Divulgación | Pablo Beltrán-Pellicer

El motor de ARCOMAT: compartir matemáticas de persona a persona

Tue, 28 Jul 2026 00:00:00 +0000

Artículo de la Comisión de seguimiento del convenio SAPM - Departamento de Educación sobre el despliegue de ARCOMAT en Aragón. Qué se obtiene al firmar un convenio institucional, cómo funciona en la práctica la estructura piramidal del Programa de Cooperación Territorial y por qué el factor humano (asesores y asesoras, coordinadores y coordinadoras de centro, docentes de aula) es lo que acaba marcando la diferencia.

Cítese como:

Beltrán Pellicer, P., & Martínez Pérez, B. (2026). El motor de ARCOMAT: compartir matemáticas de persona a persona. Entorno Abierto, 64, 22-24.

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La SAPM recibe el XVII Premio de la Facultad de Educación

Tue, 28 Jul 2026 00:00:00 +0000

Crónica de la entrega del XVII Premio de la Facultad de Educación a la Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemáticas, y repaso de lo que hay detrás de esa candidatura: casi medio siglo de trabajo sostenido en educación matemática en Aragón, desde el desarrollo curricular y la formación del profesorado hasta las olimpiadas, la divulgación y los convenios con la administración. Lo que sostiene todo eso es el asociacionismo, fundamental para tender puentes entre docentes.

Cítese como: Beltrán Pellicer, P., Muñoz Escolano, J. M., & Martínez Pérez, B. (2026). La SAPM recibe el XVII Premio de la Facultad de Educación. Entorno Abierto, 64, 3-5.

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Descubriendo algoritmos desde la resolución de problemas

Sun, 23 Nov 2025 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Martínez-Juste, S. (2025). Descubriendo algoritmos desde la resolución de problemas. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 110, 7-12. https://www.grao.com/revistas/aprendizaje-heuristico-aprender-a-transformar-que-hay-detras-de-un-algoritmo-78535?contenido=504350

¡Yo también soy buena en matemáticas! Esta es la manera de enseñar que cambia actitudes

Tue, 23 Sep 2025 00:00:00 +0000

Este artículo está basado en una investigación en la que ha colaborado Manuel Jesús Siaba-Lestón, maestro en el CEIP Plurilingüe Ricardo Tobío, Esteiro-Muros (La Coruña).

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Ordóñez, G., & Martínez-Juste, S. (2025, septiembre 22). ¡Yo también soy buena en matemáticas! Esta es la manera de enseñar que cambia actitudes. The Conversation. https://doi.org/10.64628/AAO.5cujcntjt

Concursantes de OT que no saben leer la hora

Sat, 20 Sep 2025 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de BlueSky y de este hilo de Twitter-X.

Más allá de si están actuando o no, me jugaría lo que fuera a que todos pasaron por fichas de lectura de relojes analógicos en los primeros años de Primaria o incluso en Infantil. Entonces, ¿qué es lo que falla?

El vídeo está haciendo las delicias de los apocalípticos. Pero vamos, esto lleva así desde la popularización de los relojes digitales que, como todos sabemos, es cosa de antes de ayer. Es que claro, cómo van a ir por la calle con cinco, seis o siete añitos y no saber leer la hora en un reloj de agujas. Madre del amor hermoso. La educación, que tiene mucho margen de mejora, pero mucho, no es peor a la de hace 40 años. El problema de entonces y de ahora es que el tratamiento de la magnitud tiempo suele ir enfocado a este tipo de tareas.

Y mira, no. Al igual que también se hacen muchas tareas sobre “medida” (ojo comillas) que consisten en pasar de hectómetros a decímetros con la ayuda de una escalerita. Pues es que aprender sobre medida no va de eso. Porque en estas actividades apenas hay un porqué. Te las encuentras en versión con colorines, gamificadas, etc. pero suele ser “esto se hace así y asá, hala, ejercita”. Y eso no es hacer matemáticas. Matemáticas es “lo que se entiende”.

Comprender la magnitud tiempo es bastante más complicado que comprender, por ejemplo, la longitud. Y leer la hora en un reloj de agujas, por mucho que lo tengamos interiorizado muchos de nosotros, es cosa chunga. Para empezar, porque el sistema de numeración que empleamos para escribir números es decimal posicional. Que además es diferente al que empleamos cuando leemos los números. Sí, cuando lees 342 no dices “tres cuatro dos” sino trescientos cuarenta y dos.

Pero es que, además, para el tiempo, gracias a las personitas que habitaron mesopotamia hace milenios, usamos un sistema sexagesimal. De base 60, vamos. Con lo que 1,5 horas no es una hora y cincuenta minutos, sino hora y treinta minutos u hora y media. Porque claro, 1,5 horas es una hora y cinco décimas de hora. Y como las horas tienen 60 minutos y no 100 porque escaparon a la tiranía del decimal #sarcasmoON de la Revolución Francesa, pues cinco décimas de 60 son 30.

Ojo, el hecho de que ahora todo el mundo lleve relojes digitales que te dan la hora no implica que no haya que abordar la magnitud tiempo y su medida en el cole, eh. De hecho, las orientaciones didácticas al respecto siguen siendo las de siempre. Y se pueden resumir en no ponerse con las fichas dichosas de lectura y escritura antes de tiempo. Y sí, con 5, 6 o 7 años es pronto. Y las orientaciones que emanan de la didáctica específica son similares a las de otras magnitudes, con las particularidades de cada una. El tiempo corre de forma continua e inexorable, no es algo tangible, etc.

Primero habrá que abordar términos de uso cotidiano, vocabulario, comparar eventos, ordenarlos. Y más adelante, abordar el problema de la medida del tiempo, para lo que hay propuestas estupendas. Construir relojes de arena, o de agua (clepsidras) y usarlos para comparar duraciones de eventos. Cuando la duración excede varias veces el tiempo que permite un reloj de arena… ¿cómo podemos seguir utilizándolo? Ah, registrando cuántas veces le hemos dado la vuelta. Y ahí ya estamos más cerca de la conexión con un dispositivo circular compacto (aka reloj de agujas). Pero es que lo chulo es construirlo, con esas unidades arbitrarias, porque ahí se ve la necesidad. La medida en horas, minutos y segundos ya se puede justificar después. Y todo esto responde a un problema esencial de las sociedades, la medida del tiempo.

A la vez que resolvemos este problema, razonamos, argumentamos, representamos, comunicamos, conectamos… es decir, hacemos matemáticas.

Si os quedáis con ganas de saber más sobre esto de medir en matemáticas, os animo a escuchar este episodio del podcast Ábacos y geoplanos.

Un saludo y… ¡feliz clase!

VI Jornada de Educación Matemática en Aragón: Una cita ineludible

Wed, 30 Apr 2025 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Martínez Pérez, B. (2025). VI Jornada de Educación Matemática en Aragón: Una cita ineludible. Entorno Abierto, 59, 2-6.

Crónica del Seminario de la FESPM «Thinking Classroom en Matemáticas»

Fri, 31 Jan 2025 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2025). Crónica del Seminario de la FESPM «Thinking Classroom en Matemáticas». Entorno Abierto, 58, 12-17.

TIMSS 2023, la misma historia de siempre

Thu, 05 Dec 2024 00:00:00 +0000

Disponible en el siguiente enlace:

https://www.magisnet.com/2024/12/timss-2023-la-misma-historia-de-siempre/

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P.(2024, diciembre, 5). TIMSS 2023, la misma historia de siempre. Magisterio. https://www.magisnet.com/2024/12/timss-2023-la-misma-historia-de-siempre/

¿Dónde están las matemáticas de los nuevos currículos?

Tue, 03 Dec 2024 00:00:00 +0000

Hace unos tres años que se comenzaron a “implantar” los currículos LOMLOE y, ahora que está sobre la mesa el Plan de refuerzo de matemáticas y lectura, merece la pena reflexionar sobre lo que han supuesto. Desde la Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemáticas creemos que no han supuesto mucho. Excepciones aparte, en nuestras aulas siguen proliferando fichas con montones de ejercicios de divisiones, el algoritmo de la raíz cuadrada, castillos de fracciones, expresiones cabalísticas con radicales y logaritmos, etc. Casi todas, reflejo de las propuestas incluidas en los libros de texto más vendidos. Antes de que nadie piense que nos hemos caído de un guindo, somos conscientes de que el currículo normativo es una cosa y que, otra, muy diferente, es el realmente implementado. En este último, parece que siguen teniendo mucha influencia estos libros de texto.

Ni siquiera una EvAU, o PAU, como la de los últimos tiempos, orientada a ejercicios estándar, es excusa para las prácticas mencionadas. Muchas de ellas, como las operaciones y la simplificación o gestión de radicales, es algo que permite cualquier calculadora. No obstante, convenimos en que la EvAU debería ser más competencial, enfocada a procesos como los de las competencias específicas del currículo. Seguro que eso facilitaría el cambio.

Vamos a decirlo claro. Estos nuevos currículos son una vuelta de tuerca a ideas que ya se podían encontrar en la LOGSE, como el énfasis en aprender a través de la resolución de problemas. Esta vez, lo que ocurre, es que se les dota de una claridad sin precedentes, con un cambio sustancial en lo que concierne a evaluación. Por ello, nos apena profundamente la situación. Sobre todo, teniendo en cuenta que los nuevos currículos de matemáticas se inspiran en las Bases para la elaboración de un currículo de Matemáticas en Educación no Universitaria del Comité Español de Matemáticas. Y nos apena especialmente porque, en Aragón, los grupos de trabajo para elaborar el desarrollo curricular fueron mixtos, con docentes en ejercicio propuestos por la SAPM, y docentes e investigadores de Didáctica de la matemática de la Universidad de Zaragoza.

No pueden seguir perpetuándose los castillos de fracciones ni los malabares con radicales y logaritmos. Es verdad que, cuando empezamos a ejercer como docentes, tendemos a replicar lo mismo que vivimos como estudiantes, pues le atribuimos nuestro propio éxito. Pero hoy en día, a poco que uno busque, se pueden encontrar ventanas desde las que asomarse a prácticas de aula que incorporan aire fresco a lo que se hace. Si es que podemos llamar fresco a lo que surgía de los movimientos de renovación pedagógica de los 80 y 90, o los Principios y estándares para la educación matemática del NCTM estadounidense de un lejano año 2000, donde ya aparecen muchos de los procesos que articulan nuestros currículos: resolución de problemas, comunicación y representación, razonamiento y prueba y conexiones.

Está en nuestra mano, como docentes, llevar a cabo un cambio de paradigma que implica dejar atrás muchas dinámicas de aula alejadas de la realidad. Los avances en la sociedad, la tecnología y el modelo laboral pueden ser el detonante. Sin embargo, lo importante es el aprendizaje del alumnado. Si sabemos enfrentarnos a un problema, descomponerlo, ir más allá haciendo conexiones dentro y fuera de las matemáticas, comunicar ideas, utilizar diferentes representaciones, ¿acaso no estamos más preparados para la vida? Y no estamos hablando solo de la utilidad de las matemáticas en el día a día o para ciertos estudios y trabajos, sino de que a través de ellas nos formamos como personas, somos más capaces de disfrutar de diferentes ámbitos de la cultura y llegar a ser ciudadanos críticos y reflexivos.

Para lograr esta transformación es necesario el apoyo de toda la comunidad educativa. Nada ayudan las tertulias y artículos trasnochados en donde se reivindican cosas como la regla de tres, que coarta el razonamiento y es fuente de obstáculos. Simplificar el aprendizaje de las matemáticas de esta manera no lleva a ningún sitio. Los nuevos currículos están aquí para guiarnos y nos empoderan como docentes. Son abiertos, flexibles y nos capacitan para decidir qué hacer para ofrecer al alumnado oportunidades reales de aprendizaje.

Disponible en el siguiente enlace:

https://www.heraldo.es/noticias/opinion/2024/12/03/donde-estan-las-matematicas-de-los-nuevos-curriculos-belen-martinez-perez-y-pablo-beltran-pellicer-1782290.html

Cítese como:

Martínez Pérez, B., & Beltrán-Pellicer, P. (2024). La regla de tres y los nuevos currículos. Heraldo de Aragón, 3 de diciembre de 2024.

¿Está la universidad preparada para estudiantes con discapacidad visual?

Thu, 31 Oct 2024 00:00:00 +0000

Cítese como:

Arnal-Palacián, M., Begué, N., & Beltrán-Pellicer, P. (2024). ¿Está la universidad preparada para estudiantes con discapacidad visual? Entorno Abierto, 57, 5-10.

¿Es obligatorio estar sentado y ‘calladito’ en clase de Matemáticas?

Thu, 15 Aug 2024 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Muñoz-Escolano, J. M. (2024, agosto 15). ¿Es obligatorio estar sentado y ‘calladito’ en clase de Matemáticas? The Conversation. https://doi.org/10.64628/AAO.nkmgxptuj

Estableciendo puentes entre la investigación y su transferencia al aula

Tue, 30 Apr 2024 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Bosch, M., & Barquero, B. (2024). Estableciendo puentes entre la investigación y su transferencia al aula.UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 104, 58-67. https://www.grao.com/revistas/proyectos-en-estadistica-78052

Nace el podcast Ábacos y geoplanos

Fri, 29 Mar 2024 00:00:00 +0000

La Cátedra Math Bits de Educación Matemática de la Universidad de Zaragoza es una acción conjunta entre Math Bits, proyecto para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en Secundaria, y un equipo de investigadores en didáctica de las matemáticas de la Universidad de Zaragoza. Entre sus acciones está la de acercar los resultados de investigación en educación matemática al resto de la sociedad, tanto a profesionales de la enseñanza como al público en general. De esta manera, desde la cátedra se ha lanzado el podcast «Ábacos y geoplanos», sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

En el primer episodio, un tema que nos apasiona. La medida. Como nunca la habías visto. ¿Qué es medir? ¿Por qué en matemáticas? ¿Qué tiene ver con la educación matemática? Y, en el aula, ¿qué?

Se puede escuchar y descargar directamente en la aplicación de ivoox. https://www.ivoox.com/por-medir-matematicas-abacos-geoplanos-audios-mp3_rf_126485648_1.html

También en tus plataformas de podcast favoritas.

¿Qué pasa con las matemáticas?

Wed, 13 Mar 2024 00:00:00 +0000

Disponible en el siguiente enlace:

https://www.magisnet.com/2024/03/que-pasa-con-las-matematicas/

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Ruiz-Aguilera, D. (2024, marzo 13). ¿Qué pasa con las matemáticas?. Magisterio. https://www.magisnet.com/2024/03/que-pasa-con-las-matematicas/

La SAPM en la Noche Insomne de juegos alternativos

Tue, 31 Oct 2023 00:00:00 +0000

Cítese como:

García Giménez, E., Sánchez del Río, G., & Beltrán-Pellicer, P. (2023). La SAPM en la Noche Insomne de juegos alternativos. Entorno Abierto, 53, 13-17.

El interesante desarrollo curricular de Matemáticas en Aragón

Tue, 03 Oct 2023 00:00:00 +0000

Disponible en el siguiente enlace:

https://www.magisnet.com/2023/10/el-interesante-desarrollo-curricular-de-matematicas-en-aragon/

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Martínez-Juste, S. (2023, octubre 3). El interesante desarrollo curricular de Matemáticas en Aragón. Magisterio. https://www.magisnet.com/2023/10/el-interesante-desarrollo-curricular-de-matematicas-en-aragon/

Medir es una actividad matemática: Hay que tomar medidas

Tue, 20 Jun 2023 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Begué, N., Martínez-Juste, S., Mengual, E., Oller-Marcén, A. M., & Escolano, R. (2023). Medir es una actividad matemática: Hay que tomar medidas. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 100, 30-36. https://www.grao.com/revistas/especial-100-numeros-de-uno-73791?contenido=451189

Matemáticas en la piscina: de la proporcionalidad a la aritmética modular sexagesimal

Wed, 26 Apr 2023 00:00:00 +0000

Mathematics in the swimming pool: from proportionality to modular sexagesimal arithmetic

Abstract

The swimming pool stopwatch is an instrument used in the practice of swimming that helps to mark training rhythms. In this way, the instructions given by the coaches must be correctly interpreted by the swimmers, who, in addition, can use the stopwatch to individually control the start and finish times in each repetition. In this article we describe the use of this stopwatch, as well as other issues related to this real context that swimming provides. Likewise, we propose ideas to elaborate classroom proposals in which the context becomes realistic, that is, imaginable for the students, since it will only be daily for swimmers. Also, even for the latter, much of the homework will also be realistic, because who does algebra while swimming?

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2023). Matemáticas en la piscina: De la proporcionalidad a la aritmética modular sexagesimal. Epsilon, 113, 49-55.

