Probabilidad y estadística | Pablo Beltrán-Pellicer

Hielo y dados (ice and dice): probabilidad con los Numberblocks

Wed, 29 Jul 2026 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter/X y de BlueSky.

Decir que los @numberblocks son una serie de dibujos animados espectacular en el tratamiento de las matemáticas no es ninguna novedad. Sí lo es, para nosotros, encontrar un episodio —delicioso— dedicado a la probabilidad.

El episodio comienza con Uno, Dos y Tres en la playa, que se quedan sin agua fresca (helada) y están sedientos. Tres sugiere ir a la máquina de agua, y Uno y Dos se apuntan rápidamente al plan, abalanzándose sobre Tres y convirtiéndose todos en Seis.

Seis explica cómo pueden organizarse para usar la máquina y que todos estén contentos: «para que quede ajustado, hay que usar mi dado». Entonces, Seis se separa de nuevo en Uno, Dos y Tres. Y lanzan el dado. Este de aquí. El estándar, vaya.

La conversación es graciosa, porque sale un 4:

UNO: Salió cuatro. Cuatro puede usar la máquina de hielo.
DOS: Ah, pero Cuatro no está aquí. Hay que volver a lanzar.
DOS: Un momento. Aquí también hay un cinco y un seis, pero ellos tampoco vinieron. ¿En qué estaba pensando Seis?

Para solucionar el problema, Seis propone usar la máquina de dados personalizados, donde Uno, Dos y Tres eligen cómo hacer las caras. Con lógica: una cara para Uno, dos para Dos y tres para Tres. A todos les parece que la lógica es aplastante.

El doblaje

Aquí tenemos el problema del doblaje al español. Aunque en general está cuidado, hay elementos que se pierden y otros que generan cierta confusión. Seis es un personaje que se caracteriza por emplear rimas siempre que habla. Veamos lo que dice en la versión original en la conversación anterior:

It’s true, this dice goes up to six, but I think there’s an easy fix. Before you use the ice machine, be sure to use my dice machine. Put your numbers in these spaces to make a dice with six new faces.

En efecto, se pierde el juego de palabras que da origen al título del episodio («Ice and Dice»). No obstante, lo realmente problemático es haber traducido sides por «lados» en lugar de «caras». Este fenómeno es idéntico al de un episodio de Peg + Gato (serie también tremenda).

Usos, significados y representaciones del número

A pesar de que el objeto matemático principal del episodio es el azar y la probabilidad, es también muy rico en cuanto a usos, significados y representaciones del número. El dado estándar del principio tiene en cada cara la representación puntual de cada número.

En cambio, las caras de los dados que fabrica la máquina tienen la representación simbólica del número correspondiente. En cuanto a los usos o significados, en la máquina han empleado el significado cardinal de los personajes (por ejemplo, Uno ocupa una cara).

Cuando, en realidad, el uso o significado de los símbolos numéricos de cada cara debería ser como código o etiqueta, no como cardinal. Podrían haberse reemplazado tranquilamente por colores o pegatinas con la imagen del personaje en cada caso.

Tras lanzar el dado así construido, Tres gana la mayoría de las veces, pues se lanza cinco veces y la secuencia de resultados es 3, 2, 3, 2, 3. Esto genera sospechas sobre la justicia del juego.

Uno está especialmente enojado y se dirige a la máquina, con tal mala suerte que, al bajar la palanca, la máquina se vuelve loca y escupe un montón de dados, todos ellos con el diseño inicial. Esta escena es espectacular desde el punto de vista de la probabilidad.

El juego justo

Al recoger los dados, se dan cuenta de que el dado no es justo, y emplean este término en su conversación:

TRES: Esperen, tuve que recoger muchos más dados que ustedes. No me parece justo.

Aunque al principio ya se habla de que se quiere que la elección sea «ajustada» (justa), es ahora cuando se pone de manifiesto la idea de justicia, relativa al experimento del dado. Un juego será justo si todos los jugadores tienen la misma probabilidad de ganar obteniendo el mismo premio; o si las probabilidades son distintas, cuando se igualan las esperanzas de ganancia (el producto del premio por la probabilidad de ganar).

El concepto de juego justo es un contenido del sentido estocástico en sí mismo y es fundamental en la alfabetización probabilística desde la Educación Primaria.

Aquí los numberblocks son conscientes de que el dado no es justo de manera intuitiva (significado intuitivo o informal) y el encargado de verbalizar esto es Uno: «Algo no está bien. Ya tuvieron muchos turnos y a mí no me ha tocado ninguno».

La argumentación que habían empleado inicialmente parecía lógica y todos estaban de acuerdo: como son los numberblocks Uno, Dos y Tres, tiene que haber una cara con el 1, dos caras con el 2 y tres caras con el 3.

El guion del episodio está muy cuidado, ya que acuden directamente al significado frecuencial para evidenciar que el dado, en efecto y como decía Dos, tiene un problema. Al fallar la máquina escupiendo un montón de dados, surge la oportunidad de contabilizar resultados, conectando con una representación estadística que, en el aula, se haría con policubos.

Solo se nos ocurre un posible aspecto a mejorar: las frecuencias relativas de uno, dos y tres son las probabilidades teóricas tal cual, esto es, $1/6$, $2/6$ y $3/6$. Con ese número de lanzamientos, lo más probable es que no saliera exactamente el doble de doses que de unos, ni el triple de treses que de unos.

Sin embargo, es un detalle menor y que, además, puede revisitarse con actividades de aula recreando el episodio. Además, como veremos ahora, al final del episodio se incluye un momento que manifiesta de forma muy clara la idea de la variabilidad.

La variabilidad, hasta el final

Ahora, cuando Uno, Dos y Tres se disponen a diseñar un nuevo dado, se conecta con el significado clásico. De esta forma, deciden repartir las caras del dado de forma igualitaria para que todos tengan las mismas oportunidades.

Para finalizar el episodio, como no podía ser de otra manera, hay que probar el nuevo dado y es Tres el encargado de lanzarlo. Con tan «mala suerte» que ya se veía que iba a salir 3 y Uno estaba ya triste. Eso sí, Tres está atento y da una patadita al dado para que salga 1.

Este detalle, a nuestro entender, es muy importante, ya que nada aseguraba que, con este dado, iba a salir 1 en la primera tirada. Es muy importante que la variabilidad esté presente en todo momento, y con este final lo consiguen.

El episodio

El episodio 6x03 Ice and Dice (Hielo y dados) está disponible en los canales oficiales de los Numberblocks en YouTube, tanto en inglés como en español.

En español:

En inglés:

Para el aula

Una práctica didáctica muy enriquecedora en el aula consiste en detener el visionado en puntos estratégicos para plantear tareas o proponer debates y retos al alumnado. Por ejemplo, se puede invitar al alumnado a analizar las capturas del dado inicial para deducir su configuración completa, una tarea compleja ya que el dado nunca se muestra en su totalidad.

Todo esto es un resumen de un artículo publicado en la sección Matemáticas animadas de la revista EDMA0-6 entre José María Muñoz-Escolano y un servidor. En el artículo profundizamos algo más en los aspectos didácticos y en alguna idea para clase. Aquí tenéis el artículo completo.

Y os animo a visitar la revista EDMA0-6: Educación Matemática en la Infancia, con todos los artículos de acceso gratuito.

¿Es justo este dado? Explorando el azar y la probabilidad en Numberblocks

Tue, 28 Jul 2026 00:00:00 +0000

Is this dice fair? Exploring chance and probability in Numberblocks

Abstract

Although the Numberblocks series is heavily focused on natural numbers, there are episodes that address other content areas. In this regard, a previous article in this section explored the presence of geometry in these cartoons. Now it is probability’s turn—a mathematical topic that, in Spain’s new curricular developments, is categorized under the stochastic sense. In this article, we analyze an episode of Numberblocks in which various meanings of probability and the concept of a fair game are put into practice. Finally, we suggest potential classroom activities.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Muñoz-Escolano, J. M. (2026). ¿Es justo este dado? Explorando el azar y la probabilidad en Numberblocks. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 15(1), 149-163. https://doi.org/10.24197/39nxnp31

Sobre la revista

Dialnet métricas

Concurso de aviones de papel: Una propuesta STEM en la formación inicial del profesorado

Mon, 30 Mar 2026 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltran-Pellicer, P., Pozuelo Muñoz, J., Begué, N., & Terrado, E. (2026). Concurso de aviones de papel: Una propuesta STEM en la formación inicial del profesorado. En M. Díez Ojeda & M. Á. Queiruga Dios (Eds.), Reimaginando el aprendizaje para un mundo en cambio—Reimagining learning for a changing world (pp. 279-283). Universidad de Burgos. https://doi.org/10.36443/9791387585280

A guide to the analysis of didactic suitability of probability textbook lessons

Thu, 02 Oct 2025 00:00:00 +0000

Cítese como:

Burgos, M., Beltrán-Pellicer, P., & Cotrado, B. (2025). A guide to the analysis of didactic suitability of probability textbook lessons. International Electronic Journal of Mathematics Education, 20(4), em0858. https://doi.org/10.29333/iejme/17183

Development of Didactic Analysis Competence in Prospective Mathematics Teachers

Mon, 24 Feb 2025 00:00:00 +0000

Cítese como:

Cotrado, B., Burgos, M., Beltrán-Pellicer, P., & Castro, A. C. (2025). Desarrollo de la Competencia de Análisis Didáctico en Profesorado de Matemáticas en Formación Inicial. Journal of Research in Mathematics Education, 14(1), 1-29. http://dx.doi.org/10.17583/redimat.15471

Curricular Didactic Analysis: an experience with future teachers | Análisis Didáctico Curricular: una experiencia con futuros profesores

Sun, 25 Aug 2024 00:00:00 +0000

Artículo en inglés y en español

Análisis Didáctico Curricular: una experiencia con futuros profesores

Resumen

Se presentan resultados de una experiencia formativa con futuros profesores de matemáticas, centrada en el análisis didác-tico de materiales curriculares sobre probabilidad. Aunque hubo pro-greso en la identificación de objetos matemáticos, se encontraron difi-cultades para reconocer situaciones-problema, procedimientos, pro-posiciones y argumentos, así como los significados de probabilidad. En la valoración experta de la idoneidad didáctica de la normativa, se observaron deficiencias, pero los participantes no evaluaron adecua-damente dichas carencias, especialmente en las facetas epistémica y cognitiva. Estas limitaciones podrían deberse a la falta de formación específica y al poco tiempo para familiarizarse con los indicadores de idoneidad.

