Manipulativos | Pablo Beltrán-Pellicer

Manipulativos virtuales en tierradenumeros.com

Thu, 06 Aug 2026 00:00:00 +0000

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Llevo unos días trasteando con la inteligencia artificial para crear manipulativos y juegos para matemáticas. Algunos, pequeñas variaciones (o no) de lo que hay por ahí. Otros, más difíciles de encontrar, al menos para mí, como las geotiras (geo strips). Os cuento. 🧵

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Las que tenemos por la facultad son de las originales de Invicta Education, que todavía se pueden encontrar porque la firma sigue activa. En la guía de su web se pueden ver las medidas de cada tira. Y sí, eso que se ve en la imagen son encuadernadores.

En efecto, si te recuerdan a las de un meccano, estás en mi equipo. Es lo primero que pensé la primera vez que las vi. De hecho, hoy en día hay juegos de meccano o similares que, valga la redundancia, darían un juego similar en clase.

El manipulativo permite jugar libremente con las geotiras y plantear las actividades que se quieran. En particular, vienen muy bien para explorar relaciones de propiedades geométricas de figuras planas. Aquí he pillado dos iguales y las he unido por el centro.

Con lo cual, estoy generando una familia de figuras que comparten que son cuadriláteros cuyas diagonales son iguales y se cortan por el punto medio. Si hay que ponerle nombre a esa familia, ¿qué nombre le ponemos?

En efecto, son rectángulos. Eventualmente, si a las propiedades anteriores se le añade que las diagonales, además, son perpendiculares, será un cuadrado. Pero forma parte de la misma familia, por lo tanto, también es un rectángulo. Es solo un ejemplo de actividad que se puede hacer con estas geotiras. En particular, favorece pasar de un nivel de análisis (Van Hiele) a uno de clasificación en donde unas propiedades se deducen de otras y las clasificaciones pasan de ser particionales a jerárquicas.

Pero a lo que iba. Este manipulativo y otros que iré comentando los he dejado en un apartado de mi web, que iré ampliando. Todos se pueden abrir a pantalla completa en una pestaña aparte. Permiten guardar lo realizado para recuperarlo otro día. tierradenumeros.com/manipulativos/

Manipulativos virtuales | Pablo Beltrán-Pellicer

O, en el caso de los poliminós, se me ocurre que puedo querer crear puzles y luego recuperarlos otro día. Iré comentando todos, a ver qué os parecen. Además, para el que le guste trastear, los he dejado en un repositorio en GitHub. github.com/pbeltranp/tierradenumeros

GitHub - pbeltranp/tierradenumeros-manipulativos: Manipulativos virtuales para educación matemática

Así se pueden crear issues, modificar y hacer forks o, yo que sé, si alguien quiere embeberlo en un moodle, que pille el html directamente.

Y ya, es que estos días mi casa parece un bootcamp tecnológico y me he dejado llevar. Antes de que me preguntéis, lo que he usado es @claudeai. Ya me diréis qué os parecen. ☺️

¿Cuál es el siguiente a 1,29 euros?

Sun, 03 May 2026 00:00:00 +0000

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¿Es el sistema monetario un manipulativo excelente para aprender sobre «números decimales»? Si estás meneando afirmativamente la cabeza, la pregunta clave es: ¿Cuál es el siguiente precio a 1,29 €?

En la tienda, el «siguiente» precio a 1,29 € es 1,30 €, pero la respuesta a cuál es el número siguiente a 1,29 no es 1,30. Resulta que entre 1,29 y 1,3 puedo encontrar infinitos números. Por ejemplo, 1,29001 es mayor que 1,29 y es menor que 1,3. Podría seguir intercalando números eternamente. Y esto es algo que distingue al número racional del número natural. He puesto antes «números decimales» entre comillas porque de lo que se está hablando en realidad es del número racional, eso sí. Y de su representación decimal.

Así que una cosa es aprender sobre sistema monetario y otra sobre representación decimal de los números racionales. Los racionales no hacen falta para abordar problemas alrededor de sistema monetario, con los naturales sobra (basta con pensar en el céntimo de € como la unidad). De hecho, cuando se ejercitan -habitualmente de manera bastante pobre- algoritmos de las operaciones con cantidades que expresan valores económicos, los algoritmos son los mismos que para naturales.

Se pierde el foco en las propiedades de ese nuevo tipo de números, los racionales, a los que nos vamos asomando progresivamente en la primaria y al comienzo de la secundaria. P. ej., esa idea de densidad de los racionales, que comentaba antes y que los distingue de los naturales. Pero cambian muchas más cosas, ya desde la misma representación. Con los naturales, un número más largo que otro es mayor. Ahora no. Y desde las operaciones, que un número puede ser más pequeño cuando lo multiplicas.

Por lo tanto, el sistema monetario, billetes y monedas, no sirve como manipulativo o contexto adecuado para la representación decimal de los racionales. De hecho, mucho énfasis en esto provoca la falsa ilusión de que si sé sobre monedas, sé sobre «números decimales».

En el fondo (y en la superficie), veo que estoy diciendo lo mismo que hace unos años en este otro post. 🤭

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Dibuja un triángulo y pinta los ángulos

Mon, 23 Feb 2026 00:00:00 +0000

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¿Lo mejor de la semana? El por qué que soltó una alumna en un taller de origami y matemáticas en Primaria. Dibujad triángulos. Mejor si somos creativos. Pintamos los ángulos y los rompemos.

¿Cómo? Sí, y tratamos de juntar los vértices en un punto. A ver qué observamos.

Ahí no hay nada de origami, vale. Es el aperitivo. Y ya en lo de ser creativos dibujando triángulos había matemáticas. Porque salirse de los estereotipos en geometría… Pero ¡¡¡por qué pasa eso, si nos has dejado dibujar el triángulo que quisiéramos!!!

No habrá origami todavía, pero matemáticas hay un rato. Observar, conjeturar de manera bastante sólida que está pasando algo muy curioso con cualquier puñetero triángulo, tiene un valor tremendo ya. Para dar respuesta a ese por qué tendríamos que iniciar un caminito de comparación de ángulos y cómo esto se relaciona con la idea de paralelismo. Pero… yo lo que venía a hacer aquí es otra cosa.

Esto era curioso, ¿verdad? Pues ahora el reto:

¿Seríamos capaces de juntar los tres vértices en un punto, sin cortar, para mostrar qué se forma igualmente un ángulo llano?

Esto último es un ejercicio para los lectores. Es algo que se ve menos que el aperitivo, que es un clásico que debería ser habitual. No vale ver el dibujico en un libro de texto y hala, los ángulos de cualquier triángulo suman 180º.

Una práctica muy especial en Magisterio de Educación Primaria y reflexiones sobre medida

Fri, 20 Sep 2024 00:00:00 +0000

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Decimos que somos conservadores para cierta magnitud no por nuestra ideología, sino porque somos conscientes de que la cantidad de esa magnitud no cambia cuando sí lo hacen características irrelevantes del objeto. Os cuento una de las prácticas que hacemos en la Facultad de Educación de Zaragoza.

Esta práctica lleva años haciéndose en Didáctica de la aritmética II, asignatura dedicada a la didáctica del número racional. Empezamos con magnitudes y medida, lo que nos permite dotar de significado a fracciones, decimales y proporcionalidad.

En la práctica, nuestros estudiantes, en grupos y con material manipulativo, realizan una serie de situaciones didácticas en torno a masa y capacidad/volumen (la anterior práctica era similar, pero con longitud y área).

Deben discutir y escribir el proceso que se efectúa en cada una de esas situaciones. Posteriormente, clasificarlas según una categorización que les pasamos. Si quieres saber más, pásate por aquí

Este año le propuse a Chus Siaba que realizara alguna de las actividades. Más que nada, porque aunque TODO lo que hacemos en la asignatura está relacionado con el trabajo de aula de un/a maestro/a de Primaria, siempre hay alguien que dice que no. Que a lo mejor es alguien que no ha venido a clase o ha estado de cuerpo, pero no de mente presente, eh. O que en Prácticas Escolares cae no se dónde y ve lo que sea. Yo qué sé. El caso es que Chus, en cero coma, se hizo con un kit.

Y en sesión y pico de clase trabajó un par de esas actividades. Nosotros en la práctica trabajamos 14 y avisamos que claro, que eso en Primaria no va así, pero que todo son gérmenes de diversas situaciones de enseñanza y aprendizaje (AKA situaciones de aprendizaje™️).

La actividad: Cada alumno dispone de dos pastillas de plastilina iguales. Reciben la siguiente consigna: “Coge una pastilla de plastilina y realiza con ella una bola. ¿Qué pesa más, la bola o la pastilla de plastilina?”

Muy poquitos, en un 3º de Primaria, dicen que pesan lo mismo. Y las discusiones son deliciosas. A nuestros estudiantes les damos algún dato de estudios de hace años sobre conservación, pero nada como una conexión en directo, aprovechando la disponibilidad de @chussiabaleston para hablar con él. Esa charla también nos sirvió para que nos hablara de la gestión de aula que hace al estilo thinking classrooms.

Una reflexión con la que me gustaría se quedaran mis estudiantes es la siguiente. Ese alumnado de 3º EP, a priori, si siguiera el currículo de facto (según lo que sale en libros usuales de texto), enseguida estaría haciendo cambios de unidades dentro del sistema métrico decimal.Con escaleras, trucos nemotécnicos y cancioncillas, claro. Cuentas. Porque claro, trabajar situaciones de conservación, comparación y medida directa con unidades arbitrarias parece que es perder el tiempo.

¿Qué sentido tiene ponerlos a pasar de decagramos a centigramos? Especialmente cuando les faltan experiencias y reflexión sobre la magnitud.

Si has llegado hasta aquí y te interesa todo esto de la medida y por qué medir en matemáticas, te invito a escuchar nuestro podcast Ábacos y geoplanos, en iVoox y otras plataformas. Los dos primeros episodios van dedicados a esto. Link: ¿Por qué medir en matemáticas?

Reflexiones ante el uso de manipulativos para el número racional (fracciones, decimales, etc.)

Sun, 29 Oct 2023 00:00:00 +0000

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Algo característico de una didáctica específica, como la de las matemáticas, es que tiene muy presente el objeto de aprendizaje y su naturaleza. Ejemplo: si nos planteamos usar las regletas de Cuisenaire para construir el racional (fracciones…), ocurren cositas.

Hay que tener claro q son material estructurado y discreto. Y que, por lo tanto, no son lo mejor para trabajar con magnitudes continuas, como la longitud, cuya medida es lo que hace que emerja la necesidad del número racional positivo.

No es la primera vez que doy la turra con esto, ni será la última. Me fascina reflexionar sobre el uso de manipulativos. Desde luego, esto no es un alegato en contra del uso de manipulativos, ni mucho menos. Son esenciales. Pero hay que planificar su uso y ver cuál es el más adecuado. Unas simples tiras de papel aquí lo hacen estupendamente ( ver esta publicación).

¿Y con los “números decimales”?

Los bloques multibase vienen bien para cositas del sistema decimal posicional con naturales (ej., 10 u hacen 1 d). Conectan genial con técnicas intuitivas de conteo. Pero, si presento esto para q el “output” sea 3,24, ¿estaremos trabajando una representación del número racional?

Los números decimales no existen. En todo caso, hablamos de la representación decimal de los números racionales (de ahí las comillas). Y no es sencilla. Y hay que tener en cuenta propiedades de ese conjunto numérico (densidad, especialmente, pero no solo), para que no estemos trabajando con pseudonaturales en lugar de con racionales.

No puedo evitar mencionar el gran trabajo de aula en Primaria de docentes como Manuel Siaba Lestón. En este hilo muestra reflexiones profundas sobre representaciones decimales en un contexto de reparto:

Curso 2022 5º . Recomiendo SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS UN ESTUDIO CON MAESTROS EN FORMACIÓN (Tesis J. M. Gairín Sallán). Y sí ,ahora, el reparto fuera de 5 tortillas 11 personas 🤔

La reflexión más interesante q surge en este momento es q los números q admiten una representación decimal finita también admiten otra infinita, disminuyendo la última cifra significativa y añadiendo una «cola» infinita de nueves.

Para ampliar

Grupo de Telegram sobre racionales

Si estás interesado/a en una aproximación con significado a todo lo que tiene que ver con el número racional (medida, magnitudes, fracciones, decimales, proporcionalidad, etc.) este es tu grupo de Telegram: https://t.me/+BBaYf0FZZlszYTc8

Lee el post fijado porque ya hay mucha información y materiales. Internivelar Primaria/ESO.

¡Salu2!

No existen las «matemáticas manipulativas»

Mon, 25 Jul 2022 00:00:00 +0000

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No existen las «matemáticas manipulativas». Los manipulativos no son recetas mágicas ni su uso implica una comunión con una visión concreta de las matemáticas. Intento compartir una reflexión veraniega sobre ello.

Mi ejemplo favorito para ilustrar esto son los números enteros. Cualquier modelo concreto, sea con manipulativos o un modelo referido a un fenómeno sensible, presenta obstáculos. Cualquiera. Para saber más sobre los enteros, aquí.

Los números enteros, con sus propiedades de orden y su estructura aditiva y multiplicativa, surgen por una necesidad interna de las matemáticas. A más de uno (a mí me pasó) le vuela la cabeza que haya que detenerse en clase en «tontadas» como por qué (-8) es menor que (-2).

Cuando utilizamos un modelo concreto para esto, funciona porque nosotros, como docentes conocedores de las reglas del juego, explicamos cómo usar el manipulativo. Se suma así, se resta asá, etc.

“Funciona”, en el sentido de una regla nemotécnica. En lugar de aprenderse a palo seco unas reglas algebraicas, te aprendes cómo usar un manipulativo. Dos de estas hacen un -2, junto estas para hacer un cero, etc.

¿Sirve mejor como recordatorio de las reglas de los signos en este caso? Evidentemente, porque tienes más puntos de apoyo para recordar. Pero si se te olvida lo uno, y sigues sin dar sentido a lo otro, estás perdido.

¿Hemos hecho matemáticas en el proceso? ¿Qué matemáticas? Si el manipulativo solo sirve como facilitador para recordar y no como medio para reconstruir el objeto en caso de olvido, cuando hablamos de técnicas como estas de la regla de los signos, lo siento pero tecnología.

El otro día decía que yo nunca digo que no es que no haya que ver técnicas, sino reflexionar acerca de qué técnicas son interesantes y cómo llegar a ellas. Si evitamos ciertos procesos en su construcción, no pasa nada por tirar de tecnología.

Ay, profe, que no sé si $(-2)(+3)$ es $+6$ o $-6$. Había una regla o algo. Desde luego, tendremos algunos alumnos que ya pueden haber vivido la experiencia más constructiva al respecto posible y que sigan teniendo estas dudas.

Pero cuando estemos haciendo matemáticas, tengamos claro qué matemáticas queremos hacer. Si eso es coherente con lo que pensamos, adelante. Nada más.

Otro ejemplo que he mencionado alguna vez, y admito que puede ser más sutil, lo encontramos en las regletas de Cuisenaire. Es verdad que un buen o mal uso pasa, en primer lugar, por el lenguaje que se utilice. Dejando a un lado el tema del color, que se las trae…

Resulta que en aritmética mal, porque no conectan directamente con el conteo. Y en medida, su propósito, regular, porque al ser estructuradas se saltan cositas del proceso de medida y no dan pie a que el alumno construya eso por sí mismo.

Por eso las tareas iniciales suelen ser muy guiadas. Que sea estructurado significa que, aquí, hay 10 regletas con unas medidas concretas. Hay una estructura que permite hacer unas cosas y otras no. Es un material diseñado de antemano para reflejar cierto objeto matemático.

Esto último no es malo per se. De hecho, las regletas podrían servir para establecer conexiones en cierto momento, pero como tareas iniciales de medida tienen sus pegas. Mucho mejor un material sin estructurar para tener que tomar decisiones a la hora de construir la subunidad.