Nada más serio: la educación

Thu, 09 Mar 2023 00:00:00 +0000

Disponible en el siguiente enlace:

https://www.heraldo.es/noticias/opinion/2023/03/09/nada-mas-serio-la-educacion-pablo-beltran-angel-luis-cortes-pilar-rivero-rosa-tabernero-1636540.html

El nuevo currículo de Matemáticas y las situaciones de aprendizaje

Tue, 13 Dec 2022 00:00:00 +0000

Disponible en el siguiente enlace:

https://www.heraldo.es/noticias/sociedad/2022/12/13/el-nuevo-curriculo-matematicas-situaciones-de-aprendizaje-1618139.html

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2022). El nuevo currículo de Matemáticas y las situaciones de aprendizaje. Heraldo de Aragón, suplemento Tercer Milenio, 13 de diciembre de 2022.

¿Qué pesa más? ¿Un litro de leche entera o un litro de leche desnatada?

Thu, 20 Oct 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2022). ¿Qué pesa más? ¿Un litro de leche entera o un litro de leche desnatada? Boletín del IMI, 64. https://doi.org/10.57037/b-imi.00064.1mas400

Aventuras y desventuras con la proporcionalidad

Sat, 01 Oct 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Martínez-Juste, S., & Oller-Marcén, A. M. (2022). Aventuras y desventuras con la proporcionalidad. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 98, 49-55.

Crónica del seminario de la FESPM Matemáticas inclusivas – Parte III

Fri, 30 Sep 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2022). Crónica del seminario de la FESPM Matemáticas inclusivas – Parte III. Entorno Abierto, 48, 3-7.

Las matemáticas que vienen

Thu, 01 Sep 2022 00:00:00 +0000

Disponible en el siguiente enlace:

https://www.magisnet.com/2022/08/las-matematicas-que-vienen/

O en Magisterio Dossier

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2022). Las matemáticas que vienen. Magisterio, 12298, 32-34.

El conde Draco y su aritmomanía

Fri, 19 Aug 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. Te invito también a que visites el artículo que que publiqué en The Conversation.

Quizás sabías que el TOC que sufre el Conde Draco se llama aritmomanía. Lo que quizás no sabías es que no es tan casual que se eligiera a un vampiro para las cosas del contar en Barrio Sésamo. Va hilo con curiosidades y un poquitín de didáctica del conteo.

La aritmomanía puede llegar a ser muy limitante. Consiste en sentir la necesidad de contar constantemente o relacionar cualquier aspecto de la vida cotidiana a números, evitar ciertos números, etc. Por ejemplo, tener que abrir y cerrar la puerta un número determinado de veces.

Dentro de la abundante y variada mitología vampírica, además de ajos y crucifijos para ahuyentar a estos seres, podemos aprovecharnos de su… ¡aritmomanía!

Es decir, que, si les ponemos un montón de granos de cereal o de arena, el vampiro se entretendrá contándolos hasta que se haga de día y ya no pueda hacernos daño por el tema del sol y el bronceado poco sano que les produce.

Aprovecharse de la aritmomanía de las criaturas maléficas está más extendido de lo que parece. Cuando hablé con @turmasalduitana de todo esto me dijo que le recordaba a la leyenda vasca del eguzkilore.

📷 Alicia Egara

Hay varias versiones. En algunas, es el parecido de esta flor con el sol lo que ahuyenta a los malvados espíritus nocturnos. Sin embargo, en otras, se relata que las lamias, para poder entrar en una casa y llevarse a los niños, debían contar los flósculos y dar con el número.

Y claro, como se equivocaban, pues se les hacía de día y salía el sol. Pero volvamos a nuestro querido Conde Draco. Es una lástima que el nombre por el que se le conoce en España no refleje su verdadera naturaleza, porque en el original estaríamos hablando del Count von Count.

Lo cual es delicioso juego de palabras -intraducible- que viene a significar algo así como Conde de la Cuenta. En Latinoamérica fueron fieles a esta idea y se le bautizó como el Conde Contar.

El Conde es de los personajes más queridos. Son varios los motivos que ayudan a ello, desde el carácter que muestra en todo momento, hasta que no comparte todos los clásicos atributos vampíricos. Así, se le ha visto relajándose a la luz del sol.

Su primera aparición en el Sesame Street original fue en 1972, contando bloques dentro de un sketch con Epi y Blas. Aquí, da la impresión de ser algo más siniestro de lo que sería después. De hecho, se observa cómo el Conde hipnotiza a Epi y a Blas.

📷 http://muppet.fandom.com

En ese estreno también se aprecia, cuando termina el conteo y aparece la grafía del número resultante, el que después sería su característico relámpago de fondo.

Es muy característico el humor que desprenden sus sketches a partir de las situaciones más absurdas en torno al conteo. Eso sí, este es siempre es impecable. Desde el punto de vista didáctico, ofrece múltiples oportunidades en Infantil, Primaria y en formación del profesorado.

Los principios en que se sustenta el conteo son un contenido habitual en las asignaturas de los grados de Magisterio. En su presentación clásica (Gelman y Gallistel, 1975, recogido, por ejemplo, en Chamorro, 2005), son los siguientes (contemos):

Principio de correspondencia uno a uno. Cada elemento de la colección que se va a contar debe corresponderse, de manera únivoca, con una, y solo una, palabra-número de la secuencia de palabras numéricas.
Principio de orden estable. La secuencia de palabras numéricas que escojamos para contar debe ser recitada siempre de la misma forma. Uno, dos, tres, cuatro, … One, two, three, four, …
Principio de abstracción. Contar una colección supone interesarse solo por el aspecto cuantitativo de la misma, dejando de lado otras características físicas, irrelevantes, de los objetos de dicha colección.
Principio de no pertinencia del orden. El número obtenido al contar una colección no depende del orden en el que se enumeran sus elementos. Da lo mismo empezar a contar por uno que por otro, el cardinal de la colección no varía.
Principio de cardinalidad. El número enunciado en último lugar no representa únicamente al elemento correspondiente, sino también al total de la colección. ¡Cinco! Cinco maravillosos principios del conteo. Ah, ah, ah.

Cualquiera que conozca mínimamente al Conde (qué pena no escribir este hilo en inglés: “anyone who knows just a little bit about the Count” observará que tiene bien interiorizados todos estos principios.

Es especialmente cuidadoso con en el principio de cardinalidad. Cada vez que termina de contar una colección, el Conde repite el cardinal, cuyo símbolo numérico aparece a veces en pantalla. Entonces, explota su carcajada, a la vez que surgen truenos y rayos de su nube personal.

Por supuesto, el dominio de recitado de la secuencia de palabras numéricas por parte del Conde es absoluto. Resulta imprescindible, como docentes, conocer los niveles de dominio en el recitado para poder promover situaciones de aprendizaje adecuadas.

Los guiones están repletos de juegos de palabras que pierden algo de gracia al doblarse. En una ocasión, el Conde lo que quiere es contar pájaros. Previsor como es él, y conocedor del principio de correspondencia, prepara un conjunto de miguitas.

El Conde, al igual que otros Teleñecos, tiene sus propias canciones. Y son recurrentes las escenas con el órgano, que aprovecha, cómo no, para contar notas musicales del derecho y del revés.

Entre las colecciones más extrañas que ha contado el Conde, estaría sin duda alguna, el número de rechazos que sufre por parte de la Condesa Natacha (the Countess) a sus peticiones de mano

También ha compartido escena -muy divertida- con Susan Sarandon. De regreso al castillo se encuentran con la puerta cerrada y Sarandon observa que tendrán que llamar, a lo que el Conde añade que será una excelente oportunidad para…

La grafía de los números no aparece en todos los sketches del Conde. Ya hemos mencionado alguna vez que son muchos los autores que previenen de una introducción prematura de los símbolos, por lo que tampoco es que sea algo necesario para el conteo y el recitado. No obstante, aunque la grafía en sí es algo puramente convencional, hay que trabajar su trazado en algún momento. Dentro del universo de Barrio Sésamo nos encontramos con algunos personajes que enseñan directamente esta cuestión.

Muchos de los teleñecos tienen cuenta de Twitter, y el Conde no es una excepción. En @CountVonCount se dedica a contar, como no podría ser de otra manera. Si es que cuenta algo, claro. ¿Estará, simplemente, recitando? A día de hoy va por el 3617. ¿Hasta dónde llegará? Veamos…

Podemos jugar a elucubrar a partir de una entrevista que le hicieron en el programa de radio More or Less, de la BBC, a Jerry Nelson, su marionetista de siempre. Perdón, no, ¡al Conde en persona!

📷 http://muppet.fandom.com

La entrevista comenzó con una charla distendida sobre parámetros numéricos de la conexión y con unas preguntas para calentar, como qué fue lo primero que contó (sus dedos de las manos, sus dedos de los pies y las orejas, en ese orden) o acerca de cómo era vivir con aritmomanía. El Conde confesó que tuvo un problema una vez que intentó contar unos pollos que quería vender antes de que nacieran. Al eclosionar los huevos, lo que pensaba que eran 10 pollos, en realidad eran 5 pollos, 3 tortugas y 2 caimanes. Claro, esto no hizo gracia a los compradores.

Sin embargo, la pregunta del millón fue más simple. “¿Cuál es su número favorito?” 34969, respondió el Conde, añadiendo: “Es algo que tiene que ver con raíces cuadradas”. En efecto, la raíz cuadrada de 34969 es 187, pero… ¿qué tiene de especial 187? Los oyentes del programa comenzaron a especular, realizando las siguientes observaciones:

Toby Lewis señaló que 187 es el número total de puntos en las casillas del Scrabble, pudiendo resultar que el Conde las hubiese contado (y le gustase el juego).

David Lees observó que 187 puede escribirse como el producto de dos números primos (11 y 17), algo, sin duda, hermoso.
Simon Philips calculó que 187 es igual a 94²-93², además de que 187=94+93. Lynn Wragg estuvo atenta al indicar que eso es cierto para cualquier pareja de números consecutivos.

Como también señalaron, lo más inquietante de todo es que 187 es también el número del código penal de California para el homicidio, usándose prácticamente como sinónimo en la jerga en unos cuantos estados. ¿Estará ocultando algo nuestro Conde? Quedémonos con su amabilidad y aventuremos que habrá sorpresa en su cuenta de Twitter el día que llegue a 34969. ☺️

Tenéis una versión extendida de esto en la última entrega de Matemáticas animadas en la revista EDMA0-6, con más referencias.

Termino agradeciendo. A José María Muñoz Escolano, compañero en @dm_unizar con quien comparto una línea de TFG sobre dibujos animados que nos lleva a hablar mucho sobre estos temas (¿o es al revés?). A @turmasalduitana, quien me señaló la semejanza de la aritmomanía vampírica con el mito vasco del eguzkilore. Y también quiero dedicarlo con cariño a twitteros con los que he interactuado sobre el Conde, como @mininacheshire y @chussiabaleston, entre otros.

Por cierto, si tenéis sketch favorito del Conde… ¡ aquí hay espacio de sobra para compartir! ¡Feliz lunes!

El TOC que sufre el Conde Draco se llama aritmomanía

Tue, 16 Aug 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2022). El TOC que sufre el Conde Draco se llama aritmomanía. The Conversation. https://theconversation.com/el-toc-que-sufre-el-conde-draco-se-llama-aritmomania-188481

Ay, la nostalgia de las matemáticas modernas

Fri, 29 Jul 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Hala, pues vamos a hablar un poco de la «new math», aquí llamadas «matemáticas modernas». Si hiciste la EGB, es posible que te suenen cosas como esta (de mi libro de séptimo).

Buaf, eso sí que era nivel, no como ahora.
Es que a ver cómo quieren que veamos probabilidad sin teoría de conjuntos con rigor.
Rigor, eso es lo que hace falta. Yo demuestro, eh, a mí que no me miren, que luego llegan a primero de carrera sin haber visto una demostración.

Ay, la nostalgia, otra vez la nostalgia… (un poco de banda sonora)

Cada vez que se menciona el asunto de las matemáticas modernas por aquí es habitual ver interacciones parecidas a las anteriores. Tranquilidad, que no va a ser tan destroyer la cosa, pero sí que pediría tomar distancia. Somos supervivientes y podemos estar sesgados.

Dibujar un diagrama de Venn no es ver teoría de conjuntos

Antes de entrar en faena sí que diré un par de cosas para quitármelas de encima. Usar diagramas de Venn no es ver teoría de conjuntos, así que aparquemos por favor lo de que por dios qué hacemos con la probabilidad en secundaria.

Anda, mira, una actividad de clasificación la mar de maja con diagramas de Venn en infantil.

📷 Howse, T. D., & Howse, M. E. (2014). Linking the Van Hiele Theory to Instruction. Teaching Children Mathematics, 21(5), 304-313.

En la mente del docente claro que puede estar la idea de clase de equivalencia, conjunto de referencia, etc. ¡Debe estar! Pero a la hora de llevar al terreno la actividad, pues tiene lugar un proceso de transposición didáctica (Chevallard).

Vamos, que el objeto a nivel académico se trata con el rigor que se quiera, pero para su enseñanza en la etapa X, se adapta.

La otra cosa que quería quitarme de encima es el «yo demuestro, eh, que ahora es que no se demuestra nada de nada». Los que tienen que desarrollar la capacidad (competencia, pero parece que esto a veces produce urticaria) de conjeturar y probar es el alumnado.

Parece una tontería, pero no. ¿Habéis probado a demostrar a palo seco la fórmula de la ecuación de 2º grado «delante» del alumnado? No se enteran más que dos o tres, y uno de ellos se limitaría a repetirte la demostración.

Pues eso no es porque no se hagan nunca demostraciones delante de ellos, sino porque no se les ha puesto en la tesitura de conjeturar anteriormente ni de elaborar pruebas con un rigor relajado.

¿Una ida de olla?

Venga, que decía que no iba a ser tan destroyer. Y es verdad, no es justo quitarse de encima la matemática moderna diciendo que era una ida de olla que nunca tuvo que haber ocurrido, que cómo estaban las cabezas, etc.

Ocurrió porque se produjo una conjunción del estructuralismo de Bourbaki con los estudios de Piaget y con que la didáctica de la matemática no estaba desarrollada (surge a finales de los 70 y a «consolidarse» a mitad de los 80, aunque lleva teniendo que justificarse desde entonces).

Además, ocurrió porque se quiso mejorar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, ofreciendo a todos algo más que lo básico. Pero estoy corriendo mucho y me estoy dando cuenta de que a lo mejor no todos los lectores saben muy bien qué fue esto de la new math.

Pues fue un movimiento que intentó cambiar la forma en la que se veían las matemáticas escolares, desde mediados de los años 50 a mediados de los años 70, llegando a los años 80 en ciertos lugares. Nos podemos imaginar esto como un péndulo.

Se partía de una situación en la que el contenido en la escuela primaria se reducía prácticamente a la aritmética básica y, en la secundaria, a álgebra tradicional, algo de geometría euclídea y trigonometría. También, un enfoque muy del yo explico y tú repites.

Se quiso introducir álgebra moderna (conjuntos, funciones, vectores, etc.), matemáticas computacionales (otras bases), geometría moderna (transformaciones) y probabilidad y estadística.

Fuente: Kilpatrick (2012)

¿Y esta necesidad de cambio? Pues es la misma que lleva a los muchachos de un pueblecito de EE.UU. a hacer un cohete para una feria científica en la película Cielo de octubre: el lanzamiento del Sputnik.

En el contexto de la Guerra Fría, se quiso mejorar la enseñanza de las matemáticas a ambos lados del atlántico. Esto lo recoge Kilpatrick (2012) en su artículo en la ZDM.

Espera que en la captura de antes he visto las siglas malditas de la OCDE. ¿Cómo? Curioso que ahora haya quien critique a esta organización por querer una enseñanza más ¿competencial? ¿utilitarista? cuando en tiempos buscaba lo más lejano posible.

Las conspiraciones y opiniones sobre las políticas comerciales mundiales me las guardáis para otros hilos, porfa. Con el anterior tuit solo resalto una curiosidad.

Es verdad que los esfuerzos reformistas estuvieron dirigidos primero a cursos de la secundaria orientados a la preparación universitaria, pero no tardó en extenderse el movimiento a la escuela primaria y a países fuera de la OCDE.

¿En la Unión Soviética qué se estaba haciendo? Allí fue Kolmogorov quien, a principios de los 60, sentó las bases de los nuevos currículos. Si bien estos incluían algo de teoría de conjuntos, ni de lejos tanto ni en un lugar tan central como en la new math de la OCDE.

De momento vemos que la motivación de la new math incluye un factor político nada desdeñable. Pronto surgieron dificultades, como en la adaptación de los materiales a los diferentes contextos educativos de los diversos países.

Llegan las críticas

Y llegan las críticas, tanto de personajes no implicados en el movimiento reformista de la matemática moderna, como de otros dentro de las comisiones e, incluso, parte de Bourbaki.

La más sonada fue, quizás, la de Kline (1973), con su Why Johnny Can’t Add: The Failure of the New Math. Pero antes, en 1962, Kline, Bers, Polya (sí, el del modelo de resolución de problemas) y Schiffer ya habían escrito un memorando firmado por otros 61 matemáticos.