Cítese como:

Cotrado, B., Burgos, M., & Beltrán-Pellicer, P. (2024). Curricular Didactic Analysis: An experience with future teachers | Análisis Didáctico Curricular: una experiencia con futuros profesores. Educação & Realidade, 49, e132399. https://doi.org/10.1590/2175-6236132399vs02

Bolsa de patatas y probabilidad condicional

Wed, 10 Jul 2024 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

La presentación de Bolsa de patatas en una bolsa de patatas es genial. Os cuento de qué va en este hilo. Por otro lado, a ver qué le parece a @cros_luis_77 y si con esto se anima con otro hilazo de juegos como el de hace dos años y que todavía colea ( #juegosymates).

Este jueguecito lo conocí en la Noche Insomne 2023 en Zaragoza de la mano de Esther García en las mesas que preparamos desde la Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemáticas. Un evento muy chulo. Si queréis leer qué hicimos desde la SAPM, está en Entorno Abierto.

Pero entonces estaba fuera de stock. El tablero es muy sencillo, y está formado por estas cuatro casillas que simbolizan a su vez las 4 fases de cada ronda.

Se reparten 6 cartas objetivo-suceso a cada jugador. Son variadas y las explicaremos después.

En la primera fase, tal como se indica en el tablero con esos interrogantes en la parte superior, se sacan 5 patatas de la bolsa, al azar. ¡Parece que estás sacando patatas!

Es importante conocer la composición de la bolsa. Para eso tenemos una carta de ayuda. 7 patatas normales, 6 de cebolla, 5 de barbacoa, 4 de vinagreta y 3 de pollo.

En la primera fase, después de sacar las 5 patatas, es el momento de, tal y como indica también el tablero, descartarte de dos de tus cartas objetivo. Al final de la ronda vas a quedarte solo con 3 de dichas cartas y tu puntuación dependerá de ello. En la fase dos se sacan otras 4 patatas y cada jugador se deshace de una de sus cartas-objetivo, con lo cual ya solo le quedan tres. En la tercera fase, se sacan otras 3 patatas y es el momento de colocar las tres cartas objetivo.

En esta imagen, en la fase tres los símbolos indican realmente cómo irá la puntuación. Eliges dos de tus tres cartas objetivo cuyo suceso crees que va a tener lugar. Si se cumple, sumarás los puntos correspondientes.

Esas dos cartas se colocan a la derecha de tu montoncito de descarte. La otra carta que te queda se coloca a la izquierda y, si el suceso se cumple al final de la ronda, pierdes los puntos que indica.

En la cuarta y última fase se extraen dos patatas, importando el orden porque hay objetivos referidos a la última de las patatas que se sacan de la bolsa. Y se contabilizan los puntos. El jugador que más puntos obtenga se llevará dos fichas de recompensa y el segundo, una. ¿En qué consisten las cartas-objetivo? En la imagen tenemos cuatro ejemplos. El que vale 1 punto es muy probable, pues se cumple si al menos sale una de cada tipo. Por el contrario, el que vale 202 puntos es muy difícil pues se cumple si no sale ninguna de vinagreta.

Como vemos, las cartas describen sucesos. La de 35 puntos se cumple si al final hay el mismo número de patatas de vinagreta que de barbacoa, y la de 55 puntos si hay más de vinagreta de que barbacoa.

La mecánica del juego es de toma de decisiones, proporcionándose nueva información en cada fase. Esta claro que el juego permite que emerjan ideas relacionadas con la probabilidad condicional. Como aplicación didáctica, permite ser abordado tanto de manera intuitiva como más rigurosa, pues da juego a tratar de comparar y cuantificar la probabilidad de diferentes sucesos. ¿Lo conocíais?

Estableciendo puentes entre la investigación y su transferencia al aula

Tue, 30 Apr 2024 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Bosch, M., & Barquero, B. (2024). Estableciendo puentes entre la investigación y su transferencia al aula.UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 104, 58-67. https://www.grao.com/revistas/proyectos-en-estadistica-78052

Mathematical practices when solving problems involving joint and conditional probabilities without prior instruction

Sat, 30 Dec 2023 00:00:00 +0000

Cite as:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2023). Mathematical practices when solving problems involving joint and conditional probabilities without prior instruction. En P. Drijvers, C. Csapodi, H. Palmér, K. Gosztonyi, & E. Kónya (Eds.), Proceedings of the Thirteenth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME13) (pp. 1038-1045). Alfréd Rényi Institute of Mathematics and ERME.

Didactic analysis of curricular materials by future teachers | Análisis didáctico de materiales curriculares por futuros profesores

Wed, 31 May 2023 00:00:00 +0000

Artículo en inglés y en español

Didactic analysis of curricular materials by future teachers

Resumen

Se describe el diseño e implementación de una experiencia formativa con futuros profesores de matemáticas peruanos, destinada a desarrollar la competencia de análisis de la idoneidad didáctica de materiales curriculares sobre probabilidad. Desde un enfoque cualitativo y con el apoyo de las pautas propias de la ingeniería didáctica basada en el Enfoque Ontosemiótico, se dispone de los protocolos de respuestas escritas de 38 participantes. Los resultados muestran limitaciones en la valoración de indicadores de idoneidad y dificultades para elaborar un juicio razonado sobre esta. Se concluye la necesidad de potenciar la práctica reflexiva en torno al uso de los materiales curriculares y las propuestas de cambios de mejora en todas las facetas de la idoneidad didáctica de manera conjunta.

Cítese como:

Cotrado, B., Burgos, M., Beltrán-Pellicer, P., & Castro, A. (2023). Didactic analysis of curricular materials by future teachers | Análisis didáctico de materiales curriculares por futuros profesores.Cadernos De Pesquisa, 53, e10031. https://doi.org/10.1590/1980531410031

Un pequeño gran extra sobre nuestro equipo de baloncesto

Sun, 04 Dec 2022 00:00:00 +0000

¿Recordáis esta actividad? La estamos haciendo en «tiempo de descuento» con 2ºESO y venía a compartir un par de regalos. Hay cosas que no dejan de sorprenderme.

El regalo, para mí, es que surjan espontáneamente cositas como esta (en dos puntos independientes de la clase). Da pie a poner en común:

La forma de representar gráficamente los datos, distinta completamente a la sugerida mediante un diagrama de puntos.
La forma de codificar el eje de ordenadas. Son datos de % de acierto. Lo reduce a una escala de 0 a 10.
Poner la media en cada gráfica.

Técnicamente, el eje de abscisas no representa una magnitud continua, vale. No obstante, está clara la ventaja de hacer la poligonal para hacer comparaciones, y mientras tengamos claro el objetivo de estos gráficos y lo pongamos sobre la mesa…

Así tal cual ya era oro puro. Pero se podía explotar más. No he tenido más que sugerir pintar todo en los mismos ejes (gráfica de abajo a la derecha). Solo nos faltaría conectar esto con una hoja de cálculo.

Y ha habido otra novedad. Para decidir cuál es la más regular, una alumna ha marcado un intervalo (arbitrario, de +-5) en torno a la media para contar el número de datos que caían ahí dentro. Eso es una medida alternativa a las que veremos después, pero tremenda por el juego que da.

Casi me da vergüenza hacer estadística con todo el pescado vendido. En mi defensa, el curso pasado este alumnado empezó en 1º ESO con probabilidad y estadística y no vieron nada de álgebra.

Análisis ontosemiótico de los contenidos de probabilidad en los documentos curriculares de Perú

Thu, 01 Dec 2022 00:00:00 +0000

Ontosemiotic analysis of Peruvian curriculum documents about probability

Abstract

The objective of this work is to analyze the meanings of probability and how they are articulated in the Peru curricular guidelines at the beginning of secondary education (12- and 13-year-old students). The curricular program and didactic materials in probability are examined by applying the notions of epistemic and didactic configuration from the Ontosemiotic Approach to mathematical knowledge and instruction. The results show an emphasis on the classical meaning of probability to the detriment of the intuitive and frequency meanings. This predominance of the classical meaning implies that all the situations-problems proposed in the curricular material are solved with the application of Laplace’s rule and that all the elementary events are equally likely. In this context, we identify different potential semiotic conflicts related to concepts-definitions, procedures, languages, and arguments that must be considered by teachers when using the curricular material. In this way, professional development programs should be planned to make it possible to exploit the possibilities of the curricular materials and cover the aforementioned aspects.

Cítese como:

Cotrado, B., Burgos, M., & Beltrán-Pellicer, P. (2022). Análisis ontosemiótico de los contenidos de probabilidad en los documentos curriculares de Perú. Educación Matemática, 34(3), 97-131. https://doi.org/10.24844/EM3403.04

Estrategias ante un problema que moviliza ideas sobre probabilidad condicional en la XXX Olimpiada Aragonesa de 2.º ESO

Wed, 30 Nov 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2022). Estrategias ante un problema que moviliza ideas sobre probabilidad condicional en la XXX Olimpiada Aragonesa de 2.º ESO. Entorno Abierto, 49, 2-9.

Fórmula D, un juego de carreras, incertidumbre y riesgo

Sun, 23 Oct 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Hijo pequeño iba detrás del Fórmula D desde hace un tiempo. Lo probamos en la @NocheInsomneZgz 😍 y bueno, que nos hemos hecho con uno.

A mí me recuerda a un juego de circuitos con lápiz y papel que creo haber jugado en alguna JAEM o similar. Pero es mucho mejor y lo de los dados para introducir aleatoriedad está muy bien traído.

