Razonamiento y argumentación | Pablo Beltrán-Pellicer

Para despejar x, se sigue un largo y complicado proceso que no vamos a ver

Sat, 28 Feb 2026 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de unos hilos publicados en Twitter(X): este y este otro.

Es desolador encontrarse en un libro de 2º ESO, al respecto de la fórmula de la ecuación de segundo grado, que:

La justificación de esta fórmula queda para cursos superiores. Por ahora, conviene que la memorices y que aprendas su manejo como se muestra en los siguientes ejemplos.

Más todavía, ver que, en el curso inmediatamente superior, lo prometido se queda en agua de borrajas (el subtexto es añadido mío):

Para despejar $x$, se sigue un largo y complicado proceso que no vamos a ver aquí. Es lo que parece sugerir el currículo, pero como ni el profesorado está en condiciones de plantear situaciones al respecto ni el alumnado de aprender a razonar, disimulemos que hacemos matemáticas.

No me lo estoy inventando, no:

Nótese que en ese subtexto que me he permitido añadir no utilizo el verbo explicar. Ocurre que, a veces, se explica la demostración y, claro, solo se enteran un par, con suerte. Va de plantear situaciones donde el alumnado razone, represente y, en el proceso, emerja el completar cuadrados. Como he dicho muchas veces, y lo mantengo: uno de los problemas en la educación matemática es que se explica demasiado.

Sobre ecuaciones y funciones cuadráticas

No pasa nada por taladrar a palo seco la fórmula de la ecuación de segundo grado. Es muy importante aunque en otros países o no se vea o se aborde dos o tres cursos más tarde que aquí. Por cierto, cada vez que un alumno hace $(a+b)^2=a^2+b^2$ muere un gatito.
¿Cómo dices?

Sostener las dos afirmaciones anteriores al mismo tiempo es incoherente. Si las identidades notables se quedan a vivir en su tema correspondiente y no muestran su gracia en ningún momento más, el calificativo de notables se les muda a «aquellas del tema ese que yo qué sé».

Una conexión intramatemática muy clara es aprovecharse de estas identidades para resolver ecuaciones de segundo grado. Vaya por dios, sin la fórmula. O que esta aparezca más adelante al generalizar este tipo de técnicas. Vamos a dar sentido aquí al cuadrado de una suma. Considera un rectángulo de lados $3$ y $b$, su área es $3b$, ¿no?

¿En cuánto aumenta su área si aumentamos el lado que mide $b$ en $3$ unidades?

En efecto, aumenta en $9$ unidades de área. Ahora tenemos un rectángulo de lados $3$ y $(b+3)$, con lo que hemos descubierto que $3·(b+3)=3b+3^2$. Si ahora, además, aumentamos el lado original que medía $3$ en $b$ unidades, ¿en cuánto aumenta el área?

Ahora a lo que hemos llegado es que el área del cuadrado de lado $(b+3)$ es igual a $b^2+3b+3b+3^2$; es decir:

$$(b+3)^2= b^2+6b+3^2$$

Y ya podemos decir lo que aumenta el área, cuánto es ese área, etc.

Basta generalizar permitiendo que el lado que mide $3$ pueda variar, para llegar a nuestro querido $(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$.

En otras palabras, el cuadrado de una suma es el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Lo mismo se puede hacer con $(a-b)^2$ y con $(a+b)(a-b)$, conectando lenguaje algebraico con gráfico y consideraciones geométricas. Si tenemos cierta soltura (aka competencia). Con esto, convertir $f(x)=x^2+3x+2$ en $f(x)=(x+p)^2+q$ es bastante directo.

No hay más que jugar un poco. Si pienso que $x^2+3x$ forma parte del cuadrado de una suma, vendría a ser el cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, lo estaría viendo como $x^2+2 \cdot x \cdot \frac{3}{2}$.

Como resulta que $\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=x^2+3x+\frac{9}{4}$, tengo que gestionar ese $\frac{9}{4}$, quitándolo (como estoy añadiéndolo, hay que restarlo):

$$f(x)=x^2+3x+2 = \left( x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+2 = \left( x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$$

Si lo que quiero es resolver la ecuación $\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}=0$, ya está a huevo:

$$\left( x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$

Hago la raíz cuadrada y blablabla. Pero es que, además, tener $f(x)$ como $f(x)=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$ visibiliza qué está pasando aquí:

¡Anda! Más conexiones intra matemáticas. El eje de simetría me lo está dando el que acompaña a la $x$ dentro del paréntesis. Y la ordenada del vértice, su coordenada en $Y$, me la está dando el número que va suelto, $-\frac{1}{4}$.

Para que todo quede más claro, ¿no sería mejor convertirla en $f(x)=(x-p)^2+q$? Nótese el cambio de signo donde $p$. Claro que sí, porque entonces el vértice no sería $(-p,q)$ sino directamente $(p, q)$. Pero es que esto también es hacer matemáticas, discutir, hacer conexiones.

Si vamos teledirigidos a la fórmula y a hacer cosas con la fórmula nos dejamos muchas matemáticas por el camino. Y resulta que lo interesante está en el camino. Además, ojo, resolver la ecuación de segundo grado completando el cuadrado se hace también en una línea.

No digo nada nuevo, esto se puede ver en materiales de, por ejemplo, el año 1981, Grup Zero, donde se asume también un trabajo previo en identidades (que lleve a algún sitio, claro).

Había una página con todos los libros del Grup Zero: www.grupzero.cat/llibres/, pero parece estar caída. He conseguido recuperar algunos en el archive.

Aprender a pensar como un matemático

Sat, 29 Jan 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter, junto con alguna mención a otras cosas que puse estos últimos días.

