número | Pablo Beltrán-Pellicer

Plaquetas numéricas

Sun, 02 Aug 2026 00:00:00 +0000

Cada número del 1 al 10 tiene aquí una forma propia: dos columnas de agujeros que van creciendo, con una muesca arriba cuando el número es impar. Esa forma es lo que permite reconocer la cantidad de un golpe de vista, sin necesidad de contar de uno en uno (pero dando opción a ello, que es muy importante), y ver a simple vista qué números se emparejan exactamente y cuáles dejan uno suelto (pares e impares).

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Cómo se usa

Arrastra las plaquetas desde la columna de la izquierda. Se colocan sobre la retícula y se pueden montar unas sobre otras.
↺ ↻ las giran, ⇋ las voltea, y Al fondo / Al frente deciden cuál queda encima de cuál.
El color de cada plaqueta se puede cambiar, y Resetear color le devuelve el suyo.
La columna de la izquierda lleva la cuenta: el total de lo que hay puesto y cuántas plaquetas de cada número.
⤓ Guardar, ⤒ Abrir y ＋ conservan y recuperan lo montado.

Comprobar sumas montando plaquetas

Una acción muy natural con este material es superponer. Si un niño quiere comprobar que 1 + 2 = 3, coloca la plaqueta del 1 y la del 2 sobre la del 3 y mira si encajan sin que sobre ni falte nada. Por supuesto, otra acción muy natural es la de contar.

Para eso hay dos ayudas, cada una con su botón:

◑ Transparencia deja ver las plaquetas de abajo a través de las de arriba. Con dos pisos se lee perfectamente. Con tres o más, los colores superpuestos se emborronan y solo quedan claros los contornos: es una limitación de cualquier transparencia, no del programa.

② Pisos escribe en cada casilla cuántas plaquetas hay encima, y eso sigue siendo exacto por muchas que se apilen. Si el 1 y el 2 cubren el 3 sin sobrar ni faltar, todas las casillas marcan 2 y ninguna se queda sin número. Una casilla sin número dentro de la forma significa que ha quedado al descubierto; una con número fuera de ella, que algo sobresale.

Explorando el material

Con las diez plaquetas ordenadas en fila, la escalera hace visible que cada número tiene uno más que el anterior. Las pares forman rectángulos completos y las impares el mismo rectángulo con un hueco: la paridad deja de ser una regla que memorizar y pasa a ser algo que se explora y que tiene significado.

Buscar todas las parejas que cubren la del 10 da las descomposiciones del diez sin necesidad de plantearlas como una lista de sumas. Y como las plaquetas se pueden montar, comparar dos números es ponerlos uno encima del otro y ver cuánto asoma.

Una advertencia sobre el botón de escribir el número sobre cada plaqueta, que está guardado dentro de Comprobaciones y viene desactivado: conviene dejarlo así mientras se esté trabajando el reconocimiento de la cantidad por la forma. No obstante, en algún momento puede interesar ponerlo.

Palotes numéricos

Mon, 17 Aug 2026 00:00:00 +0000

Un palote numérico es una barra hecha de bloques encajables: el del 7 son siete bloques pegados, con el numeral 7 escrito en el último. Se parece a una regleta Cuisenaire, y puede llevar sus mismos colores, pero no es lo mismo, y la diferencia es justo lo que Arthur Baroody quería poner sobre la mesa cuando propuso el material.

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Por qué no es una regleta

Una regleta es una barra lisa. El número está escondido en su longitud y en su color, así que para saber qué regleta es hay que medirla o consultar una tabla de colores. Es un modelo de cantidad continua, como el tiempo o la longitud.

Pero un número, para un niño de seis años, es una propiedad de un montón de cosas que se pueden contar: canicas, cromos, dedos. Es cantidad discreta. Y su manera natural de averiguar cuánto es 5 + 3 es contar.