A tope con los manipulativos (en mi perfil hay varios hilos que muestran que los he usado en secundaria). Pero también con la reflexión acerca de su uso. A mí, personalmente, me ha servido de mucho preguntarme si lo que hago concuerda con mi idea de las matemáticas.

Vaya, que con esto no quiero desanimar al uso de los manipulativos, eh. Que sé de coles de primaria donde su presencia es testimonial o nula y eso no puede ser. Y en secundaria, en fin.

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A vueltas con los algoritmos tradicionales

Mon, 14 Mar 2022 00:00:00 +0000

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Con lo bueno que es este tuit y ya he leído por ahí que si los algoritmos tradicionales por aquí y por allá. Hasta las narices, pero lo diré una vez más.

Link al tweet

El ÚNICO problema que tienen los algoritmos tradicionales radica, en todo caso, en la enseñanza «tradicional» de estos con objetivos «tradicionales».

Más aún, ahora en el currículo de primaria está el sentido algebraico y pensamiento computacional. No sé cómo lo veréis, pero los algoritmos forman parte de ese pensamiento computacional.

Que en primero y segundo de EP habría que limitarse a algoritmos en contextos de orientación espacial, acciones varias, etc. Sí. Y no ver un algoritmo de las operaciones, ni tradicional ni otro, también.

Pero a partir de final de 3ºEP o 4º EP los algoritmos de las operaciones son una oportunidad excelente para revisitar conceptos que tienen que ver con el sistema de numeración posicional y, vaya, cosicas del pensamiento computacional.

Las actividades sobre algoritmos de las operaciones pueden (deben) arrancar del trabajo con manipulativos. Como siempre, la reflexión sobre las acciones físicas que se hacen es la que motiva las instrucciones del algoritmo.

A partir de ahí, y teniendo claro que el algoritmo con lápiz y papel para obtener, simplemente, resultados de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, deja bastante que desear y que, como mínimo, es una alternativa más… se plantea un mundo de posibilidades.

Y con estos números, ¿habría que modificar el algoritmo?
¿Y si empezamos por la izquierda en lugar de por la derecha?
Y este otro algoritmo (se enseña una representación, como el de la multiplicación “japonesa” o “maya” -viral en cualquier caso 🤪-).. ¿cómo funciona?

¿Con manipulativos? ¿Cómo? Algo así. En el hilo lo muestro con billetes de base decimal, pero para los de la suma y la resta usaría puntos-barras-placas o similares.

Sumas y restas con llevadas, traditional flavour, con billetes

Aquí multiplicación y división

¿Distintos algoritmos en clase?
Sí.
Es que se lían.
Es que una cosa es restar y otra trabajar algoritmia (por lo de pensamiento computacional).

Y si en clase tengo alumnado que usa el algoritmo anglosajón y otro que…

Multiplica al revés

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Sobre una secuencia de enseñanza de la medida de infantil a secundaria

Sun, 21 Mar 2021 00:00:00 +0000

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Actividad en 2º ESO: mide el área del mantel (amarillo) tomando como unidad la servilleta (naranja). No te creerás lo que pasó a continuación.

Hilo sobre medida en el Día Internacional de las Matemáticas #idm314

Efectivamente, hay alumnos que sacan una regla, miden el largo y ancho del mantel, multiplican y te dicen que el área mide no sé cuántos centímetros cuadrados.

No, tomando esto (la servilleta) como unidad.
¿Ein? [Insert aquí cara de «pero qué me estás contando»]

También los hay que miden el perímetro con la regla y te dicen que el área mide tantos centímetros. Ojo, que estamos hablando de alumnado de 13-14 años de edad.

Que a lo mejor nos ponemos a hablar alegremente de unidades, fracciones y demás cosas del montón y a saber lo que estará pasando por esas cabecitas.

Eso sí, la escalera para cambiar unidades se la conocen todos. Porque parece que hablar de medida en primaria es hablar de cambios de unidades del sistema métrico decimal (con la escalera o regla similar). Eso, y aprender sobre el sistema monetario.

Resulta que aprender sobre el sistema monetario es… aprender sobre el sistema monetario. Sí, vale, hay una magnitud, que es valor económico. Y este valor puede expresarse con diferentes unidades, como euros o dólares. Sin embargo, ¿qué procesos de medida ponemos en juego?

Es decir, ¿cómo puedo adjudicar un valor económico a determinado objeto? ¿Cómo se establecen las equivalencias entre las diferentes unidades? Aunque estos procesos existen con esa magnitud, quedan muy, muy lejos de lo que debería ser la medida en infantil, primaria y secundaria.

Me habéis leído poner a caldo la dichosa escalerita para el cambio de unidades. Este es el hilo que (quizás) estabais esperando y que intenta sintetizar de qué hablamos cuando hablamos de MEDIDA.

Las investigaciones de Piaget dieron lugar al establecimiento de estadios evolutivos en esto de la medida:

Comparación perceptiva directa.
Comparación por desplazamiento de objetos.
Medida con unidades objetales.
Medida con unidades convencionales.

Ello propició el diseño de secuencias didácticas en las que, por ejemplo, no se abordaban tareas de medida de cierta magnitud hasta que el niño o la niña fueran conservadores. Sin embargo, Carpenter y otros investigadores mostraron que la cuestión no era tan dicotómica.

Mostraron que plantear tareas de medida podía favorecer el desarrollo de la idea de conservación. Después expondremos los diferentes tipos de situaciones de enseñanza, pero primero vamos a detenernos en la ya mencionada noción de conservación y en la de transitividad.

¿Qué es conservar? Decimos que un niño o una niña son conservadores respecto a una magnitud cuando son conscientes de que, aunque cambie la forma, posición u otras características del objeto, hay algo que permanece constante, que se conserva.

Toma esta pastilla de plastilina. Toma esta otra, mira, antes de darte esta, voy a hacer una bola con ella. ¿Cuál pesa más? Lo que se conserva ahí es la masa. Hemos cambiado la forma, pero la masa permanece constante.

Otro ejemplo con la magnitud longitud consiste en presentarle dos juguetes a un niño o una niña, poner en medio una pared de bloques de construcción y preguntar: ¿están ahora más cerca los juguetes? ¿más lejos?

¿Qué es la idea de transitividad? Posiblemente te suene haberla visto en lenguaje formal. Si a≥b y b≥c, entonces a≥c. Pues aquí es lo mismo, pero expresado en cantidades de magnitud.

Es decir, si un objeto A presenta una cantidad de magnitud igual a la de un objeto B, y la cantidad de magnitud de B es igual a la que presenta un objeto C, entonces A y C tienen la misma cantidad de magnitud. Esto se extiende si cambiamos los iguales por desigualdades.

Vamos con las situaciones de enseñanza que conformarían un trabajo en medida desde infantil hasta secundaria. Los numeritos indican cierta progresión, pero esta progresión habría que verla para cada magnitud.

En todo caso, no es una secuencia fija. Y nos podemos imaginar situaciones de enseñanza que combinan algunas de estas que nombraré, que podríamos llamar «fundamentales».

1. Situaciones de identificación y conservación de la magnitud

Como ejemplos, ya he comentado lo de la plastilina y lo de la distancia con una pared. ¿Alguien está pensando que esto es algo propio de infantil?

Estas figuras… ¿tienen la misma área? ¿el mismo perímetro? La confusión área-perímetro es algo que pervive muchísimo más allá de los primeros cursos de primaria. Si cambia el perímetro… ¿cambia también el área?

¿Alguien está pensando que esto es algo que ya tiene superado del todo como persona adulta? Os invito a pensar qué pasa en esto de aquí.

📷 Trekky0623

De verdad, pensadlo antes de buscarlo en internet. Os dejo las imágenes en grande para vuestra comodidad.

📷 Dnu72

2. Situaciones de comparación directa de cantidades de magnitud sin objetos intermedios

¿Cuál de estos útiles de escritura es más largo?

Esto lo puedo resolver alineando los extremos, sin utilizar ningún objeto adicional. A veces, incluso, se puede responder a este tipo de pregunta comparando por percepción visual.

Cabe observar que todavía no hemos medido nada. Y es que, para comparar no tenemos por qué estar midiendo nada.

3. Situaciones de comparación cantidades de magnitud con objetos intermedios

Mira, tengo esta mesa y quiero saber, sin moverla, si cabrá por la puerta. En la clase podemos tener listones o tiras de papel o de tela.

Podemos coger una tira de papel y utilizarla para marcar la cantidad de longitud presente en el ancho de la mesa. Luego, con esa tira vamos a la puerta, y si la cantidad de longitud del vano es mayor a la de la tira, concluimos que la mesa cabrá.

No hemos medido nada, solo hemos aplicado la idea de transitividad. Obviamente, esto también podría haberse resuelto midiendo. Por eso, es bueno retomar este tipo de situaciones más adelante jugando con las variables didácticas, como el material a disposición del alumnado.

4. Situaciones de ordenación cantidades de magnitud

Dentro ejemplo con la magnitud capacidad. Ordena estos vasos de mayor a menor capacidad. Os invito a realizar esta actividad sin medir, solo trasvasando.

Trasvasar. Rebosar. Llenar. ¡Cada magnitud tiene su propio vocabulario asociado!

La situación de los vasos se puede hacer con un objeto intermedio, poniendo a disposición un recipiente mucho más grande sobre el que marcar la cantidad de magnitud de cada uno. O midiendo, claro, con una cazoleta o similar.

Me gusta pensar en las variables didácticas como mandos de control para sacar todo el jugo posible a una situación en diferentes momentos.

Antes de seguir, voy a dejar una pregunta, como ejercicio. Cuando comparamos el peso de dos objetos con una balanza, ¿es la balanza un objeto intermedio? Me encanta el debate en #cosicasdeDAII.

5. Situaciones de medida con unidades antropométricas o arbitrarias: de cálculo y de construcción

Empezamos con la medida. ¿Empezamos con el SMD? No. Comenzaremos con unidades objetales (tazas, listones, etc.) o antropométricas (palmos, pies, etc.). En definitiva, arbitrarias.

Distinguiremos entre situaciones de cálculo, donde nos dan un objeto y tenemos que averiguar su cantidad de magnitud; y de construcción, donde tenemos que construir cierto objeto con una cantidad de magnitud determinada.

Situaciones de cálculo son medir la capacidad de una jarra en tacitas, expresar recetas de cocina en medidas de la abuela (ojo con esto, porque ese «harina, la que coja», jejeje), medir el área de la mesa en hojas de papel, etc.

La situación del tuit original es una situación de medida de cálculo, con la magnitud área, para abordar la representación fraccionaria del número racional. Se puede hacer en 2º de ESO tranquilamente. Si se hubiese hecho en 6º EP, bastaría algo muy breve o cambiar de magnitudes.

Resulta que esta situación obliga a hacer subunidades.

Y como necesito 9 de esas unidades, el mantel mide 9/4 u.

Esto es medir áreas de manera DIRECTA. Fundamental haber hecho en primaria este tipo de situaciones. Mide esta hoja con estos rectangulines. Mide esta otra. Compara. Etc.

Cuando empleamos las fórmulas de las áreas estamos midiendo áreas de manera INDIRECTA. Porque medimos longitudes y luego operamos con ellas para dar con el área. Hay magnitudes que solo podemos medir de forma indirecta, como la temperatura.

Como ejemplo de situación de construcción, podríamos plantear recortar el forro necesario para forrar un libro, sabiendo que el área es de tantas unidades.

6. Situaciones en las que resulta necesario utilizar las equivalencias de los sistemas de medida

¡Anda! ¿Cómo? Equivalencias sin haber introducido el SMD. Efectivamente. Mira, esto es del episodio de «El problema del tesoro enterrado» de Peg+Gato (serie para 5-7 años).

Mide el área de esta hoja con estos rectangulitos azules. Ahora mídela con estos rojos (tienen un área cuatro veces mayor, pero no lo decimos). ¿Qué observas?

Las situaciones 7 y 8 están muy relacionadas.

** Situaciones de medida con unidades del Sistema Métrico Decimal.**
** Situaciones para determinar el grado de precisión de la medida.**

Un clásico es medir el ancho de la clase con pies. A unos les sale un número y a otros, otro. ¿Qué hacemos? ¿Usamos el zapato de María como unidad estándar? ¿Y si queremos encargar un mural? ¿Enviamos el zapato de María con el pedido? ¿Qué hacemos? ¿Cómo solucionamos esto?

La cuestión es que los niños, actualmente, están en contacto continuo con el SMD, y la respuesta a esa pregunta es prácticamente directa. Mucho mejor medir en metros, claro. Nos hemos puesto de acuerdo en muchos países para medir las cosas.

La situación 9 es transversal completamente a todas las anteriores:

9. Situaciones de estimación de la medida de cantidades de magnitud y ejercitación del cálculo mental en situaciones de medida

No es estimar «en plan adivinar», no.

Podríamos distinguir situaciones de estimación con la unidad presente o no. O situaciones de estimación por exceso y por defecto, tanto a priori (antes de echar las cuentas) como a posteriori (después de echar las cuentas).

Escribía en EDMA0-6 sobre situaciones de estimación en Cyberchase (ver este post).

Y hasta aquí el esbozo de lo que constituye el tratamiento de la medida. Importantísimo en la fundamentación de conceptos matemáticos como el racional.

Todo esto es una especie de resumen de lo que se les cuenta desde @dm_unizar en #cosicasdeDAII a los alumnos de @FacultadEducaUZ desde hace tiempo.

Os enlazo también un hilo que hice sobre el tratamiento de la medida en esa maravillosa serie que es Peg+Gato.

Nada más, feliz #PiDay (que, aunque no hayamos nombrado a Pi, también se fundamenta en todo esto de la medida). Y feliz Día Internacional de las Matemáticas #idm314.

¿Por qué (-8) es menor que (-2)?

Sun, 21 Feb 2021 00:00:00 +0000

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¿Por qué (-8) es menor que (-2)?

(Docente) Fácil, dibuja una recta numérica y lo verás.
(Estudiante) A ver si me aclaro. Yo dibujo la recta, marco el cero y luego escribo los números a la derecha, que van aumentando, cada vez son mayores. Luego me pongo a escribir los números de la izquierda, que también irán aumentando, ¿no? 😖
(Docente) A lo mejor es porque te lo he puesto en horizontal. Vamos a verlo con un termómetro. Las temperaturas aumentan hacia arriba y disminuyen hacia abajo, ¿no?
(Estudiante) Sí, pero a -8 ºC tienes más sensación de frío que a -2ºC. De toda la vida, digo yo… 😖
(Docente) ¿Y si pensamos en un garaje subterráneo?
(Estudiante) Cada vez estás a mayor profundidad, ¿no será que el -8 es mayor que el -2? 😖
(Docente) Espera, que lo podemos hacer con estas fichas azules y rojas. Puedes pensar que son cargas eléctricas. Si tienes 5 rojas y 7 azules, 5 de ellas se neutralizan y te quedan 2 azules, que son negativas. ¿No es mejor tener menos de estas azules?
(Estudiante) 😖

Nota: nos vamos a encontrar obstáculos de este tipo intentando argumentar así con cualquier modelo concreto. Otro ejemplo que me compartía esta mañana @charotaber es esta balanza numérica

Para esto que pretendemos aquí, esa balanza también es un obstáculo. Si puedo compensar el +2 y el +6 con el -8, es que este es mayor, “pesa” más (ya sé que aquí la cosa va de momentos, pero los alumnos en este nivel argumentan legítimamente en estos términos).

¿QUÉ HACEMOS ENTONCES? 😱

Oye, Pablo, que no es para tanto, se enseñan las reglas de los signos y ya lo entenderán más adelante. Bueno, es una opción, pero este “pequeño” gesto se orienta hacia cierta visión de las mates, que a lo mejor no es la que queremos transmitir.