Se titulaba «On the Mathematics Curriculum of the High School» y venía a señalar que el currículo debía abordar unas matemáticas para todos y no solo para los que fueran a hacer matemáticas en la universidad.

Esto es un poco confuso, porque precisamente la new math tenía un lema que rezaba «unas matemáticas para todos». Los objetivos eran loables, sí, pero el énfasis en las estructuras matemáticas generales y los conceptos teóricos fundamentales jugaban en su contra.

Hace poco hablaba de Chevallard y a cómo usaba el término monumentalismo para referirse a ese tipo de enseñanza que se reduce a presentar una especie de obra ya construida que el alumnado solo puede visitar, sin participar de ella. Y que tiene que maravillarse, claro.

Ese estructuralismo también fue fuertemente criticado por Freudenthal, quien lo calificó de «inversión antididáctica». Es decir, no hay nada didáctico en dar todo ya construido de forma estática y axiomática.

Todo esto no se sabía entonces, claro. Antes hablaba del movimiento pendular, aunque en el fondo no es muy apropiado, ya que es un problema multidimensional. Pero estirémoslo un poquito. Las críticas ocasionaron una reacción llamada «back to basics», la vuelta a lo básico.

Es decir, déjate de tonterías y vamos a la matemática para la vida real, junto con el enfoque del «yo explico y tú repites» (que, ojo, era el elefante en la habitación y tampoco se abandonó durante la matemática moderna).

Luego llegarían los nuevos movimientos reformistas y las math wars, pero eso es otra historia. Que la nostalgia por la matemática moderna debería estar superada no quiere decir que no tuviera su relevancia. Antes de ella se pensaba que las matemáticas escolares eran las que eran.

A pesar de que los reformistas de la new math no sabían gran cosa de diseño curricular (pero esto no lo sabían), pusieron sobre la mesa cuestiones importantes y ya nada volvió a ser lo mismo.

Además, calificar de fracaso a la matemática moderna no es tampoco justo. Davis (2003) pone en duda que existiera algo como tal, ya que la cosa varió mucho de un cole o instituto a otro, al menos en EE.UU. Incluso, que hubo muchos centros que apenas se vieron influidos.

Davis, de hecho, va más lejos y se anima a señalar que hubo centros donde el programa se implementó de forma cuidadosa por docentes muy bien formados, y que comprendían lo que se traían entre manos, obtuvieron buenos resultados.

Yo qué sé, tomemos la actividad que ponía al principio de los diagramas de Venn para clasificar bloques lógicos. No hay capas de abstracción innecesarias ni formalismos que oculten la chicha. Las ideas potentes están ahí.

Ese era el problema que tan bien describen, aunque escueza, Chevallard o Freudenthal. No habrá capas de abstracción extra, pero esos niños y niñas identifican características y clasifican con criterios lógicos. Trabajan con el material, se familiarizan con él, discuten y piensan.

A nosotros, como docentes que conocemos la maravillosa construcción que son las matemáticas nos puede tentar el exponerla así. Tenemos que superar ese síndrome de Stendhal. No solo eso, sino asumir que son eso, una construcción, donde los procesos son muy importantes.

Epílogo y referencias

Pero, ¿se habla alguna vez de esto en los congresos de didáctica? @carlosyedma lleva un tiempo fuera de Twitter, pero en tiempos comentaba esto, que es ilustrativo. Básicamente, que una vuelta a la teoría de conjuntos ni se contempla:

El año pasado asistí en un congreso de Didáctica de las Matemáticas a una comunicación (en una sesión no evaluada por pares) en la que proponían recuperar la teoría de conjuntos. Produjo tanto bochorno que al final no hubo preguntas ni comentarios. En instantes quedó la sala así.

Aquí un documento gráfico que me llega vía @chussiabaleston

Justo hoy, @mallemar hablaba del sesgo del superviviente. Si viviste como alumno la matemática moderna y te ha resultado útil, ¿cómo no?

@totipm tiene unos hilos muy personales narrando su experiencia vital con todo este tema que merece la pena leer.

Teorema, lema o algo

A modo de teorema, lema o algo. El talento prospera en las condiciones más insospechadas. ☺️

Tom Lehrer

@CMCI2M nos recuerda esta canción de Tom Lehrer.

Recreación de algunos personajes

En este hilo, podéis poner gifs a los personajes de esta historia.

Algunas referencias

Kilpatrick, J. (2012). The new math as an international phenomenon. ZDM, 44(4), 563-571.

Phillips, C. J. (2015). The new math: A political history. The University of Chicago Press.

Crónica del seminario de la FESPM Matemáticas inclusivas – Parte II

Mon, 30 May 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2022). Crónica del seminario de la FESPM Matemáticas inclusivas – Parte II. Entorno Abierto, 46, 2-6.

Más allá de los cursos de formación

Fri, 01 Apr 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2022). Más allá de los cursos de formación. Cuadernos de pedagogía, 531, 12-13.

Enlace a Cuadernos de Pedagogía

Crónica del seminario de la FESPM Matemáticas inclusivas – Parte I

Wed, 30 Mar 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2022). Crónica del seminario de la FESPM Matemáticas inclusivas – Parte I. Entorno Abierto, 45, 2-8.

Enseñar a través de la resolución de problemas

Fri, 31 Dec 2021 00:00:00 +0000

Through problem solving

Abstract

We describe the fundamentals of teaching mathematics through problem solving, the essence of which is that the content emerges from the situations and problems that are proposed to students. Based on our experience, we walk through the curriculum to illustrate what the tasks are like, the organization of the classroom and the role of the teacher in providing the necessary scaffolding. We also offer some ideas to face a possible lock down, due to a pandemic scenario, to maintain coherence with this way of conceiving teaching and learning.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Martínez-Juste, S. (2021). Enseñar a través de la resolución de problemas. Suma, 98, 11-21.

Aritmética sexagesimal en la piscina

Mon, 11 Oct 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Me gusta nadar. Así que tendréis que aguantar unas breves divagaciones acuático-matemáticas por mi parte.

En natación, al igual que en atletismo, suele hablarse de ritmo en lugar de velocidad. Es decir, cuando decimos que vamos a uno treinta el cien, significa que tardamos 1'30'' en nadar 100 m. Siempre ritmos. En cambio, en Tokyo 2020 las retransmisiones mostraban esto:

Bueno, menos mal que por lo menos iba en m/s y no km/h. Reconozco que servía para comparar, pero hubiese dado mucha más información conocer el ritmo de los 100 m o los 50 m.

El segundero de pared que podemos encontrar en muchas piscinas precisamente permite controlar, entre otras cosas, los ritmos. Y las cuentas que se echan para ello son en sexagesimal.

Si vamos a hacer series de 100 crol cada 1'30'', eso significa que se sale cada ese tiempo. Es decir, que la idea es llegar antes y descansar hasta que toque salir. Saliendo con la «roja arriba» en la primera, en la segunda se sale con la «roja abajo». Y así.

Sin embargo, si la cosa no cuadra tanto, se complica un poco. Supongamos que hacemos series de 50 m cada 50''. Salimos con la roja arriba. En la segunda, tocará salir con la roja a menos diez. En la tercera, con la roja a menos veinte. Y así.

Esto, además de ser un sistema que te indica cuándo salir, te permite contar las series. Si vas cansado o te despistas pensando en otra cosa, es habitual perder la cuenta. ¿Llevamos 5 o 6 series? La respuesta siempre es 6, aunque lo más probable es que llevemos 5.

Bromas aparte, el control con el segundero te permite saber la respuesta real. En la quinta se sale a y veinte. Y en la sexta a y diez.

Todo esto abre la puerta a plantear problemillas majos en clase. Desde indicar en qué posiciones se sale en las series si son cada cierto tiempo, a indicar en qué posición estará la aguja de un determinado color en la serie número n.

Más aún. A qué intervalo estamos haciendo las series si estamos por la quinta, hemos salido con la azul arriba y ahora está en esta posición. Vamos, creo que esto da para una secuencia de tareas ricas. Y solo son pinceladas.

Si se va a nadar algo medianamente largo, como a partir de un 200 m o un 400 m, una mirada al salir de la vuelta te permite controlar el ritmo. Para eso tienes que saber cuándo has salido o cuándo has tocado la última pared.

Alguna vez, hablando con @SergioMJGR, me señalaba la posible pérdida del 25 como punto de referencia sencillo para las cuentas mentales, al no existir monedas de 25 ct de euro.

El caso es que en natación sigue usándose mucho. 4x25 son 100 metros, 8x25 son 200 m y para nadar 400 m tendrás que hacer 16 largos. Piscina de 25 m, claro.

Todavía recuerdo cuando un chico en la piscina creía haber nadado 3000 m, todo orgulloso, cuando en realidad había nadado 1500 m. Menudo chasco cuando le dije que eran 25 m cada largo, no 50 m.

La resolución de problemas, mucho más que un eslogan

Wed, 01 Sep 2021 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Martínez-Juste, S. (2021). La resolución de problemas, mucho más que un eslogan. Entorno Abierto, 42, 13-16.

Las reglas de tres y los nuevos currículos, en el Heraldo de Aragón

Sat, 21 Aug 2021 00:00:00 +0000

A mediados de agosto de 2021 se filtró un borrador de una manera, cuando menos, curiosa, de los nuevos currículos. Y sí, son buenas noticias que se planteen incluir el dominio afectivo, cuestiones de género y que se eliminen aberraciones como la regla de tres. Os dejo mi escrito publicado en la sección de Tribuna (p. 18) de Heraldo de Aragón el 20 de agosto de 2021.

Por aportar un poco de contexto, ya que la cosa se las trae y es posible que hayas desconectado en agosto (bien hecho), dejo enlaces a una serie de tweets y noticias:

El contexto más inmediato a mi escrito, es esta noticia del Heraldo. División de opiniones entre los expertos aragoneses respecto a los nuevos contenidos de los currículos
Mi primer impulso fue señalar que existen expertos en educación matemática. Vamos, lo de siempre, el área de Didáctica de la matemática. Y sociedades de profesores de Matemáticas. Tweet aquí
Los días anteriores, hacer una búsqueda en Twitter sobre la regla de tres era tremendo. Este tweet no era más que una reacción.
La antesala de todo esto, que vino después de una serie de artículos bomba sobre la perspectiva de género, fue esta portada de El Mundo. Ya se vaticinaba lo que iba a pasar.
Es posible, quiero pensar, que la principal confusión viene de entender que la proporcionalidad se reduce a la regla de tres. Así me dio por emplear el meme de Djokovic en este tweet.

No, no se baja el nivel, sea lo que sea eso, por quitar la regla de tres. Por favor.

Antes de que me preguntéis, sobre la paella. Hice tweet y se puede ver aquí.

Entran en juego muchos factores, no solo los de esa expresión polinómica, que parece restringida a una zona geográfica. Dureza del agua, altitud, etc. Siempre será mejor a ojo de alguien que sepa. Intuyo que la fórmula viene simplemente de hacer un ajuste polinómico decente a los datos de una tabla. Pero no es una relación de proporcionalidad.

Lecturas:

Hilo de Daniel Ruiz Aguilera.
Artículo de Anabel Forte.
Hilo de Lluís Mora.
Hilo que se queda corto, porque esto de la proporcionalidad da para varias tesis: La regla de tres debería desaparecer de las aulas

Compartí el escrito al Heraldo en un tweet.

La regla de tres y los nuevos currículos

Fri, 20 Aug 2021 00:00:00 +0000

La regla de tres y los nuevos currículos

La filtración recientemente del borrador del nuevo currículo de educación primaria ha desatado un sinfín de publicaciones en torno a él. Primero le tocó a la perspectiva de género, lo que ya sugería que la cuestión de fondo es política. Se ridiculizó a niveles extraordinarios. Que si les funciones o les númeres o que si eso iba a traducirse en unas matemáticas más cuquis y fáciles, por no hablar de la retahíla de insultos que recibieron divulgadoras como Anabel Forte (@AnaBayes) al expresarse en redes sociales. La equidad y la perspectiva de género son algo muy serio en educación matemática, sobre lo que hay líneas de investigación específicas. Su tratamiento en el aula debe articular multitud de factores, siendo el más importante el cómo se conciben las propias clases. En cualquier caso, conviene recordar que la actual LOMCE y nuestro correspondiente desarrollo autonómico ya incluyen el desarrollo de actitudes en matemáticas entre los contenidos y criterios de evaluación. Sí, las emociones también, como superar bloqueos e inseguridades.

Cambiando de tema, el caso de la regla de tres resulta ser un caso paradigmático. A la gran mayoría de nosotros nos la enseñaron de pequeños y muchos la recuerdan como lo más útil de las matemáticas del colegio. Eso es debido a que puede emplearse en situaciones muy cotidianas, como recetas de cocina o descuentos. Sin embargo, es un mecanismo que oculta la idea de proporcionalidad que hay detrás y que, por eso mismo, fomenta lo que se conoce como ilusión de linealidad. Esto es un fenómeno sobre el que hay muchísimas evidencias en la literatura especializada y que no se soluciona mostrando simplemente cuándo se puede usar la regla y cuándo no. La regla evita pensar y, por tanto, no facilita el desarrollo de las ideas que hay detrás.

Un aspecto fundamental de la aritmética escolar es el control semántico de lo que se hace en cada momento. Es decir, volviendo al contexto de un problema hemos de ser capaces de decir lo que significa cada número. ¿Han pensado qué significa esa primera multiplicación que se hace en la regla de tres? Prueben, prueben. Es imposible. La justificación de la regla de tres está en las reglas del álgebra, alejada de ese currículo de primaria. Que apareciese en el actual era una aberración.

Por otro lado, las alternativas son igual de eficientes computacionalmente y pasan por el cálculo de las razones implicadas. El «tanto por uno». Si averiguo cuántos euros cuesta cada producto, ¿cómo no voy a saber cuánto cuestan cinco productos?. Podríamos seguir, pero es que la proporcionalidad es mucho, mucho más que los problemas de valor faltante (los mal llamados de «regla de tres»).

Termino con una petición para los medios de comunicación. Por favor, la próxima vez que publiquen una noticia comentando sobre educación matemática, consulten a alguien del área de Didáctica de la matemática y a asociaciones de profesores de matemáticas. El nuevo currículo es criticable, claro que sí, pero erramos el tiro con comentarios absurdos sobre cosas que deberían estar superadas.

Por cierto, si calculan el agua que necesita una paella con una regla de tres, muy probablemente no les saldrá bien.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2021). La regla de tres y los nuevos currículos. Heraldo de Aragón, 20 de agosto de 2021.

Por qué las coordenadas geográficas van «al revés» y algunas implicaciones didácticas

Sun, 09 May 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Por qué las coordenadas geográficas van «al revés» y algunas implicaciones didácticas.

Spoiler: no van al revés de nada.

¿Cómo localizamos puntos en la superficie terrestre? Con las coordenadas geográficas, que indican latitud y longitud.

Ea, pues ya está, como x e y. Abscisas y ordenadas. Horizontal y vertical.
Esto… no.

¿Qué es la latitud de un punto de la superficie de la Tierra? Imagina una recta que pase por dicho punto y el centro de la Tierra. El ángulo que forma dicha recta con el plano ecuatorial es la latitud. Por eso va acompañada de una N (si es hacia el Norte) o una S (Sur).

Cualquier punto del ecuador se corresponde con el paralelo 0°, el polo norte con 90°N y el polo sur con 90°S.

¿Y qué es la longitud? Ahora toca imaginar meridianos (semicircunferencias que pasan por el polo norte y por el polo sur). Se elige uno de referencia, el de Greenwich, y la longitud de un punto es el ángulo entre ese meridiano de referencia y el que pasa por este punto.

En la imagen, la latitud es el ángulo Φ y la longitud es el ángulo λ.

Medir la longitud es mucho más complicado que medir la latitud. Pensad que sois navegantes del s. XVI. Es más fácil percibir que te desvías hacia el Norte o hacia el Sur que en términos de longitud (E-O). Problemón que llevó al desarrolló del cronómetro y otros instrumentos. Enlace al museo virtual del CSIC

Además, resulta que la Tierra no es una esfera, sino un esferoide, por lo que podríamos añadir la altitud sobre el nivel del mar a nuestro sistema de coordenadas. Pero no lo liemos más.

📷ICGEM

Un alumno, o cualquier persona, puede pensar que las coordenadas geográficas van «al revés» porque primero se indica la latitud (Norte o Sur) y luego la longitud (Este u Oeste). Y claro, como Norte es arriba y Sur es abajo, ya la tenemos liada.

Ya la tenemos liada porque, en matemáticas, [modoironíaON], como todo el mundo sabe, eje X es horizontal y eje Y es vertical. Y los puntos en el plano son (x,y).

En el currículo nacional aparece esto de las coordenadas como contenido en Ciencias Sociales:

Coordenadas geográficas: latitud y longitud.

Con su criterio «Identificar y manejar los conceptos de paralelos, meridianos y coordenadas geográficas» y su estándar «Localiza diferentes puntos de la Tierra empleando los paralelos y meridianos y las coordenadas geográficas.»