De ahí las tres diferencias del material, que no son decorativas:

Está dividido en bloques. Se ve que el palote del 7 son siete cosas, y se pueden contar de una en una. Con una regleta hay que ponerle siete cubitos blancos al lado y contarlos, que es un rodeo bastante caro para quien ya sabe contar.
El número está escrito, y en el último bloque. No en el centro: en el último. Es el principio de cardinalidad —la palabra que dices al contar el último objeto es la que dice cuántos hay— puesto donde se ve.
Se construyen. Encajando bloques, uno cada vez. Un niño que ha hecho su palote del 4 no lo va a confundir con una unidad, que es lo que a veces pasa con las regletas.

Baroody cuenta en el artículo de 1989 una escena que resume el asunto. Una clase de primero usaba regletas de colores y una tabla de conversión para sumar: busca el color del primer sumando, busca el del segundo, ponlas juntas, busca la regleta de la misma longitud, vuelve a la tabla para ver qué número es. La mayoría siguió el procedimiento. Unos pocos cogieron un cubito blanco y se marcaron las unidades en las demás regletas, y a partir de ahí sumaron contando, sin tabla. Habían convertido un material ajeno en uno que encajaba con su forma de pensar. Los palotes numéricos vienen ya así.

Cómo se usa

Arrastra un palote de la columna izquierda al tablero. Se encajan unos con otros y nunca se montan encima: al soltar uno sobre otro, se pega solo al hueco libre más cercano de su línea.
Girar: al seleccionar un palote le sale un botón redondo al lado, y con un clic se pone de pie o se vuelve a tumbar; la flecha indica hacia dónde va a girar. También está en la columna de la izquierda y en la tecla R. Gira sobre su propio extremo, así que un palote apoyado en una línea sigue apoyado en ella después de girarlo.
↔ ↕, junto a los controles del listón, deciden si los palotes que se saquen a partir de ahora salen tumbados o de pie, y en qué sentido trabajan la escalera y el listón.
＋ bloque y − bloque lo construyen encajando o quitando cubos, como con el material de verdad.
Nº decide si el número va en el último bloque, en todos (la serie de contar: 1, 2, 3…) o en ninguno. Sin números, la bandeja de la izquierda también se calla.
Color, en la columna de la izquierda debajo de los palotes, cambia la paleta o la quita. Ver más abajo.
Listón marca en el tablero la longitud que hay que alcanzar. Se arrastra por cualquiera de sus dos rayas, ⇤ Pegar lo lleva a la salida de los palotes que haya, y 🎲 lo pone en un número al azar.
Sacar los diez, ≡ Escalera y ⁂ Desordenar preparan el tablero de un botón.
⤓ Guardar, ⤒ Abrir y ＋ conservan y recuperan lo montado; ⤓ PNG se lleva la imagen.

En Comprobaciones hay una casilla que escribe al final de cada fila o columna cuántos bloques tiene. Viene apagada y conviene dejarla así mientras esa cuenta sea justo lo que se está preguntando: es la respuesta, no la ayuda.

Tumbados o de pie

Tumbados se comparan por longitud y las sumas se leen como filas, que es la disposición del material original. De pie se comparan por altura, y eso cambia bastante lo que se ve: los diez palotes de pie apoyados en la misma línea son ya un diagrama de barras, con la diferencia de que cada barra se puede contar bloque a bloque. Es el puente más corto que conozco entre contar y representar datos.

Girar no es simétrico, y la asimetría es la del conteo. De pie se cuenta de abajo arriba, como se levanta una torre de cubos, así que el numeral queda arriba: es donde acaba la cuenta. Ponerlo abajo sería decir que la cuenta acaba en el suelo.

Con los palotes de pie, el listón se vuelve horizontal y la pregunta se convierte en «¿qué columnas pasan el listón?», que es comparación de cantidades sin haber escrito ni un signo.