Por ejemplo, cuando en primaria se enseña a dividir con decimales y se habla de bajar ceros, es posible que se piense que:

a) Ya lo entenderán. b) No hace falta que lo entiendan.

Pues con esto lo mismo.

Venga, ¿qué hacemos? Y ojo, que vienen curvas.

(Docente) Deja que piense… Antes hemos aprendido a calcular diferencias de expresiones algebraicas, ¿verdad? Vamos a ver qué tal con esta situación que te voy a plantear. En la primera semana de curso, Alberto consigue ahorrar cuatro euros, mientras que en la segunda semana no recuerda si consiguió ahorrar o no. Por otro lado, María gastó dos euros en la primera semana y tampoco recuerda qué ocurrió en la segunda.
(Docente) ¿Cuál es la diferencia entre lo ahorrado por uno y por otra en la primera semana?
(Estudiante) Hay una diferencia de 6 euros a favor de Alberto… ¿4 - -2?
(Docente) Usaremos paréntesis para no escribir esos dos signos seguidos. Además, así dejamos claro que ese (-2) modeliza la pérdida de euros.
(Estudiante) Vale, entonces 4-(-2)=6. Puedo decir que restar un número que resta equivale a sumar ese número.
(Docente) ¿Y teniendo en cuenta lo que ocurre también en la segunda semana?
(Estudiante) Como no sabemos lo que ocurre, la diferencia será 6+a-m, siendo a lo que ahorra o gasta Alberto y m lo que ahorra o gasta María.
(Docente) Analicemos qué puede ocurrir en la SEGUNDA semana, donde la diferencia es a-m.
(Estudiante) Si Alberto ahorra 6 en una semana y María ahorra 4,la diferencia es de 2 euros a favor de Alberto. a-m = 6 - (+4) = 2
(Docente) Si Alberto ahorra 6 en una semana y María gasta 4.
(Estudiante) a-m = 6 - (-4) = 10. La diferencia es de 10 euros a favor de Alberto.
(Docente) Si Alberto gasta 6 en una semana y María ahorra 4.
(Estudiante) a-m = -6 - (+4) = -10. La diferencia es de 10 euros a favor de María. Y por cierto, entonces restar un número que suma es lo mismo que restarlo, ¿no?
(Docente) Si Alberto gasta 6 en una semana y María gasta 4.
(Estudiante) a-m = -6 - (-4) = -2. La diferencia es de 2 euros a favor de María.
(Docente) Y volviendo a la pregunta que motivaba todo esto… La diferencia nos sale positiva cuando es mayor el primer término, ¿no?
(Estudiante) Sí. Por ejemplo, 8-5= 3. El 8 es mayor que el 5.
(Docente) Y cuando la diferencia sale negativa es porque es mayor el segundo término, ¿no?
(Estudiante) Sí. Por ejemplo, 5-8 = -3. El 8 es mayor que el 5.
(Docente) Vamos a hacer la diferencia de esos números. (-8) - (-2) = -6
(Estudiante) Mmm, ¡sale negativa! ¡Eso quiere decir que el (-2) es mayor que el (-8)!

Disclaimer. Esto forma parte de una secuencia didáctica mucho más amplia en la que, poco a poco, se van construyendo los números enteros en un entorno algebraico.

La secuencia ideal no es tan dialógica (ni breve) como la que he dramatizado en estos tuits, sino que hay momentos en que los alumnos se enfrentan a estas y otras situaciones y después se comentan sus soluciones y argumentos.

Si quieres saber más sobre los obstáculos de los modelos concretos para la enseñanza de los negativos (es un tema apasionante de la didáctica), aquí enlazo el artículo de Eva Cid. http://quadernsdigitals.net/datos/hemeroteca/r_40/nr_460/a_6233/6233.pdf

Y la secuencia de la que hablo está basada en la que describe Cid en su tesis, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos, del año 2015.

Veo comentarios que surgen, obviamente, de un conocimiento matemático avanzado, como lo de extender ciertas propiedades de los naturales. Quizás no he remarcado, culpa mía, que se trata de introducir los enteros, pensemos en estudiantes de 1º o 2º de ESO (12-13 años aprox.)

La idea de la secuencia, entre otras, es evitar presentar a los enteros como un monumento. Y mientras se introducen, fíjate, hacemos matemáticas, en una etapa obligatoria.

Si este hilo os ha sabido a poco, intenté capturar la esencia de la propuesta de la tesis de Cid en este post, aunque la fuente original siempre será mucho mejor.

Algoritmos tradicionales de la multiplicación y de la división con billetes.

Sun, 07 Feb 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Algoritmos tradicionales de la multiplicación y de la división con billetes.

Para los nuevos. Con esto de los algoritmos (con los tradicionales y con cualquiera) hay que tener claro que el papel principal que deben jugar en el aprendizaje no es el mismo que el que pudieran tener hasta mediados del s. XX. No tienen la misma importancia social que entonces.

Habrá que poner el foco en el desarrollo del sentido numérico, la estimación y técnicas de cálculo oral y mental. Así mismo, trataremos de profundizar en la comprensión de nuestro sistema de numeración posicional.

Una propuesta adecuada, por ejemplo, evitaría el uso de algoritmos en 1º EP, porque en el momento que los introduces y pones ahí el centro de atención, olvídate del cálculo mental. Tiene sentido introducirlos hacia finales de 2º EP, con números de tres cifras.

Pero entonces… ¿cómo los pongo a hacer problemas si no saben ni sumar? Bueno, pues es que una cosa es sumar y resolver situaciones aditivas y otra es cómo llegues al resultado de la suma.

De hecho, centrarte en los algoritmos hace que dediques muy poco tiempo a otras cosas. Confunden idea de suma con procedimiento para sumar. Y entonces los problemas son o de suma o resta. Y me lo juego, si es la una será la otra. Datos, operación, solución. Hombre llevándose la palma de la mano a la cara

Algoritmo de la multiplicación

Venga, al lío. Vamos a justificar con billetes el algoritmo tradicional de la multiplicación por un número de una cifra. Representamos el número 1426 con el menor número de billetes posible.

Esto ya es una situación interesante. Con el MENOR NÚMERO DE BILLETES. Si hubiese usado 26 billetes de uno, podría haber cambiado 20 de ellos por 2 billetes de diez.

Construye ahora una cantidad de dinero tres veces mayor. De nuevo, represéntala con el menor número de billetes posible. Pasaré a tener 18 billetes de uno, 6 billetes de diez, 12 de cien y 3 de mil.

Pero como tengo 18 billetes de uno, puedo cambiar 10 de esos por 1 billete de diez. Y como tengo 12 billetes de de cien, puedo cambiar 10 de esos por 1 billete de mil. Esos cambios van a ser las llevadas.

Pd. Para este hilo he tenido ayuda.

Veamos ahora el algoritmo en relación con las acciones que hemos hecho con los billetitos. El primer paso es escribir el número grande arriba (multiplicando) y el pequeño debajo (multiplicador). Bien alineados

Triplicamos los billetes de uno. Nos salen 18.

Pero 10 de esos los podemos cambiar por 1 de diez. De ahí viene el “y nos llevamos una”.

Se pasa a multiplicar la siguiente cifra del multiplicando, a cuyo resultado añadiremos la “llevada” que hemos guardado del paso anterior.

Se procede de la misma manera hasta llegar a la última cifra del multiplicando. El resultado de esta última se escribe íntegro.

Vamos a por la multiplicación por un número de dos cifras. Como paso previo, veamos qué ocurre cuando multiplicamos un número por 10.

La tarea es igual que la anterior. Representa el número 327 con la menor cantidad de billetes posible. Entonces, construye una cantidad 10 veces mayor y represéntala con el menor número de billetes posible.

Lo que ocurre es que, en este caso, te juntas con 70 billetes de uno, 20 de diez y 30 de cien; que puedes cambiar por 7 de diez, 2 de cien y 3 de mil. En definitiva, tienes ante ti el número 3270.

Por eso cuando multiplicamos por 10 basta con añadir un cero a la derecha. Nos apoyamos, como se ha visto, en que diez unidades de un orden equivalen a una unidad de un orden superior.

Ahora sí estamos en condiciones de multiplicar el 327 por un número de dos cifras, como el 24. Habiendo trabajado técnicas orales de cálculo, discutimos en clase que para hacer una cantidad 20 veces mayor, podemos duplicarla primero y luego construir algo 10 veces mayor.

Después de haber manipulado con algunos ejemplos, reflexionamos y justificamos el algoritmo, relacionando los pasos de este con las acciones realizadas.

Realmente, como veremos, hacer una cantidad 24 veces mayor que otra, es lo mismo que hacer una cantidad 4 veces mayor, una cantidad 20 veces mayor, y sumar ambos resultados.

Si quiero hacer mentalmente 35x24, puedo pensar en hacer 35x20, que se puede hacer duplicando 35 y multiplicando por 10 (sale 700). Luego le sumo lo que falta, 35x4, que es 140, número al que puedo llegar duplicando 35 y volviendo a duplicar el resultado. Total, 700+140=840.

Que me voy por las ramas. Estábamos en 327x24. Primero, multiplicamos por 4 el multiplicando, cosa que ya sabemos hacer. Ahí tenemos el 1308.

Si recordáis el algoritmo, ahora pasamos a multiplicar 327x2, pero el resultado lo ponemos desplazado. Esto es porque estamos duplicando y multiplicando por 10, que ya sabemos que es añadir un cero (por lo que hemos explicado antes). Ese 654 es en realidad un 6540.

Y ahí tenemos el resultado final, al sumar ambas filas.

El “problema” está en que no se suele justificar ese desplazamiento de la segunda fila, con lo cual tenemos a gran parte del alumnado ejecutando un algoritmo sin saber lo que está haciendo para algo que en realidad no le hace falta.

Algoritmo de la división

Lo de la división, que parece que trae más de cabeza al personal, ya lo traté de pasada en el de las tortillas, hilo que enlazaré después. La cuestión es que voy a presentarlo aquí como el reparto de una cantidad de dinero.

Comenzamos igual que antes. Representa el número 6284 con el menor número de billetes posible y reparte esa cantidad entre 6 personas. Cuando esto se plantea así, sin más, tampoco hay por qué ir en orden, pero van a salir elementos clave en los que se apoya el algoritmo.

Por ejemplo, un niño o una niña podrían empezar repartiendo los billetes de diez. Como hay 8, pueden dar 1 billete de diez a cada participante. Sobran 2. También pueden dar 1 billete de mil a cada uno, y en este caso no sobra ninguno.

Me quedan por repartir entonces 2 billetes de cien, 2 de diez y 4 de uno (es decir, 224). Está claro que puedo seguir repartiendo. Vaaaale, cambio los 2 de cien por 20 de diez y sigo repartiendo, porque ahora puedo dar 3 de diez a cada uno y me sobran 2 de diez.

Y así puedo seguir hasta ver que a cada participante le tocan 1047 y que sobran 2 billetes de uno. Nota: he elegido un ejemplo en el que sale un cero en el cociente que suele ser fuente de dificultades. Se puede empezar con otros que no incluyan estos ceros.

Sin embargo, quiero ilustrar que teniendo un control semántico sobre lo que estamos repartiendo en cada momento, evitamos que se «olvide» ese cero y que el resultado final no tiene sentido. Cosa que, con algo de sentido numérico, se vería al instante (¡¡no puede ser 147!!)

Cómo justificamos el algoritmo. El tradicional en España tiene la siguiente pinta inicial.

Lo voy a describir desplegado del todo, para incidir en todo lo que está pasando. Esto suele llamar la atención, porque si se usa el algoritmo tradicional de la resta (el que modifica el sustraendo), no suele escribirse lo que se resta, sino que se hace “on the fly”.

Hay alumnos que cuando hacen lo de la división, no saben que están restando. Y no es culpa suya.

Tenemos esto. Empezamos por la cifra de mayor valor posicional. ¿Cuántos billetes de mil puedo dar a cada uno de los 6 participantes? A ver, tengo 6, pues puedo dar 1 billete de mil a cada uno.

Aquí lo tenemos. He dado 1 billete de mil a cada uno y por eso esto irá en la cifra del cociente correspondiente a las unidades de millar. He dado 6 billetes de mil en total y no me sobra ninguno.

Vamos ahora con los billetes de cien. Tengo solo 2 de cien, por lo que los participantes no van a recibir ningún billete de cien.

Si quiero continuar, con el algoritmo habitual se dice que “bajamos el 8”. Lo que hacemos en realidad es convertir los 2 billetes de cien en 20 billetes de diez, que junto con los 8 de diez del dividendo, nos hacen un total de 28 billetes de diez a repartir entre 6 personas.

De esos 28 billetes de diez, puedo dar 4 a cada uno de los 6 participantes, dando en total 24. Me sobran 4 billetes de diez.

Igual que antes, cambio esos 4 billetes de diez por 40 de uno, que añadidos a los 4 “que bajan del dividendo” me hacen un total de 44 unidades.

Y ya estaría. De esas 44 unidades, puedo dar 7 a cada uno de los participantes, doy un total de 42 y me sobran dos unidades.

La idea de reparto permitirá conectar más adelante representación decimal y fraccionaria del número racional. Más información sobre esto aquí en el de las tortillas, donde ya hablaba de esto de la división.

¿Y cuando el divisor es un números de dos cifras? Bueno, ya sabéis que hay países que no lo tienen en el currículo. No tiene mucho sentido perder mucho tiempo en ello. Pero vaya, se justifica igual que la que acabamos de hacer. Lo que ocurre es que es tedioso.

Fijaos si son tediosas las divisiones estas que he puesto un número donde no era en una de ellas y he usado tippex para no repetir el asuntoHombre llevándose la palma de la mano a la cara. Espero que me perdonéis. Yo nunca lo haría, porque soy de elogiar el tachón Rodando por el suelo de risa.

Y con esto ya estaría. En el hilo de los algoritmos de la suma y de la resta (tradicional y anglosajón) dejé unas plantillas muy cutres para los billetes. Recuerdo que vale con material estructurado de base decimal (puntos, barras y placas, casi mejor).

Todo esto está basado en las prácticas preparadas por @dm_unizar en @FacultadEducaUZ para Didáctica de la Aritmética I.

¡Un saludo y feliz clase! Si has encontrado interesante el hilo, ya sabes, a compartir.

Epílogo

El siguiente hilo, sobre el tratamiento de la medida en diferentes etapas.

Pd. Me dicen por el pinganillo que son muy pequeños estos billetines. Sí, lo son, son los que imprimí en casa para trabajarlo con mis pequeños. Mejor más grandes y, como he dicho en el hilo, mejor puntos, barras y placas, por lo menos para los de la suma y resta.

Aunque no me diréis que no habéis pensado en un kit individual para tiempos pandémicos. En cualquier caso, tened en cuenta que esto se supone que se plantea para niños y niñas de 2ºEP (hacia mitad de curso) y 3ºEP. Antes, como he dicho, ni hace falta ni viene bien.

Pd2. Siempre que hago un hilo sobre esto me gusta mencionar que las matemáticas en primaria no son sólo aritmética. Al igual que las mates en secundaria, que no son solo álgebra.

Sumas y restas con llevadas. Traditional flavour. Usando billetes.

Sat, 06 Feb 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Sumas y restas con llevadas. Traditional flavour. Usando billetes.

Ahora que tengo vuestra atención, debo deciros que el tuit anterior lo tiene todo mal. En primer lugar, no hay «sumas con llevadas». En todo caso, se puede hablar del algoritmo tradicional o estándar con llevadas. Digo esto porque 23+18 es una suma. Punto.

Puedo calcular 23+18 sumando 20 a 23 (en lugar de sumar 18) y quitando 2. Total, 41. O puedo hacer 23+10, que da 33, y luego sumar 8, cosa que hasta podría hacer contando con ayuda de los dedos.