En Matemáticas aparece como contenido esto:

Sistema de coordenadas cartesianas. Descripción de posiciones y movimientos. Y un estándar que dice «Describe posiciones y movimientos por medio de coordenadas, distancias, ángulos, giros.»

Para mi gusto, aparece muy ligada la idea de sistema de coordenadas cartesianas a la descripción de posiciones y movimientos, lo cual es un uso de los ejes. ¿De dónde salen los convenios en los ejes? ¿Cuáles son? ¿Cómo los usamos para representar cantidades de magnitud?

Mucha tela que cortar, como el problema de restringir la ‘x’ y la ‘y’ como etiquetas exclusivas. ¿Y si son ‘e’ y ’t' ya no son ejes cartesianos?

Todo esto se aborda con suma delicadeza en el librito del Shell «El lenguaje de funciones y gráficas». Os lo descargáis de aquí: https://sede.educacion.gob.es/publiventa/el-lenguaje-de-funciones-y-graficas/pedagogia/1065

Por ejemplo, si queremos hacer reflexionar al alumnado acerca de todo esto de los ejes, vamos a ponerles la altura en el eje horizontal.

Volviendo a lo nuestro, si el objetivo es comprender el concepto de coordenada geográfica, la secuencia didáctica no puede empezar con un mapa plano. Hemos de empezar con un globo terráqueo. Solo así quedará claro que para localizar un punto utilizo ángulos.

La cuestión es que claro, no vamos con un globo terráqueo en el bolsillo. Hoy en día casi, porque usamos el móvil y dispositivos que lo permitirían. Observa que cuando queremos presentar en 2D el globo terráqueo se produce una deformación. Probadlo con el Google Maps.

Estas deformaciones son diferentes según el tipo de proyección que se realice. Y unas conservan unas cosas y otras, otras. Paralelismo, perpendicularidad, distancias, áreas, etc. Enlace sobre tipos de proyecciones

Lo importante, si nos acercamos a esto en primaria, es comprender que necesito indicar los ángulos de latitud y longitud para localizar un punto. Que por convenio se suela decir antes la latitud es lo de menos. Eres igual de capaz de localizarlo si te doy la información al revés.

Ahora, si reduzco la secuencia didáctica a localizar puntos en un plano 2D a partir de latitudes y longitudes, pues igual no hace falta hacer nada.

Gracias @Jaimetimiraos por la conversación de esta mañana, donde me señalabas este posible conflicto.

La probabilidad en la Olimpiada Matemática Aragonesa de 2.º ESO

Sat, 01 May 2021 00:00:00 +0000

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltran-Pellicer, P. (2021). La probabilidad en la Olimpiada Matemática Aragonesa de 2.º ESO. Entorno Abierto, 40, 14-15.

Una primera aproximación al análisis de vídeos educativos de estadística: El caso de la mediana

Fri, 01 Jan 2021 00:00:00 +0000

A first approach to the analysis of educational statistics videos: the case of the median

Abstract

Didactic suitability is a theoretical tool born within the ontosemiotic approach (OSA) that provides a framework for reflection on the teaching and learning processes of mathematics education. In this way, research works have been emerging on the design of activities, analysis of classroom experiences or analysis of didactic resources, among others, with many of them focusing on the field of teacher education. In this article, the authors outline the starting point of a line of work based on the analysis of online videos of specific statistical content. We pay our attention to the median, observing in the videos the same as in similar investigations: diversity of meanings, a very procedural nature and some inaccuracies.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Giacomone, B. (2021). Una primera aproximación al análisis de vídeos educativos de estadística: El caso de la mediana. Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 106, 53-61.

Numberblocks, donde los números son los protagonistas

Thu, 24 Dec 2020 00:00:00 +0000

Numberblocks, where numbers play the key role

Abstract

We introduce the readers to a new series, but unfortunately only available in English. This is Numberblocks, a British production designed for kids aged 4 to 7 in which numbers are the main characters, the latter being said in the most literal sense possible. The episodes are very short, lasting about five minutes, and the series begin with the introduction of the numbers, starting with one, and go on to deal with multiplicative situations. As we will see, each number has its own personality, which is related to its mathematical properties. A careful use of language from the mathematical point of view, decompositions of the numbers and additional symbolism in the background for viewers at the upper limit of the age range, make this series a resource to consider for the little ones. Not surprisingly, it has been produced with the collaboration of the NCETM of the United Kingdom, whose website offers additional materials. In this article we describe the main characteristics of the series, the content it addresses and… what the children think about it.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2021). Numberblocks, donde los números son los protagonistas. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 9(2), 99-109. https://doi.org/10.24197/edmain.2.2020.99-109

Decisiones, datos, gráficos y segunda temporada de Peg+Gato

Thu, 01 Oct 2020 00:00:00 +0000

Choices, data, graphs and second season of Peg+Cat

Abstract

It is time for probability and statistics. We consider again an animated series that have already been featured in our section: Peg+Gato. In this article we briefly describe the main characteristics and objectives of the teaching and learning of probability and statistics at an early age. With this in mind, we look at two episodes of Peg+Cat. One of them, dedicated to making decisions based on the data collected. On the other, bar and pie charts appear. Finally, taking advantage of the recent premiere of the second season of this series, we offer to the readers a guide to its mathematical content.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2021). Decisiones, datos, gráficos y segunda temporada de Peg+Gato. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 9(1), 31-39. https://doi.org/10.24197/edmain.1.2020.31-39

Y en verano, ¿qué matemáticas pueden hacer mis hijos?

Thu, 30 Jul 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

De vez en cuando, algún amigo me pregunta que qué puede hacer de matemáticas con sus hijos en verano. Dejo aquí un par de sugerencias.

Te vas a la web de @nrichmaths y seleccionas primaria o secundaria. Voy a elegir primaria.

Sí, ya me he dado cuenta de que está en inglés. Pero la gran mayoría de actividades las vas a poder hacer con la ayuda del traductor. Con tenerlo abierto en otra pestaña, ya está. Así practicas inglés y matemáticas.

Hay muchos materiales, juegos interactivos, etc. Voy a ilustrar un ejemplo. Filtro por bloques temáticos.

Elijo números (por ejemplo), y después voy a elegir “multiplicación y división”.

Va por niveles, bastante amplios. Esto suele chocar al personal. ¿Cómo? ¿Entre 7 y 11 años? ¿Es que no pueden afinar estos del nrich, tanta Universidad de Cambridge ñeñeñe para que no sepan a quién va dirigida la actividad? 😱

Pues mira, es que es porque son actividades que ofrecen diferentes puntos de entrada. Low floor / High ceiling (suelo bajo y techo alto). Voy a seleccionar uno en apariencia bastante soso. What do you need? ¿Qué necesitas?

Pues se trata de encontrar un número entre el 0 y el 99. Y nos dan una serie de pistas.

Que sí, que están en inglés, corto y pego en un traductor. En este caso, también funcionaría bien traducir la página (en los juegos esto da fallos a veces). Bueno, que lo hace bastante bien.

¿Os animáis a encontrar el número? Después, no os conforméis con eso. Se trata de pensar y discutir qué 4 pistas son innecesarias.

Los juegos también son muy majetes. Aquí están jugando al “Play to 37”. Es un jueguecillo para dos jugadores donde cada jugador suma 1, 3, 5, o 7. Y gana el que dice (o escribe) 37.

Después, se piensa qué está pasando. ¿Quién está ganando? ¿Por qué? ¿Cómo sería la secuencia más corta que me lleva a 37? En todas estas actividades vais a encontrar la solución comentada, con estas cositas que tienen que aflorar.

No los machaquéis con cuentas porque sí, que es lo fácil. En las actividades del nrich de números que he comentado se trabajan también los hechos numéricos, pero de forma más rica. Si de todas maneras quieres un par de recursos más…

Estas tablas de cálculo, de Jesús Javier Jiménez, están muy bien, para todos los niveles y de bloques variados (no dedicaría más de 5 minutillos y no todos los días)
Para los más peques, estas hojas que se colorean y muestran un personaje o un dibujillo.

En cualquier caso, tened claro que las matemáticas en primaria no son solo aritmética; y en secundaria no son solo álgebra.

He puesto como ejemplo una actividad de números, porque es lo primero que buscan mis amigos. Pero las actividades de geometría, medida, estadística, probabilidad… son preciosas (y necesarias). Aquí las de geometría del mismo nivel que he buscado antes.

La idea, en cualquier caso, es que si se hace algo, sin agobios y que sirva para desarrollar una actitud de indagación, curiosidad… Hoy en día hay un montón de recursos interesantes.

Por supuesto, lecturas. En ESO, me gusta recomendar La fórmula preferida del profesor y El tío Petros y la conjetura de Goldbach. También, divulgación, que hay un montón, muy buena y de los temas más variados. Y juegos de mesa. Sobre todo, no los torturéis durante el verano.

¿Quieres conocer cómo se usaba un libro de cuentas ajustadas?

Tue, 14 Jul 2020 00:00:00 +0000

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¿Quieres conocer cómo se usaba un libro de cuentas ajustadas?

Hay que ponerse, en este caso, las gafas de la primera mitad del siglo XX. La primera edición de ese libro data de 1908-1910, pero se editaba también en la década de los años 50.

Desconozco la fecha de mi ejemplar de “El contador universal”, de Emilio Delclós y Ragón, pero usado está un rato. Mi madre recuerda que este era de mi bisabuelo.

No me diréis que el título no parece el de una novela de Asimov.

Tres hojitas con letra, explicando cómo usar el libro. Sin embargo, la gente que lo usaba podía ser analfabeta. Mi bisabuelo, por ejemplo, no sabía leer letras, pero sí números.

Por ponernos en contexto. Aquí las cifras de analfabetismo según censos. Fuente: El analfabetismo en España, hoy. Joaquín Tena Artigas.

En cuanto al libro, que cubre las cuatro operaciones básicas y la regla de interés. El autor, consciente del público al que va dirigido, insta al vendedor a explicar su funcionamiento. Se viene arriba y hace algo de marketing: sin erratas en las cuentas, no como otros.

Venga, al lío. ¿Cómo se suma con este libro? Ejemplo: 590+59.

Pues nada, allá que vamos. Efectivamente, para hacer 590+59 vamos a la página del 59, y en la segunda columna buscamos 590. Debajo está el resultado de la suma. 549.

Vamos con la resta, que ejemplifica con una deuda.

Para hacer 1260-63 procedemos parecido a la suma. Vamos a la página del menor, en este caso 63, y buscamos en la segunda columna el 1260. Arriba tenemos el resultado, 1197.

¿Y la multiplicación? Leed los ejemplos porque son curiosos.

Para hacer 40x18 vamos a la página del 40 y buscamos en la primera columna el 18, a su derecha, en la segunda columna está 720, el resultado. Esto es así porque lo que va poniendo el libro en cada hoja es el número de cabecera multiplicado por los números del 1 al 500.

Si lleva quebrados la multiplicación, es decir, decimales, se hacen por separado parte entera y parte decimal y luego se suman. Aquí el texto de la explicación tiene una pequeña erratilla.

Multiplicación “decimal”. Realmente, las 4 operaciones pueden hacerse así. Se trata de ignorar la coma y ponerla después. Para hacer 1,23x77 hacemos 123x77, que si lo buscamos como antes es 9471. Como dice el libro, separamos las cifras con el pensamiento. 94,71.

Es fácil imaginar cómo se divide. Para hacer 300:25, vamos a la página del 25 y buscamos en la segunda columna el 300. A su izquierda está 12, que es el resultado.

La joya de la corona, la regla de interés, que es igual que la multiplicación. Para hacer el 7 por 100 de 900 duros vamos a la página del 900 y buscamos el 7 en la primera columna. A la derecha está el resultado, 6300. Quitamos con la mente las dos últimas cifras.

El libro viene con una pequeña ampliación, específica para calcular pago de jornales o compraventas.

El funcionamiento de esta ampliación es sencillo. Basta ir mirando el resultado que interesa.

Terminando. Pienso que conocer sobre este tipo de herramientas te hacen pensar lo que hemos avanzado en educación.

Y en fin, que tengo en mis manos un libro que, de hablar, contaría una historia mucho mejor que la de este hilo. ¿No es bonito que haya conocido también otros usos?

Introduciendo BlocksCAD como recurso didáctico en matemáticas

Tue, 19 May 2020 00:00:00 +0000

Abstract

BlocksCAD is a scratch-like programming environment to create 3D objects, which offers a web-based interface for the open-source OpenSCAD 3D modeling software. With this tool, bodies in space are described by algorithms that include the use of a few primitives, such as prisms and spheres; geometric transformations and logical and set operations. This article introduces the resource and proposes examples of tasks that have been implemented with students in the second cycle of secondary education in Spain.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Rodríguez-Jaso, C., & Muñoz-Escolano, J. M. (2020). Introduciendo BlocksCAD como recurso didáctico en matemáticas. Suma, 93, 39-48.

Las medidas de dispersión con pinceladas de didáctica

Fri, 01 May 2020 00:00:00 +0000

Con este hilo sobre enseñanza de la dispersión participé en el concurso de Desgranando Ciencia 6 y luego se hizo un libro recopilatorio.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2020). Las medidas de dispersión con pinceladas de didáctica. En J. Garrido-Bautista y V. G. Tagua, Libro del I Congreso Virtual de Divulgación de Hilos de Twitter, Desgranando Ciencia 6 (pp. 87-90). Granada, España: Asociación Hablando de Ciencia.

Sobre las matemáticas que se hacen estos días en casa

Tue, 31 Mar 2020 00:00:00 +0000

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Coincido con la lectura que hace Lynne McClure @clm4d de la situación a la que nos ha llevado el coronavirus en @CambridgeMaths: Home truths about mathematics

Traduzco libremente a la vez que comento y pongo ejemplo de actividad.

Y es que percepción que tiene @clm4d es que se está poniendo el énfasis en que el alumnado haga en casa lo que se “supone” que deberían estar haciendo en la escuela:

Formularios con preguntas tipo, orientados a algún examen.
Ejercicios mecánicos de respuesta cerrada, proporcionando abundantes ejemplos del mismo tipo.
Tareas centradas en grabar lo que hacen en lugar de explicar y describir.

Dejando aparte la cuestión de que todo esto no debería ser el núcleo del trabajo habitual de aula, Lynne señala que, precisamente ahora, hay una oportunidad para intentar algo diferente (y mejor).

Una oportunidad para estudiantes de todas las edades para experimentar, con calma y a su ritmo, lo que significa pensar matemáticamente, ser creativo, “ensuciarse” con un problema.

Esto es posible con muy pocos recursos. Dados, peonzas, papel, tijeras, tapones… se puede explorar, estimar, predecir y hablar sobre lo que piensa cada uno en cada una de esas situaciones.

Lynne termina proponiendo alguna actividad de @nrichmaths, como Dotty six y Got it!. Ayer, @javiarrospide compartía un documento recopilando y traduciendo alguno de estos juegos. 😍

Por otro lado, Lynne llama a la tranquilidad recordando algún ejemplo donde esta forma de trabajar no deja en desventaja a los alumnos frente a una forma de trabajar más “formalista”.

De hecho, esa pregunta que me hacen a veces, me parece falaz.

¿Y qué pasa si al curso que viene les lleva un profesor que no trabaja así? Bueno, pues es que es peor al revés. Aunque de esto ya hemos hablado alguna vez, podemos volver a sacar el tema otro día.

Así que gracias @clm4d por compartir esa reflexión. Por otro lado, ayer recibimos aquí en Aragón las instrucciones actualizadas. Me gustan bastante, aunque no se mojan en la evaluación final que, entiendo, es todavía un tema peliagudo.

Aunque tardar en decir lo inevitable ocasiona una angustia innecesaria. Las instrucciones hablan de seleccionar contenidos, de evaluar para adaptar los futuros procesos de enseñanza y aprendizaje.

Os cuento algo que hemos mandado a los de 1º y 2º de ESO. Es una actividad basada en una práctica que hacemos en @dm_unizar, sobre las áreas de las figuras planas. Dejo en este enlace la ficha para descargar.

En esos cursos, es algo que ya han trabajado, normalmente limitándose al aprendizaje de las fórmulas ☹️. En esta tarea se introduce la idea de polígonos equivalentes y se les pide que se olviden de esas fórmulas (de las que se acuerden, claro…).

Se trata de coger las tijeras y convertir esas figuras en un rectángulo equivalente, con el mismo área, de forma que se pueda deducir la fórmula del área. Aquí, producción de una alumna para el paralelogramo y los triángulos (esta última se les ha atragantado a muchos).

Les hemos hecho dos vídeos (hablo en plural porque mi compi y yo decidimos compartir aula virtual):

Uno para el primer día, dedicado a los que no leen el enunciado o no se aclaran, introduciendo la del paralelogramo.
Otro, ya con muchas entregas realizadas, comentándolas. “Igual” que hacíamos en clase, donde este curso apenas estaba usando ya la pizarra. Por ejemplo, en las que he mostrado antes falta indicar qué son b y a en la figura original. Es decir, falta la conexión entre esas áreas.

