expresar restricciones en el dominio de estas. En este caso nos encontramos con una guía para el profesor, imprimible y que refleja una serie de buenas prácticas y consejos para pautar la actividad:

Aquí, por ejemplo, se señala la conveniencia de comenzar con lenguaje matemático informal e ir incorporando poco a poco respuestas más formales. En otras palabras, puede decirse que el diseño de la actividad tiene en cuenta el proceso de negociación de significados que caracteriza, por ejemplo, al aprendizaje basado en problemas. Es a partir de las tareas propuestas que emergen los objetos matemáticos considerados en los contenidos. El significado de estos objetos difiere según las situaciones, pero también varía entre los individuos y las instituciones de referencia. Así, ante una fracción como 3/4, un alumno puede estar pensando en los 3 trozos que se ha comido de una tarta dividida en 4 partes; mientras que otro directamente piensa en 0,75; y el docente puede estar pensando en el número racional. El diseño de las secuencias didácticas en Desmos reserva momentos para evaluar estos significados personales, permitiendo negociarlos a través de las sucesivas tareas.

El mecanismo es similar al de otras aplicaciones, como Kahoot. Creamos un código de clase para la actividad y, a partir de ese momento, al docente le aparece un enlace en su lista de actividades para gestionar la misma a través de su dashboard. Este código es el que tienen que introducir los estudiantes en https://student.desmos.com, aunque también se genera un enlace que conduce directamente a la instancia de la actividad. Si los alumnos están registrados en Desmos, podrán volver a la sesión más adelante, pero no es un requisito.

En Las canicas, todo un manipulable virtual, los alumnos deben modificar la expresión de una recta, añadir otras rectas o definir restricciones a un nuevo dominio, de manera que consigan crear un circuito de canicas para que estas pasen por unos puntos predefinidos de antemano por medio de unas estrellitas. Realmente, se puede trabajar esta actividad con rectas o parábolas, ya que tenemos Marbleslides: Lines y Marbleslides: Parabolas y, en cualquier caso, el programa no restringe la función a utilizar.

Por ejemplo, en la Figura 2 basta con extender el dominio, definiendo la función para x<6 en lugar de para x<4, para que la fuerza de la gravedad haga su trabajo y la canica llegue a pasar por la estrellita que está en las cercanías del punto (10,1). Esta solución se muestra en la figura anterior, a la izquierda, y la expresión que hay que introducir es la siguiente:

$$y=-0.4x+6\left\{x<6\right\}$$

Sin embargo, otros alumnos podrían haber planteado:

$$y=-0.4x+6\left\{x<10\right\}$$

$$y=x-9$$

No todas las tareas que componen la actividad son iguales. En las primeras pantallas se proporciona la expresión de alguna función lineal y únicamente hay que cambiar algún parámetro. En las siguientes pantallas se trata de predecir lo que ocurrirá si se cambia el parámetro indicado y de comprobarlo. Las respuestas de los estudiantes pasan a estar disponibles para todos los demás, de manera que cuando llega la puesta en común, todos están al corriente de lo que han puesto los compañeros que han llegado antes a esa tarea. Las últimas pantallas son retos (challenges) en los que los alumnos deben introducir las expresiones que consideren oportunas.

El escritorio del profesor (dashboard) ofrece información para gestionar el desarrollo de la secuencia. De esta manera, el profesor puede observar el avance de cada uno de los alumnos (o parejas, si lo estamos haciendo por pequeños grupos). Además, puede detener la actividad para las puestas en común o momentos de institucionalización.

Aterrizando el avión (Landing the plane)

Al igual que las canicas,esta actividad forma parte del linear bundle, una secuencia más extensa sobre funciones lineales. Aquí se trata de encontrar la ecuación de la recta que representa la trayectoria óptima para el aterrizaje de un avión. Las primeras pantallas se dedican a explorar el entorno o implican cambiar únicamente algún parámetro, mientras que más adelante se ofrece menos guía al alumno y se plantean cuestiones para la reflexión.

El polígrafo

Se trata de un quién es quién en toda regla y es una de las actividades más populares en Desmos, siendo fácilmente editable. De hecho, esto último es la gran ventaja que ofrece respecto a la versión física. Hay polígrafos subidos por otros profesores sobre los más variados contenidos (una búsqueda en septiembre de 2018 devuelve nada menos que 56 polígrafos). La siguiente captura de pantalla es del polígrafo de parábolas. Al igual que el quién es quién, se juega por parejas. Es decir, un ordenador para un estudiante o pareja y otro para otro. Conforme se van registrando los alumnos en la actividad, la propia plataforma los va emparejando para jugar. Se juega por turnos, de manera que una vez es un estudiante el que tiene que adivinar el objeto oculto, haciendo las preguntas necesarias. Estas cuestiones deben formularse de forma que se puedan responder con un sí o un no.