Los colores

El color no es parte de la matemática de este material, y por eso se puede cambiar, en el selector que hay en la columna de la izquierda debajo de los palotes. Siete opciones, cada una con su para qué:

Paleta	Para qué
Vivos	Diez colores muy saturados y variados. Es la de por defecto porque es la que mejor aguanta un proyector flojo.
Pastel	Los diez tonos del círculo repartidos de 36 en 36 grados, en suave. Para pantalla, y menos cansada de mirar un rato largo.
Intensos	Los mismos diez tonos en oscuro. Para un aula con mucha luz ambiente, donde los pastel se lavan.
Grises	Diez tonos de gris, de claro a oscuro. Distingue los diez números sin usar color: vale para fotocopiar en blanco y negro y para quien no distingue tonos.
Regletas	Los colores Cuisenaire. Puestos así, al comparar los dos materiales lo único que queda a la vista es lo que importa: la segmentación y el numeral.
Pares e impares	Dos colores, azul y naranja (el par que se sigue distinguiendo con cualquier tipo de daltonismo).
Un solo color	Los diez idénticos. El color deja de decir nada y solo queda contar. Es la versión que hace visible la tesis de Baroody, y la que hay que poner para el juego de buscar un número.

Las cuatro primeras solo se diferencian en el aire que tienen: se elige la que mejor se lea en la pantalla o el proyector de cada clase, y da igual cuál.

Pares e impares es la única que codifica una propiedad en el color, así que eligiéndola se está dando esa información. Vale para repasar o para comprobar, no para descubrir: si la pregunta es cuáles son pares, ponerla antes de preguntar es contestar.

Cinco cosas que funcionan en clase

Encuéntrame. Pon los diez palotes, apaga los números, pon la paleta de un solo color y desordénalos. Dices un número en voz alta y hay que levantar el palote que le corresponde, lo antes posible. Con números pequeños se acierta de un vistazo; a partir del cinco hay que contar, y ahí empieza lo interesante: ¿cómo lo estás buscando? ¿Los cuentas todos hasta dar con él? ¿Separas los que ya has contado? ¿Los ordenas primero por tamaño y empiezas por uno cercano? Deja que salgan varias estrategias y compáralas. Antes o después alguien propone escribirles el número encima, y entonces la pregunta es qué se gana con eso.

Variantes que salen gratis: en vez del número, pide uno más que seis, o uno menos que nueve. O más que cinco y menos que siete. O más que cinco y menos que nueve, que tiene tres respuestas buenas.

Sumar. Coge el palote de cada sumando, ponlos juntos en la misma fila, y busca el palote que mida lo mismo. Eso es la suma, y se puede comprobar contando los bloques de la fila. Para restar, el mismo material dice otra cosa: pon el 7 y debajo el 4, alineados por la izquierda, y busca qué palote hay que añadirle al 4 para llegar a donde llega el 7.

La torre de las sumas iguales. Pon el listón en un número —el 🎲 lo hace— y llena filas que lleguen exactamente a él, cada una con una combinación distinta. Con el 7 salen unas cuantas. Preguntas que se contestan mirando la torre: ¿son distintas las filas 3 + 4 y 4 + 3? ¿Cuántas filas de dos palotes hay? ¿Y si dejamos poner tres? ¿Se acaban en algún momento?

De pie es más fácil de leer, sobre todo con la clase entera mirando la pantalla: cada combinación es una columna y se ve de un golpe cuáles llegan al listón y cuáles se quedan cortas.

Los que solo salen de una manera. Pregunta de cuántas formas se puede llegar a cada número del 1 al 10 usando un solo palote, o varios todos iguales. Con el 6 hay varias; con el 7 hay muchas menos. Que cada equipo se ocupe de un número y luego se ponga la tabla en común. La clasificación que aparece no hay que contarla: sale.

Las diez barras. Pon los diez de pie apoyados en la misma línea, con ↕ y ≡ Escalera. Es un diagrama de barras que se puede contar. Mueve el listón arriba y abajo y ve preguntando cuántas barras lo pasan: primero con el listón en 8, luego en 5, luego en 3. Es la comparación de cantidades hecha con las manos, y la respuesta cambia de sitio cada vez, así que no se puede memorizar.

Y una pregunta que solo tiene sentido con este material en la mano: ¿se puede hacer un palote del cero?