Es una pena enorme no hacer esta actividad en clase, porque da para una sesión y pico, y puedes llegar a conectar con el área del círculo (cosa que aquí hemos quitado) e, incluso, con áreas de figuras cualesquiera. Aquí, podada, la hemos propuesto para una semana.

No es que se pierdan la explicación, porque no hay explicación, salvo una pequeña institucionalización al final. Es que se pierden todo el proceso de exploración en conjunto y discusión de diferentes soluciones, uso de vocabulario, etc.

Les hemos propuesto que hablen entre ellos, claro, pero no es lo mismo. Ni de lejos. Luego, además, están los que no pueden conectarse, los que no tienen las mismas facilidades, los que se la copian y ya, etc.

Creo que es un ejemplo de algo que tocaba ver este año, pero que todos “conocían” ya. Permite trabajar explorando y fomenta la autonomía. En algún momento hablaba de enriquecimiento horizontal, refiriéndome a este tipo de cosas.

Y nada más, que quería compartir esto por aquí. Hacer esto a distancia no es guay, es un parche de los gordos. Pero va en la línea que comentaba Lynn, y la que pienso que piden las instrucciones. Ya está.

La sección del NY Times sobre gráficos: What's going on in this graph?

Fri, 13 Mar 2020 00:00:00 +0000

Hoy hemos comentado esta gráfica sobre el coronavirus (COVID-19) de la sección What’s going on in this graph? del @nytimes, en 1º y 2º ESO. Enlace aquí

Ha dado para un rato majo. En la misma página dan ideas para fomentar la discusión. Ha resultado interesante ver qué significaba cada eje, hablar del porqué de ese rectángulo para el COVID-19, etc.

Nos ha pillado viendo proporcionalidad, así que contento también con que haya salido que el eje vertical “no es proporcional”.

Es muy recomendable echar un ojo a la sección, que como actividad de calentamiento dan mucho juego.

También tienen lesson plans específicos para matemáticas.

Libro: Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas

Sun, 01 Mar 2020 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2020). Libro: Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas. Didacticae, 7, 168-171. https://doi.org/10.1344/did.2020.7.168-171

Matemáticas y papiroflexia: un triángulo equilátero

Sun, 01 Mar 2020 00:00:00 +0000

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Matemáticas y papiroflexia #origami. Ayer, uno de mis padawans me pidió un triángulo equilátero para plegar el monicaco de Luis Bas del “Libro de las pajaritas de papel” (Grupo Riglos).

No es lo habitual (ortodoxo), que es empezar por un cuadrado, aunque siempre es interesante explorar estas variaciones. Bueno, al lío. Al comienzo del libro aparece el método para hacer un triángulo equilátero. En cambio, le dije, vamos a pensarlo un poquito a ver si nos sale.

¿Qué sabemos del triángulo equilátero?
Que los lados son iguales.
¿Te parece que uno de los lados sea este [el borde inferior]?
Sí
Bien, vamos a doblar por la mitad. ¿Qué le pasa a este punto?
Está en el medio.
Eso es, está a la misma distancia de las esquinas.

Queremos que otro lado quede más o menos por ahí. Así que tenemos que llevar la distancia de lado inferior ahí. ¿Cómo lo hacemos?
¿Con la regla?

Mejor, con el compás. Mira. Y mejor aún, ya que estamos con un pliegue.

Marcamos el pliegue correspondiente para hacer el otro lado, desplegamos y ya tenemos ahí un maravilloso triángulo equilátero.

Este de aquí:

Un libro con muchos resultados y conexiones entre matemáticas y papiroflexia es el de Jesús de la Peña.

¿Tienes un cuadrado irregular de papel y quieres hacer un cuadrado perfecto?

Sun, 09 Feb 2020 00:00:00 +0000

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¿Tienes un pedazo irregular de papel y quieres hacer un cuadrado perfecto? Atento al método de Fröbel. #origami y #matemáticas

Doblamos por en medio, por donde nos venga bien para aprovechar al máximo el papel. Bien, tenemos una línea recta, cosa que no teníamos antes.

Volvemos a doblar de forma perpendicular a la línea recta creada en el punto anterior.

Plegamos siguiendo un ángulo en 45° tomando como vértice el ángulo recto recién formado.

Ahora marcamos con la tijera en un punto. La distancia entre este punto y el vértice será media diagonal del cuadrado final.

Doblamos por el pliegue ya hecho (el de los 45°), de manera que trasladamos esa distancia sobre la línea recta correspondiente a la otra diagonal. Cortamos entre esos dos puntos, equidistantes al vértice del ángulo recto.

Se trata de una construcción que parte de que el cuadrado es un cuadrilátero cuyas diagonales son de igual medida, perpendiculares y se cortan por la mitad.

Lo he contado tal y como aparece en “Origami para expertos” (Origami for the Connoisseur) de Kasahara y Takahama. También sale en las obras completas de Friedrich Fröbel.

Para posibles ojos expertos que vean estas fotos. Sí, todavía no dominamos la técnica de hacer papel sándwich. Estamos en vías de conseguir plantillas cuadradas de metacrilato para facilitar el corte y no recurrir al bueno de Fröbel. Y prometemos mejorar el tema de las arrugas.

El patrón de marcas que queda en el cuadrado final es así.

Matemáticas sin pizarra

Wed, 29 Jan 2020 00:00:00 +0000

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En la charla del otro día me permití un pequeño homenaje a un librito titulado “Matemáticas sin pizarra”, de 1986. Cuando hablas con Eva Cid, una de las autoras, te das cuenta de que sus preocupaciones y motivaciones siguen de plena actualidad.

A mí me gusta decir que lo que se busca es que haya actividad matemática en el aula. Indicios de vida inteligente. Para que quede claro, aquí no hablamos de formar matemáticos, que alguno habrá, sino de formar personas. Y el pensamiento matemático es fundamental para todos.

En el prólogo, exponen las razones que les llevaron a prepararlo. “Contenidos de 1º BUP excesivamente teóricos y sin relación con los intereses vitales del alumnado.” Ya entonces había quien cursaba el BUP por mero prestigio social o como extensión de la EGB.

Ahora, en 3º de ESO, tenemos lo de antes pero multiplicado por N, con N>1 y con la O de Obligatoria. Vamos, que lo tienen que cursar todos. Hemos de atender a todos y procurar el máximo desarrollo de nuestro alumnado.

Los autores continúan:

“Las clases se basan casi exclusivamente en explicaciones del profesor.” Con esto, se fomentan actitudes pasivas en los alumnos, que pasan más tiempo viendo hacer que haciendo. Imitando. 🙈🙉🙊

De esta manera, el profesor protege excesivamente al alumnado:

Explica con detalle el libro de texto, inhibiendo la competencia lectora del alumno. ¿Que luego no leen los enunciados? ¡Si es que muchas veces se les leen y se les explican!
El profesor dice cómo se tienen que resolver los ejercicios.
Avisa de los errores que no se deben cometer.
Resuelve dudas y preguntas antes de que ellos se las planteen.

Luego no nos quejemos de que de esta manera el alumno no desarrolla capacidad de crítica y evaluación de su trabajo. Es el profesor el que decide lo que está bien y lo que está mal. Esto es un contrato didáctico, “clásico”. Entre comillas. Que el libro este es de 1986.

Con este contrato, se produce una separación artificial entre la teoría y los ejercicios. Apenas se realizan problemas de verdad. No se trata de hacer problemas de “olimpíada”, que también. Medir una tira de tela es una situación-problema.

El librito incluye una colección de problemas para ir trabajando los contenidos mientras se van resolviendo tareas. El alumno lee. Discute con los compañeros. El profesor hace puestas en común e institucionaliza. Hay actividad matemática.

Por mi parte, entre otras cosas, cada vez uso menos la pizarra. Ya he comentado que lo que hago ahora es proyectar producciones de los alumnos y comentar sobre ellas. Incluyo alguna pequeña anotación, pero pocas.

¿Por qué es tan especial la rosa de Kawasaki?

Sun, 29 Dec 2019 00:00:00 +0000

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¿Que por qué la rosa de Kawasaki es tan especial? Un hilo sobre matemáticas y origami.

Welcome to the garden!

Primero, por qué es especial para mí. Allá por los 90 plegaba ya alguna cosita cuando llegó a mis ojos la inconfudible estampa de la susodicha. Claro, tuve que hacerme con el libro “Papiroflexia para expertos” (Origami for the Connoisseur), de Kunihiko Kasahara y Toshie Takahama.

Se trata de una traducción de “Top Origami”, la continuación de “Viva! Origami”, títulos editados en japonés. Hablamos de 1985. La mayoría de los libros de origami son simplemente una colección de modelos, con sus diagramas y ya. Quizás, una breve introducción. Este no.

Este te abre la mente, te hace pensar. Te deja la sensación de estar asomándote a un mundo diferente. Kasahara y Takahama, además de seleccionar papirolas muy representativas del estado del arte, arman un texto delicioso. Alimenta la creatividad.

Hay figuras de Brill, Maekawa, Engel, Takahama, Kasahara, Sonobè, Montroll, Fushimi, Matsumoto, Hosoya, Fujimoto. Y unas cuantas de un tal Toshikazu Kawasaki. Esos nombres huelen a papiroflexia y lo sabe cualquiera que haya plegado un poco.

Hoy toca centrarse en Kawasaki. Nacido en 1955, es conocido principalmente por su rosa, aunque su producción papiroflecta es extensa. Profesor de matemáticas, en el libro presenta y explora el método de plegado iso-área. Dejo entrevista @BritishOrigami.

El iso-área permite que cada cara de la figura final ofrezca la misma cantidad de área de cada cara del papel original. En Origami^3, Jun Maekawa lo formaliza en el capítulo “The Definition of Iso-Area Folding”.

Básicamente, viene a decir que los pliegues iso-área presentan una simetría rotacional inversa. El artículo cuenta más cosas, y seguro que hará las delicias de los apasionados de las matemáticas que estén leyendo esto.

Sirva como ejemplo de iso-área este cubo de Kawasaki. Me ha quedado un poco pocho, lo sé. No obstante, sirve a su propósito. Aprovecho para decir que, aunque me gusta mucho esto del origami, no me considero experto para nada y funciono por etapas.

Pero vayamos a la rosa. Hoy en día, si tienes una duda en algún paso de casi cualquier modelo, puedes echar mano de Internet y, concretamente, de YouTube. Pero en los 90, la cosa no era tan fácil. Imprescincible, pues, el libro que he mencionado. Me alegro.

Matemática y sensibilidad por lo estético. Arte. En ese libro encontramos modelos de pura inspiración geométrica y otros que indagan esa relación entre arte y matemáticas. Porque en la rosa partimos de esta retícula. Nada fuera de la normalidad, una serie de pliegues comunes.

Pero enseguida llegamos a un pliegue diferente. De lo de antes, sin ninguna doblez nueva, tenemos que llegar a esto de aquí. Es la técnica conocida como twist-fold o plegado girado, en palabras de Shuzo Fujimoto.

Para entenderlo. Ese cuadradito central que se veía en la retícula inicial hay que mantenerlo elevado, a la vez que se gira, utilizando los pliegues diagonales.

Y ahora enlazamos con el momento en donde se pasa de una figura plana a una tridimensional. Sin marcar ningún pliegue nuevo, vamos a llegar a esta cosita de aquí.

El papel, prácticamente, no quiere hacer otra cosa. Los pliegues que tienen que estar en valle, están en valle. Y los que tienen que estar en montaña, están en montaña. Se dice que el papel “colapsa”.

Vaya, ya estoy usando tecnicismos. Esto es un pliegue “en valle”:

Y esto, uno “en montaña”:

Son términos muy bien elegidos. Y sí, es el mismo papel por un lado y por el otro.

Si es que el papel está predestinado a convertirse en rosa. Observemos que, de momento, todos los pliegues son rectilíneos. Vamos con la última secuencia antes de pasar a la zona de curvas.

El resultado de lo anterior es esto. Aquí es donde a mí me gusta humedecer el papel. Para curiosos, esta rosa la estoy haciendo con Canson Mi-Teintes.

La líneas rectas se abren, y se curvan, abriendo los pétalos. Es primavera para el papel.

Y ya tenemos la rosa terminada.

Aquí otra en blanco, en un papel ligeramente traslúcido.

Aunque este hilo ha mostrado de pasada alguno de los pasos, no es un tutorial. En Internet se pueden encontrar diferentes versiones de los diagramas de la rosa y vídeos explicativos. Encontrarás hasta una versión con cinco pétalos, que se hace partiendo de un pentágono.

Hay una película checa que se titula “Kawasaki’s Rose”, en alusión, parece ser, a la complejidad de esta pieza. Digo parece ser, porque confieso que no la he visto (tarea pendiente). En cualquier caso, no creo que sea una figura compleja, lo que no implica que sea fácil.

Hablando de fácil-difícil. Mientras preparaba este hilo, mis peques han plegado estos gatitos, también de Kawasaki y que aparecen igualmente en el libro. Son sencillos, pero logran capturar la esencia. Es la máxima aspiración de una figura, porque logran transmitir mucho con poco.

El origami es a la vez inocencia y sofisticación. Nos conecta con el niño que plegaba pajaritas, pero nos lleva mucho más lejos que cualquier avión. Nos lleva a lo más íntimo de la mente de un artista, a su forma de ver y comprender el mundo.

Me arriesgo al afirmar que no hay muchas disciplinas artísticas en las que ocurra esto. La música sería el ejemplo por excelencia. La pieza musical de un compositor se interpreta, ¿no? Algo parecido ocurre con los diagramas de papiroflexia.

Además, es un arte muy “blanco”, al menos en occidente, ajeno a los programas iconográficos de las estructuras de poder, que se han basado en la pintura, escultura, arquitectura y música. De ahí que tenga sentido reivindicar su papel como transmisor de valores universales.

La paloma de antes es un modelo de József Zsebe, plegada en húmedo.

En el primer tweet sale un diseño de camiseta que le propuse pintar a mi hermanita. Así que toca sección teletienda, porque quiero que me siga pintando camisetas. Echad un vistazo a su página de la tostadora, creo que la de las rosas la pondrá en breve. https://latostadora.com/beajara/

Nada más. Hasta aquí el hilo, que ya vale 😊. Si te has quedado con ganas, te invito a que pruebes a plegar la rosa. Como he dicho, hoy en día no hay excusas.

¿Qué pesa más? ¿Un litro de leche entera o un litro de leche desnatada?

Sat, 12 Oct 2019 00:00:00 +0000

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El enigma del litro de leche. ¿Qué pesa más? ¿Un litro de leche entera o uno de desnatada? 180 votos, y gana por poco la opción (correcta) de la desnatada (49% dice Twitter, supongo que 88 votos). Hilo.

Llevo 3 o 4 años haciendo esta pregunta en #cosicasdeDAII (Didáctica de la Aritmética II) en @FacultadEducaUZ, cuando acabamos el tema dedicado a magnitudes y su medida. Y me encanta. Porque da que pensar. Y en ESO cuando se tercia, también.

Durante ese tema se habla de las dificultades que tienen los niños para identificar magnitudes y ser “conservadores”. Ahí están los experimentos clásicos de Piaget. Un ejemplo, ¿qué pesa más? ¿esa pastilla de plastilina? ¿o esto? (y tomo la pastilla y hago una bola).

Cuando los niños se dan cuenta de que, a pesar de que cambien ciertos atributos o cualidades del objeto (forma, en este caso), hay algo que se conserva (aquí, la masa/peso), se dice que son conservadores para ese algo, esa magnitud.

Pues es preguntar lo de la leche y volver loco al personal. Porque claro, parece que ya somos personas adultas y que todo esto de la identificación y conservación de las magnitudes está superado.

Pero… un litro es un litro, ¿no? ¿qué pregunta es esa?
¿Un litro de hierro pesa lo mismo que un litro de agua?

De hecho, después de poner la encuesta he visto que tenía que haber puesto la opción de que pesan lo mismo. Al no haberla, la gente ha tenido que mojarse.

¡La leche entera pesa más! ¡Es más densa!

Aquí el silogismo es correcto, aunque la premisa, incorrecta. ¿Es más densa la leche entera? ¿Seguro?

En este punto, dejo pensar un poco, porque claro, choca mucho, y como el profesor insiste, es que algo ocurre.

No es que sea más densa. Será más viscosa, más “contundente” si queréis. Pero no es más densa, desde luego. ¿Cómo se hace la leche desnatada?

Simplificando mucho, que alguna vez me ha dado por leer sobre cómo se hace leche a nivel industrial y no es tan sencillo. *

Así es, la leche desnatada es leche entera a la que le han quitado la nata.

Aquí me ha gustado el comentario de @profebernabeu

¿No sería mejor llamar ‘semientera’ a la semidesnatada?