Hay una reglas de conducción en rectas y en curvas que hay que respetar. Y controlar el uso de las marchas. Dependiendo la marcha en la que vas, tiras con un dado o con otro.

Si en las curvas no haces el número de paradas que marca el tablero sufres penalización en los neumáticos.

Hay una versión simplificada donde solo pierdes puntos de “estructura”. Pero la estándar te permite jugar con los frenos, además de con los neumáticos, para arreglar una tirada en una marcha arriesgada. También puedes forzar la caja de cambios.

Toques, daños en el motor, rebufos, escuderías son elementos que tiene en cuenta el juego. Y en las carreras a dos o más vueltas, posibilidad de entrar en boxes. O meteorología, que introduce la cuestión del tipo de neumáticos.

Es un juego divertido y rejugable. Además, muy interesante y fácil de adaptar para sacarle jugo en matemáticas. Variabilidad en los resultados, toma de decisiones en situaciones de incertidumbre, etc.

Idoneidad Didáctica de Materiales Curriculares Oficiales Peruanos de Educación Secundaria en Probabilidad

Tue, 30 Aug 2022 00:00:00 +0000

Didactic Suitability of Official Peruvian Secondary Education Curriculum Materials in Probability

Abstract

Curricular materials constitute a bridge between the planned curriculum and the one implemented in the classroom, mediating student learning. Therefore, it is relevant to for educational research to study their degree of adequacy to the planned teaching processes. Assessing the suitability of these materials requires the development of instruments to guide reflection on the different dimensions that affect the study processes in mathematics. We present a systematic review of the criteria and indicators of didactic suitability to assess the instructional processes on probability within the framework of the ontosemiotic approach, with the purpose of elaborating a guide to assess Peruvian curricular materials of secondary education (students of twelve and thirteen years) in this content. This instrument is applied to analyse the worksheets dedicated to probability of two workbooks that have been developed by the same institution from which the curricular norms emanate. A qualitative methodology is followed, using the technique of content analysis supported by the categories of the Ontosemiotic Approach. The analysis of the worksheets has allowed us to identify some critical points that should be considered in order to optimize their use in the classroom: mismatch of contents with curricular guidelines; predominance of classical versus frequential meaning; absence of articulation of classical meaning with other meanings such as intuitive or subjective; lack of situations involving experimentation, simulation and use of manipulative materials or software; scarcity of contexts to develop probabilistic literacy beyond games of chance; and absence of group tasks that favour interaction between students.

Cítese como:

Cotrado, B., Burgos, M., & Beltrán-Pellicer, P. (2022). Idoneidad didáctica de materiales curriculares oficiales peruanos de Educación Secundaria en probabilidad. BOLEMA, 36(73), 888-922. http://dx.doi.org/10.1590/1980-4415v36n73a13

Análisis de la idoneidad didáctica de la probabilidad en el programa curricular de educación secundaria peruana

Fri, 31 Dec 2021 00:00:00 +0000

Analysis of the didactic suitability of probability in the Peruvian secondary education curriculum

Abstract

In this work, we apply the criteria and indicators of didactic suitability to the analysis of the Peruvian secondary education curricular syllabus in probability. The research has a qualitative approach, and the methodology used is content analysis based on the Onto-Semiotic Approach (OSA) categories. The results show a given priority to classical and frequency meaning over intuitive meaning. Situations of experimental proof related to the classical and frequency meaning of probability are proposed, without suggesting experimentation and simulation procedures. In addition, limited attention is paid to prior knowledge on random experiment and frequency estimation, what can cause difficulties and probabilistic reasoning biases. Finally, some deficiencies are observed in the curricular syllabus with regard to the affective dimension, interactive participation and the use of manipulative and computer resources in probability.

Cítese como:

Cotrado, B., Burgos, M. Beltrán-Pellicer, P. (2021). Análisis de la idoneidad didáctica de la probabilidad en el programa curricular de educación secundaria peruana . Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (ALME), 34(2), 547-558.

Estrategias de resolución en un problema sobre probabilidad condicional en la XXIX Olimpiada aragonesa

Tue, 30 Nov 2021 00:00:00 +0000

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). Estrategias de resolución en un problema sobre probabilidad condicional en la XXIX Olimpiada aragonesa. Entorno Abierto, 43, 27-32.

La probabilidad en los problemas de olimpiadas matemáticas de Secundaria en España

Thu, 09 Sep 2021 00:00:00 +0000

The probability in the problems of High School Math Olympics in Spain

Abstract

Among the participants in Mathematical Olympiads, it is usual to find mathematically gifted students. Therefore, from the point of view of the research about gifted students, it is interesting to analyze the problems proposed in these events. The objective of this work is to analyze the cognitive demand, the languages and the procedures of the mathematical tasks proposed in the problems on probability in the individual tests of both the semifinal and the final in the Aragonese Mathematical Olympiad (1989-2019) and the problems carried out in the individual test of the National Mathematical Olympiad (1990-2019). We focus our attention on probability problems to characterize the representativeness of this content in the Olympics. The results show that all the proposed tasks in the Olympics are of a high level according to the cognitive demand model, which is suitable as a proposal for the high mathematical ability students, including tasks of the higher level according to the same model, whose satisfactory resolution could become an indicator of high mathematical ability. On the other hand, the scarcity of probability problems in these tests, shows the need to propose more in these contests, promoting their learning in secondary education.

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). La probabilidad en los problemas de olimpiadas matemáticas de Secundaria en España. Contextos Educativos. Revista de Educación, 28, 29-50. https://doi.org/10.18172/con.4970

Las situaciones-problema y el lenguaje de la probabilidad en los libros de texto en Educación Secundaria en España

Thu, 01 Jul 2021 00:00:00 +0000

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). Las situaciones-problema y el lenguaje de la probabilidad en los libros de texto en Educación Secundaria en España. Libro de actas de CIMIE21: IX Congreso Internacional Multidisciplinar de Investigación Educativa. Asociación Multidisciplinar de Investigación Educativa.

Una propuesta didáctica de probabilidad para el comienzo de la secundaria

Thu, 01 Jul 2021 00:00:00 +0000

A didactic proposal of probability for the beginning of secondary school

Abstract

Considering that probabilistic reasoning should be an educational priority, this article presents the design and theoretical foundation of a didactic sequence for the teaching of probability in the early years of secondary education (12-13 years). The sequence has a teaching approach through problem solving, specifically based on the articulation of three of the meanings of probability in secondary education: intuitive, frequentist, and classical. With this didactical objective, six problem-situations are described, and some additional observations that complement them. The first one, to express the probability as a degree of personal belief, introduce non-equiprobable events and construction of absolute frequency diagrams. The second creates situations to assign probability to an event and assign an event to a probability. The third is a situation to discuss random and deterministic phenomena. The fourth situation has the objective of formalising concepts such as impossible event or certain event, as well as procedures such as tables and tree diagrams to disaggregate sample spaces and the application of Laplace’s rule when considering compound events. The fifth and sixth address situations where Laplace’s rule cannot be applied. The sequence is a flexible proposal that articulates playful strategies, use of origami, and visualisations of fragments series, which stablish connections with other curricular contents and influence in the affective domain. Besides, the sequence can be adapted to different educational contexts.

Uma proposta didática de probabilidade para o início do ensino fundamental II

Resumo

Considerando que o raciocínio probabilístico deve ser uma prioridade educacional, este artigo apresenta o desenho e a fundamentação de uma sequência didática para o ensino da probabilidade no ensino fundamental II (12-13 anos). A sequência se localiza em uma abordagem de ensino por meio da resolução de problemas, a partir da articulação de três dos significados de probabilidade no ensino médio: intuitivo, frequente e clássico. Com este objetivo didático, seis situações-problema são descritas, e algumas observações adicionais que as complementam. O primeiro, para expressar a probabilidade como um grau de crença pessoal, introduz eventos não equiprováveis e construção de diagramas de frequência absoluta. O segundo está relacionado à ideia de atribuir probabilidade a um evento e atribuir um evento a uma probabilidade. A terceira é uma situação para discutir fenômenos aleatórios e determinísticos. A quarta situação tem como objetivo formalizar conceitos como evento impossível ou determinado evento, bem como procedimentos como tabelas e diagramas de árvore para desagregar espaços amostrais e a aplicação da regra de Laplace na consideração de eventos compostos. O quinto e o sexto tratam de situações em que a regra de Laplace não pode ser aplicada. A sequência inclui atividades baseadas em jogos, uso de origami modular e visualizações de fragmentos de séries, que estabelecem conexões com outros conteúdos e afetam o domínio afetivo. Além disso, é apresentado de forma flexível para que possa ser adaptado a diferentes contextos educacionais.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Giacomone, B. (2021). Una propuesta didáctica de probabilidad para el comienzo de la secundaria. Educação Matemática Pesquisa: Revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, 23(4), 246-272.

La probabilidad en la Olimpiada Matemática Aragonesa de 2.º ESO

Sat, 01 May 2021 00:00:00 +0000

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltran-Pellicer, P. (2021). La probabilidad en la Olimpiada Matemática Aragonesa de 2.º ESO. Entorno Abierto, 40, 14-15.

Análisis de los problemas de probabilidad en las olimpiadas matemáticas

Fri, 01 Jan 2021 00:00:00 +0000

Abstract

This paper analyses the cognitive demand of mathematical, languages and procedures tasks proposed in the problems on probability in the individual tests of both the semi-final and the final in the Aragonese Mathematical Olympiad (1989-2019) and the problems carried out in the individual test of the National Mathematical Olympiad (1990-2019). The results show that all the tasks proposed in the Olympics are of a high level according to the cognitive demand model, which is suitable as a proposal for students of high mathematical ability, including tasks of the higher level according to the same model, whose resolution could become an indicator of high mathematical ability, although this analysis was not carried out in our study. On the other hand, they show the need to propose more problems in these competitions promoting the learning of probability in Secondary Education

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). Análisis de los problemas de probabilidad en las olimpiadas matemáticas. En A. Gutiérrez, M. J. Beltrán-Meneu, J. M. Ribera, R. Ramírez-Uclés, A. Jaime, E. Arbona, C. Sua, L. Rotger, C. Jiménez-Gestal, A. A. Magreñán, & A. M. Damián (Eds.), Actas de las Jornadas Internacionales de Investigación y Práctica Docente en Alta Capacidad Matemática (pp. 143-150). Universidad de La Rioja.