De dónde sale

El material es de Arthur J. Baroody, que lo propuso como alternativa a las regletas Cuisenaire para introducir el número y la aritmética, pensando en particular en el alumnado con dificultades de aprendizaje:

Baroody, A. J. (1993). Introducing number and arithmetic concepts with number sticks. Teaching Exceptional Children, 26(1), 7–11.
Baroody, A. J. (1989). One point of view: Manipulatives don’t come with guarantees. The Arithmetic Teacher, 37(2), 4–5.

El segundo es una columna de dos páginas que merece la pena leer entera antes de comprar cualquier material. Su tesis es que los manipulativos no vienen con garantía: usarlos no es condición suficiente ni necesaria para que se aprenda con sentido, y lo que decide es si el material encaja con lo que el alumnado ya sabe y si le obliga a pensar. Este manipulativo virtual es un caso particular de esa idea, no una excepción a ella.

Billetes

Tue, 18 Aug 2026 00:00:00 +0000

Un billete no vale un número: vale un orden. El de 100 no es «cien» porque lo ponga escrito, sino porque diez de 10 se cambian por él, y él se cambia por diez de 10. Ese cambio —y solo ese— es toda la regla del sistema de numeración posicional, y es lo único que hace este material.

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Por qué en pantalla y no recortados en cartulina

Los billetes de papel funcionan muy bien y no hay ninguna prisa por sustituirlos. Esta versión hace tres cosas que con la cartulina no salen:

La base se cambia con un selector, y el tablero no se mueve. Los mismos billetes que valían 1, 10, 100 pasan a valer 1, 6, 36 sin que nadie los toque. Con cartulina, trabajar en base seis obliga a recortar otra colección entera, y entonces parece que la base seis es «otro material» en vez de la misma idea con otro número. Aquí se ve que el tablero es el mismo y lo que cambia es cuántos hacen un cambio.
La última opción del selector de base es b, la base que no se dice: los billetes pasan a rotularse 1, b, b², b³… y dejan de decir cuánto valen. El dibujo de dentro se vuelve coherente con eso y pierde las divisiones —una barra lisa, un cuadrado liso, un cubo liso—, porque la forma sí se sabe pero en cuántos trozos se parte, no. El material se maneja exactamente igual, porque para hacer un cambio hay que contar billetes y no leer lo que ponen. Y entonces lo que hay sobre la mesa se lee como un polinomio: 4b² + 6b + 9. Eso en papel no existe de ninguna manera, y es el puente entre la numeración de primaria y el álgebra de secundaria, recorrido sin cambiar de material.
Los cambios son exactos y se deshacen. Cuando un cambio se hace mal con billetes de papel, el error se queda y nadie sabe dónde empezó. Aquí, un cambio se lleva exactamente los billetes que dice la base y trae exactamente uno del orden siguiente, y Ctrl+Z vuelve atrás.

Y algo que no es una ventaja técnica sino de aula: los billetes nunca se montan unos encima de otros. Si la casilla está ocupada, el billete se va al hueco libre más cercano. Un montón de billetes de papel apilados no se puede contar desde la última fila; aquí siempre se ven todos.

Cómo se usa

Arrastra billetes de la columna izquierda al tablero. En la casilla de cantidad se escribe un número —siempre en base diez, porque es cuánto vale— y salen los billetes justos para esa cantidad en la base que esté puesta.
✥ Mover arrastra billetes; arrastrando el fondo se mueve la vista. ▭ Marcar hace un recuadro por el fondo que marca todos los que toca. Con Mayúsculas o Ctrl y un clic se marca y desmarca de uno en uno, y ▭ Los de este orden marca de golpe todos los iguales al marcado. Los billetes marcados se mueven todos juntos.
⇧ Agrupar (tecla G) se lleva los billetes marcados y trae uno del orden siguiente. Hacen falta exactamente los que diga la base y todos del mismo billete.
⇩ Desagrupar (tecla D, o doble clic encima) hace el cambio del revés. Un billete de 1 no se puede desagrupar.
Base decide cuántos hacen un cambio, y su última opción es b, que rotula los billetes 1, b, b², b³… sin decir cuánto valen. Órdenes es cuántos billetes distintos hay en la caja.
Carriles pone de fondo una franja por orden, como una tabla de valor posicional. Puesto en «y cada billete al suyo», cada billete cae siempre en el carril que le toca y solo se puede elegir la fila. Ese es el modo para montar algoritmos: una fila por sumando.
Puntos y placas dibuja dentro de cada billete los del orden anterior: un punto, una barra de b puntos, una placa de b×b y un bloque de b×b×b. Con bases grandes deja de dibujarse, porque una placa que no se puede contar no dice nada. Y con la base b se dibujan la barra, la placa y el bloque lisos, sin divisiones: la forma se sabe, pero en cuántos trozos se parte es justo lo que la base b no dice.