Me remito a lo de la industria lechera…

La nata flota. Es algo que todos hemos visto al calentar leche. Es grasa. Si quitamos la parte de la leche que menos pesa, nos quedará una leche más densa, la desnatada. Que sí, que será más aguachirri, lo que quieras, pero es más densa que la entera.

He hecho un experimento de andar por casa para incrédulos. Sí, es poco o nada científico. De hecho, uno de los briks es de semi. Marcas diferentes de leche, envases algo distintos… 🤦🏻‍♂️ Por lo menos prometo que están sin abrir.

Lo de “sin abrir” es interesante. Porque a veces, el litro en primaria se introduce así (libro de 1º de EP):

Esta tarea se plantea en la asignatura DAII como análisis de libros de texto.

Hay un litro. Pues ese brik está cerrado, bien podría estar vacío. Y esa botella, para empezar, tiene forma de las de litro y medio. Creo. No está claro.

Brik de un litro de capacidad que no tiene un litro de leche dentro.

Reconozco que no sé si la capacidad teórica será exactamente un litro. Si os habéis fijado, en los envases tampoco lo tienen muy claro: “Este producto contiene aproximadamente 4 porciones de 250ml”.

En el libro ese de texto es la primera vez que se habla de capacidad. Y se va directamente (mal) a la “enseñanza” de la unidad del sistema métrico decimal. Saltándose situaciones de identificación de magnitud, comparaciones con y sin objetos intermedios, ordenaciones…

¿En cuál cabe más? ¿Cuál tiene mayor capacidad? Esto en el aula se puede hacer con vasos de plástico con diferentes formas, primero comparaciones (dos elementos) y luego ordenaciones (tres o más), tratando de minimizar trasvasados. No hace falta medir.

Después sí, después llegan las situaciones de medida, primero con unidades arbitrarias o antropométricas. Cazoletas, cucharadas, vasitos, etc.

Vídeo: Tiempo BBDO, busca desvelar el enigma de las medidas de una madre con La Cocinera

Se pueden proponer situaciones de equivalencia y cambios de unidades. Muy al final, cuando ya se ha aprendido a identificar la magnitud, el vocabulario asociado (cabe, llenar, rebosar, etc.)… se introduce el SMD. Y siempre, motivado.

Ahí se pueden proponer situaciones en las que los alumnos midan la capacidad de objetos con cucharadas (por ejemplo), y que estas sean algo diferentes. Cada uno obtendrá una medida diferente. Es necesario ponernos de acuerdo.

Voy terminando. Ese “hay un litro” del libro de texto se complementa con una actividad a base de fotos que no están a escala y sin nada de vocabulario. Estas cosas hay que tocarlas, y hablar sobre ellas. Cabe, hay, rebosa, lleno, vacío…

¿Qué tendrá que ver esto con matemáticas? ¿No es más de experimentales? Lo que ocurre es que todo esto de las magnitudes se enmarca en el trabajo de la medida, y conduce, entre otras cosas, al número racional.

Pero esa es otra historia y debe ser contada en otra ocasión. Un saludo y gracias a los que habéis participado en la encuesta.

Papiroflexia y arte

Sun, 04 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Por fin. Hoy he ido con uno de mis renacuajos a la exposición Matemáticas y papiroflexia en origamizaragoza (hasta el 2 de diciembre). Tenemos un museo en Zaragoza que es una auténtica joya, con ARTE entre sus paredes. Como a muchos solo les parece una curiosidad… Dentro hilo

Si no te emocionas con la expresividad del plegado esencial de Yoshizawa es que no tienes alma. Tampoco si no te dicen nada los plegados geométricos y teselaciones o si no te asombras ante la imponencia de una esponja Menger de nivel 3.

Pero el diálogo del artista con el público es especialmente rico en la papiroflexia. Hemos de distinguir a los creadores de los plegadores. Ambos hacen arte, pero los creadores, a través de los diagramas, permiten que otras personas (plegadores) participen de ese proceso.

Así, un diseño, al igual que un teorema (ver «Las matemáticas son para siempre» de @edusadeci), es eterno. Ahí es donde yo veo la verdadera relación con las matemáticas, más allá de ángulos y lugares geométricos (que también, claro).

Pero cada vez que se pliega, el plegador pone también un poquito de su parte. Participa de las ideas del diseñador, y las interpreta. Los buenos plegadores dotan a sus piezas de una expresividad que es única.

Casi acabando. En la exposición actual verás matemáticas, como en la permanente. Con especial atención al plegado modular, teselaciones maravillosas y plegados geométricos que te llevan al infinito.

Es imperdonable no visitar el @origamizaragoza. Pero claro, aunque yo no esté al nivel de estos plegadores (con los que puedes tener enriquecedoras charlas que agradezco desde aquí), puedo estar sesgado porque también he hecho mis pinitos. Estas cositas las tengo en casa 😊

Por si alguien duda todavía, la visita al @origamizaragoza está recogida en @TripAdvisorES como la segunda mejor cosa que hacer en Zaragoza, después de la visita al Pilar.

Perdón, me dicen que es segundo, por detrás de los “Juegos de escape” y por encima de la Basílica. tripadivsor

Un acercamiento al tratamiento del dominio afectivo en matemáticas en series de dibujos animados

Mon, 01 Jul 2019 00:00:00 +0000

An approach to the treatment of the affective domain in mathematics in cartoon series

Abstract

In this issue we dedicate our attention to the treatment received by the affective domain in two series of cartoons that have already been dealt with in this section: Cyberchase and Peg+Gato. Although both productions are broadcast in entertainment channels, they show some educational purpose. They also share an interesting way to integrate mathematical content into the narrative of each episode. Each of these episodes focuses on a specific mathematical content, such as measure, additive situations, estimation or probability, among others. To this content that we can call primary, other secondary elements are added, which are not a fundamental part of the problem to be solved in each story, and this is indicated in the guides for families or educators. The affective domain does not appear explicitly in these guidelines, but our analysis leads us to conclude that, sometimes, its successful treatment is not accidental. We complete this exploration with some comments from other series, such as Hilda or The dragon prince.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2019). Un acercamiento al tratamiento del dominio afectivo en matemáticas en series de dibujos animados. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 8(1), 89-98. https://doi.org/10.24197/edmain.1.2019.89-98

Análisis del tercer problema de la Olimpiada: Las partidas de dardos

Thu, 30 May 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2019). Análisis del tercer problema de la Olimpiada: Las partidas de dardos. Entorno Abierto, 28, 15-18.

On Squares, Rectangles, and Square Roots

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Burgos, M., & Beltrán-Pellicer, P. (2019). On Squares, Rectangles, and Square Roots. Convergence: Where Mathematics, History, and Teaching Interact, 15. 10.4169/convergence20181128

Polígrafos y canicas en Desmos como ejemplos de propuestas éticas de enseñanza y aprendizaje en matemáticas

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Cárdenas, J. A. (2019). Polígrafos y canicas en Desmos: propuestas éticas de enseñanza y aprendizaje en matemáticas. Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 84, 40-44.

Una propuesta para la enseñanza de situaciones aditivas en infantil con dibujos animados

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Modrego, A., & Beltrán-Pellicer, P. (2019). Una propuesta para la enseñanza de situaciones aditivas en infantil con dibujos animados. Entorno Abierto, 29, 7-12

Algunas tareas de estimación en series de dibujos animados

Mon, 31 Dec 2018 00:00:00 +0000

Some situations about estimation in animated cartoons

Abstract

We are interested now by the situations on estimation that appear in cartoon series in which mathematics is an essential part of the storyline. We analyse in detail one of them, taken from the first season of Cyberchase, observing how the characters not only put into play different techniques and strategies to solve problems, but they learn with each one of them. In addition, an evolution in the attitudes and beliefs of some of the protagonists towards the mathematical activity is detected. This analysis also reveals some mistakes or inaccuracies in the dubbing process, which would be avoidable if, as in the original production, there were experts in the field of mathematics education. We complete the article mentioning other cartoon series involving estimation situations.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Algunas tareas de estimación en series de dibujos animados. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 7(2), 113-122. https://doi.org/10.24197/edmain.2.2018.113-122

Una introducción a los tipos de actividades que podemos encontrar en Desmos

Sun, 30 Sep 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Una introducción a los tipos de actividades que podemos encontrar en Desmos. Entorno Abierto, 24, 4-10.

Citas de didáctica de la matemática y actividades ricas en Twitter

Sat, 01 Sep 2018 00:00:00 +0000

El curso pasado, de septiembre a diciembre de 2017, estuve tuiteando una cita diaria sobre didáctica de las matemáticas con el hashtag #DidMatCita17. Creo que fue algo interesante, que motiva la reflexión y que da a conocer qué es lo que se investiga en el área, trabajos recientes, y alguna propuesta de enseñanza y aprendizaje bien fundamentada. Esta experiencia me resultó enriquecedora, así que voy a tratar de continuar, a otro ritmo, la iniciativa con la etiqueta #DidMatCita, que ya hemos usado (poco, la verdad) @giacoss, @ljrguezmuniz y un servidor durante este 2018 y al que estáis todos invitados a participar. Ya sabéis, si os encontráis leyendo un artículo y pensáis que os ha resultado interesante, o que puede serlo para alguien, basta con una pequeña captura y citar la fuente.

Por otro lado, desde este verano me ha dado por tuitear las actividades que encuentro por ahí y que considero que son ricas. Muchas proceden de #MTBoS o de #iteachmath, así que no es que esté descubriendo nada nuevo. Igualmente, como no me aclaro ni yo mismo y para facilitar la búsqueda he empezado a utilizar el hashtag #AcRiMates, Actividades Ricas de Matemáticas. Y ahí lo dejo.

Sirva como aperitivo el podio de las #DidMatCita17 (las más vistas):

Una mirada al Paraninfo de la Universidad de Zaragoza

Sat, 04 Aug 2018 00:00:00 +0000

Un paraninfo es la sala de una universidad destinada a la celebración de actos públicos. Por ejemplo, los actos protocolarios de comienzo de curso, premios extraordinarios o cosas por el estilo. En otras palabras, más musicales, es el lugar donde suele cantarse el gaudeamus igitur. El Paraninfo de la Universidad de Zaragoza, inaugurado el 18 de octubre de 1893, es el edificio más antiguo de dicha institución. Sí, el más antiguo, a pesar de que esta institución fue fundada en 1542 por Pedro Cerbuna. Tal vez por este motivo, se ha convertido en uno de los emblemas actuales de la universidad, junto con el escudo.

No pretendo extenderme demasiado con la descripción de nuestro querido Paraninfo, pues para ello basta acudir a la bibliografía que cito al final, en particular, a los detallados trabajos del profesor Fatás. Sin embargo, ya que hace un año tuvimos que documentarnos un poquito para ejercer de guías en el XXI Simposio de la SEIEM, voy a dejar aquí alguna de las anotaciones de entonces. Sobre todo, porque así completo una de las anécdotas que cuento todos los años: *¿no has visto el teorema de Pitágoras en el Paraninfo? *

Edificio y fachadas

El arquitecto fue Ricardo Magdalena, y el escultor de casi todas las obras, Dionisio Lasuén. De Jaime Lluch son, al menos, las estatuas de Piquer y Delhuyar de la entrada principal. Y la impresionante escultura de Ramón y Cajal, ya dentro y gobernando las imponentes escaleras, es obra de Mariano Benlliure, a la sazón uno de los artistas más importantes de entonces (esa estatua, cosa rara en el artista, va firmada en una de las esquinas inferiores).
En la entrada principal, bajo la mirada de Atenea (Minerva), diosa de la Sabiduría entre otras cosas, se encuentran las estatuas de: Andrés Piquer (médico turolense), Miguel Servet (teólogo y científico oscense), Jordán de Asso (naturalista, jurista e historiador zaragozano) y de Fausto Delhuyar (químico e ingeniero de minas de Logroño).
En los medallones de las fachadas no encontramos a ninguna mujer. Tampoco están, por ejemplo, Darwin (y sí Lamarck) ni Leibniz.
Antiguamente, la universidad de Zaragoza se encontraba en el barrio de la Magdalena. Fue durante Los Sitios de la Guerra de la Independencia cuando se volaron muchos de los edificios, quedando en estado ruinoso.
La ley Moyano no permitía que hubiera facultades de ciencias fuera de Madrid. Fue gracias a su derogación que pudo contruirse la Facultad de Ciencias y Medicina (ahora Paraninfo).
El Paraninfo, en el momento de su inauguración, se encontraba extramuros.
Visto de frente, el edificio dedica el ala izquierda a la medicina y el ala derecha a las ciencias. En el interior se mantiene esta división.

El paraninfo del Paraninfo

El paraninfo (la sala en sí) tiene algunos cuadros procedentes del Museo del Prado. Dos son retratos reyes castellanos, dos óleos de María Luisa de la Riva y un cuadro que muestra al rey godo Sisenando, obra de Bernardino Montañes.
El cuadro de Sisenando es el único que guarda algún tipo de relación con Zaragoza, ya que fue el primer rey godo coronado en Zaragoza el 26 de marzo del año 631, justo el mismo año en que San Braulio (patrón de la universidad) comenzó a gobernar la diócesis y el mismo día que le correspondería en el santoral.

Museo de Ciencias Naturales de la Universidad de Zaragoza

En el sótano se encuentra el Museo de Ciencias Naturales, inaugurado el 11 de diciembre de 2015. Esto es visita obligada en nuestra familia, ya que a nuestros peques les encanta. Lo están dinamizando mucho y organizan diversas actividades, como concursos de dibujo. Tiene página de Facebook. La exposición principal muestra el camino de la evolución desde el origen del universo hasta la aparición del Homo Sapiens.

Realmente, el museo incluye dos colecciones, la de paleontología de la propia Universidad de Zaragoza y la “Longinos Navás”, depositada por la Compañía de Jesús en 1988, con animales naturalizados, insectos y conchas. Y un par de cuernos de unicornio ;), entre otras cosas. Los ejemplares de esta última colección fueron reunidos entre finales del siglo XIX y comienzos del XX por el científico jesuita Longinos Navás Ferrer, profesor de Historia Natural durante 46 años en el Colegio del Salvador.
En la colección de paleontología, destacan los restos de un Arenysaurus, especie descubierta en Arén (Huesca), que data del Cretácico Superior (67 millones de años) y los del cocodrilo de Ricla, un cráneo completo de este animal marino del Jurásico, único en el mundo (170 millones de años).

Para saber más

Fatás, G. (2009). Del patrono de la Universidad de Zaragoza y de cómo fue destruida en 1809. Universidad de Zaragoza. Fatás, G. (2009). El edificio Paraninfo de la Universidad de Zaragoza. Historia y significado iconográfico, 2ª edición. Prensas de la Universidad de Zaragoza. Laguía M. P. (1985). La iconografía científica en la antigua Facultad de Medicina y Ciencias de Zaragoza. Cuaderno de Historia J. Zurita, 51-52, 161-291. Institución Fernando El Católico, DPZ, Zaragoza. Lomba, C. (2013). El Paraninfo, símbolo de la cultura universitaria. Artigrama, 28, 191-209. Sorando, J. M. (2012). Homenajes a la ciencia en Zaragoza. conCIENCIAS, 9. Universidad de Zaragoza.

Agradecimientos:
A Antonio Oller por el rato que compartimos disfrutando del Paraninfo los días previos al XXI Congreso de la SEIEM, así como a los conserjes y responsables del edificio, muy amables en todo momento con nosotros.

Análisis inicial de los dibujos animados de Peg+Gato

Mon, 15 Jan 2018 00:00:00 +0000

Tras haber dedicado el primer artículo de la sección Matemáticas animadas de la revista EDMA0-6 a una serie con un claro contenido matemático como Equipo Umizoomi, la idea era continuar con ejemplos de cómo aparecen ciertos objetos matemáticos en producciones sin esa intención didáctica. Sin embargo, resulta que, durante el verano pasado, llegó una serie a las pantallas españolas que también tiene a las matemáticas como protagonista. Se trata de Peg+Gato. Al estar todavía emitiéndose y con nuevas temporadas en producción, estamos ante una buena oportunidad para dar a conocer esta serie, analizando la estructura de los episodios y el contenido matemático que aparece.

Al igual que Equipo Umizoomi, Peg+Gato es una serie de dibujos que se distribuye en canales de entretenimiento, pero tiene tanto contenido matemático que es innegable que posee cierta intención didáctica. Su producción es estadounidense-canadiense y en 2016 obtuvo dos premios Emmy, a la mejor dirección y composición musical y al mejor guion de series de animación infantiles.

¿Cuál es el público objetivo?

Está dirigido para edades de entre tres y cinco años, según la productora y el canal de distribución original PBS Kids. En Latinoamérica, Peg+Gato la distribuye Discovery Kids, que se hace eco de dicha clasificación. En cambio, en España, Clan TV la recomienda para preescolar, categoría que define para edades comprendidas entre 0 y 3 años. Esto no deja de ser chocante, porque tanto el contenido matemático como las historias que cuenta son claramente para mayores de 3 años. Según el sistema de clasificación de Clan TV, el término infantil se reserva para edades entre 4 y 6 años y junior para referirnos a mayores de 7 años. Por lo tanto, sería más apropiado clasificar Peg+Gato en la categoría que Clan TV llama infantil.