Una primera aproximación al análisis de vídeos educativos de estadística: El caso de la mediana

Fri, 01 Jan 2021 00:00:00 +0000

A first approach to the analysis of educational statistics videos: the case of the median

Abstract

Didactic suitability is a theoretical tool born within the ontosemiotic approach (OSA) that provides a framework for reflection on the teaching and learning processes of mathematics education. In this way, research works have been emerging on the design of activities, analysis of classroom experiences or analysis of didactic resources, among others, with many of them focusing on the field of teacher education. In this article, the authors outline the starting point of a line of work based on the analysis of online videos of specific statistical content. We pay our attention to the median, observing in the videos the same as in similar investigations: diversity of meanings, a very procedural nature and some inaccuracies.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Giacomone, B. (2021). Una primera aproximación al análisis de vídeos educativos de estadística: El caso de la mediana. Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 106, 53-61.

Decisiones, datos, gráficos y segunda temporada de Peg+Gato

Thu, 01 Oct 2020 00:00:00 +0000

Choices, data, graphs and second season of Peg+Cat

Abstract

It is time for probability and statistics. We consider again an animated series that have already been featured in our section: Peg+Gato. In this article we briefly describe the main characteristics and objectives of the teaching and learning of probability and statistics at an early age. With this in mind, we look at two episodes of Peg+Cat. One of them, dedicated to making decisions based on the data collected. On the other, bar and pie charts appear. Finally, taking advantage of the recent premiere of the second season of this series, we offer to the readers a guide to its mathematical content.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2021). Decisiones, datos, gráficos y segunda temporada de Peg+Gato. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 9(1), 31-39. https://doi.org/10.24197/edmain.1.2020.31-39

Propuestas de aplicación de indicadores de idoneidad didáctica en probabilidad y estadística: análisis de vídeos educativos

Thu, 01 Oct 2020 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Giacomone, B., & Begué, N. (2020). Propuestas de aplicación de indicadores de idoneidad didáctica en probabilidad y estadística: análisis de vídeos educativos. En C. R. Campos, A. P. Perin (Orgs.), Investigações Hispano-Brasileiras em Educação Estatística (pp. 54-59). Akademy.

Comprensión de la representatividad y variabilidad muestral por estudiantes de Educación Secundaria

Tue, 01 Sep 2020 00:00:00 +0000

A first approach to the analysis of educational statistics videos: the case of the median

Abstract

The objective of the work was to analyze the improvement with the school year of the understanding of the representativeness and sample variability in high school students. For this, we analyze the answers given by a sample of 536 students from three courses (second and fourth year of Secondary Education and second year of Baccalaureate) to a task in which four values of a binomial distribution are requested are analyzed. We analyze the average and the range of these values, which constitute a sample of four results of that distribution, comparing with the theoretical values of the sample distribution of the mean and range. The results suggest that students have a good perception of the expected value, but that the perception of variability is incorrect and does not improve with age. We also observe the equiprobability bias and the heuristic representation in a part of the students, improving the results in higher levels.

Cítese como:

Begué, N., Batanero, C., Gea, M. M., & Beltrán–Pellicer, P. (2020). Comprensión de la representatividad y variabilidad muestral por estudiantes de Educación Secundaria. Yupana, 12, 8-22. https://doi.org/10.14409/yu.v0i12.9624

Un juego que da mucho juego: pillar al tramposo

Mon, 03 Aug 2020 00:00:00 +0000

De nuevo, esto es una versión de un hilo de Twitter. Pongo esto para disculparme, en todo caso, por el estilo de escritura, adaptado a ese medio. El caso es que, en esta ocasión, me mencionó @Picanúmeros en un hilo muy interesante:

Nota: esa actividad la tenéis descrita en Por qué experimentar en probabilidad.

El tweet en cuestión era este:

En fin, que todo esto me llevó a pensar en una actividad llamada pillar al tramposo o pillar al mentiroso, que le da un giro curioso al experimento de lanzar monedas. Aprendizaje basado en juegos.

La hago habitualmente, tanto con el alumnado del máster de ESOb, como en ESO (y puede hacerse un acercamiento en primaria). Divido la clase en parejas, de forma que habrá parejas honestas y parejas tramposas.

Para ello, les entrego a todas una tarjetita de estas (las tengo plastificadas) con su rol. Os dejo el imprimible.

Dependiendo del número de alumnos, meto más o menos parejas tramposas. Funciona mejor si por lo menos hay dos tramposas. En una clase normal con unas 12 parejas, meto 3 tramposas.

¿Qué hacen las parejas honestas? Lanzar una moneda un montón de veces y anotar los resultados que van saliendo. Se anotan en bruto, sin resumir. Es decir, algo así:

CCXCCCXXCXCXXCCCCCX…

¿Cuántas veces hay que lanzarla? Cuantas más mejor, claro. Con 150 ya se pueden hacer cosas majas y se puede pillar a los tramposos, cosa que no siempre se consigue. Mejor, 200 lanzamientos. Tampoco es mucho rato, si uno lanza y otro anota en 6-7 minutillos lo tienes.

Briconsejo: que lancen las monedas sobre el cuaderno abierto. Amortigua el ruido.

Y las parejas tramposas, ¿qué hacen? Pues disimular. Tienen que hacer como que tiran las monedas, pero se tienen que inventar la secuencia. Todos saben que el objetivo del juego será pillar a las parejas tramposas.

Inciso: se puede valorar que hagan los lanzamientos en casa, pero creo que es mejor tener cierto control sobre la recogida de datos. Aunque digas que no se deben resumir… hay algunos que resumen los datos. Y entonces, mal, porque se pierde información.

Y con las secuencias “aleatorias”, empezamos con el juego y la correspondiente discusión de aula. Para ello, les digo que pongan sus nombres y que intercambien la hoja con otra pareja.

Lo primero que surge (y esto depende mucho del curso) es contar caras y cruces. vamos ¿A quién marcamos como sospechosas? Se lanza esta pregunta y se espera a ver qué dicen.

Pero la cosa es, ¿a quién marcamos?

¿A las que tienen exactamente (o muy cerca) la mitad de caras que de cruces?
¿A las que se alejan mucho?

En la discusión parece que la cosa no queda clara. Entonces, hay que buscar otra forma de pillar a los tramposos. Alguien menciona las rachas que ve en la hoja de resultados.

Entonces, se pueden contar las veces que aparece CC, XX, XC o CX. ¿Cuál es la probabilidad de aparición de cada una? Aquí conviene observar que estamos asumiendo ya un modelo probabilístico.

¿Y si miramos cómo es la longitud de la racha más larga de caras y de cruces?
¿Y si…?
¿Y si…?

En definitiva, después de llevar a cabo varios análisis. Nos intentamos poner de acuerdo en quiénes son los tramposos. Si no hay acuerdo, se les puede decir que anoten sus candidatos.

Aquí una discusión en una pizarra con N=150 (da más juego con 200). Otras veces, lo hago directamente sobre una hoja de cálculo, como he dicho antes.

Esta actividad que he contado es una adaptación del proyecto “Comprueba tus intuiciones sobre el azar”, que menciona Carmen Batanero en varias publicaciones. Por ejemplo, aquí: Batanero y Arteaga (2011). Enlace

Y aquí Gea, Fernandes, Batanero y Benavides (2016) comentan este tipo de actividad realizada con un grupo de 5º de Primaria, trabajada desde la intuición. Enlace

Algunas propuestas de aplicación de indicadores de idoneidad didáctica en probabilidad

Mon, 18 May 2020 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. y Giacomone, B. (2020). Algunas propuestas de aplicación de indicadores de idoneidad didáctica en probabilidad. En M. M. Gea. R. Álvarez-Arroyo y J.A. Garzón (Eds.), Seminario Hispano Brasileño de Educación Estadística. Granada: Grupo PAI FQM-126.

Desarrollo de la competencia didáctico-matemática en probabilidad con docentes de educación infantil a través de la adaptación y experimentación de un juego

Fri, 01 May 2020 00:00:00 +0000

Developing didactic-mathematical competence in probability with childhood education teachers through the adaptation and experimentation of a game

Abstract

We present the results obtained in a research aimed at the development of didactic-mathematical competence in probability in teachers of early childhood education. The task proposed consists of the design of a game in which decisions must be made by using informal probabilistic reasoning. The results, in particular the diversity of mathematics objects used, and the conceptual errors shown by the participants, indicate the richness of this type of tasks and the need to promote the development of this competence both in prospective teachers and in continuing education programs. In addition, this type of activity proved to be an opportunity for learning specific knowledge.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Ricart, M., & Estrada, A. (2020). Desarrollo de la competencia didáctico- matemática en probabilidad con docentes de educación infantil a través de la adaptación y experimentación de un juego. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (ALME), 33(1), 570-579.

Las medidas de dispersión con pinceladas de didáctica

Fri, 01 May 2020 00:00:00 +0000

Con este hilo sobre enseñanza de la dispersión participé en el concurso de Desgranando Ciencia 6 y luego se hizo un libro recopilatorio.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2020). Las medidas de dispersión con pinceladas de didáctica. En J. Garrido-Bautista y V. G. Tagua, Libro del I Congreso Virtual de Divulgación de Hilos de Twitter, Desgranando Ciencia 6 (pp. 87-90). Granada, España: Asociación Hablando de Ciencia.

Gol, el juego

Wed, 01 Apr 2020 00:00:00 +0000

Aquí, ayer, jugando a “Gol” con el padawan D7. Os lo cuento.

En cada turno, los jugadores eligen una carta cada uno y la revelan al mismo tiempo. Si la carta del rojo gana a la del negro, la pelota avanza hacia la portería del negro.