En Comprobaciones hay una casilla que escribe cuánto hay en el tablero y un botón ⇮ Al mínimo que hace todos los cambios de golpe. Vienen apagados, y conviene dejarlos así mientras esa cuenta sea justo lo que se está preguntando: encendidos, el material contesta antes de que nadie pregunte.

Los algoritmos, que es para lo que se hizo

Este material es el que hay detrás de dos hilos sobre por qué los algoritmos tradicionales son como son: la suma y la resta y la multiplicación y la división. Con los carriles imantados, cada algoritmo se monta así:

Sumar 356 + 878. Saca 356 y luego 878; caen en filas distintas. Junta los billetes del mismo carril y cuenta lo que hay en cada uno. Donde haya diez o más, marca diez y agrupa. La llevada del algoritmo escrito es ese cambio, y el orden en que se hacen los cambios es libre: se puede empezar por las unidades o por las centenas, y salen dos algoritmos distintos que dan lo mismo.

Restar 425 − 178. Hay dos caminos, y los dos se ven. En el del desagrupamiento, solo se toca el minuendo: para quitar 8 unidades de 5, se desagrupa una decena y quedan 15. En el de la compensación —el que se enseña en España—, se añaden diez unidades arriba y una decena abajo; el material enseña por qué eso vale, porque los dos números crecen lo mismo.

Multiplicar por una cifra. Saca el multiplicando con el mínimo de billetes y duplícalo o triplícalo carril a carril. Cuando un carril pasa de la base, se cambia. Por dos cifras, la segunda fila se desplaza un carril a la izquierda, y ahí se ve que eso es multiplicar por diez.

Dividir. Se empieza por los billetes de mayor valor y se reparte entre los que sean. Lo que sobra en un carril se desagrupa y se junta con el siguiente. Llevar la cuenta de qué se está repartiendo en cada momento es lo que evita comerse el cero del cociente.

Preguntas que funcionan en clase

¿De cuántas maneras se puede poner 24? Con billetes de base diez, y sin límite de cuántos se usan. Que cada equipo busque una distinta y luego se pongan todas en común. Después, la pregunta buena: de todas las que han salido, ¿cuál es la que usa menos billetes? ¿Hay más de una que use el mínimo? Y con eso ya se puede decir qué es lo que escribimos cuando escribimos «24».

El cero. Saca 305 con los carriles a la vista. Un carril se queda vacío. ¿Por qué hay que escribir un cero ahí, si no hay ningún billete? ¿Qué pasaría si no se escribiera? Es la pregunta más rentable de todo el material, porque el cero deja de ser «nada» y pasa a ser lo que dice que un carril está vacío.

El mismo tablero en dos bases. Pon unos cuantos billetes, apunta cuánto vale en base diez, y cambia la base a seis sin tocar el tablero. ¿Ha cambiado el número de billetes? ¿Ha cambiado lo que vale? ¿Por qué? Y ahora, ¿está puesto con el menor número de billetes posible? Casi seguro que no, y ahí hay trabajo.

Cien. Saca 100 en base diez: un billete. Desagrúpalo todo hasta dejar cien unidades, cambia la base a seis y vuelve a agrupar. ¿Cuántos billetes quedan? La cantidad no se ha movido en ningún momento; lo único que ha cambiado es cómo se agrupa.