Los polígrafos son una excelente actividad de introducción, ya que permiten evaluar el conocimiento previo del alumnado, qué términos emplean, cómo describen los objetos matemáticos, etc. Por otro lado, también se pueden utilizar como actividad de desarrollo. No en vano, en el linear bundle, en el que se enmarcan la actividad de las canicas y la del avión, se incluyen dos polígrafos, uno como actividad de introducción y otro como desarrollo.

Representando historias gráficamente (Graphing stories)

Esta actividad está inspirada en la madre de todos los recursos para el aprendizaje de las funciones. Bueno, puede que exagere. O no. Me estoy refiriendo al librito de Swan (1985) titulado The language of functions and graphs, del* *Shell Centre. Hay una versión traducida por Alayo (1990), *El lenguaje de funciones y gráficas, *publicada por el Ministerio de Educación que se puede descargar gratuitamente.

Si en el libro de Swan aparecen circuitos de carreras y otros ejemplos a los que hay que asociar o crear una gráfica, en este caso el valor añadido radica en que se trata de vídeos. Este hecho, junto con la posibilidad de ir representando gráficamente la función que describe cada situación según avanza el vídeo, aumenta el rango de contextos y situaciones que podemos utilizar en la enseñanza y aprendizaje de las funciones.

Las tareas que contempla la secuencia, por otro lado, no se limitan a representar cada función, sino que antes de ello se incluyen preguntas para detenerse en las magnitudes involucradas, las unidades de medida apropiadas, etc.

Unos comentarios finales

Aunque el diseño de estas actividades está específicamente pensado para ser llevado a cabo en el aula con la guía del profesor, bien sea con portátiles, dispositivos móviles o en una sala de informática; también es posible asignar actividades de Desmos como tareas para casa. Esto es algo que tiene sentido, por ejemplo, con las actividades para practicar. Algo que solo hemos mencionado por encima es que Desmos permite que los usuarios (profesores) suban modificaciones a muchas de las actividades por defecto y otras nuevas. No resulta complicado modificar actividades ya existentes. Para ello, en la propia web hay bastante material de ayuda.

Dejamos para otra ocasión la experiencia de utilizar las funciones de edición avanzadas de Desmos. Al igual que hace Google con su Google Labs, al marcar las opciones de Desmos Labs accedemos a funcionalidades en estado beta que, en este caso, permiten crear tus propias Marbleslides, utilizar la herramienta de geometría en el constructor de actividades e, incluso, utilizar la capa de computación, con la que se puede utilizar un lenguaje de programación para diseñar actividades más sofisticadas.

Referencias

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Una introducción a los tipos de actividades que podemos encontrar en Desmos. Entorno Abierto, Boletín Digital de la Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemática, 24, 4-10.

Un ticket de la compra de un día cualquiera

Tue, 26 Sep 2017 00:00:00 +0000

Bueno, cualquiera, cualquiera, no. Y vaya por delante que el ticket es correcto. Ahora bien, descifrarlo es todo un desafío matemático y puede ser utilizado en el aula. Pero comencemos por el principio, ¿qué es eso de Welcome Pack que aparece tantas veces a lo largo del rollo? Cabe decir que ese día me di alta en una especie de club de ahorro en esa cadena, y por ello, me daban 5 euros de descuento. Para completar la información, debo decir que los artículos que marcaban descuento por oferta en los expositores, ya salen con el descuento correspondiente aplicado, salvo las que indican Dto Precio Plus, que aparece explícito en el ticket.

Y todavía se puede exprimir más el ticket. Un poco más abajo, venía la información de la tarjeta de crédito (cosa que, obviamente, he quitado) y los descuentos totales (del programa Plus) y el IVA aplicado. Sí, si nos preguntábamos que son las letras A y B que aparecen al lado de cada producto… es el tipo de IVA. Porque no es lo mismo comprar yogures que queso, por lo menos para los que legislan este tipo de cosas.

Este ticket, u otro cualquiera, se puede trabajar fácilmente en clase:

¿Dónde están los 5 euros de descuento del Welcome Pack?
¿Qué descuento me están haciendo en las frambuesas congeladas? ¿Y en el pan gallego?
¿El IVA se aplica antes o después de efectuar los descuentos?

Una interesante actividad sobre probabilidad (y geometría) con la impresora 3D

Sun, 16 Jul 2017 00:00:00 +0000

Eso que aparece imprimiéndose en la foto de portada, es un dado. Diseñado por un alumno de 2º de ESO. Se trata de una experiencia piloto en primer ciclo de secundaria sobre la enseñanza-aprendizaje de nociones probabilísticas, en la que los alumnos diseñan dados, los imprimen en 3D y posteriormente analizan si son sesgados. La experiencia se enmarca dentro del significado frecuentista de la probabilidad, facilitando su puesta en relación con el significado clásico o a priori.