Una carta a otra gana a otra dependiendo de su valor. Con la excepción del as, que gana a cualquier figura y pierde contra cualquier número.

Esto es un gol. No sé si os habéis fijado, pero el tapón está decorado al detalle 😍

Este juego tan majo es de @ReinerKnizia, de su libro “New tactical games with dice and cards”. Si os pica el gusanillo, apuntároslo para cuando pase todo esto, que ahora no es momento de ir haciendo este tipo de pedidos.

En el libro describe un montón de juegos para los que únicamente hacen falta, cartas, dados y contadores. Analiza la táctica en cada uno y propone variantes. Muchos de ellos han llegado a tener sus versiones comerciales, como este “Goal” (Tor, en la versión alemana).

Hasta entonces, podéis cotillear la web de @ReinerKnizia. En su zona de descargas gratuitas ha dejado un pequeño juego (solitario) ambientado en una crisis sanitaria. A los alumnos se lo voy a pasar.

Experiencias y recursos TIC en la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad

Fri, 27 Mar 2020 00:00:00 +0000

Abstract

This article compiles and analyzes some of the existing ICT resources that can be incorporated into probability teaching and learning processes. A bibliographic review is made from which new features are presented that concern the technological issue and that have led to the emergence of certain resources that facilitate the negotiation of meanings in the classroom. In this way, in addition to the power offered by the simulation to systematically explore modeling and extend the number of repetitions of the experiments, we will see that didactic sequences can be raised that generate classroom dynamics that favor the use of language and that allow to put into play stochastic reasoning.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Begué, N., & Roldán López de Hierro, A. F. (2020). Experiencias y recursos TIC en la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad. Investigación en Entornos Tecnológicos en Educación Matemática, 1, 15-22. https://doi.org/10.7203/ietem.1.16287

La sección del NY Times sobre gráficos: What's going on in this graph?

Fri, 13 Mar 2020 00:00:00 +0000

Hoy hemos comentado esta gráfica sobre el coronavirus (COVID-19) de la sección What’s going on in this graph? del @nytimes, en 1º y 2º ESO. Enlace aquí

Ha dado para un rato majo. En la misma página dan ideas para fomentar la discusión. Ha resultado interesante ver qué significaba cada eje, hablar del porqué de ese rectángulo para el COVID-19, etc.

Nos ha pillado viendo proporcionalidad, así que contento también con que haya salido que el eje vertical “no es proporcional”.

Es muy recomendable echar un ojo a la sección, que como actividad de calentamiento dan mucho juego.

También tienen lesson plans específicos para matemáticas.

Technology as a tool to understand sampling in binomial distributions

Wed, 01 Jan 2020 00:00:00 +0000

Résumé

Dans cet article, nous décrivons certaines erreurs récurrentes liées au travail sur les distributions d’échantillonnage, un sujet obligatoire en Espagne pour les lycéens. Nous suggérons en outre comment simuler la distribution d’échantillonnage pour la moyenne et la gamme d’échantillons prélevés à partir de la distribution binomiale, à l’aide du logiciel Fathom. Les élèves peuvent donc étudier ces simulations avec différentes valeurs des paramètres de la distribution binomiale et différentes tailles d’échantillons pour comprendre les propriétés de représentativité et de variabilité de la distribution d’échantillonnage et pour distinguer les trois types de distributions impliqués dans l’échantillonnage.

Cítese como:

Begué, N., Batanero, C., Gea, M. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2020). Technology as a tool to understand sampling in binomial distributions. Quaderni Di Ricerca in Didattica, 7, 579-584.

Enlace a la revista

Unas jugadoras de basket no tan parecidas (enseñanza de la dispersión)

Sun, 10 Nov 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Partido de basket. Queda un minuto y el entrenador tiene que decidir a qué jugadora sacar. ¿A quién elegirá?

Si va perdiendo de 8 puntos.
Si va ganando de 2 puntos.

Dentro hilo con secuencia de aula sobre dispersión con pinceladas de didáctica de las matemáticas.

Con este hilo participo en el #HilosDC6.

Esto de la dispersión nos servirá como excusa para diferenciar una enseñanza para la resolución de problemas de una enseñanza a través de la resolución de problemas. Y esto sirve tanto para primaria como para secundaria.

Por ubicarnos, las medidas de dispersión aparecen como contenido curricular por primera vez en 2º ESO (13-14 años). Luego hablaremos sobre currículo, libros de texto y otras cosas del montón. Ahora, me centraré en presentar la secuencia de aula

A ver si vais a pensar que soy super original. No. Esta actividad que voy a contar está sacada prácticamente tal cual de la Guía Praxis, que fue coordinada por Carmen Azcárate y Jordi Deulofeu. Lo que he hecho simplemente es darle una razón de ser con las preguntas iniciales.

¿Se podría decir que es innovación? Yo creo que sí, aunque tiene tela decir que sigue siendo innovación algo sacado de una guía de finales de los 90. Pero es que queda mucho por hacer. Y vamos a usarla también para hablar de resultados de investigación.

Esto lo he hecho este curso en una clase de 2º ESO donde ya empiezan a estar habituados a trabajar A TRAVÉS de la resolución de problemas. Lo ideal aquí es tener al alumnado en parejas o grupos de hasta cuatro.

Luego profundizaré en eso de A TRAVÉS y las alternativas que hay. De momento, basta decir que se trata de presentar tareas (situaciones-problema) al alumnado, de manera que los contenidos emerjan conforme se avanza.

Podría decirse que es una enseñanza de descubrimiento guiado. Ello no implica dejar a los alumnos solos, sino que se para la clase cada cierto tiempo para hacer puestas en común y que el profesor negocie los significados de los objetos matemáticos que van apareciendo.

La tarea que va a motivar todo es la del primer tweet. Es una decisión que debe tomarse considerando los datos disponibles. ¿Sacamos al mismo tipo de jugadora cuando vamos ganando por poco que cuando el partido está prácticamente perdido, pero con alguna posibilidad de ganar?

¿Y qué datos son esos? Nada más que el porcentaje de aciertos de tiro exterior de cinco jugadoras durante los últimos diez partidos. Es decir, esta tabla. ¡Cuánto número! Algo habrá que hacer…

Aquí se puede mencionar cómo ha cambiado el baloncesto en los últimos años, y por qué equipos como los Golden State Warriors tiran tantos triples (y les ha ido bastante bien).

Primera pregunta, para entrar en calor y ver que hemos entendido el contexto. Y que va a tener miga. ¿En qué partidos consigue Alba un % por encima de sus compañeras? ¿Solo en los que sea la mejor de todas? ¿O en los que esté por encima de la media?

Ya que hablamos de la media, ahora vamos a calcular la media de los porcentajes de acierto para cada jugadora. ¿Qué observamos? Pues que todas las jugadoras… ¡tienen la misma media!

¿Qué hacer? El entrenador está en un aprieto… Ya que tenemos datos, vamos a tratar de representarlos gráficamente, a ver si con eso podemos decir algo. Se les proporciona a los alumnos el diagrama de puntos de una jugadora y se les deja trabajar y discutir a qué jugadora sacar.

Resulta que visualmente no se aprecia cuál es más regular, más fiable. En la puesta en común unos grupos defienden a Clara, otros a Sonia… Seguimos necesitando algo más.

En estas puestas en común a veces pasan cosas maravillosas. En un grupo decidieron emplear un código de colores y mostrar a todas las jugadoras en el mismo diagrama de puntos. Discutimos sobre si es más adecuado o no. Parece que se ve más claro por separado.

Sin embargo, tiene la ventaja de que te asegura la misma escala para todas las jugadoras. También, que los diagramas estén alineados para facilitar la inspección visual. En la foto vemos este error de representación.

Vamos ahora a medir, esto es, a asignar un número a cada jugadora, a cada uno de los diagramas de puntos. Lo más fácil es calcular la anchura. Esto se llama rango. ¡Todas lo tienen muy parecido! María, quizás, un poco más alto…

Pero… ¿qué pasaría con una jugadora que durante 8 días encestase el 58% de los tiros, pero un día le saliese malo y tuviese un 31% y otro día hiciese un gran partido con un 75% de acierto? ¿Cuál es su rango? ¿Su diagrama de puntos? ¿Es más o menos fiable que las anteriores?

Si lo comparamos con el de Sonia, por ejemplo, vemos que el de la nueva jugadora está mucho más concentrado en torno a la media, salvo esas dos excepciones. El de Sonia está más extendido. Atención a los gestos que hacen las jugadoras en los gifs.

Está claro entonces que el rango se queda corto y que necesitamos una medida mejor de la dispersión. No puede ser que una jugadora que tenga un rango de casi el doble sea más regular, fiable, menos dispersa. El rango, como medida, es una castaña.

El lenguaje, en sentido amplio, no solo verbal, es un elemento muy importante en todos los marcos teóricos en didáctica de la matemática. La articulación de diferentes registros y representaciones lingüísticos (verbal, gráfico, simbólico…) en indicador de una alta idoneidad.

Los gestos no son una excepción y son parte de la actividad. Abriendo o cerrando los brazos, como en los dibujines, damos una idea de rango y dispersión. De hecho, los gestos ocupan un lugar de privilegio en enfoques teóricos como el Semiotic Bundle.

A lo que íbamos, necesitamos algo mejor que el rango. Así que planteamos medir las desviaciones de cada jugadora respecto a la media. Sin embargo, al sumarlas ocurre algo ¿inesperado?

Digo que puede ser inesperado si no se trabajan las propiedades de la media en 1º ESO o antes de esta secuencia. En 1º hemos visto cómo hacer un diagrama de barras buscando cierta media. Es el principio de las gallinas que entran por las que salen.

«Un anuncio de cajas de cerillas indica que el número medio de cerillas por caja es 35. Representa una gráfica de una posible distribución del número de cerillas en 10 cajas, de modo que la media sea igual a 35»

«La altura media de los alumnos de un colegio es 1,40. Si extraemos una muestra aleatoria de 5 estudiantes y resulta que la altura de los 4 primeros es de 1,38, 1,42, 1,60, 1,40. ¿Cuál sería la altura más probable del quinto estudiante?»