O sea, que una cosa es sumar, restar, multiplicar y dividir, y otra, la forma de hacerlo. Los algoritmos tradicionales son UNA FORMA de efectuarlas. Más turra sobre implicaciones educativas de esto al final del hilo.

En el gif salen billetes porque voy a justificar los algoritmos con billetes, pero esos del Monopoly no sirven. No hay de 1 €, ni de 10 €, y además hay de 2000 €, 5000 € y 50000 €. Necesitamos un sistema de billetes estrictamente decimal, desde la unidad.

Como estos de aquí. Tranquilidad, que al final dejaré plantillas. Sosillas como estas (pero que son pequeñas e incluso pueden proponerse kits individuales para el contexto actual) y otras más realistas.

De todas maneras, dependiendo de la edad, sería mejor utilizar material del tipo de puntos, barras y placas. Se diferencia de los billetes en que la barra se ve que está compuesta por 10 puntos.

Dicho todo esto, vamos al lío. La suma. Comenzamos representando los dos números que queremos sumar, con el menor número de billetes posible. Pongamos como ejemplo que quiero hacer 356+878.

Ya con la representación de los números tenemos un interesante problema. Con el MENOR número de billetes posible. Es decir, que esto de aquí no nos vale, aunque represente el 356.

No nos vale porque podemos cambiar 10 billetes de uno por 1 billete de diez.

Aquí tenemos el 356 y el 878.

Ahora juntamos las del mismo tipo y contamos. Me salen 14 billetes de uno. ¡Pero puedo cambiar! Recordemos que quiero utilizar el menor número de billetes posible, así que si puedo cambiar 10 de uno por 1 de diez, lo hago.

Y si hago esto con las demás, ocurre lo siguiente:

¿Qué ocurre en el algoritmo tradicional o estándar de la suma?

Pues que cuando hago 8+6 y me sale 14, digo que pongo 4 y «me llevo una». Ese «me llevo una» es la decena del catorce. En lo que hemos hecho antes, viene de que podemos cambiar 10 billetes de uno por uno de diez.

Es tan icónico esto del «y me llevo una» que es el título de un libro de @tocamates 😉. Aquí es fácil de comprender qué es eso de la llevada, pero luego veremos que en el de la resta tradicional no lo es tanto.

Se llaman algoritmos porque son una serie de instrucciones sistemáticas. O sea, que se pueden programar. Este es el de la suma:

Escribe los sumandos uno debajo de otro de manera que las unidades de un mismo orden de los diferentes números queden situadas en la misma columna.
Traza una raya horizontal debajo del último sumando.
Suma las cifras que se encuentran en la columna de la derecha.
Si el resultado de la suma es menor que 10, escríbelo en dicha columna debajo de la raya y pasa a sumar la columna siguiente. Si no, salta al paso 5.
Si el resultado de la suma es mayor o igual que 10, escribe sus unidades en la columna actual y añade la cifra de las decenas a la suma de la columna siguiente.
Continúa el procedimiento (vuelve a paso 3) hasta llegar a la última columna.
El resultado de sumar la última columna se escribe íntegro debajo de la raya.
El número que aparece debajo de la raya es la suma de dichos sumandos.

Aquí está la suma anterior completa. Los unos en rojo son «las llevadas»; es decir, los cambios que hemos hecho. Observemos que la última suma («el doce», doce centenas) se pone íntegra (una unidad de millar y dos centenas), tal y como indica el algoritmo.

Inciso: una actividad muy maja sería programar estas cosas en Scratch.

Algoritmos de la resta: tradicional (en España) y anglosajón

Vamos con la resta. Explicaré dos algoritmos. El anglosajón y el tradicional (el estándar, en España). El anglosajón es más fácil de justificar y, por tanto, de comprender. Luego tiene alguna implicación que hay que tener en cuenta, pero sin mayor importancia.

Hagamos 425-178. Represento 425 con el menor número de billetes posible. Restar 178 significa quitar (sustraer) 8 billetes de uno, 7 de diez y 1 de cien. Pero, ¿qué ocurre? Que no puedo quitar 8 de donde solo hay 5. Solución anglosajona, cambiar uno de los billetes de 10.

Aquí el algoritmo anglosajón completo con billetes y en notación simbólico-numérica.

Una característica fundamental del anglosajón es que, para poder hacer la resta, solo se modifica el minuendo (el de arriba). El sustraendo permanece igual.

El anglosajón se basa en que 425 = 410 + 15. Es decir, que puedo cambiar 1 unidades de un orden por 10 unidades del orden inferior. Por ejemplo, 1 decena por 10 unidades; o 1 centena por 10 decenas. Según me convenga.

El tradicional o estándar (en España) se basa en una compensanción. Antes de introducirlo hay que tener claro que si tú tienes 25 euros y yo 10, tú tienes 15 euros más que yo. Y que si nos dan 10 euros a ti y otros 10 euros a mi, seguirás teniendo 15 euros más que yo.

Parece una tontada, pero no es evidente. Sobre todo cuando hablamos de niños y niñas de 7-8 años y que «la llevada» del tradicional tiene que ver con esto. Hay muchísimos alumnos que no llegan a entender qué es la llevada. Lo hacen, y punto.

Vamos a verlo con billetes. 425-178, como antes. Representamos 425 con el menor número de billetes posible. Restar 178 implica quitar 8 billetes de uno, 7 de diez y 1 de cien. Pero no podemos quitar 8 de uno. Así que cojo 10 billetes de uno del montón y los añado a los cinco.

Pero claro, para compensar tengo que añadir la misma cantidad al sustraendo. Añado 1 billete de diez. Esa es la llevada del tradicional. Aquí lo represento (y en simbólico-numérico he escrito más de lo que normalmente se escribe).

La compensación en que se basa el algoritmo tradicional es la siguiente:

$$425-178 = (425 +10 ) - (178 +10)$$

Volvamos al anglosajón. Una vez aprendido como antes, hay que poner sobre la mesa qué ocurre cuando tenemos ceros intermedios en el minuendo. Tal y como lo hemos hecho, no sirve. Os planteo como ejercicio hacer 2001-975. ¿Qué instrucciones adicionales necesita el algoritmo?

Y el tradicional, ¿tiene este problemilla? Intentad hacer el 2001-975.

No tiene el problemilla del anglosajón. Sin embargo, cuando el sustraendo tiene menos cifras que el minuendo, hay lugares vacíos en las cifras de órdenes superiores. En esos casos, hay niños que no compensan la llevada porque son lugares vacíos.

A los que os enseñaron el tradicional, sabed que seguramente también hayáis restado alguna vez con el anglosajón. Y si no, pensad en cómo hacéis para calcular intervalos temporales expresados en horas, minutos y segundos.

El anglosajón implica, más adelante, que en la división se tienen que escribir las restas parciales. Se necesitan, porque se va escribiendo sobre el minuendo. El tradicional, en cambio, se hace on the fly y no suelen ponerse.

Para terminar, la turra prometida. No se debería enseñar ningún algoritmo (ni estos ni otros) en 1º de Primaria. Y en 2º, únicamente que se manejen los alumnos mentalmente y con diversas estrategias con números de dos cifras. Vamos, que con números de 3 cifras.

Si introducimos algoritmos de forma prematura vamos a anular esas estrategias de cálculo mental. Que, por cierto, pueden aparecer de forma espontánea, pero hay que trabajarlas y discutirlas en clase.

No solo eso, sino que muchos alumnos asimilarán suma y resta con sus algoritmos.

El objetivo de introducir estos algoritmos será el de comprender cómo funciona el sistema decimal posicional. Son adecuados, ya que explotan al máximo sus características. El objetivo, desde luego, no es que hagan N operaciones en 30 minutos.

Más objetivos de aprendizaje: valorar si me compensa hacer la operación de una forma o de otra, estimar lo que va a salir antes de hacerla.

Las plantillas: aquí. Recordad que sería mejor con puntos, barras y placas. Y dejar esto, quizá, para la multiplicación y la división.

Esto que os he contado está basado en una de las prácticas de Didáctica de la aritmética I que se hacen en Zaragoza desde hace mucho, antes de que yo llegara. Así que crédito para @dm_unizar en la Facultad de Educación de la Universidad de Zaragoza.

Si os portáis bien, el año que viene continúo con la multiplicación y la división.

Pd1. Todo esto en paralelo con situaciones concretas (problemas). Y recordando dos cosas:

Que la aritmética no solo es hacer cuentas.
Que las matemáticas en primaria no son solo aritmética.

Pd2. Aquí un pequeño test.

Pd3. Hubo un tiempo en que hacía falta dominar estas técnicas de cálculo para el día a día. De ahí a verlas hoy en día sin comprensión (que, como muestra el hilo, se puede), hay un trecho. Mirad aquí cómo se apañaban hace no tantos años.

Una actividad para trabajar la estimación en clase de Matemáticas con arroz

Thu, 01 Oct 2020 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2020). Una actividad para trabajar la estimación en clase de Matemáticas con arroz. En P. Usán y C. Salavera (Coords.), Gamificación Educativa, Innovación en el aula para potenciar el proceso de enseñanza y aprendizaje (pp. 257-266). Pregunta Ediciones.

Se trata de una versión ampliada de Beltrán-Pellicer, P. (2019). Una de estimación en clase de Matemáticas con arroz [Entrada de blog]. Blog de experiencias de aula. Formación del profesorado (DGA). Disponible en http://dgafprofesorado.catedu.es/

Entreacto de los enteros: características de su introducción con modelos concretos

Sat, 02 May 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de varios hilos de Twitter.

Entreacto, en algún lugar entre el segundo y el tercero. Una vez presentados los personajes, para completar la reflexión faltaría exponer cuáles son las características de la introducción en el aula de los enteros por medio de modelos concretos.

Dentro spin-off.

1️⃣ Supone que los enteros se ven en el ámbito de la aritmética

¿Cómo? ¿No son números? Ya vimos que una característica fundamental de la resolución aritmética de problemas es el control semántico del contexto.

Esto quiere decir que es el significado de cada número el que nos permite decidir qué operaciones ir haciendo en cada momento. Una consecuencia es que no se necesita incluir nuevos símbolos que los empleados ya para los naturales.

Resolver un problema de este tipo acudiendo a los enteros, con todo lo que conlleva, no hace sino aumentar innecesariamente la complejidad de la notación. Hay ejemplos de problemas de deudas y haberes desde épocas remotas (vete a decírselo a los escribas del faraón).

2️⃣ Se invierte el proceso de modelización matemática

En las ciencias experimentales o sociales lo que se estudia es un fenómeno o situación, que se representa mediante un modelo matemático, que permite obtener información, hacer predicciones, etc.

En la enseñanza de la aritmética elemental la cosa va al revés. Lo que se modeliza es el objeto matemático por medio de un sistema físico. El uso de modelos concretos (ej, manipulables) para naturales y fraccionarios reproduce intuitivamente sus propiedades e ideas de medida.

Ahora, los enteros surgieron por una necesidad interna de las matemáticas. Ya vimos en los tres actos que los modelos concretos no consiguen reproducir de forma intuitiva su estructura.

Además, el uso de modelos concretos aquí refuerza la idea de los números enteros como medida de cantidades de magnitud relativas o con dos sentidos y relaciona sus operaciones con ciertas acciones físicas.

3️⃣ La utilización de modelos concretos dificulta la justificación del orden y la estructura multiplicativa de los enteros

Esta es breve. Ya vimos el porqué.

4️⃣ Las operaciones entre números enteros se presentan como operaciones entre naturales con el añadido de alguna consideración sobre los signos

¿Cómo? ¿No queda claro que estamos ante un nuevo conjunto numérico? En la enseñanza de la aritmética elemental se peca habitualmente de un reduccionismo que consiste en definir las operaciones entre cualquier tipo de números como operaciones entre naturales. Ya lo hemos comentado aquí con el modelo parte-todo de las fracciones, que no hace sino considerarlas como un doble recuento. Lo mismo con las reglas de manejo de la coma decimal. Y este reduccionismo alcanza, por supuesto, a los enteros.

¿Quién no ha oído lo de sumar positivos por un lado y negativos por otro? Todo esto es un obstáculo para captar la naturaleza de los enteros e integrarlos en un nuevo conjunto numérico.

5️⃣ Las técnicas de cálculo de expresiones numéricas que indican operaciones combinadas se algoritmizan

No se busca el modo más simple de operar. Esto es un aspecto de las expresiones numéricas, que no es sino el preludio de una característica elemental del quehacer algebraico.

Descuidar el punto anterior tiene importantes consecuencias a la hora de establecer buenas prácticas de cálculo algebraico.

6️⃣ La presentación inicial de la notación completa impide el desarrollo de las prácticas de cálculo habituales

Ya comentamos lo que implicaba esto de la notación completa y las instrucciones que promueven la supresión del signo + predicativo, en lugar del signo + binario.

7️⃣ Se introducen las notaciones sin considerarlas objetos de estudio

El alumnado va viendo cómo, ante sus ojos, se suceden diversas notaciones. Y sí, esto es herencia todavía de las matemáticas modernas de los años 60 y 70.

Símbolos que antes eran exclusivos del dominio algebraico (símbolos de operaciones, de relaciones, etc.) ahora se ven como si nada en el campo de la aritmética. Y el significado de estos, presenta matices importantes en cada uno de estos ámbitos.

8️⃣ No se explicitan las diferencias existentes entre los enteros y los naturales

La introducción de los enteros exige reinterpretar el significado del cero. Pobre, ahora ya no es el cero absoluto, sino que pasa a ser un cero origen.

La resta pasa de ser una sustracción a ser una diferencia. Y no, no es lo mismo. También se modifican propiedades que afectaban a todos los números, como que el resultado de una suma es mayor o igual que cualquiera de sus sumandos.

O que el minuendo de una diferencia tiene que ser mayor o igual que el sustraendo, o que el resultado de un producto de factores distintos de cero es mayor o igual que cualquiera de sus factores, o que el dividendo de una división es mayor o igual que el cociente…

O que no existen números menores que cero, etc. Todas estas diferencias hay que ponerlas sobre la mesa en una secuencia didáctica bien pensada y articulada. No hacerlo puede hacer creer que dichas propiedades siguen cumpliéndose con los enteros.

A modo de conclusión

La próxima vez que alguien te diga que son sencillas las matemáticas de primaria o de 1º y 2º de ESO, ten presente este tipo de consideraciones.

Ahora, por ejemplo, se menciona que el curso que viene se trabajará en 1º de ESO por ámbitos. Adelante, pero con dos especialistas trabajando de forma coordinada y flexible.

Referencia, al igual que en los tres actos, la tesis de Eva Cid, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos (2015).

Esto ha sido un spin-off de los tres actos de los enteros.

¡Feliz clase!

Matemáticas y papiroflexia: un triángulo equilátero

Sun, 01 Mar 2020 00:00:00 +0000

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Matemáticas y papiroflexia #origami. Ayer, uno de mis padawans me pidió un triángulo equilátero para plegar el monicaco de Luis Bas del “Libro de las pajaritas de papel” (Grupo Riglos).

No es lo habitual (ortodoxo), que es empezar por un cuadrado, aunque siempre es interesante explorar estas variaciones. Bueno, al lío. Al comienzo del libro aparece el método para hacer un triángulo equilátero. En cambio, le dije, vamos a pensarlo un poquito a ver si nos sale.

¿Qué sabemos del triángulo equilátero?
Que los lados son iguales.
¿Te parece que uno de los lados sea este [el borde inferior]?
Sí
Bien, vamos a doblar por la mitad. ¿Qué le pasa a este punto?
Está en el medio.
Eso es, está a la misma distancia de las esquinas.

Queremos que otro lado quede más o menos por ahí. Así que tenemos que llevar la distancia de lado inferior ahí. ¿Cómo lo hacemos?
¿Con la regla?

Mejor, con el compás. Mira. Y mejor aún, ya que estamos con un pliegue.