Narrativa transmedia: serie de dibujos, actividades, apps…

Realmente, para ser precisos, Peg+Gato es lo que hoy en día se conoce como narrativa transmedia. Es decir, la serie de dibujos en sí es solamente una pieza de un puzle mucho mayor, que se completa con la aplicación para dispositivos móviles, juegos en línea, actividades para descargar, los propios libros, etc. Para la producción de la serie han tenido en cuenta, como consultor matemático, a Francis (Skip) Fennell, quien fuera presidente del NCTM de 2006 a 2008 y autor de diversas publicaciones en didáctica de las matemáticas. Por otro lado, Moorthy, Hupert, Llorente y Pasnik (2014) llevaron a cabo un estudio, como evaluadores externos de la iniciativa Ready to Learn del Departamento de Educación de los EE. UU. La muestra estaba compuesta por 59 niños de 4 años que interactuaron en cinco sesiones de menos de una hora de duración con una serie de vídeos de Peg+Gato y juegos interactivos. Los investigadores analizaron tres dimensiones: el aprendizaje de los niños, las expectativas de los padres y la motivación o compromiso (engagement) hacia las actividades. Aunque los resultados fueron mejores en el post-test que en el pre-test, no son concluyentes. Solamente algunos ítems, como la identificación de una forma 3D (en concreto, cilindros) fueron significativamente superiores en el post-test. Los investigadores del estudio señalan que la causa posiblemente sea que se dedica un tiempo mayor al tratamiento de este contenido a lo largo de la sesión. Finalmente, podemos decir que, si bien los resultados son ciertamente positivos, varían dependiendo del episodio elegido y, por lo tanto, de la atención que recibe cada objeto matemático. Lo ideal, desde nuestro punto de vista, es que el visionado promueva interacciones y situaciones que permitan profundizar en el tratamiento del contenido matemático.

Características de Peg+Gato

Los objetos matemáticos aparecen entrelazados perfectamente con la historia que se cuenta en cada episodio, cuya duración es de unos 12 minutos. Una de las cosas que llama enseguida la atención, a los ojos de una persona adulta, es la intencionalidad educativo-matemática. Esta primera impresión se justifica, sin lugar a duda, por los elementos gráficos que componen las sucesivas escenas. Prácticamente en todo momento, observamos un papel cuadriculado como fondo, con complicadas expresiones matemáticas a medio borrar y nubes dibujadas como símbolos de infinito. En los libros originales, este ambiente matemático va un paso más allá, ya que los números que indican las páginas no son tales, sino pequeñas expresiones. Por ejemplo, 25+1=26.

Sin embargo, la realidad es bien distinta. Todo ese trasfondo matemático resulta, en su mayor parte, transparente para los niños a los que va dirigida. Los símbolos de infinito son meras nubes y las complicadas fórmulas son simples garabatos. Obviamente, si a un niño se le pregunta si salen matemáticas en Peg+Gato, contestará afirmativamente, ya que, en varias ocasiones, Peg o Gato remarcan esta presencia de forma literal: “Las matemáticas nos han ayudado a resolver el problema”. Además, muchos contenidos coinciden con los que se trabajan en la escuela, como recitados, conteos, medida, formas, etc.

Personajes

Los personajes principales son Peg y Gato. Peg es una niña que siempre lleva un gorro de color rojo, donde oculta una pequeña esfera azul que le ayuda a pensar. Ella es la encargada, en cada episodio, de explicar la situación inicial a los niños espectadores. La rotura de la cuarta pared presenta diferencias con respecto al que se da en Dora, la exploradora y otras series similares. En Peg+Gato es más sutil, no se espera a que los niños puedan dar una respuesta. Por otro lado, una característica de Peg es que utiliza las expresiones “tenemos un gran problema” o “tenemos un problema muy, muy grande” para anunciar las situaciones principales. Gato es el mejor amigo de Peg y le encantan los círculos, además de la lana y los punteros láser, como dice en alguna ocasión. Normalmente, ayuda a Peg a encontrar la solución a los problemas, aunque muchas veces no se da cuenta de ello. También se encarga de recordarle a Peg que debe calmarse cuando se pone nerviosa (“me estoy volviendo loca de remate”). En dichos casos, la técnica suele consistir en recitar hacia atrás desde el 5, aunque también aparecen recitados regresivos desde el 10 de 2 en 2, o de otras formas.

Además de Peg y Gato, hay otros personajes secundarios y que aparecen de forma recurrente en la serie. Ramón, por ejemplo, suele intervenir para ayudar a Peg en la resolución de alguna situación, aportando ideas más técnicas.

Un contenido primario y otro secundario en cada episodio

Cada programa de Peg+Gato se compone de dos episodios. En lo que sigue, para facilitar la búsqueda del episodio en cuestión, utilizaremos la codificación de producción, que se encuentra disponible en el espacio web que la cadena PBS ofrece como guía para las familias. El guion de cada uno de los episodios aborda un contenido matemático primario y uno secundario, y además aparecen otros objetos de forma más colateral. Por ejemplo, en el episodio 102a, El problema de la habitación desordenada, en el que Peg tiene que recoger la habitación antes de que llegue una visita, el contenido primario está relacionado con la clasificación (según ciertos atributos o propiedades) y el secundario son las formas de algunas figuras planas y cuerpos en el espacio. Además, hay otros elementos, como el recitado regresivo (normalmente desde 5) que efectúa Peg como técnica de relajación.

Para saber más

Beltrán-Pellicer, P.(2017).Beltrán-Pellicer, P. (2017). Análisis inicial de Peg+Gato y su tratamiento de la medida. EDMA0-6: Educación Matemática en la Infancia, 6(2), 72-79.

Algunas tareas de estimación en series de dibujos animados

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Abstract

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Algunas tareas de estimación en series de dibujos animados. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 7(2), 113-122.

Alumnos como profesores: una experiencia sobre papiroflexia y lenguaje en matemáticas

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Alumnos como profesores: Una experiencia sobre papiroflexia y lenguaje en matemáticas. Entorno Abierto, 21, 12-14.

Crónica del seminario federal de la FESPM. Usos de las redes sociales en el aula de matemáticas

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Crónica del seminario federal de la FESPM. Usos de las redes sociales en el aula de matemáticas. Entorno Abierto, 25, 4-10.

Sobre camiones monstruo, medida, ángulos y STEM

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

About monster trucks, measurement, angles and STEM

Abstract

This time it’s the turn of a cartoon series in which mathematics are present, but within what is known as STEM. We introduce Blaze and the Monster Machines, in which some trucks, with the help of two human characters and a helmet of augmented reality, solve problems with the help of mathematics, science and technology. We describe roughly this production and we focus on the most explicit mathematical contents: measurement throughout the first season, where extensive and intensive magnitudes appear; and the angles

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Sobre camiones monstruo, medida, ángulos y STEM. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 7(1), 99-108. https://doi.org/10.24197/edmain.1.2018.99-108

Un ticket de la compra de un día cualquiera

Tue, 26 Sep 2017 00:00:00 +0000

Bueno, cualquiera, cualquiera, no. Y vaya por delante que el ticket es correcto. Ahora bien, descifrarlo es todo un desafío matemático y puede ser utilizado en el aula. Pero comencemos por el principio, ¿qué es eso de Welcome Pack que aparece tantas veces a lo largo del rollo? Cabe decir que ese día me di alta en una especie de club de ahorro en esa cadena, y por ello, me daban 5 euros de descuento. Para completar la información, debo decir que los artículos que marcaban descuento por oferta en los expositores, ya salen con el descuento correspondiente aplicado, salvo las que indican Dto Precio Plus, que aparece explícito en el ticket.

Y todavía se puede exprimir más el ticket. Un poco más abajo, venía la información de la tarjeta de crédito (cosa que, obviamente, he quitado) y los descuentos totales (del programa Plus) y el IVA aplicado. Sí, si nos preguntábamos que son las letras A y B que aparecen al lado de cada producto… es el tipo de IVA. Porque no es lo mismo comprar yogures que queso, por lo menos para los que legislan este tipo de cosas.

Este ticket, u otro cualquiera, se puede trabajar fácilmente en clase:

¿Dónde están los 5 euros de descuento del Welcome Pack?
¿Qué descuento me están haciendo en las frambuesas congeladas? ¿Y en el pan gallego?
¿El IVA se aplica antes o después de efectuar los descuentos?

Cohetes y ecuaciones en Cielo de octubre

Sat, 09 Sep 2017 00:00:00 +0000

Este año 2017, la revista Making Of: Cuadernos de cine y educación dedicó el número 124-125 a la utilización del cine como recurso en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Y pude colaborar con un artículo con una justificación de la utilización de este recurso. Así que, junto a los ya clásicos en esto del cine y las matemáticas José Mª Sorando, Alfonso J. Población (ver su reseña de este monográfico en DivulgaMat), Angel Requena y Abel y Marta Martín y otros apasionados de esto como Juan M. Sepulcre, Eva Mª Perdiguero y Jorge García escribí sobre la película Cielo de octubre, en clave didáctica.

El simple hecho de que una revista dedique un especial a la relación del cine con las matemáticas, ya es un indicativo de que no se trata de algo anecdótico. Existen multitud de referencias matemáticas, tanto en largometrajes como series de ficción, que conforman un recurso didáctico muy fácil de utilizar por el profesorado, al requerir únicamente de un PC y un proyector en el aula. Ahora bien, lo que justifica el empleo de este recurso, más allá de esta disponibilidad y facilidad de uso, es la riqueza en objetos matemáticos y de representaciones que ofrecen este tipo de fragmentos audiovisuales. El lenguaje cinematográfico articula estos objetos, en el seno del contexto introducido por la narración, y sienta las bases para efectuar propuestas didácticas que permiten un aprendizaje significativo.

En el artículo describo tres fragmentos de la película de una duración de no más de dos minutos, junto con los que propongo una serie de cuestiones sobre lenguaje algebraico, estimaciones, conversión de unidades, expresiones polinómicas y ecuaciones de segundo grado, para un nivel de 2º de ESO. En realidad, las actividades, muy directas a partir de los fragmentos, son una excusa para su análisis.

Realmente, Cielo de Octubre (Joe Johnston, 1999) es una vieja conocida en esto del cine y las matemática. No en vano, José Mª Sorando le dedica ya una de sus entradas en el maravilloso sitio Matemáticas en tu mundo. En la película se narra cómo Homer, un estudiante de un instituto de un pueblo minero de EE.UU., tras ver cruzar el cielo al Sputnik en 1957, reúne a sus amigos para participar en una feria científica. Es la única opción que tienen para conseguir una beca e ir a la universidad, ya que no son muy buenos en el aspecto deportivo, cauce usual para conseguir una de tales ayudas. El proyecto que eligen es la construcción de cohetes, para lo que necesitan documentarse, conseguir material y montar una base de lanzamiento en un lugar retirado.

En el primer fragmento, se observa la base de lanzamiento, desde la cual los estudiantes realizan las pruebas con los cohetes. Así mismo, se pone de manifiesto la expectación que crean en el pueblo, ya que se concentran muchas personas para asistir a uno de esos lanzamientos. Más adelante, se les acusa de que haber causado un incendio, al no poder explicar la localización de uno de sus cohetes. Homer, junto con uno de sus compañeros, se esfuerza en calcular dónde pudo caer dicho cohete (segundo fragmento). Previamente, en la película se observa cómo debe estudiar matemáticas para llegar a tales conclusiones. Un detalle interesante, que se aprecia en el fotograma, es que los papeles muestran esbozos de lo que parecen trayectorias parabólicas.

En el tercer y último fragmento, el protagonista principal, Homer, que había dejado el instituto para trabajar en la mina, debido a la acusación anterior, vuelve al aula para demostrar que no pudo ser su cohete el causante del incendio. Es entonces cuando se produce un conflicto, al entrar el director del instituto (Sr. Turner) en el aula y exigirle explicaciones.

HOMER: Aquel incendio fue a 5 km de nuestra rampa de lanzamiento y en aquella época nuestro máximo alcance era de 1,9 km, que es exactamente donde hemos encontrado este cohete. Verá, Sr. Turner, aquel cohete cayó durante unos 14 segundos, lo que significa que llegó a una altura de 900 m, según la ecuación de S =1/2 at2, siendo S la distancia, a la constante de gravedad y t el tiempo que tardó el cohete en volver al suelo. ¿Me sigue usted, Sr. Turner?

A lo largo de los fragmentos, se parte de una situación-problema -la pérdida de un cohete amateur- que ha de resolverse por medio de las matemáticas. En la secuencia fílmica no se observa todo el proceso, pero sí que se muestran diversas representaciones de expresiones algebraicas de segundo grado (la ecuación, la curva gráfica, los argumentos en torno al lanzamiento), articuladas gracias a la narrativa. A partir de este material cinematográfico, estático (no interactivo), es el docente el que ha de diseñar y proponer las situaciones de aprendizaje oportunas para trabajar sobre esos objetos y esas representaciones. Ya no se trata de una situación con un contexto pobre, o incluso sin contexto, como las que suelen aparecer en los libros de texto, sino que la base proporcionada por los fragmentos permite engarzar las diferentes representaciones de uno o varios objetos matemáticos.

Dentro del universo de referencias matemáticas en películas y series de ficción, existen multitud de fragmentos que, sin proporcionar tanta riqueza en términos de representaciones de objetos matemáticos, siguen siendo adecuados para el aula. Bien sea porque permiten plantear actividades que consumen poco tiempo lectivo, porque tratan precisamente sobre un aspecto que complementa lo ya tratado en clase, o porque dan pie a realizar un acercamiento diferente.

Beltrán-Pellicer, P.(2017). Cohetes y ecuaciones en Cielo de octubre. Making Of: Cuadernos de Cine y Educación, 124-125, 59-65*.*

Otra de GoT: Jon Snow contra el curanderismo y la pseudociencia

Sun, 03 Sep 2017 00:00:00 +0000

Sí, el título es correcto, y tiene su explicación. De nuevo, alerta de spoilers, porque se pueden intuir detalles de la trama en lo que sigue. Me encanta que en una serie con sus dragones, sus zombies y sus resucitados varios, tenga lugar un diálogo como este, en el capítulo 7x07 (ojo de nuevo, es el final de la séptima temporada), en torno al minuto 37:

Daenerys: No puedo tener hijos.
Jon: ¿Quién os lo ha dicho?
Daenerys: La bruja que mató a mi esposo.
Jon: ¿No se os ha ocurrido que tal vez no fuera una fuente de conocimiento fiable?

Vaya con Jon. Y vale que estamos con el romance más anticipado de la historia de las series de televisión. Pero está claro que pasa de cautivar a Daenerys con poemas, flores o cosas de esas. Ni siquiera ganando batallas o haciéndose el macho alfa. No, Jon la quiere encandilar usando el razonamiento científico y el escepticismo como forma de dudar sobre la realidad de las cosas y profundizar sobre ellas.

¿No se os ha ocurrido que tal vez no fuera una fuente de conocimiento fiable?

¡Qué grande eres, Jon! Esta frase es un bazinga en toda regla (zas en toda la boca) para los curanderos y charlatanes que todavía campan a sus anchas hoy en día. Homeopatías y terapias ortochupidetoxiguays viven actualmente una época dorada, justo cuando el nivel educativo y cultural es mayor que nunca. Inexplicable. Aunque bueno, también es cierto que cada vez son más las voces científicas que se alzan y se pronuncian. Basta bucear en cualquier red social o buscar en la red para ver la batalla que se está librando.

No hay nada mejor que combatir las pseudociencias con números. Una buena forma es echar cuentas en clase de cuántas moléculas de principio activo habría, supuestamente, en un frasquito de alguna pócima azucarada de homeopatía. O qué probabilidad habría de ingerir una dosis efectiva de ese principio activo…

Bueno, y luego están los comentarios tronchantes, versiones y parodias del diálogo que motiva esta entrada y que aparecieron en lugares como Twitter:

Juego de Tronos, la cantidad es siempre la misma

Sat, 02 Sep 2017 00:00:00 +0000

En el capítulo 4x05, en torno al minuto 21, asistimos a una conversación entre Cersei y su padre, Lord Tywin, en donde las matemáticas están presentes de forma sutil, pero contundente. Aunque ya hace tiempo de la emisión de este capítulo, y es obvio, hay que dar la alerta de spoilers, porque se cuentan detalles de la trama. En esos momentos de la historia, Lord Tywin es la mano del rey, y al parecer, la Corona está en serias dificultades económicas.