Estas dos últimas actividades se han seleccionado de los apuntes de Análisis de datos y su didáctica, de Batanero y Godino. En esta referencia se muestran tipos de actividades para englobar las diferentes propiedades de la media.

Por cierto, estas capturas las estoy tomando con un visor de documentos. Desde que vi los tweets de @followero al respecto no hago más que verle potencial. Así puedo mostrar la producción de un alumno a todos y corregirla en vivo, o explicar sobre mi cuaderno, entre otras cosas.

Volviendo al lío. La suma de las diferencias respecto de la media sale cero para cualquiera de las jugadoras. Es una propiedad de la media. Tiene sentido, pues, considerar la distancia a la media. Y hacer un promedio de estas. Así obtenemos la desviación media para cada jugadora.

Si ordenamos a las jugadoras de esta manera vemos que la menos regular es María (DM=7,8), y que las más regulares (menos dispersas) son Sonia y Clara (DM=5,4). En la puesta en común hablamos de qué significan ese 7,8 y esos 5,4.

Ahora consideramos el caso de una jugadora, Berta, que ha estado lesionada durante 2 partidos. Durante los otros 8 partidos ha acumulado una cantidad de dispersión de 67. ¿Es más regular que María?

Ninguna tarea está puesta al azar. Si dividimos 67 entre 10, obtendríamos una DM de 6,7, concluyendo que es más fiable Berta. Ahora, ¿hemos tenido en cuenta que no ha jugado dos partidos?

Ah, es que habrá que dividir para 8, ¿no?
Entonces sale… 8,375, no es nada regular.

Y llegamos a la varianza. A los alumnos les hace gracia esta palabra.

Sí, varianza. Con zzzzeta.

Toca proponer considerar los cuadrados de las desviaciones, como otra estrategia. Es un punto que, de entrada, puede parecer tener poco sentido, si ya tenemos la desviación media.

Sí, aparece un poco forzado, pero tiene alguna ventaja. Como que los datos que se alejen más de la media van a tener un peso algo mayor en la medida de la dispersión. En nuestro ejemplo, nos ayudan a desempatar entre Sonia y Clara como jugadoras más fiables.

La más regular, la menos dispersa, es Clara. A la hora de interpretar esa varianza de 49 y pico, ¿qué? Al ser desviaciones al cuadrado no podemos decir que lo normal es que se desvíe 49 de la media de acierto. Por eso hacemos la raíz cuadrada para obtener la desviación típica.

Algunos alumnos se apuntan que anulamos el “efecto de elevar al cuadrado”. Señales de que vamos bien son:

Oye… ¿qué es la dispersión? ¿La varianza?
¿No lo sabes? Si llevamos tres días con esto la dispersión.
Ya…, pero no sé si es la varianza o la desviación típica.

Toca otra puesta en común. Se suelen reservar momentos para ello, pero si surge algo interesante, es el docente el que decide parar la actividad. Podemos decir que la dispersión es lo concentrados o alejados que están los datos respecto de la media (recordamos los gestos).

Una cosa distinta es cómo midamos esas dispersión. De hecho, al principio lo hemos hecho sin medir, de forma visual con los diagramas de puntos. Luego, hemos medido el rango, que no vale para mucho. Después, la desviación media, la varianza y la desviación típica.

Entonces… ¿a quién elegimos si queda un minuto y ganamos de 2 puntos? A la más fiable, claro, no queremos pifiarla. El entrenador tiene que sacar a Sonia.

Pero… ¿si vamos perdiendo de 8 puntos? Necesitamos un milagro, no vale con no pifiarla. Sacaremos a María, que teniendo la misma media que Sonia, es mucho más irregular. ¡Le puede salir uno de esos partidos en que mete todo!

O también puede que no. Sin embargo, habremos tomado la decisión adecuada.

Aclaración: los enunciados de todas estas tareas se les dan fotocopiados a los alumnos, que los pegan en el cuaderno.

Estuvimos prácticamente tres días con este problema. Finalmente, la secuencia culmina con un par de actividades de práctica. En el examen, los alumnos se enfrentaron a un problema similar. En una competición de natación, tenemos que elegir al cuarto relevista.

Decía que lo todo esto es enseñanza A TRAVÉS de la resolución de problemas (RP). Si remarco el A TRAVÉS, será que hay otra cosa, ¿no? Porque todos estamos de acuerdo en que la RP es lo más importante, pero hay varias tendencias. Gaulin lo describe bien.

Podemos enseñar SOBRE RP; es decir, técnicas y estrategias, con problemas que tampoco tienen por qué estar muy ligados a ningún contenido. Sin embargo, la alternativa opuesta a la actividad comentada se ubicaría en la enseñanza PARA la resolución de problemas.

Los puntos, en orden, que sigue una secuencia PARA la RP son:

1- Esto se hace así. 2- Ejercicios sin contexto. 3- Ejercicios con contexto, pero les llamamos “problemas”. 4- Con suerte, en una secuencia PARA la RP se proponen problemas de aplicación interesantes.

Nada más sencillo que tomar un libro de texto para comprobar esa secuencia. En la mesa tengo un bestseller de 2º de la ESO donde se identifican los tres primeros puntos. El cuarto, ni está ni se le espera.

Los autores parecen ser conscientes de la pérdida de tiempo que supone todo esto. En el margen: no te preocupes, ahora haz, que ya si eso, el curso que viene, los dominarás.

Este gif es por el tweet de antes. No, no los dominarán. He visto alumnado de bachillerato con dificultades enormes para distinguir las medidas estadísticas obtenidas de una tabla de frecuencias de los parámetros de una distribución.

Y alumnado que solo ha llegado a la varianza a partir de la tabla de frecuencias, con el xi^2fi^2. OMG. ¿Estamos locos? Que sí, que son menos cuentas, pero para llegar a esa fórmula coges un atajo de los gordos. Y en educación matemática, lo interesante suele estar en el camino.

Para llegar a esa fórmula se realizan ciertas manipulaciones algebraicas, utilizando propiedades nada triviales de la varianza y la esperanza. Que a veces se nos olvida la O de la ESO. Que tenemos que intentar, como docentes, que cada alumno alcance su máximo potencial.

Añadiendo de entrada una carga simbólica innecesaria para mostrar la idea de dispersión, nos estamos dejando atrás a muchos alumnos. Y casi todos los que consiguen sobrellevar con “éxito” la secuencia, habrán aprendido unas reglas y poco más.

Bromas aparte, algo bueno es que el libro presenta la desviación media. Visto el currículo, peor habría sido ver el rango porque sí y a otra cosa, que es lo que especifica al concretar los estándares de aprendizaje evaluables. El cómo lo hace es otra historia.

Todo mi respeto por los autores de los libros de texto. Entiendo que lo normal será estar condicionado por una línea editorial, restricciones en número de páginas y otros factores que desconozco.

¿La comprensión de la dispersión mejora con la mera repetición de ejercicios? No. Desde la didáctica de la matemática hay herramientas que permiten analizar la idoneidad de secuencias de enseñanza y aprendizaje y reflexionar sistemáticamente sobre ellas.

Indicadores de una elevada idoneidad a nivel de contenidos, sin entrar mucho en detalle: muestra representativa de situaciones-problema, articulación de diferentes registros y representaciones lingüísticas (verbal, gráfico, simbólico, etc.), modelización, problematización, …

Precisamente, en el último número de AIEM (revista de la @_seiem) hay un artículo que analiza la enseñanza de las medidas de dispersión en libros de texto de educación secundaria (3º y 4º ESO). Los resultados señalan las carencias de los libros de texto.

Hemos hablado sobre libros de texto. Son un recurso más y su uso depende de la competencia profesional del docente. Faltaría más. Sin embargo, marcan mucho el camino a seguir. Demasiado. Tanto, que algunos autores hablan de ellos como el currículo de facto. Y eso no puede ser.

Si ponemos el piloto automático con el libro, por comodidad, o porque nos empujan a ello las políticas educativas (horas lectivas, ratios, falta de formación en didáctica específica), hemos de ser conscientes de la escasa idoneidad del proceso de enseñanza y aprendizaje.

La enseñanza a través de la RP es rica, exigente y apasionante. Todo parece indicar su gran potencial, pero sigue siendo una línea abierta de investigación. Los dibujines y los gifs corren a cuenta de mi hermanita @creacionesbjara. ¿A que son geniales? 🔚

¿Por qué experimentar en probabilidad?

Sat, 09 Nov 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

¿Por qué es necesaria la experimentación (guiada) en el aprendizaje de la probabilidad?, dices mientras lanzas con ingenuidad ese dado de papel. ¿Por qué es necesaria?, ¿y tú me lo preguntas? … Dentro hilo (cuento la secuencia 1º/2º ESO)

Si me seguís, puede que sepáis que habíamos empezado por probabilidad en 1º y 2º ESO. Salvo pequeñas variaciones entre grupos, que ya sabemos que cada uno es un mundo y los profesores tenemos algo de ingenieros (o artistas) en ese sentido, la secuencia es la misma para todos.

El primer día, bueno, la presentación y esa actividad que me he acostumbrado a plantear para ir conociendo a cada clase, su cultura de aula, etc. Básicamente se pregunta: “qué sabes de matemáticas” e “inventa un problema”. Aquí enlace para saber más.

Hubo que tirar mucho de ellos para que pusieran algo de estadística y probabilidad. La geometría no creáis que salía mucho mejor parada… Además, el concepto que tenían de problema no se alejaba mucho del de ejercicio, y siempre eran problemas de situaciones aditivas.

Dedicamos tres semanas a probabilidad. Incluyendo la presentación y un examen de cuaderno, así como actividades de conteo con diagrama de árbol que son también del bloque de números. Estadística han sido dos semanas, pero dedicaremos otro hilo a ello.

¿Os acordáis de la #DidMatCita sobre qué pasa si vamos con un enfoque a través de la resolución de problemas (RP) a una clase con una cultura de aula diferente? Bien, pues el trabajo por parejas o pequeños grupos ya choca.