Comprendo que la frase esa de que no te tienen que enseñar matemáticas (o lo que sea), sino a pensar como un matemático (o lo que toque), pueda parecer místerwonderfuliana y produzca rechazo. Pero cuidado.

Porque vamos a volver a lo de siempre. ¿Qué es enseñar matemáticas? ¿Qué es aprender matemáticas? O sea, me tienen (¿tengo?) que meter en la cabeza definiciones y procedimientos hasta que un día diga…

Ahoooora, ahoooora ya puedo empezar a pensar como un matemático.

A ver. Si para ti, pensar como un matemático empieza con «Sea un épsilon tal que…», entonces deja de leer este hilo y sigue a tu rollo.

No creo que la f(x)=tipo de pensamiento sea una función discontinua 😉. Es decir, no te levantas un día y dices:

Ayer no pensaba como un matemático. Pero hoy, mira por dónde, sí.

Esto solo pasa en las pelis de Spiderman. Cambia lo de los superpoderes por un «Sea un épsilon…».

En INFANTIL se puede empezar a pensar como un/a matemático/a. Se debe, qué narices. Porque desde el momento que les sueltas un cubo de piezas de Duplo, o de bloques lógicos y se ponen a clasificarlos… ¡están haciendo matemáticas!

Es más, están pensando como lo haría un matemático. Desde el principio. Se discuten criterios de clasificación, se abstraen propiedades de esos objetos que no dependen de que se cambien de orientación, etc. Y cada vez emplearán argumentos y criterios más elaborados, claro.

Aprenderán hechos matemáticos, nuevo vocabulario, etc. Sin embargo, se aprende a pensar como un matemático desde el primer minuto. Y esto enriquece a cualquiera, aunque luego no vaya a hacer un grado de matemáticas.

No olvidemos que quizá, el contrato didáctico más poderoso y determinante sea el que establece quién es el primero que dice qué sobre el objeto de aprendizaje.

Te invito a leer este hilo de @sergioMJGR. O pasarte por mis entradas sobre aprendizaje a través de la resolución de problemas. Aunque, ya que estamos, quizá quieras leer nuestro reciente artículo sobre el tema.

Relacionado

@aperezsanz mencionó la excelente reflexión de Paul Lockhart en su Lamento de un matemático. Enlace al artículo en la Gaceta de la RSME.

Una propuesta de adaptación del juego Dixit empleando tarjetas WODB con contenido matemático

Tue, 01 Jun 2021 00:00:00 +0000

A proposal to adapt the game Dixit using WODB cards with mathematical content

Abstract

Which One Doesn’t Belong? activities (WODB) favour the use of mathematical language, allowing students to reflect on the properties of the mathematical objects they observe in them. Considering the educational potential of games in all curricular areas and, in particular, in mathematics, this work develops a didactic proposal for mathematics in primary education adapting the Dixit board game with the WODB resource. In the dynamic that is created, the students must classify the elements of the WODB cards through their language, highlighting properties that make them unique, but trying to avoid the most obvious or taking care of their formulation. The experience that was carried out with 11–12-year-old students has allowed us to assess this resource based on their linguistic expressions, suggesting its usefulness both as an initial evaluation and as an activity to develop the use of language.

Uma proposta de adaptação do jogo Dixit utilizando cartas WODB com conteúdo matemático

Resumo

Os WODB (Qual Não Pertence?) favorecem o uso da linguagem matemática, permitindo que os alunos reflitam sobre as propriedades dos objetos matemáticos que neles observam. Considerando o potencial pedagógico dos jogos em todas as áreas curriculares e, em particular, na matemática, este trabalho desenvolve uma proposta didática para a matemática no ensino básico adaptando o jogo de tabuleiro Dixit com o recurso WODB. Na dinâmica criada, os alunos devem classificar os elementos das cartas WODB através da sua linguagem, destacando propriedades que os tornam únicos, mas procurando evitar os mais óbvios ou cuidando da sua formulação. A experiência que foi realizada com alunos de 11 a 12 anos permitiu-nos avaliar este recurso a partir das suas expressões linguísticas, sugerindo a sua utilidade tanto como avaliação inicial como como atividade de desenvolvimento do uso da linguagem.

Cítese como:

Barriga, B., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). Una propuesta de adaptación del juego Dixit empleando tarjetas WODB con contenido matemático. TANGRAM - Revista de Educação Matemática, 4(2), 134-154. https://doi.org/10.30612/tangram.v4i2.14533

Actividad scaffolding en geometría para desarrollar habilidades de argumentación y clasificación en futuros maestros de Educación Infantil

Sat, 21 Sep 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Ricart, M., Beltrán-Pellicer, P., & Estrada, A. (2019). Actividad scaffolding en geometría para desarrollar habilidades de argumentación y clasificación en futuros maestros de Educación Infantil. En J. M. Marbán, M. Arce, A. Maroto, J. M. Muñoz-Escolano y Á. Alsina (Eds.), Investigación en Educación Matemática XXIII (pp. 503-512). Valladolid: SEIEM.

Dificultades en el desarrollo de la competencia argumentativa en lengua inglesa en matemáticas y psicología con maestros en formación

Fri, 01 Jun 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Arnal-Bailera, A., Beltrán-Pellicer, P., Gil, E., Marco-Buzunáriz, M. A., Pellicer-Ortín, S., & Tomás-Aragonés, L. (2018). Dificultades en el desarrollo de la competencia argumentativa en lengua inglesa en matemáticas y psicología con maestros en formación. 6th International Congress of Educational Sciences and Development. Setúbal, Portugal.