Marcamos el pliegue correspondiente para hacer el otro lado, desplegamos y ya tenemos ahí un maravilloso triángulo equilátero.

Este de aquí:

Un libro con muchos resultados y conexiones entre matemáticas y papiroflexia es el de Jesús de la Peña.

¿Tienes un cuadrado irregular de papel y quieres hacer un cuadrado perfecto?

Sun, 09 Feb 2020 00:00:00 +0000

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¿Tienes un pedazo irregular de papel y quieres hacer un cuadrado perfecto? Atento al método de Fröbel. #origami y #matemáticas

Doblamos por en medio, por donde nos venga bien para aprovechar al máximo el papel. Bien, tenemos una línea recta, cosa que no teníamos antes.

Volvemos a doblar de forma perpendicular a la línea recta creada en el punto anterior.

Plegamos siguiendo un ángulo en 45° tomando como vértice el ángulo recto recién formado.

Ahora marcamos con la tijera en un punto. La distancia entre este punto y el vértice será media diagonal del cuadrado final.

Doblamos por el pliegue ya hecho (el de los 45°), de manera que trasladamos esa distancia sobre la línea recta correspondiente a la otra diagonal. Cortamos entre esos dos puntos, equidistantes al vértice del ángulo recto.

Se trata de una construcción que parte de que el cuadrado es un cuadrilátero cuyas diagonales son de igual medida, perpendiculares y se cortan por la mitad.

Lo he contado tal y como aparece en “Origami para expertos” (Origami for the Connoisseur) de Kasahara y Takahama. También sale en las obras completas de Friedrich Fröbel.

Para posibles ojos expertos que vean estas fotos. Sí, todavía no dominamos la técnica de hacer papel sándwich. Estamos en vías de conseguir plantillas cuadradas de metacrilato para facilitar el corte y no recurrir al bueno de Fröbel. Y prometemos mejorar el tema de las arrugas.

El patrón de marcas que queda en el cuadrado final es así.

¿Por qué experimentar en probabilidad?

Sat, 09 Nov 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

¿Por qué es necesaria la experimentación (guiada) en el aprendizaje de la probabilidad?, dices mientras lanzas con ingenuidad ese dado de papel. ¿Por qué es necesaria?, ¿y tú me lo preguntas? … Dentro hilo (cuento la secuencia 1º/2º ESO)

Si me seguís, puede que sepáis que habíamos empezado por probabilidad en 1º y 2º ESO. Salvo pequeñas variaciones entre grupos, que ya sabemos que cada uno es un mundo y los profesores tenemos algo de ingenieros (o artistas) en ese sentido, la secuencia es la misma para todos.

El primer día, bueno, la presentación y esa actividad que me he acostumbrado a plantear para ir conociendo a cada clase, su cultura de aula, etc. Básicamente se pregunta: “qué sabes de matemáticas” e “inventa un problema”. Aquí enlace para saber más.

Hubo que tirar mucho de ellos para que pusieran algo de estadística y probabilidad. La geometría no creáis que salía mucho mejor parada… Además, el concepto que tenían de problema no se alejaba mucho del de ejercicio, y siempre eran problemas de situaciones aditivas.

Dedicamos tres semanas a probabilidad. Incluyendo la presentación y un examen de cuaderno, así como actividades de conteo con diagrama de árbol que son también del bloque de números. Estadística han sido dos semanas, pero dedicaremos otro hilo a ello.

¿Os acordáis de la #DidMatCita sobre qué pasa si vamos con un enfoque a través de la resolución de problemas (RP) a una clase con una cultura de aula diferente? Bien, pues el trabajo por parejas o pequeños grupos ya choca.

Lo primero: cada grupo (de 3 o 4) tuvo que construir un dado de papel. Fácil, con el módulo sonobe de origami. Se aprovecha para hablar sobre geometría. En el paso 6, “¿qué figura es esta?”. O, “ahora plegamos por la bisectriz”. Todo esto también da información al profesor.

Una vez con el dado, cada grupo lo prueba con el clásico juego de la carrera de coches o caballos. Es decir, apuestan por un número, indicando la razón de su elección (importante esto), y luego juegan. Si hay números no elegidos son PNJ (Personajes No Jugadores) o el “ordenador”.

Las razones de su elección, que a nosotros nos pueden parecer ingenuas, son sus significados personales. Algunos elegían el 3 o el 4 porque no eran números del medio, ni muy altos ni muy bajos. En 1º, muy pocos dijeron que daba igual. En 2º, hubo más.

Ahora, esto es un dado de papel hecho de aquellas maneras (a la foto me remito). A priori, por desconocimiento, la respuesta correcta es la de que da igual. Pero después de jugar, algunos grupos tienen gráficas como estas.

A los de la de colorines. Ahora, ¿qué número creéis que ganará? ¿Da igual? A los de la otra, con estos datos, ¿por cuáles no apostaríais? Con esto entramos no con el significado clásico (regla de Laplace) sino con el frecuencial. Y los vamos a ir conectando.

A nivel de contenidos la justificación de realizar esta actividad está clara. Pego aquí lo que tenemos de currículo para el bloque de probabilidad. Desde la didáctica, también, puesto que tratamos de evitar el sesgo de equiprobabilidad, entre otras cosas.

El bloque 1 no lo he pegado porque tendría que haberlo puesto casi entero 😉. Venga, va, que sí, que lo pego. Hay reflexión sobre lo hecho, actitudes personales hacia el quehacer matemático, modelización matemática, investigaciones…

Esta actividad continúa con una pequeña variante. Vamos a trucar el dado para que salga casi siempre “5”. Ahí que los tienes, dándole vueltas al coco. Esto enseguida les sale, poniendo un peso en la cara contraria. Algunos ponen una goma de borrar pegada con celo 😱.

Otros años he planteado actividades similares, incidiendo en lo mismo. Aquí describo una cosilla que hice con la impresora 3D ( enlace aquí)

Se aprovecha para preguntar cómo son los dados comerciales y por qué. Las caras opuestas siempre suman 7. Será por algo, ¿no? Hacemos algún dibujillo de dados irreales en ese sentido.

Después, vamos con el juego que, tal como lo encontré en su día, conozco con el nombre de Beano, aunque hay más variantes. Se dan doce fichas (judías, tapones…) y los jugadores las distribuyen por el tablero.

Se tiran los dados y se suman los resultados. Entonces, cada jugador retira UNA ficha de SU tablero de ese número en cuestión. Si sale el 8, todos retiran una ficha que tengan en el 8. Primero, juegan, sin más. Y sí, el 1 está puesto a propósito.

Hay muchos alumnos, más en 1º que en 2º, pero siempre ocurre, que ponen fichas en el uno. Y aquí es un ejemplo de suceso imposible (luego ponemos nombre a los objetos matemáticos, pero primero dejamos que aparezcan). La primera partida tienden a extenderlos.

En la segunda, sin tomar datos ni nada, se dan cuenta de que algo pasa. Pero ojo, ¡no es evidente! Es muy común que digan que los números altos salen más. Aunque hay algunos que ya se van oliendo la tostada y perciben que son los del medio. Te encuentras cosas así:

Ahora sí, ahora es cuando se analiza teóricamente lo que está pasando. ¡Hay sumas que salen más! Hay grupos donde cuesta más ver que hay 36 resultados posibles y, además de contarlos en la tabla, hacemos un diagrama de árbol. Si no, los árboles saldrán más adelante.

Después de esto puede ser un momento (o en otra actividad posterior) para nombrar y enunciar la regla de Laplace, que salvo lo de Laplace, es algo que han descubierto ellos. En 1º me basta con que me digan que la probabilidad del 7 es 6 de 36.

Quiero decir, que aunque lo introduzco de pasada, no enfatizo apenas la notación P(7)=6/36. Ese P(7), en el fondo, es lenguaje de funciones. Si entramos directamente con la regla de Laplace enunciada así, añadimos una capa de abstracción simbólica innecesaria.

Es importante que quede reflejado el proceso. Por eso, aquí se plantean estas preguntas:

(Nota: el próximo año llamaré al juego TAPONING en lugar de BEANO! y me evitaré la pregunta de por qué se llama así 😊.)

TO BE CONTINUED… Me falta hablar de ruletas, chinchetas, Numb3rs y del tiempo atmosférico. Y del examen de cuaderno que hicimos sobre esto. Pero también me falta tiempo 🤣

Sigamos. Antes de ello, hay quien me ha preguntado si esto vale para primaria. Nada más hacer el hilo, me he auto-retuiteado comentando que muchos de los elementos son válidos para EP. Deseables. Lo del dado de papel lo he hecho como taller en 3º-6º de EP.

En la secuencia hay que meter situaciones donde la regla de Laplace no se pueda aplicar. Por eso ahora viene una actividad con chinchetas. Son dos resultados posibles, o con la punta hacia arriba o tumbadas. La aplicación, sin razonamiento, de Laplace nos diría que es 1/2.

Pues esto lo probamos en clase. Doy a cada grupo un vaso con 10 chinchetas y a probar 10 lanzamientos. Luego, acumulamos el de todos los grupos, con lo que en pocos minutos te juntas con 600 repeticiones. ¡Anda! No se cumple Laplace. Sale un 70-30.

Importante. Antes de empezar tenían que expresar su creencia (subjetiva). Había de todo, desde los que decían que siempre tumbados, hasta los que razonaban que como el culo pesa más, caerían más veces hacia arriba. Otros, con el mismo motivo, decían que no, que tumbadas.

Después, a por las ruletas. En algunas clases no dio tiempo a hacer la experimentación física, que habría sido lo mejor, y fuimos directamente a la experimentación por simulación. Lo mejor, las dos cosas. Ya os decía que había diferencias entre grupos de clase. Pues eso.

Se trata de diseñar una ruleta (se juega con un clip y un boli) de manera que si juegas y eliges primero, tengas mayor probabilidad de ganar que el otro. La imagen de esa ruleta contiene una imprecisión, habla de mayor posibilidad (esto lo veremos después).

Lo mismo. Dejamos que expresen su intuición y luego contrastamos. Tampoco vamos a hacer un montón de repeticiones, que ya saben de qué va esto. Y haremos una simulación en el ordenador a la vista de todos.

Proponemos el Beano! pero con dos ruletas, como ejercicio. Esto solo lo comento brevemente, incidiendo en que este tipo de cosas se preguntan en el examen de cuaderno. Al día siguiente, alguien pregunta y discutimos sobre ello. También, jugar a mirar la resta en lugar de la suma.

El enlace de las simulaciones de las ruletas es este: https://nrich.maths.org/6123. @nrichmaths es lo más, ¿lo había dicho? El enlace lo tienen a su disposición, además de haberlo probado en clase.

Vamos con una actividad que está sacada, prácticamente tal cual, del librito de @edsintesis de Godino, Batanero y Cañizares. Hay que ordenar palabras, asignarles un número entre 0 y 1 y… bueno, me dicen que esto es Mates, no Lengua. De nuevo, choca con la “cultura de aula”.

Y ahí que estuvimos un rato discutiendo. Primero en pequeño grupo y después en común. Incierto no es imposible, no. Es todo lo que no es cierto. Y no se tiene mayor o menor posibilidad. Nos salió algo así:

En algunos grupos me puede detener y enseñar esta entrada de @benorlin (soy muy fan, lo sé), donde sale la escala usual de probabilidad, y la probabilidad entendida desde el punto de vista de varias profesiones. Y tal como la entiende Han Solo…

Para completar la cuestión de lenguaje e introducir un tipo de actividad que usaremos mucho, trabajamos este WODB (no dio tiempo en todos grupos, es una pena, sí). Hay que ver cuál es el que no encaja. Y la cosa es que hay que encontrar al menos una razón para cada uno.

Esto de la WODB lo tenemos publicado en las actas del último simposio de la @_SEIEM @xxiiiseiem2019. Lo presentó maravillosamente Maria Ricart. Aquí enlace al pdf.

Continuamos con la idea de juego justo, que ya habíamos introducido con lo de las ruletas. Aquí sí que vale la regla de Laplace.

Y terminamos con tareas varias y diagramas de árbol para contar. Esto último ya había aparecido como herramienta en alguna clase donde no quedaba claro el 36 aquel de los posibles resultados al sumar los dos dados.

Y aquí se me acaba el rollo. En 2º se ha hecho lo mismo que en 1º porque el curso pasado no vieron probabilidad tan apenas. Como he dicho, también hay pequeñas variaciones entre clases, que cada una es un mundo.

Este modo de trabajar choca con la cultura de aula. Tienen que pensar, ya habéis visto que a su nivel, y escribir. Y luego razonar. Decía en un tuit que un alumno me pidió, literalmente, hojas de multiplicaciones. Que más de esto no, por favor.

En esas estamos. El trabajo en grupos de 3 o 4 es lo mejor, porque permite irte pasando y controlar de forma más cómoda a todos. Pero hay clases (en este caso una) que me estoy planteando pasar a trabajo por parejas, porque no encuentro solución al tetris.

Y luego está lo del cuaderno. Lo examinamos con examen de cuaderno, donde van tanto preguntas sobre cosas que tienen que estar tal cual, como preguntas que son parecidas a las hechas en clase o las propuestas como ejercicio.

Hubo notas altas y notas bajas. Eso, como siempre, claro. Que a ver si nos vamos a pensar que esta propuesta genera matemáticos en potencia. No. Se trata de dar una respuesta inclusiva para todos y procurar explotar el máximo desarrollo de cada uno.

La cuestión es que entre las notas bajas encontramos alumnos que todavía tienen un desastre de cuaderno (iremos trabajando en ello) como otro perfil que, teniéndolo bonito y completo, está claro que no le sirve como herramienta (también trabajaremos en ello).

Lo del cuaderno es un tema interesante que trataremos otro día. Como aperitivo, os dejo con el enlace de la ponencia del otro día de @Matias_ArceSan en el seminario del @iuma_unizar @dm_unizar en la @FacultadEducaUZ y que hemos subido al canal del grupo: enlace al vídeo

En el turno de preguntas se planteó el dilema. Se piden en 1º y 2º, se corrigen (eventualmente con rúbricas, completitud, organización, …). Luego, en 3º y 4º muchas veces no se piden, creyendo que son autónomos y saben usarlos. ¿Se ha fomentando el trabajo de cuaderno adecuado?

De momento voy a dejarlo aquí, que ya me estoy yendo por las ramas. Feliz clase para todos y enhorabuena si has llegado hasta aquí.

Si te interesan más hilos como este, los voy guardando en mi perfil de Twitter. También intento ponerlos en mi web.

Quiero dar las gracias a mi compañera de no departamento (sic), Ana, porque estar alineados en el mismo enfoque es algo genial. Y sus aportaciones, siempre valiosas.

¡Pero si me había dejado de comentar una de mis actividades favoritas en la secuencia de probabilidad! #AcRiMates La cuento rápido. 👇🏻

Necesito que quitéis todo de la mesa y saquéis 16 objetos. Pueden ser 16 trocitos o gurruños de papel (me olvidé de llevar ese día los tapones del juego de Beano! 🤦🏻‍♂️). ¿Ya los tenéis?

Ahora vamos a colocarlos de forma aleatoria, al azar, sobre la mesa.

Ahora es cuando vemos el fragmento del primer episodio de la serie Numb3rs. Se hace una breve introducción, contando que son dos hermanos, uno que trabaja en el FBI y que pide ayuda a su hermano, que es matemático. ¡Prohibido tocar los trozos de papel!

Conforme ven el vídeo, ya se van dando cuenta de cómo han colocado ellos los trocitos de papel. La gran mayoría, así:

Claro, son alumnos que los han puesto y los han ido colocando, dejando huecos con una regularidad bastante acusada. ¿Es una configuración posible? Sí, pero muy improbable. Lo más probable es que hubiese amontonamientos, como señala Charlie Eppes.