Lo primero: cada grupo (de 3 o 4) tuvo que construir un dado de papel. Fácil, con el módulo sonobe de origami. Se aprovecha para hablar sobre geometría. En el paso 6, “¿qué figura es esta?”. O, “ahora plegamos por la bisectriz”. Todo esto también da información al profesor.

Una vez con el dado, cada grupo lo prueba con el clásico juego de la carrera de coches o caballos. Es decir, apuestan por un número, indicando la razón de su elección (importante esto), y luego juegan. Si hay números no elegidos son PNJ (Personajes No Jugadores) o el “ordenador”.

Las razones de su elección, que a nosotros nos pueden parecer ingenuas, son sus significados personales. Algunos elegían el 3 o el 4 porque no eran números del medio, ni muy altos ni muy bajos. En 1º, muy pocos dijeron que daba igual. En 2º, hubo más.

Ahora, esto es un dado de papel hecho de aquellas maneras (a la foto me remito). A priori, por desconocimiento, la respuesta correcta es la de que da igual. Pero después de jugar, algunos grupos tienen gráficas como estas.

A los de la de colorines. Ahora, ¿qué número creéis que ganará? ¿Da igual? A los de la otra, con estos datos, ¿por cuáles no apostaríais? Con esto entramos no con el significado clásico (regla de Laplace) sino con el frecuencial. Y los vamos a ir conectando.

A nivel de contenidos la justificación de realizar esta actividad está clara. Pego aquí lo que tenemos de currículo para el bloque de probabilidad. Desde la didáctica, también, puesto que tratamos de evitar el sesgo de equiprobabilidad, entre otras cosas.

El bloque 1 no lo he pegado porque tendría que haberlo puesto casi entero 😉. Venga, va, que sí, que lo pego. Hay reflexión sobre lo hecho, actitudes personales hacia el quehacer matemático, modelización matemática, investigaciones…

Esta actividad continúa con una pequeña variante. Vamos a trucar el dado para que salga casi siempre “5”. Ahí que los tienes, dándole vueltas al coco. Esto enseguida les sale, poniendo un peso en la cara contraria. Algunos ponen una goma de borrar pegada con celo 😱.

Otros años he planteado actividades similares, incidiendo en lo mismo. Aquí describo una cosilla que hice con la impresora 3D ( enlace aquí)

Se aprovecha para preguntar cómo son los dados comerciales y por qué. Las caras opuestas siempre suman 7. Será por algo, ¿no? Hacemos algún dibujillo de dados irreales en ese sentido.

Después, vamos con el juego que, tal como lo encontré en su día, conozco con el nombre de Beano, aunque hay más variantes. Se dan doce fichas (judías, tapones…) y los jugadores las distribuyen por el tablero.

Se tiran los dados y se suman los resultados. Entonces, cada jugador retira UNA ficha de SU tablero de ese número en cuestión. Si sale el 8, todos retiran una ficha que tengan en el 8. Primero, juegan, sin más. Y sí, el 1 está puesto a propósito.

Hay muchos alumnos, más en 1º que en 2º, pero siempre ocurre, que ponen fichas en el uno. Y aquí es un ejemplo de suceso imposible (luego ponemos nombre a los objetos matemáticos, pero primero dejamos que aparezcan). La primera partida tienden a extenderlos.

En la segunda, sin tomar datos ni nada, se dan cuenta de que algo pasa. Pero ojo, ¡no es evidente! Es muy común que digan que los números altos salen más. Aunque hay algunos que ya se van oliendo la tostada y perciben que son los del medio. Te encuentras cosas así:

Ahora sí, ahora es cuando se analiza teóricamente lo que está pasando. ¡Hay sumas que salen más! Hay grupos donde cuesta más ver que hay 36 resultados posibles y, además de contarlos en la tabla, hacemos un diagrama de árbol. Si no, los árboles saldrán más adelante.

Después de esto puede ser un momento (o en otra actividad posterior) para nombrar y enunciar la regla de Laplace, que salvo lo de Laplace, es algo que han descubierto ellos. En 1º me basta con que me digan que la probabilidad del 7 es 6 de 36.

Quiero decir, que aunque lo introduzco de pasada, no enfatizo apenas la notación P(7)=6/36. Ese P(7), en el fondo, es lenguaje de funciones. Si entramos directamente con la regla de Laplace enunciada así, añadimos una capa de abstracción simbólica innecesaria.

Es importante que quede reflejado el proceso. Por eso, aquí se plantean estas preguntas:

(Nota: el próximo año llamaré al juego TAPONING en lugar de BEANO! y me evitaré la pregunta de por qué se llama así 😊.)

TO BE CONTINUED… Me falta hablar de ruletas, chinchetas, Numb3rs y del tiempo atmosférico. Y del examen de cuaderno que hicimos sobre esto. Pero también me falta tiempo 🤣

Sigamos. Antes de ello, hay quien me ha preguntado si esto vale para primaria. Nada más hacer el hilo, me he auto-retuiteado comentando que muchos de los elementos son válidos para EP. Deseables. Lo del dado de papel lo he hecho como taller en 3º-6º de EP.

En la secuencia hay que meter situaciones donde la regla de Laplace no se pueda aplicar. Por eso ahora viene una actividad con chinchetas. Son dos resultados posibles, o con la punta hacia arriba o tumbadas. La aplicación, sin razonamiento, de Laplace nos diría que es 1/2.

Pues esto lo probamos en clase. Doy a cada grupo un vaso con 10 chinchetas y a probar 10 lanzamientos. Luego, acumulamos el de todos los grupos, con lo que en pocos minutos te juntas con 600 repeticiones. ¡Anda! No se cumple Laplace. Sale un 70-30.

Importante. Antes de empezar tenían que expresar su creencia (subjetiva). Había de todo, desde los que decían que siempre tumbados, hasta los que razonaban que como el culo pesa más, caerían más veces hacia arriba. Otros, con el mismo motivo, decían que no, que tumbadas.

Después, a por las ruletas. En algunas clases no dio tiempo a hacer la experimentación física, que habría sido lo mejor, y fuimos directamente a la experimentación por simulación. Lo mejor, las dos cosas. Ya os decía que había diferencias entre grupos de clase. Pues eso.

Se trata de diseñar una ruleta (se juega con un clip y un boli) de manera que si juegas y eliges primero, tengas mayor probabilidad de ganar que el otro. La imagen de esa ruleta contiene una imprecisión, habla de mayor posibilidad (esto lo veremos después).

Lo mismo. Dejamos que expresen su intuición y luego contrastamos. Tampoco vamos a hacer un montón de repeticiones, que ya saben de qué va esto. Y haremos una simulación en el ordenador a la vista de todos.

Proponemos el Beano! pero con dos ruletas, como ejercicio. Esto solo lo comento brevemente, incidiendo en que este tipo de cosas se preguntan en el examen de cuaderno. Al día siguiente, alguien pregunta y discutimos sobre ello. También, jugar a mirar la resta en lugar de la suma.

El enlace de las simulaciones de las ruletas es este: https://nrich.maths.org/6123. @nrichmaths es lo más, ¿lo había dicho? El enlace lo tienen a su disposición, además de haberlo probado en clase.

Vamos con una actividad que está sacada, prácticamente tal cual, del librito de @edsintesis de Godino, Batanero y Cañizares. Hay que ordenar palabras, asignarles un número entre 0 y 1 y… bueno, me dicen que esto es Mates, no Lengua. De nuevo, choca con la “cultura de aula”.

Y ahí que estuvimos un rato discutiendo. Primero en pequeño grupo y después en común. Incierto no es imposible, no. Es todo lo que no es cierto. Y no se tiene mayor o menor posibilidad. Nos salió algo así:

En algunos grupos me puede detener y enseñar esta entrada de @benorlin (soy muy fan, lo sé), donde sale la escala usual de probabilidad, y la probabilidad entendida desde el punto de vista de varias profesiones. Y tal como la entiende Han Solo…

Para completar la cuestión de lenguaje e introducir un tipo de actividad que usaremos mucho, trabajamos este WODB (no dio tiempo en todos grupos, es una pena, sí). Hay que ver cuál es el que no encaja. Y la cosa es que hay que encontrar al menos una razón para cada uno.

Esto de la WODB lo tenemos publicado en las actas del último simposio de la @_SEIEM @xxiiiseiem2019. Lo presentó maravillosamente Maria Ricart. Aquí enlace al pdf.

Continuamos con la idea de juego justo, que ya habíamos introducido con lo de las ruletas. Aquí sí que vale la regla de Laplace.

Y terminamos con tareas varias y diagramas de árbol para contar. Esto último ya había aparecido como herramienta en alguna clase donde no quedaba claro el 36 aquel de los posibles resultados al sumar los dos dados.

Y aquí se me acaba el rollo. En 2º se ha hecho lo mismo que en 1º porque el curso pasado no vieron probabilidad tan apenas. Como he dicho, también hay pequeñas variaciones entre clases, que cada una es un mundo.

Este modo de trabajar choca con la cultura de aula. Tienen que pensar, ya habéis visto que a su nivel, y escribir. Y luego razonar. Decía en un tuit que un alumno me pidió, literalmente, hojas de multiplicaciones. Que más de esto no, por favor.

En esas estamos. El trabajo en grupos de 3 o 4 es lo mejor, porque permite irte pasando y controlar de forma más cómoda a todos. Pero hay clases (en este caso una) que me estoy planteando pasar a trabajo por parejas, porque no encuentro solución al tetris.

Y luego está lo del cuaderno. Lo examinamos con examen de cuaderno, donde van tanto preguntas sobre cosas que tienen que estar tal cual, como preguntas que son parecidas a las hechas en clase o las propuestas como ejercicio.

Hubo notas altas y notas bajas. Eso, como siempre, claro. Que a ver si nos vamos a pensar que esta propuesta genera matemáticos en potencia. No. Se trata de dar una respuesta inclusiva para todos y procurar explotar el máximo desarrollo de cada uno.