¿Cuál es el número que necesita más billetes? Fija cuatro órdenes en base diez y busca la cantidad que, puesta con el mínimo de billetes, necesita más. Luego repítelo en base seis. Y luego, si se anima el grupo: ¿se puede decir la respuesta sin probar, sabiendo la base y el número de órdenes?

En la base b. Pon la base en b y monta dos filas. Junta los carriles y lee lo que hay: 4b² + 6b + 9. Ahora agrupa donde se pueda y vuelve a leer. Sale otro polinomio que vale lo mismo. Esto es reducir términos y llevar, y es la misma operación. La pregunta que lo remata: si los billetes ya no dicen cuánto valen, ¿cómo sabes cuántos hacen falta para un cambio? No hay más remedio que contar uno del orden siguiente en trocitos, y eso es exactamente lo que significa la base.

De dónde sale

El material clásico de billetes se usa en aula desde hace décadas; lo más parecido con nombre propio son los bloques multibase de Zoltan Dienes, que son justamente el punto, la barra, la placa y el bloque que van dibujados dentro de cada billete. Dienes insistió en trabajar varias bases precisamente para que la estructura del sistema no se confundiera con el número diez, que es lo que el selector de base de aquí intenta poner a mano.

Constructor de algoritmos

Tue, 18 Aug 2026 00:00:00 +0000

Si alguien mueve billetes hasta resolver 356 + 878, lo que ha hecho no es un algoritmo: es una cuenta. Sirve para esos dos números y para ningún otro. Un algoritmo es lo que se puede contar por teléfono a alguien que no ve la mesa, y que le sale bien con los números que sean. Este manipulativo existe para que esa diferencia se pueda tocar.

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Usa los billetes de Billetes, y está pensado como continuación de los hilos sobre la suma y la resta y sobre la multiplicación y la división.

El cajero

El tablero tiene tres filas —los dos números y el resultado— y un carril por orden, con el mayor a la izquierda, como se escribe. Y hay un cajero que está siempre en un carril y solo sabe hacer unas pocas cosas: mirar cuántos billetes hay donde está, juntarlos, cambiarlos hacia arriba o hacia abajo, quitar, andar a izquierda o derecha y parar.

El algoritmo es el programa de ese cajero, y aquí está la razón de ser del material: empezar por la derecha o por la izquierda deja de ser «otro algoritmo» y pasa a ser dos fichas distintas del mismo. Un alumno cambia la primera ficha y el sentido de la que anda, y ya tiene la otra versión para probarla. Lo mismo con las dos maneras de llevar en la resta: cambian tres fichas de en medio, y las dos se pueden poner una al lado de la otra.

Cómo se usa

Pulsa fichas en la columna izquierda y se añaden justo debajo de la que esté marcada en la tira. Si y Repetir abren un bloque y traen su línea final puesta: debajo de la primera línea la ficha cae dentro, debajo de la línea final cae fuera. Eso decide, por ejemplo, si el cajero avanza siempre o solo cuando se cumple la condición.
Los desplegables de cada ficha eligen sobre qué fila actúa. Es lo que permite distinguir «desagrupo el minuendo» de «compenso el sustraendo».
▶ Paso ejecuta una ficha y ▶▶ Seguir las va ejecutando solas. La ficha que toca se marca en amarillo y el carril del cajero se ilumina.
Si el cajero llega a algo que no puede hacer, se para y dice qué ha encontrado: no puedo quitar 8 billetes de 1 si arriba solo hay 5, en arriba no queda ningún billete de 10 que desagrupar, no hay carril a la izquierda. Ese mensaje es el sitio exacto donde falta un paso.
▣ Probar el algoritmo lo lanza contra medio centenar de casos y dice en cuántos funciona, cuántos pasos gasta de media y en cuáles falla. Los casos que fallan salen como botones: al pulsar uno se pone en el tablero para verlo despacio.
✉ Texto abre un cuadro con el algoritmo escrito como lista numerada. Ese cuadro se puede copiar y también escribir dentro: con ⤒ Cargar lo escrito, las instrucciones vuelven a convertirse en fichas. Da igual si vienen sin tildes, en minúsculas o con las flechas puestas como «arriba» y «abajo», y si hay una línea que no se entiende se dice cuál es y cuál se le parece.
⤓ Guardar y ⤒ Abrir hacen lo mismo con un archivo, para cuando haya un Moodle o un lápiz de memoria de por medio.
Base y Carriles cambian las reglas del tablero sin tocar el algoritmo.