Esta vez, creo que de 21 alumnos, solo dos hicieron algo así. Que básicamente consiste en dejarlos caer desde cierta altura. O en no toquetearlos demasiado.

Las imágenes son de una clase de 2º ESO. En 1ºESO, más de lo mismo. Pero no creáis que por ser mayorcitos nos salvamos de estos sesgos, que esto lo he hecho con alumnado de máster y también se detecta este fenómeno.

Se enmarca en la distinción de fenómenos aleatorios y deterministas, aunque sobre todo es un primer paso hacia la aceptación de aleatoriedad como modelo matemático. Se distingue entre el proceso de generación (el experimento, colocar los objetos) y el patrón obtenido.

Si alguien quiere profundizar un poquito, Carmen Batanero abordaba estas cosas en las JAEM de 2001.

Como dije en el hilo de la secuencia completa, algunas actividades no pude hacerlas en todos los grupos 😢. Aunque esto es una actividad rica y no lleva mucho tiempo, suma, y debido a ratios o falta de recursos de atención a ACNEAE (apoyos en el aula, …) no pude encajarla.

Sobre el algoritmo de la suma y lo que pasa por correr

Mon, 07 Oct 2019 00:00:00 +0000

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Niño de 7 años.

¿900+400?
13 y dos ceros.
¿Ein?
¿Trece mil? Pues eso pasa por correr. Hilo.

Ese niño se sabe el algoritmo escrito de maravilla. Podríamos decir que es de los alumnos buenos. Leches, sacaría un 10 en el examen. ¿Podríamos decir que sabe sumar?

Es todo más complejo de lo que parece. Para dar respuesta a la pregunta, no hace falta irse a números tan “feos”. Simplemente diré que saber sumar no implica saberse el algoritmo escrito (cualquiera de los existentes) de la suma. Eso es solo una parte.

Pero dejémonos de si sabe resolver situaciones aditivas concretas y centrémonos en la vía formal, la de las operaciones. Recordemos, no obstante, la importancia de tratar ambas vías en paralelo. En este caso, sumas de números de tres cifras, terminados eventualmente en ceros.

Ese ejemplo que ponía al principio denota que se han saltado, posiblemente, varios pasos esenciales. Cada cosa a su debido tiempo, como suele decirse. ¿Se ha trabajado el algoritmo con material estructurado de base decimal, tipo billetes?

De base decimal, por favor, sin utilizar bases auxiliares como el 5. Tienen que ser unos “billetes” especiales, si utilizar los de 5, 50 o 500. Aquí preparé unos que se pueden descargar.

No es perder el tiempo el ver que 10 billetes de 1 hacen 1 billete de 10, una decena. Es invertirlo. No es perder el tiempo que el alumno vea y toque que 10 billetes de 10 (10 decenas) hacen 1 de 100 (1 centena). Es invertirlo.

Con ese material estructurado se da significado a las llevadas. ¡Anda! Tengo 14 de 1, que puedo cambiar por 1 de 10 y me quedan 4 de 1. Y así. La única consigna es emplear el menor número de billetes posible para representar un número.

Decía que me iba a centrar en la vía formal. No obstante, se pueden utilizar los billetes para ir resolviendo situaciones aditivas. Esto es algo que debe ir gestionando el docente. No, si ya me gusta a mí el término de ingeniería didáctica. Es por esto.

A ese trabajo con material estructurado le tendría que acompañar mucho trabajo verbal. Esto es, cálculo mental. Pero trabajando estrategias. Y hablar de decenas y centenas. 900 + 400 … si el chaval me responde 13 centenas en lugar de 13 y dos ceros es que vamos bien.

¿A dónde iba? Ah, sí. Que no hemos de ir teledirigidos a la enseñanza de una regla. Con alumnos que van bien pueden pasar cosas como esta. Estos, seguramente, más adelante se darán cuenta de su error y avanzarán. Ahora, para los menos aventajados será el comienzo del desastre.

Una secuencia que incorpore los elementos que he mencionado puede parecer más lenta. Creo que esta percepción depende del ojo con que se mire y que esa secuencia es beneficiosa para todo tipo de alumnado.

Me voy a adelantar antes de que surja. No hace falta irse a ningún método con siglas molonas o nombres llamativos. No. Manipulables utilizados con significado y cálculo mental con estrategias. Y situaciones concretas en paralelo. Se viene diciendo desde hace décadas.

Sobre las tablas de multiplicar

Sun, 15 Sep 2019 00:00:00 +0000

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A ver, que ayer por la noche me pareció leer un tuit sobre el canturreo de las tablas de la multiplicación que degeneró en una retahíla de loas, abundando el manido “pues a mí me enseñaron así y no he salido tan mal”. Abro hilo, especial para #primaria #AcRiMates

El aprendizaje de hechos numéricos básicos, como las tablas de la suma o de la multiplicación, permiten acometer tareas de cálculo con mayor eficiencia. Llegar a la adolescencia sin saber estos hechos es fuente de dificultades. Entonces, ¿qué hacer?, ¿cómo enseñar esto?

Me centraré en las tablas de multiplicar, que son las más problemáticas, pues no es nada raro encontrar alumnos en ESO que no las dominan. Tenemos la opción más socorrida, que llamaremos la del martillo pilón.

Efectivamente. Se trata de llegar a clase cierto lunes y presentar la tabla del 2. La cantamos y mañana la preguntamos. Unos días más tarde presentamos la del 3, la cantamos y la preguntamos. Como tareas para casa, cantarlas.

Esto se hace muchas veces con cierta periodicidad. Cada semana, una tabla, por ejemplo. Siguiendo un orden de menor a mayor, cuando la del 5, sin ir más lejos, es más fácil de recordar que la del 3.

La memorización a palo seco de estas tablas exige un gran esfuerzo. Por eso hay ciertos alumnos que no pasan el corte. Los que sí lo pasan, ¿qué han ganado en el proceso? ¿Han aprendido técnicas y estrategias de cálculo flexibles que les permitan cubrir posibles olvidos? ¿Han progresado en sentido numérico? ¿Las técnicas aprendidas les permiten manejarse mejor en la división entera? Es más, los alumnos que se saben los hechos… ¿necesitan canturrear esa parte de la tabla que se han olvidado?

Ay, el sentido numérico… ese gran olvidado. Meto anécdota que no viene muy al caso: en secundaria a muchos alumnos les explota la cabeza cuando al dividir por cero coma algo les da un número mayor que el de partida.

Y los que no pasan el corte de aprenderse las tablas, ¿qué? Esos están todavía peor.

Vale, entonces qué hacemos. La premisa básica va a ser priorizar el aprendizaje de estrategias, a la par que, obviamente, abordar situaciones multiplicativas para dar sentido a todo esto.

Esta doble vía en paralelo, situaciones concretas y formales, se puede abordar con:

La construcción de la tablas, con una rejilla en donde los alumnos escriben los hechos. Se reflexiona en común, se puede subrayar, colorear… (ej., la columna del 2 siempre acaba en 2…)

La construcción puede hacerse más veces, empleando manipulables, fijándose en diferentes regularidades, etc.

Práctica espaciada y “aleatoria” (pero cubriendo todas las tablas) y trabajando estrategias de cálculo mental.

Lástima que no se pueda subrayar en twitter. TRABAJANDO estrategias, no dejando a los alumnos en la selva. Estas estrategias pueden surgir de forma natural y todos tenemos preferencias, pero se aprenden. Hay actividades muy majas, tanto con lápiz y papel como con TIC.

A mí me gustan mucho las tablas de cálculo de J.J. Jiménez (ojo, tanto para Primaria como para ESO, hay de todo). En la web se explica muy bien de qué van y cómo usarlas. Fichas para descargar.

Esos son algunos tipos de actividades para ir trabajando la vía formal. Hay más, pero con esto creo que se pilla la idea. Esencial también el uso de manipulables, como he dicho, que tienen un lugar claro y directo en la construcción de las tablas.

En paralelo, la vía concreta. Esto es una de las cosas básicas que transmitimos en @FacultadEducaUZ en Didáctica de la Aritmética I y II. La cuestión es ir trabajando situaciones multiplicativas que, progresivamente, se hacen de forma más eficiente sabiéndose los hechos.

Al principio, los alumnos las resolverán mediante sumas o restas reiteradas. Poco a poco, jugando con las variables didácticas, con el tamaño de los números, se introduce la necesidad de ir empleando hechos conocidos.

No conviene hacer packs de ejercicios (aquí uso el término ejercicio, no situación) todos iguales. Introducir diferentes estructuras semánticas e incluso situaciones aditivas, que se resuelvan “sumando” o “restando”.

Uso las comillas porque en esta vía concreta se prima la comprensión. Sobre todo al principio, no importa tanto que elijan la operación correcta (que muchos alumnos eligen en plan random) como la comprensión de la situación.

Sugiero la lectura del artículo: Ter Heege, H. (1985). The acquisition of basic multiplication skills. Educational Studies in Mathematics, 16(4), 375-388.

Voy a ver si me organizo la semana, que me lío con estas cosas y no puede ser, que yo estaba con cosicas de probabilidad y tal.

Los materiales educativos concretos no son drogas milagrosas

Tue, 20 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Vamos con una #DidMatCita (y mini hilo) sobre el uso de materiales manipulativos. Siempre hay que tener presente una cosa, que a veces se olvida: “Los materiales educativos concretos no son drogas milagrosas. Su uso productivo requiere planificación y previsión.” (Szendrei, 1996)

Y es que ya van dos veces, recientemente, que veo experiencias con regletas de Cuisenaire que me hacen torcer el morro. Experiencias que ponen el énfasis en la asociación color-número. Es decir, blanco=1, rojo=2, y así.

Szendrei (1996), precisamente, pone las regletas de Cuisenaire como ejemplo de material manipulativo con gran potencial que, en muchas ocasiones, se utiliza mal o de forma poco adecuada.

Estas regletas son un buen recurso para desarrollar la idea de medida y, a partir de ella, aprender conceptos numéricos y de operaciones. No obstante, aquí lo fundamental es la medida. De hecho, permiten introducir la idea de fracción desde esta rica perspectiva.

No solo eso, sino que también se han mostrado muy útiles para trabajar conceptos de series, funciones y ecuaciones, para formular conjeturas y ayudar a guiar la intuición. Con estas tareas, además, nos acercamos a la idea de prueba en matemáticas.

Todo esto se fundamenta en algo muy básico. Y no es otra cosa que en no hacer una asociación única entre colores y números. Porque el mal uso de estas regletas nace cuando se fuerza a los alumnos a memorizar la convención número-color.

Esta asociación conduce a la realización de tareas triviales de sumas, de manera que las regletas pasan de ser un recurso para el aprendizaje a ser un contenido en sí mismas.

Otro mal uso se produce cuando en las primeras actividades con regletas , el profesor utiliza la regleta blanca llamándola “unidad”. Posteriormente, se miden el resto de regletas y los niños aprenden que la roja es el dos, la verde claro el tres, y así.

Las actividades que siguen a continuación dan la impresión de que los alumnos suman y restan con facilidad usando las regletas. Esto conlleva dos grandes problemas. Por un lado, los alumnos aprenden una asociación sin significado, color-número.

Por otro lado, se crean la concepción, errónea, de que una longitud es un número. Si bien al comienzo pueden decir que la longitud de la roja es dos veces la de la blanca, muy pronto comienzan a decir que la roja es el dos o la amarilla el cinco.

En particular, este proceso genera obstáculos muy serios de cara al aprendizaje de las fracciones. Los alumnos que han sido forzados a utilizar la blanca como unidad, no comprenderán más adelante que no importa qué regleta sea la unidad.

Ahí es donde pueden escuchase cosas tan extrañas como que “ahora el amarillo va a ser el uno”, en lugar de decir que “la longitud de la regleta amarilla (o la que mide 5 cm) será la unidad de medida”.

Szendrei termina señalando que, si bien hay manipulables muy sencillos, hay otros que requieren de un curso para ser usados de forma adecuada. Y esto concuerda con la necesidad de formación en didácticas especificas.

Cosas que hicimos para el día Pi 2019 en el proyecto Pi is travelling Europe

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Voy a contar las cosicas -bastante sencillitas- que hemos hecho en el #piday2019 @IESValdesparter en el #eTwinning #piistravellingeurope.

Al principio de clase, hemos contado qué íbamos a hacer. Básicamente, bajar al patio a medir. ¿El qué? ¿Qué creéis que vamos a medir si hoy es el π-day? ¡Círculos! ¡Circunferencias! Tenéis 15' para ir rellenando todas las columnas menos la última.

Ficha para descargar

La última la haremos después en clase, con la calculadora. Como ayuda, unos metros de papel y algún metro más profesional. Se ha hecho hincapié en utilizar también unidades de medida no estándar, como palmos, pies, etc.

Aprovechando que había un grupo haciendo Educación Física…

Luego en clase, hemos calculado las razones. Los más cuidadosos han tenido premio. Se podía oler el número π.

Aunque ha quedado poco tiempo, hemos empezado la segunda actividad. «Ecstasy of π». Es la escena final de «El bueno, el feo y el malo» (música espectacular), y se trata de estimar el número de tumbas. Porque parece que el cementerio es… ¡circular!

Ficha para descargar

Y eso es todo. Bastante sencillito. Pero que incide en el significado de π más allá del trescomacatorce. 🔚

Dados griegos, sesgos de razonamiento probabilístico y actividad de modelado en 3D

Sun, 04 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Estos dados griegos (s. V-IV aC) de la exposición del CaixaForum en Zaragoza me recuerdan mucho a los que diseñaron algunos de mis alumnos de 2ºESO de Matemáticas cuando les propuse diseñar, imprimir en 3D y probar un dado impresión3D. Dentro hilo.

La consigna de la actividad fue: diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade 0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados.

Conste que diseñar un dado no es nada fácil. No hay más que pasarse por esta discusión en thingiverse.

Una vez diseñado el dado les preguntaba

¿Es este el dado que diseñaste? ¿Te gusta cómo ha quedado?
¿Lo usarías para jugar a algún juego de mesa?
¿Cómo sabrías si es un buen dado? ¿Hacemos la prueba?

Ningún alumno vio nada raro en su dado que le llevase a pensar que no fueran adecuados para ser utilizados en algún juego. Pero prácticamente todos tenían graves sesgos. Por ejemplo:

No retiraban la misma cantidad de material en todas las caras.
Parecido si en lugar de retirar material, se añade (lo que ya es raro de por sí)
No se tiene en cuenta que la suma de las puntuaciones de las caras debería sumar 7 para facilitar el equilibrado, si se hace con puntitos (tiene que ver con el error de tipo 1)
No se centran o alinean los puntos de cada cara, lo cual influye también en la distribución de masa del dado.
El dado no presenta las mismas dimensiones en todas sus caras.

El dado griego chiquitín es un claro error de tipo 5 (cogerían la piedra o el hueso que les viniera bien). Y el grandote es un intento de cubo con esquinas muy pronunciadas, que apenas rodaría. Lo otro es una canica 😊

No es fácil diseñar un dado. Los sesgos vistos con el alumnado de 2º de ESO en esta experiencia son los mismos que los de los artesanos griegos de hace más de 2400 años.

No es fácil tampoco el aprendizaje de la #probabilidad. Hay multitud de investigaciones que muestran los sesgos de razonamiento tanto en edad escolar como adulta. Es necesario plantear experiencias de aula y reflexionar sobre lo que está pasando.

Es una pena que muchas veces sea lo primero en caerse porque no da tiempo. Históricamente, esta rama tan “fácil” no empezó a estudiarse en condiciones hasta el siglo XVI (Cardano) y XVII (Pascal y Fermat). Vaya trío de ases.

Si has llegado hasta aquí y te interesa saber más sobre la experiencia de #impresión3D del dado, la describí en thalesepsilon

¡Saludos y feliz clase!