Comencemos con el diálogo en cuestión:

Cersei: ¿Y en quién podemos confiar?
Tywin: Solo en nosotros… Los Tyrell son nuestros únicos rivales en cuanto a recursos, y los necesitamos en nuestro bando.
Cersei: *Robert no era especialmente rico. *
Tywin: A Robert lo financiaba yo. Las guerras tragan oro como un pozo en el suelo.
Cersei: Supongo que eso explica por qué nos fue tan bien en la última.
Tywin: ¿Sabes cuánto oro se extrajo en las minas de Poniente el año pasado?
Cersei: No tengo ni idea.
Tywin: Venga, aventura…
Cersei: Libras, arrobas, onzas… Tywin: No importa, la respuesta es la misma. Cersei: Imposible. Tywin: Nuestra última mina en funcionamiento se agotó hace tres años. Cersei: ¿Y cómo lo pagamos todo? Tywin: La Corona debe al Banco de Hierro de Braavos una tremenda cantidad de dinero.
Cersei: ¿Cuánto? Tywin: Una tremenda cantidad.

Efectivamente, necesitan oro, porque la única cantidad de oro que se representa con el mismo número, se mida en las unidades que se mida, es la que no existe. Y el número es el cero. Ya se mida la cantidad inexistente en libras, onzas, arrobas. Ay, Cersei. Si te hubieses interesado más por la economía de tu casa…

Vitalinux y software libre para el profesorado de Matemáticas

Fri, 30 Jun 2017 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Rodríguez-Jaso, C. (2017). Vitalinux y software libre para el profesorado de Matemáticas. Entorno Abierto, 16, 7-12.

Un equipo matemático para resolver problemas

Thu, 01 Jun 2017 00:00:00 +0000

A mathematical team to solve problems

Abstract

The relation between mathematics and movies or TV series goes beyond the purely anecdotal. The books where various authors have compiled mathematical references and educational suggestions, as well as the available training courses for teachers, are a proof for this. Animated cartoons produced for children and distributed as entertainment media also include mathematics: counting, arithmetic, measures, chance, geometry, etc., often immersed in common situations. Or not so common, as it is not strange that cartoons arguments are about adventures with spaceships, fairies and elves, or animals that speak. However, these situations are close to the children and they will allow to propose educational sequences around this resource. On the other hand, animated cartoons with mathematical references play a fundamental role in the progressive construction of children’s personal meanings and beliefs about mathematics. We start this section with a very special team, Team Umizoomi, who are experts in problem solving.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2017). Un equipo matemático para resolver problemas. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 6(1), 75-81. https://doi.org/10.24197/edmain.1.2017.75-81

Cohetes y ecuaciones en Cielo de octubre

Mon, 01 May 2017 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2016). Cohetes y ecuaciones en Cielo de octubre. Making Of: Cuadernos de Cine y Educación, 124-125, 59-65.

Introducción histórica a los números complejos

Thu, 20 Apr 2017 00:00:00 +0000

El concepto de número complejo no va a surgir como una necesidad real del hombre para conocer y observar el universo, sino de una necesidad puramente algebraica, en el contexto de la resolución de ecuaciones. No obstante, el desarrollo de la teoría de números complejos y, sobre todo, la teoría de funciones complejas, tienen en la actualidad numerosas e importantes aplicaciones a la física y a la ingeniería. Gracias a los complejos se describen las ondas electromagnéticas, los circuitos eléctricos y se llega a ecuaciones como la de Schrödinger, que explican la teoría cuántica del átomo. Se emplean, incluso, en el diseño aeronáutico.

El primero en introducir los números complejos es Cardano (s. XVI), quien en su obra Ars Magna, explica cómo resolver los diferentes casos de ecuaciones cuadráticas y cúbicas. Por ejemplo, la ecuación $$x^2+1=0$$ no tiene solución en el sistema de los números reales, porque no existe unnúmero real cuyo cuadrado sea -1. A partir de Cardano, se emplearía el símbolo $$\sqrt{-1}$$ para manejar este tipo de soluciones, que aunque fueran manipuladas algebraicamente, se consideraban falsas o carentes de sentido.
Habría que esperar a Euler para dar el primer paso hacia un tratamiento formal y sistemático de los complejos. Hizo una cosa muy sencilla, utilizar el número $$i$$ como $$i=\sqrt{-1}$$, asignándole el mismo estatus de existencia que a los números reales, definiendo sus reglas operacionales.

A principios del s. XIX, Wessel y Argand introdujeron la representación geométrica de los complejos en el plano cartesiano, de manera independiente. Poco más tarde, todavía en la primera mitad del s. XIX, Gauss y Hamilton propusieron casi al mismo tiempo la idea de definirlos como pares ordenados $$(a,b)$$ de números reales, dotados de ciertas propiedades especiales, tal y como los conocemos actualmente. Por otro lado, Gauss, en su tesis doctoral, demostró el famoso teorema fundamental del álgebra, que establece que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.
Desde ese momento, se inicia el desarrollo de la teoría de funciones complejas, de la mano de Hamilton y Cayley, quienes además crearon los sistemas hipercomplejos. Cauchy, por otro lado, sienta las bases del cálculo diferencial e integral de funciones complejas y el matemático alemán Riemann profundizaría en el estudio de la geometría partiendo de los números complejos, originando la topología.

Créditos:
Imagen de Cardano: http://wellcomeimages.org/indexplus/obf_images/ae/d3/8753d7ad74cb086ba79ccfc75e7f.jpg

Estadios isotópicos del oxígeno

Tue, 28 Mar 2017 00:00:00 +0000

Nos preguntaremos, ¿qué tienen que ver las matemáticas con los estadios isotópicos del oxígeno? La verdad es que bastante. Sin ellas, hubiese sido imposible interpretar los datos de los que hablaremos a continuación y que arrojan unas conclusiones muy interesantes sobre el pasado del planeta en que vivimos. Comencemos.

Aunque la mayoría de los átomos de un elemento que nos podemos encontrar en la naturaleza tienen el mismo número de neutrones en el núcleo, existen lo que se conoce como isótopos. Éstos son átomos, más inestables que la configuración normal, que difieren en el número de neutrones. En el caso que nos ocupa, el del oxígeno, la mayoría de los átomos (el 99,762%) se corresponden con el $^{16}O$. Sin embargo, en la atmósfera también hay un 0,037% de $^{17}O$ y un 0,204% de $^{18}O$. En un principio, todos tenemos claro lo que es un átomo. Sin entrar mucho en detalle, está formado por un núcleo formado por protones y neutrones, alrededor del cual dan vueltas los pequeños electrones.
Cada elemento queda definido por el número atómico; es decir, los protones que tiene en el núcleo, que coincide con el número de electrones en órbita, por eso de que los átomos son neutros eléctricamente. Y aquí es donde ocurre algo curioso, pero esperable. Como las moléculas de agua que incluyen átomos ligeros de oxígeno van a tener más facilidad para evaporarse y, por lo tanto, para caer en forma de lluvia o nieve, resulta que en las masas de agua dulce y en los hielos de los casquetes polares vamos a tener una menor proporción de isótopo pesado $^{18}O$ en ese agua (0,1981%) que en el aire (0,204%) o en el agua marina (0,1995%). Esta dependencia permite analizar los patrones de temperatura.

Los sedimentos marinos (como los de la imagen de portada, que proceden de Groenlandia) constituyen una excelente fuente de información para seguir los cambios de temperatura a lo largo del tiempo. En ellos se van depositando unos pequeños protozoos llamados foraminíferos, cuya concha carbonatada permite establecer la relación entre $^{18}O$ y $^{16}O$. Las masas de hielo que se forman durante las glaciaciones son isotópicamente pobres, ya que es el ligero $^{16}O$ el que más fácilmente se evapora y precipita posteriormente. Así, el agua de mar durante las glaciaciones presenta más $^{18}O$. Sin embargo, se ha de tener en cuenta que en la formación de las conchas de estos protozoos también influye la temperatura de forma directa, presentando mayores concentraciones de isótopo $^{18}O$ a temperaturas más bajas. El análisis de estos dos factores permite establecer las etapas isotópicas marinas (marine isotope stages, MIS), anteriormente conocidas como estadios isotópicos del oxígeno (oxygen isotope stages, OIS).

Etapas isotópicas marinas

Las etapas isotópicas marinas son, en correlación con las glaciaciones:

Y aquí dejo la correlación cronoestratigráfica, que se puede descargar a gran calidad (Subcommission on Quaternary Stratigraphy, International Commission on Stratigraphy).

Referencias

http://www.iaea.org/Publications/Magazines/Bulletin/Bull324/Spanish/32406880915_es.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Marine_isotope_stage
http://en.wikipedia.org/wiki/Paleoclimatology
http://www.geo.uu.nl/fg/palaeogeography/
http://quaternary.stratigraphy.org/charts/
http://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_glaciation

Perspectiva en la pintura y matemáticas I: Prehistoria y Antigüedad

Thu, 19 Jan 2017 00:00:00 +0000

Históricamente hablando, está claro que ha costado bastante adquirir el concepto de perspectiva que manejamos hoy en día. Pero, ¿habrán tenido algo que ver las matemáticas? Comenzamos con este artículo una breve serie para tratar de dar respuesta a esta pregunta.

En la imagen vemos uno de los famosos bisontes de Altamira. Dada la antigüedad de estas pinturas, que datan de hace 14000 años, sorprende la sensación de realismo. Aquí lo consiguen con la utilización de diferentes técnicas. Por un lado, dibujan el animal en lo que se denomina perspectiva uniangular, de forma que el dibujo representa lo que vería exactamente un observador. Esto era un avance brutal, ya que hasta entonces las figuras eran planas o se empleaban perspectivas imposibles, como la denominada perspectiva torcida (biangular recta), en la que el animal se presentaba de perfil, salvo los cuernos u orejas, que aparecían de frente. Por otro lado, en los bisontes de Altamira se utilizan de manera espectacular las formas de las rocas, para resaltar grupos musculares del animal. Podemos pensar, incluso, que el artista veía el bisonte en el techo antes de pintarlo. Finalmente, destaca el empleo de tintes de diferentes colores.

En el Antiguo Egipto no mejoraron mucho las cosas. Es clásica la representación de las figuras en perfil absoluto, de manera que tanto personas como animales parecen adoptar posturas algo forzadas. Eso sí, algo se ganó en colorido.

Para saber más

Ruiz Redondo, A. (2010). La representación de la tercera dimensión en el arte paleolítico cantábrico: análisis de la perspectiva de las figuras zoomorfas.

Análisis inicial de Peg+Gato y su tratamiento de la medida

Sun, 01 Jan 2017 00:00:00 +0000

Peg+Cat and problem solved

Abstract

We continue with our interest in those animated cartoons movies and series for the little ones in which mathematics receives special attention. On this occasion, we discuss a production that is currently being broadcasted, awarded with two Emmy Awards in the 2016 edition. It is Peg+Cat, on which we perform an initial analysis and address the treatment of measurement issue. We will observe that essential aspects of the measurement processes, such as the ideas of conservation and transitivity, the establishment of arbitrary reference units and, even, the equivalence between units, are inserted naturally in the narrative of the episodes that we comment

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2017). Análisis inicial de Peg+Gato y su tratamiento de la medida. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 6(2), 72-79. https://doi.org/10.24197/edmain.2.2017.72-79

Utilizando memes con tus alumnos

Fri, 01 Jan 2016 00:00:00 +0000

Using memes with your students

Abstract

Humor memes flood our electronic devices through different kinds of social networks. They are those images, photos or drawings, with some embedded text, in such a way that the whole thing is a joke. In this article, we propose a didactic use of these memes, as a motivating element, to introduce or refresh concepts or even as an informal evaluation instrument.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2016). Utilizando memes con tus alumnos. Números: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 91, 129-134.

Sobre la revista

Dialnet métricas

¿De dónde sale el número e?

Fri, 24 Apr 2015 00:00:00 +0000

Cualquier matemático te dirá que sale hasta en la sopa. Y es verdad, hay varios caminos que apuntan hacia ese número llamado e. Sin embargo, aquí nos vamos a centrar en uno que puede seguirse sin problemas en una clase de secundaria donde, quizá en el último curso, aparezcan los logaritmos por primera vez.
Pensemos que ingresamos 1 euro en el banco. Pero no en un banco cualquiera, sino en uno que me da el 100% de interés anual. Vamos, que al final del año voy a tener:
\[1+1=2 \]
Ahora, voy a sacar el dinero a mitad de año, cobrando los intereses correspondientes a ese medio año:
\[1+\cfrac{1}{2}\cdot 1 = 1,5 €\]
Y lo vuelvo a ingresar, obteniendo:
\[\left(1+\cfrac{1}{2}\right)+\cfrac{1}{2}\left(1+\cfrac{1}{2}\right) = \left(1+\cfrac{1}{2}\right)^2 = 2,25 €\]
¡Anda! ¡Esto es todavía mejor! ¿Y si saco el dinero todos los meses, cobrando los intereses y volviendo a ingresar el monto total? Entonces, el dinero que obtengo al final de año es:
\[ \left(1+\cfrac{1}{12}\right)^{12}=2,613 € \]
Aquí hay gato encerrado, yo esperaba cobrar más. ¡Espera! ¡Ya sé lo que tengo que hacer! Voy a sacar el dinero todos los días:
\[ \left(1+\cfrac{1}{365}\right)^{365}=2,71456748 €\]
Pues creo que no compensa el esfuerzo. No voy a pasar de 3 €. En realidad, si fuésemos capaces de hacer infinitos reingresos, tendríamos:
\[ \left(1+\cfrac{1}{n}\right)^{n}=2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995\ldots\]
Número que se puede demostrar que tiene infinitos decimales no periódicos y que, por lo tanto, es irracional. Pero es tan real como el 0, el 1, o su amigo $$\pi$$.

Referencias

La foto de las monedas es de Jason Rogers y se puede descargar de aquí.

La dulce muerte de Euler

Mon, 20 Apr 2015 00:00:00 +0000

Las biografías de muchos matemáticos o científicos relevantes podrían sorprender a más de uno. Baste como ejemplo Galois y su muerte en duelo, al que sin duda habrá que dedicarle un artículo más adelante.
Puede que la vida de Leonhard Euler (1707-1783) no sea épica en absoluto. Eso sí, siempre que descontemos sus prodigiosas facultades mentales, pues se cuenta que su memoria era tal que podía recitar cualquier parte de la Ilíada. Además de ser un genio, Euler era un incansable trabajador, cosa que le llevó a dejarnos un legado que todavía no ha sido superado por matemático alguno. Para hacernos una idea de la magnitud de su obra, la revista de la Academia de San Petersburgo siguió publicando artículos atrasados de Euler hasta 48 años después de su muerte.
Y no es que lo tuviera fácil el bueno de Leonhard. Ya en 1735 se quedó prácticamente ciego del ojo derecho debido a unas fiebres. Para colmo, más tarde padecería cataratas en el ojo sano y terminaría completamente ciego los últimos años de su vida. Sin embargo, eso no frenó su producción matemática. Le leían lo necesario y escribían por él. Le resultaba tan fácil hacer matemáticas como a cualquiera de nosotros hablar sobre el tiempo.

Hace poco me regalaron el libro Euler. El maestro de todos los matemáticos (Dunham, W., 1999). Me permito reproducir aquí el fragmento donde narra el último día de Euler. A punto estuve de llorar al terminar de leer la página en cuestión. La historia de cómo me llegó ese libro también es de las de llorar, pero esa historia necesita un artículo propio.

Euler se casó tres años después de la muerte de su mujer con la hermanastra de ésta, encontrando una compañera con la que compartir sus últimos años, que se extendieron hasta el 18 de septiembre de 1783. Ese día, pasó un rato con sus nietos y luego se puso a trabajar en cuestiones matemáticas relativas al vuelo de los globos, ya que éste era un tema de interés por el reciente ascenso de los hermanos Montgolfier sobre el cielo de París…
Después de comer, Euler hizo algunos cálculos sobre la órbita del planeta Urano, ya que sin duda habría encontrado en el comportamiento del planeta Urano una rica fuente de nuevos problemas. En las siguientes décadas, la peculiar órbita del planeta, analizada a la luz de las ecuaciones que Euler había depurado, llevó a los astrónomos a buscar, y a descubrir, el todavía más distante planeta Neptuno. Si Euler hubiera tenido tiempo hubiera disfrutado del reto de buscar matemáticamente un nuevo planeta.
Pero no iba a tener tal oportunidad. A media tarde de esa típica jornada atareada, tuvo una hemorragia masiva que le provocó la muerte en el acto. Llorado por su familia, por sus colegas de la Academia y por la comunidad científica mundial, Leonhard Euler fue enterrado en San Petersburgo. Sólo entonces se detuvo ese gran motor de las matemáticas.

El libro del que está extraída la cita es una excelente pequeña ventana al mundo de Euler. La única pega, quizá, es que el título en inglés es mucho más contundente: Euler. The Master of Us All (el maestro de todos nosotros).

7art Maths: un progetto vincente

Sun, 01 Jan 2012 00:00:00 +0000

Cítese como:

Asti, A., & Beltrán-Pellicer, P. (2012). 7art Maths: un progetto vincente. XlaTangente, 35, 10-12.