Bajo Comprobaciones hay cuatro algoritmos ya construidos. Vienen escondidos a propósito: enseñarlos antes de que se haya intentado es contestar la pregunta.

La actividad que le da sentido: pasárselo a otro

Es para lo que se hizo el material, y funciona así:

Cada pareja monta su algoritmo para sumar y lo prueba con sus números hasta que le sale.
Le da a ✉ Texto y se lleva la lista de instrucciones: copiada al portapapeles, escrita en un papel o dictada en voz alta. Solo eso; el tablero no se enseña.
Se intercambian las listas con otra pareja.
La pareja que recibe no puede preguntar. Escribe o pega la lista en su cuadro de texto, le da a ⤒ Cargar lo escrito y la ejecuta.
Después, las dos parejas usan el banco de pruebas sobre el algoritmo recibido y buscan casos en los que se rompa.

Lo que pasa en el paso 4 es lo interesante. Si al copiar se pierde una línea, el algoritmo se monta igual —está bien escrito, solo que dice otra cosa— y el banco de pruebas lo caza en seguida: una resta por compensación a la que se le cae la línea de compensar pasa de 52 casos a 14. Encontrar cuál era la línea que faltaba leyendo lo que hace el cajero es el ejercicio.

Y el paso 5 es la otra mitad: un algoritmo que funciona con los números que has probado no es un algoritmo que funciona. Hasta que no aparece el caso que lo rompe, no sabes cuál es.

Variante más dura, y mejor si hay tiempo: que la pareja receptora monte las fichas a mano leyendo la lista, en vez de pegarla. Obliga a leer instrucción por instrucción y saca a la luz lo que la pareja autora daba por supuesto. Pegar es cómodo para que dé tiempo en una sesión; montar a mano es donde se aprende más.

Preguntas que funcionan en clase

¿Por qué se empieza por la derecha? Que monten la suma empezando por la izquierda. Con muchos números funciona perfectamente, y hay que buscar el que no. Cuando aparezca, la pregunta es qué habría que añadirle para arreglarlo, y si el arreglo sale gratis.

¿Cuál es más rápido? El banco de pruebas cuenta los pasos de media. Dos algoritmos que dan el mismo resultado no cuestan lo mismo, y se puede comparar con un número, no con una opinión. ¿De dónde sale la diferencia? ¿Se puede recortar alguno?

Las dos restas. Que media clase monte la resta desagrupando el minuendo y la otra media compensando el sustraendo. Luego se prueban las dos. Una de las dos aguanta casos que a la otra se le atragantan, y averiguar cuáles son y por qué explica de una vez por qué en España se enseña la que se enseña.

La compensación partida por la mitad. En la resta por compensación se añaden billetes en dos sitios. Quita una de las dos fichas y prueba: ¿qué pasa? ¿Por qué esas dos cosas tienen que ir juntas? Es la propiedad de la resta que hay detrás del algoritmo, vista sin escribir ni una igualdad.

Cambia la base y no toques el algoritmo. Pon base seis y vuelve a probar el mismo algoritmo de la suma. ¿Sigue funcionando? ¿Por qué? Es la mejor manera que conozco de enseñar que el algoritmo no es de la base diez, sino de la escritura posicional.

El bucle que no avanza. Monta la suma pero deja el «Ir un carril a la izquierda» dentro del «Si». Corre el algoritmo y mira qué pasa. Es un error tan típico que merece la pena provocarlo a propósito una vez.

Lo que todavía no hace

Solo suma y resta. La multiplicación y la división necesitan fichas que aquí no están —repetir un número de veces, desplazar una fila, repartir entre varios— y vendrán en una segunda vuelta.