On Squares, Rectangles, and Square Roots

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Burgos, M., & Beltrán-Pellicer, P. (2019). On Squares, Rectangles, and Square Roots. Convergence: Where Mathematics, History, and Teaching Interact, 15. 10.4169/convergence20181128

El problema de contar cubitos

Sun, 18 Nov 2018 00:00:00 +0000

Es muy, pero que muy importante conectar registros y representaciones diferentes de un mismo objeto matemático. Por registros entendemos el registro verbal natural, el gráfico, el simbólico-numérico, el simbólico-algebraico, etc. Por representaciones, por ejemplo, diferentes expresiones algebraicas equivalentes. O diferentes gráficos sobre un mismo problema.

Voy a dejar aquí el material para llevar a cabo una sesión de visualización de descomposición de números, con sus factorizaciones y sus potencias (descargables al final). Se trata del problema de contar cuántos cubos pequeños faltan para completar el cubo grande. A partir de este problema, para lo que me he inspirado en el libro de Problemates de Lluís Segarra (de hecho, la primera configuración que se plantea es exactamente la misma que aparece en el libro).

La tarea

Antes de realizar la tarea que propongo en esta sesión, es preferible haber realizado alguna más de visualización de operaciones, como la que muestro en la imagen de cabecera. Con los policubos, o regletas, o cualquier otro material, se trata de componer números y escribir las operaciones que conducen a ellos. Viendo que, precisamente, el dos al cubo se llama así porque…¡es un cubo!
Nota: las configuraciones las he dibujado con esta herramienta del NCTM, enlace que he compartido con ellos y que hemos usado en clase para ayudar con la visualización.

Vamos a contar cuántos cubos pequeños faltan para completar el cubo grande

Dejamos tiempo. De hecho, yo lo propuse como tarea para el siguiente día. Y algunos alumnos consiguieron ver que faltaban 42 cubitos, pero otros no. Así que la siguiente sesión comenzó mostrando una posible visualización, prestando especial atención a la expresión aritmética que representa esa forma de contar.

Y después, la ficha con la tarea. Hay que pintar sobre cada una de las configuraciones y escribir en el recuadro la expresión correspondiente. También les entrego una hoja con un geoplano isométrico para la segunda parte. Conviene observar que esta tarea es un ejemplo claro de atención a la diversidad, cosa que no siempre conseguimos. Los alumnos que visualizan con más facilidad, tienen que buscar más expresiones para una misma configuración. Por ejemplo, contando los que hay en lugar de los que faltan.

Descargables

Ficha con el problema de contar cubitos, lista para imprimir.
Geoplano isométrico.

¡Un saludo y feliz clase!

Introduciendo el modelado y la impresión 3D en el aprendizaje de matemáticas

Sat, 11 Aug 2018 00:00:00 +0000

A pesar de que las impresoras en 3D utilizan una tecnología conocida ya desde hace tiempo, es en los últimos años cuando se han comenzado a extender entre el gran público, mostrando un amplio rango de aplicaciones. Las causas de este auge hay que buscarlas, en primer lugar, en lo asequible que resulta adquirir uno de estos aparatos. Para ello, ni siquiera hemos de ir a comercios especializados, basta con acudir a un centro comercial o comprarla en Internet.

Comunidades y clones

Por otro lado, de forma previa y anticipando esta popularización de la tecnología, surgieron comunidades formadas por personas interesadas en la impresión en 3D, tanto a nivel profesional como amateur. En el seno de estas comunidades han ido surgiendo modelos de impresoras cuyo diseño se compartía libremente. De esta forma, alguien que desee construirse una de estas máquinas, puede hacerlo teniendo en cuenta esos diseños, encontrar a alguien que le imprima -normalmente, de manera altruista- las piezas de plástico necesarias, y comprar el resto.

Las máquinas RepRap (Replicating Rapid-prototyper) fueron inventadas por Adrian Bowyer, apareciendo esta idea por primera vez en Internet en 2004 y, no en vano, es en torno a la web RepRap.org que se ha creado la que posiblemente sea la comunidad más importante. El árbol genealógico de la rama española, iniciado por Juan «Obijuan» González Gómez y Andrés Prieto en 2009, puede verse en el Imperio de los Clones.

Y en matemáticas, qué

Aunque esto de las impresoras 3D dé mucho juego -obviamente- en asignaturas como Tecnología, el proceso de fabricación de un objeto está lleno de matemáticas. A continuación, introducimos brevemente algunas tareas que hemos propuesto @crjaso y un servidor (que están descritas en más detalle aquí y aquí):

Montaje de una impresora

@crjaso realizó este proyecto con un grupo de alumnos de 3º de ESO (programa de diversificación) durante todo un curso, persiguiendo objetivos de aprendizaje transversales. Por un lado, para los alumnos participantes:

Que aplicaran sus conocimientos científico-tecnológicos en el proceso de montaje y calibración de la impresora
Que desarrollaran su capacidad de expresión en público.

Por otro lado, el taller trata de acercar la tecnología de modelado e impresión en 3D al resto del alumnado del centro, transmitiendo los valores de aprender por aprender y la cultura del software libre. Todos los viernes, durante el recreo, el taller de tecnología se convirtió en un lugar de entrada libre donde se explicaban los progresos.
La apertura del proyecto al resto de alumnado, permitió flexibilizar las actividades para adaptarlas a otros niveles, como programar la impresora para que dibujara. Para ello, se acopló en el cabezal de la impresora un rotulador de forma que esta se podía programar para que dibujara sobre un papel colocado en la base. Puesto que este tipo de impresora es de tipo “cartesiana”, se aprovechó el momento para en el aula dar el tema de funciones y el plano, haciendo hincapié en las coordenadas de los puntos del plano.

Conceptos geométricos

Otra actividad implementada por @crjaso, esta vez con un alumnos de 2º de ESO, fue la realización de un taller sobre los sólidos platónicos. Los objetivos eran conocer estos cuerpos y deducir cuáles son sus propiedades fundamentales, evitando la enseñanza de tipo memorística y ausente de significado. Las tareas que se plantearon utilizaron como recurso una impresora 3D y palos de brochetas. Los alumnos se organizaron en grupos de 3 o 4 integrantes, teniendo lugar la experiencia durante dos sesiones de clase de 50 minutos, incluyendo las siguientes tareas:

Tarea 1: fórmula de Euler para el cubo

A partir de la imagen mental, dibujos u objetos cotidianos.

Tarea 2: fórmula de Euler para el resto de sólidos platónicos

En este caso, a los alumnos con dificultades se les dejó un poliedro físico para facilitarles la comprobación.

Tarea 3: impresión de los vértices necesarios

Ahora los alumnos proceden a construir los poliedros correspondientes. Los vértices los tenía impresos el profesor de antemano, ya que es algo que puede consumir bastante tiempo. Lo interesante del modelo de vértice escogido (de W. Adams, disponibles en http://www.thingiverse.com/thing:9359 es que es un diseño paramétrico y, por tanto, permite adaptar el modelo al grosor del objeto que seleccionemos como arista (los palos de brocheta, en nuestro caso) posibilitando el hacer poliedros de gran tamaño.

Tarea 4: montaje de los poliedros

El uso de palos de brochetas como aristas conlleva una manipulación. Hay que cortarlas para que sean todas iguales y, pese a que al alumnado se le pidió que fuera riguroso, siempre hay alumnos que cuando pasan a la fase de montaje se dan cuenta que necesitan nuevas aristas de la longitud correcta.

Relacionando geometría, fabricación y probabilidad

Y de paso, articular significado frecuencial y clásico de la probabilidad. En este caso, la tarea la propuse yo con otro grupo de 2º de ESO, de forma voluntaria en la asignatura de matemáticas, durante la unidad didáctica de cuerpos geométricos, aunque el objetivo final era detectar intuiciones primarias erróneas y sesgos en el razonamiento probabilístico de los alumnos. La consigna fue:

*La tarea consiste en diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade 0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados. A continuación, os explico cómo hacerlo. *

El mismo día de presentación de la actividad, se introdujo a los alumnos brevemente en el manejo de la aplicación online TinkerCad, y durante esa misma semana fueron entregando sus diseños.

Posteriormente, se les citó individualmente para hacerles una breve entrevista basada en las siguientes preguntas: ¿es este el dado que diseñaste? ¿te gusta cómo ha quedado? ¿lo usarías para jugar a algún juego de mesa? ¿cómo sabrías si es un buen dado? ¿hacemos la prueba? En la experiencia que realizamos se observó cómo, casi ninguno de ellos, intenta ni siquiera que las caras de los dados pesen lo mismo.

Y en educación infantil también

La cuarta y última de las situaciones se realizó con un niño de 5 años de edad (segundo curso de Educación Infantil). La tarea consistió en construir un juego sobre los animales de los polos, para el que se utilizó el software de modelado Tinkercad y la impresora 3D para hacer realidad esos diseños, los cuales se subieron a Thingiverse. Los objetivos didácticos, desde el punto de vista lógico-matemático, consistieron en trabajar formas de figuras planas y de cuerpos en el espacio, así como vocabulario propio de medida y de geometría (altura, grosor, espesor, círculo, cilindro, etc.), así como lógico (unión de figuras, diferencia).

Para terminar

Hemos esbozado diferentes opciones de introducir el modelado y la impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas. Los diferentes paquetes de software mencionados poseen características que complementan otros entornos de geometría dinámica, como Geogebra, que ya son habituales en las aulas, permitiendo articular álgebra y geometría y facilitando la manipulación y visualización de las piezas.

Por otro lado, el disponer de una impresora en el centro educativo abre las puertas a la introducción de la robótica. Si bien existen modelos de robots orientados al ámbito educativo, el abanico de posibilidades se extiende al poder diseñar piezas nuevas, modificar diseños existentes e imprimirlos directamente.

Referencias

Para saber más, os invitamos a leer el artículo en extenso en la revista ReiDoCrea:

Beltrán-Pellicer, P. y Rodríguez-Jaso, C. (2017). Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudioexploratorio. ReiDoCrea, 6, 16-28.

La experiencia del dado está descrita en detalle en este otro artículo: Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad. Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Curiosidad: en el Imperio de los Clones puede verse que la máquina de Carlos es el clon #409, Vulcano, mientras quela mía es el clon #541, Vega, descendiente de la de Carlos.

Alumnos como profesores: una experiencia sobre papiroflexia y lenguaje en matemáticas

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Alumnos como profesores: Una experiencia sobre papiroflexia y lenguaje en matemáticas. Entorno Abierto, 21, 12-14.

Un calendario con forma de dodecaedro rómbico

Tue, 19 Dec 2017 00:00:00 +0000

Vamos a dejar aquí un regalo para el nuevo año. Se trata de un calendario que se construye con los módulos rómbicos de Nick Robinson. Como en todo buen diseño de papiroflexia modular, no hace falta pegamento ni nada. Y además, existe una web con un formulario maravilloso para poder generar el calendario y personalizar cosas como el idioma, el día de comienzo de la semana (hay gente por el mundo que empieza la semana en domingo…). Lo que devuelve es un fichero ps, pero se convierte fácilmente a pdf. Se trata de un uno de los sólidos de Catalan y tiene la característica de llenar completamente el espacio cuando se reúnen varios de ellos, al igual que los hexágonos teselan el plano.

Las instrucciones de los módulos son de Nick Robinson y se pueden descargar en su web o aquí o aquí (fuente: creased.com).
El formulario para generar los calendarios está en toddsplace. A día de 10 de diciembre de 2025 está caído, pero…
Dejo un ejemplo de 2025 listo para imprimir que he conseguido descargar: dos meses por hoja

En el Centro Diffusione Origami (Associazione italiana sull’arte di piegare la carta) tienen una página dedicada a calendarios con plantillas para este y otros modelos (algunas en español y otros idiomas, algunas solo en italiano)

Para nostálgicos:

2024 (tamaño A4, sin color): dos meses por hoja, A4 o cuatro meses por hoja, A4.
2023 (tamaño A4, sin color): dos meses por hoja, A4 o cuatro meses por hoja, A4.
2022 (tamaño A4, sin color): dos meses por hoja, A4 o cuatro meses por hoja, A4.
2021 (tamaño A4, sin color): dos meses por hoja, A4 o cuatro meses por hoja, A4.
2020 (tamaño A4): blanco.
2019 (tamaño A4): blanco, azul.
2018 (tamaño A4): azul, blanco, verde, plata, otro verde.

Como hemos dicho, lo que devuelve es un archivo .ps (postscript), que se puede convertir a pdf en ps2pdf.com.

En pleno proceso de preparación.

Ya que estamos en un blog de educación matemática, añadimos aquí alguna sugerencia para trabajarlo en clase de matemáticas, porque se pueden abordar diferentes niveles y contenidos:

Trabajar sobre el lenguaje. Punto, recta, bisectriz, paralela, punto medio, etc.
Deducir los ángulos que se forman en el módulo plano.
Deducir los anguloides que se forman cuando se ensamblan los módulos.
Calcular las dimensiones necesarias del papel original para que el dodecaedro ensamblado tenga una altura determinada.

Primer calendario de estos que monté, en papel «piel de elefante».

Para que se vea que no resulta excesivamente complicado, aquí van unas fotos de un niño de 6 años realizando los pliegues pertinentes:

Las tijeras, un gran recurso en geometría

Wed, 14 Jun 2017 00:00:00 +0000

Muchas veces andamos como locos buscando nuevos recursos que faciliten el aprendizaje de nuestros alumnos. Sin embargo, otras veces descuidamos materiales cotidianos que resultan muy eficaces para trabajar muchos contenidos.
Un gran ejemplo de esto son las tijeras.

Ejemplo de problema y error típico

Muchos alumnos, de todas las edades, presentan dificultades a la hora de interpretar un problema como el siguiente ( sacado de un examen oficial de competencias N-2):

Se quiere pintar las paredes de una habitación, la habitación tiene forma rectangular, el largo de la habitación mide 6 m, el ancho mide 4,5 m, y la altura, 2,50 m. En la habitación hay una puerta de 1,60 m de ancho y 2,10 m de alto y un ventanal cuadrado de 2 m de lado. Si por cada 10 m2 necesitamos un litro de pintura y la pintura cuesta 8 € el litro, ¿cuál es el coste de toda la obra?

Y es que no son pocos los alumnos, en este caso personas adultas, que confunden el volumen con el área lateral. Así, nos encontramos con casos en los que la primera operación que se hace es:

$$6 \times 4,5 \times 2,50$$

Lo cual es un volumen, expresado en m3, al que luego suman el área de la puerta y la ventana.

Una forma sencilla de trabajar el área de un cuerpo en el espacio

Vamos a clase con una caja de galletas, o de lo que sea, vacía. Y con unas tijeras. De hecho, lo mejor es planificar la actividad y pedir que cada alumno (o grupo de alumnos) traiga una caja y tijeras. Una sugerencia de secuencia podría ser la siguiente:

Antes de romperla, medir cada una de las aristas y calcular el volumen. Anotarlo en el cuaderno.
Antes de romperla, tratar de dibujar en el cuaderno cómo quedaría “desplegada”, de forma que pudiera plegarse de nuevo para formar la caja. Anotar las longitudes de las aristas y calcular el área de esa figura.
Romper la caja, cortando por las aristas que se quiera, pero de forma que quede “desplegada”. Estudiar la relación entre los rectángulos (caras) del cartón y los que se han dibujado en el cuaderno y calcular el área del cartón.
Comprobar si el área calculada antes de romper la caja coincide. Si no es así, ¿en dónde hemos cometido algún error?

En cualquier caso, es buena idea que el profesor repita la actividad en otro momento si detecta que sigue produciéndose esta confusión.