Para esta experiencia se optó por utilizar Tinkercad, que simplifica la tarea de diseño. Se planteó como actividad voluntaria en 2º de ESO, prácticamente a final de curso y la consigna inicial fue la siguiente:

La tarea consiste en diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade 0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados. A continuación, os explico cómo hacerlo.

Consideraciones en el diseño de dados

El diseño de dados no es algo trivial, habiendo propiciado interesantes discusiones en los repositorios de modelos online, como Thingiverse. Los usuarios han realizado, incluso, pruebas chi-cuadrado de significancia estadística para comprobar el correcto balanceo de los dados. Las conclusiones más relevantes son:

Los dados con esquinas más redondeadas, evidentemente, ruedan más. Esto es algo que amplifica cualquier sesgo de diseño, lo que constituye una ventaja de cara a nuestros objetivos.
Si colocamos el dado para que se imprima girado 45º, obtenemos mejores resultados.
El porcentaje de relleno de los dados influye. El software traductor permite ahorrar plástico, rellenando el interior de la pieza con un mallado rectangular o hexagonal. Se comprueba que es mejor imprimir dados sólidos al 100%.

Errores de los alumnos

Los errores de diseño que se identifican en los diseños de los alumnos, y que se prueban experimentando, son los siguientes:

Cuando se indican los puntos con cavidades, no se ha retirado la misma cantidad de material en todas las caras, por lo que unas caras pesan más que otras
Un error similar se produce cuando en lugar de retirar material, se añade, con lo que se propicia que se mantenga sobre ciertas caras mayor masa que en otras.
No se tiene en cuenta que la suma de las puntuaciones de las caras debería sumar 7 para facilitar el equilibrado del dado (esto está relacionado con el error de tipo 2), como ocurre en los dados estándar.
No se centran o alinean los puntos de cada cara, lo cual influye también en la distribución de masa del dado.
El dado no presenta las mismas dimensiones en todas sus caras.

Para saber más

Todo esto se explica con detalle en: Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad.Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Las tijeras, un gran recurso en geometría

Wed, 14 Jun 2017 00:00:00 +0000

Muchas veces andamos como locos buscando nuevos recursos que faciliten el aprendizaje de nuestros alumnos. Sin embargo, otras veces descuidamos materiales cotidianos que resultan muy eficaces para trabajar muchos contenidos.
Un gran ejemplo de esto son las tijeras.

Ejemplo de problema y error típico

Muchos alumnos, de todas las edades, presentan dificultades a la hora de interpretar un problema como el siguiente ( sacado de un examen oficial de competencias N-2):

Se quiere pintar las paredes de una habitación, la habitación tiene forma rectangular, el largo de la habitación mide 6 m, el ancho mide 4,5 m, y la altura, 2,50 m. En la habitación hay una puerta de 1,60 m de ancho y 2,10 m de alto y un ventanal cuadrado de 2 m de lado. Si por cada 10 m2 necesitamos un litro de pintura y la pintura cuesta 8 € el litro, ¿cuál es el coste de toda la obra?

Y es que no son pocos los alumnos, en este caso personas adultas, que confunden el volumen con el área lateral. Así, nos encontramos con casos en los que la primera operación que se hace es:

$$6 \times 4,5 \times 2,50$$

Lo cual es un volumen, expresado en m3, al que luego suman el área de la puerta y la ventana.

Una forma sencilla de trabajar el área de un cuerpo en el espacio

Vamos a clase con una caja de galletas, o de lo que sea, vacía. Y con unas tijeras. De hecho, lo mejor es planificar la actividad y pedir que cada alumno (o grupo de alumnos) traiga una caja y tijeras. Una sugerencia de secuencia podría ser la siguiente:

Antes de romperla, medir cada una de las aristas y calcular el volumen. Anotarlo en el cuaderno.
Antes de romperla, tratar de dibujar en el cuaderno cómo quedaría “desplegada”, de forma que pudiera plegarse de nuevo para formar la caja. Anotar las longitudes de las aristas y calcular el área de esa figura.
Romper la caja, cortando por las aristas que se quiera, pero de forma que quede “desplegada”. Estudiar la relación entre los rectángulos (caras) del cartón y los que se han dibujado en el cuaderno y calcular el área del cartón.
Comprobar si el área calculada antes de romper la caja coincide. Si no es así, ¿en dónde hemos cometido algún error?

En cualquier caso, es buena idea que el profesor repita la actividad en otro momento si detecta que sigue produciéndose esta confusión.

Cómic - Estrategias de resolución de problemas de Polya

Wed, 05 Nov 2014 00:00:00 +0000

Aquí dejo un cómic que he creado con Marvel’s Create Your Own Comic para el curso de Digital Storytelling for Teachers del Intef. Ha tenido cierta difusión por Twitter, lo cual me llena de orgullo y satisfacción :)