Modelado e impresión 3D en... educación infantil

Tue, 18 Apr 2017 00:00:00 +0000

No es que vayamos a poner a diseñar piezas complejas a los niños, ni que haya que introducir obligatoriamente en el aula la impresión en 3D si nos queremos llamar innovadores, simplemente porque sea una tendencia de moda. Mi visión es que se trata de otro recurso didáctico, que puede introducirse perfectamente como algo natural, pues poco a poco imprimir objetos en 3D será tan cotidiano como imprimir en una hoja de papel. Además, todo esto tiene su interés desde el punto de vista de la educación científica, y de las matemáticas en particular.
Un ejemplo podría ser la situación que se ilustra en las fotografía, que se realizó con un niño de 5 años de edad, escolarizado en segundo curso de Educación Infantil. La tarea, guiada en todo momento por uno de los autores, consistió en construir un juego sobre los animales de los polos (tema del trimestre), para el que se utilizó el software de modelado Tinkercad y una impresora 3D para hacer realidad esos diseños, los cuales se subieron a Thingiverse. Los objetivos didácticos lógico-matemáticos, consistieron en trabajar formas de figuras planas y de cuerpos en el espacio, así como vocabulario propio de medida y de geometría (altura, grosor, espesor, círculo, cilindro, etc.), así como lógico (unión de figuras, diferencia).

Las siluetas bidimensionales de los animales se buscaron en Internet, eligiendo el niño las que más le gustaban de cada animal, teniendo en cuenta las restricciones que se le dieron (que fueran completamente negras, que no tuvieran muchos huecos en el interior, etc. para facilitar su impresión). Posteriormente, se importaban estas siluetas en Tinkercad y se extruían para darles volumen, siendo algo que hacía el niño de forma guiada. Por último, a cada figurita se le añadía un cilindro hueco, seleccionándolo desde las formas predefinidas y modificando el tamaño a conveniencia, uniendo ambos objetos para obtener la figura final.

El uso y la intencionalidad de las prácticas era claro, el diseño y construcción de un juego sobre los animales de los polos. Y algunos objetos matemáticos que se ponen en juego son:

Conceptos: planta (“silueta”), volumen, traslación, semejanza, cilindro, unión, diferencia lógica.
Procedimientos: modelado de figuras tridimensionales a partir de la planta (silueta) de un objeto, composición de cuerpos en el espacio uniendo otros más sencillos.

Para saber más, el artículo en extenso en la revista ReiDoCrea:
Beltrán-Pellicer, P. y Rodríguez-Jaso, C. (2017). Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudio exploratorio. ReiDoCrea, 6, 16-28.

Billetes imprimibles para aprender el sistema decimal posicional

Fri, 31 Mar 2017 00:00:00 +0000

Introducción, un recurso excelente

Un excelente recurso con el que profundizar en el sistema decimal posicional (el que utilizamos habitualmente para escribir los números) son los billetes. Ahora bien, necesitamos billetes estrictamente decimales; es decir, de 1, de 10, de 100 y de 1000. No nos valen, en este caso, los de 5 o 50, porque introducen una base auxiliar que nos despista y nos aleja del objetivo que se persigue. El caso es que, como tampoco vamos a usar dinero de verdad en clase, dejo aquí unos archivos listos para imprimir con billetes de 1, 10, 100 y 1000, solo por una cara.

Aunque dedicaremos una entrada más adelante a su utilización didáctica, ya adelantamos el tipo de actividades que se pueden plantear:

Representar un número con la menor cantidad de billetes posible.
Sumar dos cantidades, para trabajar los algoritmos de la suma.
Restar dos cantidades, para trabajar los algoritmos de la resta.
Doblar, triplicar, etc. una cantidad para relacionarlo luego con los algoritmos escritos de la multiplicación.
Repartir una cantidad de dinero entre varias personas, para poder establecer luego una correspondencia con los pasos del algoritmo escrito de la división.

No obstante, la primera vez que se justifican los algoritmos, mejor que los billetes es el material conocido como puntos,barras y placas. La diferencia está en que en la barra se identifica claramente que está compuesta por diez puntos.

Billetes de 1, 10, 100 y 100 listos para imprimir

Si no los quieres realistas (que no reales, porque billete de 1€ no hay…), aquí tienes este kit:

Y aquí los realistas. Se descargan pinchando sobre la imagen correspondiente (son archivos pdf):

Para elaborarlos, busqué en Openclipart, encontrando los billetes de 10 y los de 100. Encontré una imagen de un hipotético billete de 1 buscando un poco, y el de 1000 lo tuve que crear a partir del de 50 utilizando Inkscape.

Tubo matemático (math spinner)

Wed, 15 Mar 2017 00:00:00 +0000

Vuelvo a tener fina la máquina 3D, y eso significa que voy a ir imprimiendo manipulables para matemáticas. Tengo cosas que imprimí el curso pasado, a las que iré dedicando alguna entrada.

En esta entrada voy a presentar un tubo matemático. El diseño que he utilizado es el de BQ, que en realidad es un remix del de Sebphestos, que a su vez es el rediseño de pauloblank. Bueno, la historia no para ahí, porque este último viene del de cristinachum. Esta es la grandeza de las licencias que permiten obras derivadas y volver a compartir las creaciones. A lo que iba, este diseño en concreto me ha gustado porque el cilindro interior no es liso, sino que presenta unos surcos sobre los que se inserta un clip que llevan las ruedas móviles de los números. Lo único que he hecho es cambiar la forma de las tapas, para que parezca más una lata de refresco. Vaya por delante que a este objeto le llamo tubo matemático porque no sé muy bien cómo traducir math spinner sin que la cosa quede muy ortopédica.

¿Qué es realmente un tubo matemático?

Si observamos las fotografías que acompañan este texto, veremos que este objeto es un tubo sobre el que van enroscadas una serie de ruedas. Hay una que es fija y que lleva el signo igual, de forma que separa una operación de su resultado. La operación está compuesta por dos términos de una cifra, que se representan por sendas ruedas móviles, y de una rueda, también giratoria, para la operación a realizar (suma, resta, multiplicación y división). A la derecha del signo igual hay dos ruedas para representar un número de dos cifras.

Entonces, ¿qué podemos hacer con un tubo matemático de estos?

La cosa está clara, trabajar las operaciones formales con niños en último año de infantil y primer ciclo de primaria. Ahora, lo que parece una chorrada en un principio, esconde relaciones interesantes entre las operaciones que facilitan, por ejemplo, el ir construyendo las tablas de la suma o de la multiplicación.

Por ejemplo, pongamos una suma conocida, 7+5=12, a la que el niño haya llegado recitando desde uno de los sumandos o porque precisamente se sabe ese resultado.

Si giramos una rueda de un sumando una posición, bastará mover la rueda de las unidades del resultado una posición para obtener el resultado, 7+6=13. Aquí va implícita la idea de compensación de ambos lados del signo igual, y se podría discutir si, efectivamente, facilita una comprensión más algebraica del mismo.

Más aún, si giramos m veces un sumando y n veces el otro (sin desbordamiento; es decir, sin pasarnos de 9 en ningún caso), para mantener el resultado válido tendremos que girar la rueda de las unidades m+n veces. Y ahora sí, si llegamos a cero, eso quiere decir que tendremos que girar una posición la de las decenas. Con lo que también ofrecemos una perspectiva nueva sobre la que apoyar la comprensión del sistema posicional decimal.

El caso de la resta todavía es más interesante. Pongamos una resta como 8-5=03. Si aumentamos en una unidad, girando el minuendo para que el 8 pasa a ser 9, para compensar el resultado, tendremos que aumentar también el sustraendo.

Un defectillo

Cuando estamos tratando con niños a los que todavía no se les ha introducido el concepto del cero, el hecho de que para marcar cualquier número de una cifra en el resultado tengamos que acompañarlo de un cero a la izquierda es, cuando menos, forzado. Se podría mejorar haciendo ruedas de 11 caras, siendo una de ellas en blanco.

Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad

Sun, 01 Jan 2017 00:00:00 +0000

3D modelling and printing as a didactic tool in probability learning

Abstract

We introduce a pilot experience in the beginning of secondary education about the teaching and learning of probabilistic concepts, where students design some dice, then print them in 3D printing and finally study their fairness. The experience is related to the frequentist meaning of probability, and help students to relate it to the classic or a priori meaning.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad. Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudio exploratorio

Sun, 01 Jan 2017 00:00:00 +0000

3D Modelling and Printing in the Teaching of Mathematics: An exploratory study

Abstract

3D printers are finding their place in educational institutions, as innovative and creative teachers use them to propose activities in their lessons. Usually, they are teachers of technology and computer science in secondary education, or of certain specialties in professional training. In these cases, the tasks involve designing and printing solid pieces as a means of achieving the learning objectives. The purpose of this paper is to justify using this resource in the teaching of mathematics at different educational levels. Method: We adopt a descriptive and exploratory qualitative methodology, first depicting 3D printing technology and the usual software applications to model 3D objects. Then, considering several classroom experiences, we analyse possible tasks that can be proposed in order to verify/confirm thatmathematical knowledge is activated/used, applying the notion of the configuration of objects and mathematical meanings. Results: The objects and meanings configurations for each of the situations show mathematical content aligned with the curricular level of the students. Conclusions: It is appropriate, from an epistemic point of view, to consider teaching and learning proposals, which involve 3D modelling and printing.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Rodríguez-Jaso, C. (2017). Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: Un estudio exploratorio. ReiDoCrea, 6, 16-28. https://doi.org/10.30827/Digibug.44193

Sólidos platónicos en la impresora 3D

Tue, 27 Dec 2016 00:00:00 +0000

Recientemente, para seguir enriqueciendo mi colección de trastos del profesor de matemáticas, me he imprimido un set de sólidos platónicos. A los alumnos siempre les ayuda el poder tenerlos entre las manos y darles vueltas para contar caras, vértices y aristas.

En Thingiverse hay un montón de diseños. He optado por uno normalito, imprimiéndolos en PLA azul con un relleno del 5%, más que suficiente.

Ya en el aula, el tenerlos permite trabajar algo de vocabulario, descubrir la fórmula de Euler para poliedros y plantear situaciones con un soporte manipulativo.

Articulación de los significados frecuencial y clásico de la probabilidad mediante el diseño y la impresión 3D

Fri, 01 Jan 2016 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2016). Articulación de los significados frecuencial y clásico de la probabilidad mediante el diseño y la impresión 3D. Comunicación en el grupo de trabajo de Estadística y Probabilidad en el XX Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM).

Máquinas de sumar

Tue, 19 May 2015 00:00:00 +0000

La realización de esta graciosa máquina de sumar es cosa de los tíos de mis pequeñuelos, que se han ganado un puntazo. Ellos tomaron la idea hace tiempo del blog Imágenes educativas, pero al final les ha quedado algo diferente.

La máquina consiste en dos tubos que convergen en forma de “Y”. Por cada agujero de entrada se introducen los sumandos, como bolitas, garbanzos o judías, y en la bandeja inferior se recoge el resultado. Por supuesto, de máquina tiene poco, porque el niño debe contar para obtener el resultado.

Cumple su función didáctica estupendamente. Por un lado, si la máquina se le presenta al niño como algo sofisticado, o incluso mágico, es algo que le va a encantar. Y, por otro lado, permite desarrollar su sentido numérico. Así, el niño se introduce en una de las técnicas para sumar más básicas: agrupamiento y conteo. Ya habrá tiempo para técnicas más avanzadas.

Además, si el niño ya sabe escribir números,puede tratar de anotar los números que va metiendo y lo que obtiene en cada caso. Esta tarea, que a un adulto le podría resultar pesada (a quién se le ocurre anotar números), forma parte del juego de la máquina. Resulta gracioso e interesante comproba cómo se sorprenden cuando obtienen el mismo resultado sumando diferentes cantidades (5+2=6+1=4+3).

Comecocos de papel matemáticos

Fri, 20 Feb 2015 00:00:00 +0000

¿Quién no ha jugado alguna vez a los comecocos de papel? Bueno, pues resulta que están de moda como recurso didáctico en prácticamente cualquier materia.

El juego más sencillo que podemos plantear es el de preguntas y respuestas, que puede jugarse de forma individual o por parejas. De esta manera, una vez elegido número y color, se lee la pregunta y, para ver si la respuesta es correcta, basta con desplegar.

En etapas tempranas de infantil resulta muy interesante el potenciar diferentes representaciones de un número. Así, en las fotos se ven cierto números en forma de lanzamientos de dos dados. Claro está, que el niño no tiene por qué saber sumar para poder decir qué número es, le basta con contar. Sin embargo, mediante este juego se va construyendo la noción de suma en la mente del pequeño. Ello es debido a que visualmente es muy fácil identificar en un dado los números del 1 al 6. Y para números mayores, es más eficiente sumar que contar. Es decir, que las primeras veces que se juegue se ha de tender a contar, pero al descubrir que la suma facilita la tarea, se cambiará de estrategia mental.

Al desplegar la opción elegida se comprueba si el resultado es correcto.

*Comecocos desplegado. Hay páginas web con plantillas para recortar y *

doblar, pero para estos casos concretos no merece la pena.

¿Cómo se hacen estos comecocos?

¿Que no te acuerdas? En este vídeo te lo recuerdan:

Torres de números

Thu, 25 Dec 2014 00:00:00 +0000

Curioso juego que nos describen en el blog Be the thread. Aunque en la foto hayamos empleado regletas de Cuisenaire, de las que ya hablaremos en posteriores artículos, se puede jugar con piezas de construcción o con cualquier juego de bloques. Casi mejor si los bloques pueden unirse, aunque da igual. Si no se unen, se trabaja también la psicomotricidad fina ;).

Con este juego se trabaja el conteo, al tener que montar las torres, la identificación de los símbolos numéricos y la suma. No es obligatorio sumar para jugar a este juego, como se ve en las instrucciones, pero si se suma, se quitan más cubiletes.

¿Qué necesitamos para jugar a Torres de números (Towers Up)?

Dos dados. Podemos variar la dificultad empleando dados con más o menos caras.
Bloques de construcción, cubitos apilables o regletas.
Una hoja como la de la foto. El patrón de números que hemos puesto es el de la versión original, para la que harán falta 88 cubiletes unitarios. Podemos variar el patrón como queramos y los números sean alcanzables con la puntuación de los dados.

¿Cómo se juega?

Primero se monta el chiringuito, apilando los bloques según marca la hoja. Después, por turnos, se van tirando los dados para retirar las torres. Si se obtiene un 3 y un 5, se puede quitar una torre de 3 y una de 5, o dos de 4.

El juego acaba cuando se quitan todas las torres. Puede jugarse en plan solitario, en plan colaborativo (todos ganan cuando se quitan las torres) o en plan competitivo (gana el que más cubiletes haya quitado).

Proporcionalidad y escalas con Peppa Pig

Sun, 14 Dec 2014 00:00:00 +0000

Los fragmentos de películas y series ofrecen una excelente oportunidad para introducir y trabajar conceptos matemáticos, cosa que iremos profundizando en otros artículos.

Por otro lado, esto de ser padre me ha convertido en fan de alguna serie de dibujos animados, como Peppa, y terminar odiando otras. Lo mejor de Peppa Pig es que de vez en cuando guarda algún chiste para los sufridos papás. En el capítulo 4x02 La casa nueva, me llamó la atención la forma tan clara que tiene Peppa de enseñar la noción de proporción, sin que se note siquiera un atisbo de intencionalidad didáctica.

SEÑOR BULL: Buenos días Señor Pig, ¿qué vamos a hacer? ¿una piscina? ¿un aparcamiento? ¿una estación espacial?

PAPÁ PIG: Una casa. ¿Puede construirla como ésta exáctamente, por favor?

PEPPA: Igual, pero más grande.

A la hora de aplicarlo en clase no hace falta ver el capítulo entero. Únicamente las partes que nos interesen. Posteriormente, se les propone a los alumnos que dibujen un diseño sencillo, con líneas rectas y a escala. Finalmente, mediante bloques de construcción deben construir su diseño, de forma que sea proporcional a lo dibujado.