La cuestión es que entre las notas bajas encontramos alumnos que todavía tienen un desastre de cuaderno (iremos trabajando en ello) como otro perfil que, teniéndolo bonito y completo, está claro que no le sirve como herramienta (también trabajaremos en ello).

Lo del cuaderno es un tema interesante que trataremos otro día. Como aperitivo, os dejo con el enlace de la ponencia del otro día de @Matias_ArceSan en el seminario del @iuma_unizar @dm_unizar en la @FacultadEducaUZ y que hemos subido al canal del grupo: enlace al vídeo

En el turno de preguntas se planteó el dilema. Se piden en 1º y 2º, se corrigen (eventualmente con rúbricas, completitud, organización, …). Luego, en 3º y 4º muchas veces no se piden, creyendo que son autónomos y saben usarlos. ¿Se ha fomentando el trabajo de cuaderno adecuado?

De momento voy a dejarlo aquí, que ya me estoy yendo por las ramas. Feliz clase para todos y enhorabuena si has llegado hasta aquí.

Si te interesan más hilos como este, los voy guardando en mi perfil de Twitter. También intento ponerlos en mi web.

Quiero dar las gracias a mi compañera de no departamento (sic), Ana, porque estar alineados en el mismo enfoque es algo genial. Y sus aportaciones, siempre valiosas.

¡Pero si me había dejado de comentar una de mis actividades favoritas en la secuencia de probabilidad! #AcRiMates La cuento rápido. 👇🏻

Necesito que quitéis todo de la mesa y saquéis 16 objetos. Pueden ser 16 trocitos o gurruños de papel (me olvidé de llevar ese día los tapones del juego de Beano! 🤦🏻‍♂️). ¿Ya los tenéis?

Ahora vamos a colocarlos de forma aleatoria, al azar, sobre la mesa.

Ahora es cuando vemos el fragmento del primer episodio de la serie Numb3rs. Se hace una breve introducción, contando que son dos hermanos, uno que trabaja en el FBI y que pide ayuda a su hermano, que es matemático. ¡Prohibido tocar los trozos de papel!

Conforme ven el vídeo, ya se van dando cuenta de cómo han colocado ellos los trocitos de papel. La gran mayoría, así:

Claro, son alumnos que los han puesto y los han ido colocando, dejando huecos con una regularidad bastante acusada. ¿Es una configuración posible? Sí, pero muy improbable. Lo más probable es que hubiese amontonamientos, como señala Charlie Eppes.

Esta vez, creo que de 21 alumnos, solo dos hicieron algo así. Que básicamente consiste en dejarlos caer desde cierta altura. O en no toquetearlos demasiado.

Las imágenes son de una clase de 2º ESO. En 1ºESO, más de lo mismo. Pero no creáis que por ser mayorcitos nos salvamos de estos sesgos, que esto lo he hecho con alumnado de máster y también se detecta este fenómeno.

Se enmarca en la distinción de fenómenos aleatorios y deterministas, aunque sobre todo es un primer paso hacia la aceptación de aleatoriedad como modelo matemático. Se distingue entre el proceso de generación (el experimento, colocar los objetos) y el patrón obtenido.

Si alguien quiere profundizar un poquito, Carmen Batanero abordaba estas cosas en las JAEM de 2001.

Como dije en el hilo de la secuencia completa, algunas actividades no pude hacerlas en todos los grupos 😢. Aunque esto es una actividad rica y no lleva mucho tiempo, suma, y debido a ratios o falta de recursos de atención a ACNEAE (apoyos en el aula, …) no pude encajarla.

Dados griegos, sesgos de razonamiento probabilístico y actividad de modelado en 3D

Sun, 04 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Estos dados griegos (s. V-IV aC) de la exposición del CaixaForum en Zaragoza me recuerdan mucho a los que diseñaron algunos de mis alumnos de 2ºESO de Matemáticas cuando les propuse diseñar, imprimir en 3D y probar un dado impresión3D. Dentro hilo.

La consigna de la actividad fue: diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade 0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados.

Conste que diseñar un dado no es nada fácil. No hay más que pasarse por esta discusión en thingiverse.

Una vez diseñado el dado les preguntaba

¿Es este el dado que diseñaste? ¿Te gusta cómo ha quedado?
¿Lo usarías para jugar a algún juego de mesa?
¿Cómo sabrías si es un buen dado? ¿Hacemos la prueba?

Ningún alumno vio nada raro en su dado que le llevase a pensar que no fueran adecuados para ser utilizados en algún juego. Pero prácticamente todos tenían graves sesgos. Por ejemplo:

No retiraban la misma cantidad de material en todas las caras.
Parecido si en lugar de retirar material, se añade (lo que ya es raro de por sí)
No se tiene en cuenta que la suma de las puntuaciones de las caras debería sumar 7 para facilitar el equilibrado, si se hace con puntitos (tiene que ver con el error de tipo 1)
No se centran o alinean los puntos de cada cara, lo cual influye también en la distribución de masa del dado.
El dado no presenta las mismas dimensiones en todas sus caras.

El dado griego chiquitín es un claro error de tipo 5 (cogerían la piedra o el hueso que les viniera bien). Y el grandote es un intento de cubo con esquinas muy pronunciadas, que apenas rodaría. Lo otro es una canica 😊

No es fácil diseñar un dado. Los sesgos vistos con el alumnado de 2º de ESO en esta experiencia son los mismos que los de los artesanos griegos de hace más de 2400 años.

No es fácil tampoco el aprendizaje de la #probabilidad. Hay multitud de investigaciones que muestran los sesgos de razonamiento tanto en edad escolar como adulta. Es necesario plantear experiencias de aula y reflexionar sobre lo que está pasando.

Es una pena que muchas veces sea lo primero en caerse porque no da tiempo. Históricamente, esta rama tan “fácil” no empezó a estudiarse en condiciones hasta el siglo XVI (Cardano) y XVII (Pascal y Fermat). Vaya trío de ases.

Si has llegado hasta aquí y te interesa saber más sobre la experiencia de #impresión3D del dado, la describí en thalesepsilon

¡Saludos y feliz clase!

An experience of training teachers to use technology in correlation and regression

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Gea, M. M., Batanero, C., Arteaga, P., & Beltrán-Pellicer, P. (2018). Technological tools in the training of teachers: an experience in the topic of correlation and regression. INTED2018 Proceedings, pp. 2802-2807. doi: 10.21125/inted.2018.0527.

Una experiencia sobre el diseño de juegos como recurso para desarrollar la competencia didáctico-matemática en probabilidad con docentes de infantil y primaria

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Ricart, M., & Estrada, A. (2019). Una experiencia sobre el diseño de juegos como recurso para desarrollar la competencia didáctico-matemática en probabilidad con docentes de infantil y primaria. En J. M. Contreras, M. M. Gea, M. M. López-Martín y E. Molina-Portillo (Eds.), Actas del Tercer Congreso Internacional Virtual de Educación Estadística. Disponible en www.ugr.es/local/fqm126/civeest.html

Un juego muy aleatorio: Virus

Sun, 19 Aug 2018 00:00:00 +0000

Dije en Twitter que haría reseña de Virus!, así que allá va. Intentaré decir algo, como siempre que comento algún juego, sobre sus posibilidades didácticas, recordando que para pasar un buen rato no hace falta instrumentalizar ningún juego.

Es un juego de cartas de 2 a 6 jugadores, y en la cajita pone que la edad recomendada es a partir de 8 años. En esto me permito discrepar frontalmente. Como veremos, es un juego muy, pero que muy fácil de explicar. Vale que mis sujetos de experimentación no sean muy representativos, pero yo diría que a partir de 4 años se puede jugar sin problemas. En la cajita también pone que la duración de cada partida es de unos 20 minutos. Nuestras partidas han sido de 2-4 jugadores, y no han pasado de 10 minutos en ninguna ocasión. Sin embargo, es posible que con más jugadores jugando a malmeter (que realmente es de lo que consiste este juego), puedan alargarse algo más.

¿De qué va el juego?

La cajita viene con dos espacios para meter las 68 cartas (y dos adicionales para inventar nuevas reglas). Las cartas se clasifican en:

Órganos
Virus
Medicinas
Tratamientos

Por si los estupendos dibujos de las cartas no lo dejan claro, todas estas cartas vienen con un símbolo en la esquina superior izquierda para distinguir su tipo: un corazoncito, una especie de virus, una píldora y una cruz.

Hay cuatro colores para los órganos, los virus y las medicinas; rojo para el corazón, azul para el cerebro, amarillo para los huesos y verde para el estómago. Y también hay un órgano multicolor, que funciona como comodín.
Al principio de la partida se baraja el mazo y se reparten 3 cartas a cada jugador. En cada turno se elige entre jugar una carta o descartarse de las que se quiera. Después, se roba del mazo para volver a tener 3 cartas al finalizar el turno. Para jugar una carta lo que se hace es colocarla o bien enfrente tuyo (órganos o medicinas sobre estos) o bien enfrente de otro jugador (virus sobre los órganos de los demás). Gana el jugador que consigue tener cuatro órganos sanos (sin virus). Hay que tener en cuenta que los virus de un color determinado solo pueden atacar a órganos de ese color, mientras que las medicinas de un color en concreto solo pueden sanar, vacunar o inmunizar órganos de ese color. Por otro lado, sobre el órgano multicolor puede actuar cualquier virus y cualquier medicina. Una medicina puede curar una enfermedad (retirar una carta de virus sobre un órgano), vacunar (esta carta de medicina se podrá quitar con un virus a posteriori) o inmunizar (si se consiguen poner dos cartas de medicina sobre un órgano).

Falta por contar qué hacen las cartas de tratamiento. Junto con los virus, son las que se utilizan para fastidiar a los demás jugadores. Está el ladrón de órganos, para quitarle un órgano no inmunizado a otro jugador y quedártelo tú; el transplante, para intercambiar órganos; el *contagio, *coloquialmente conocido como ¡achís! o ¡achú! y que sirve para pasar los virus de tus órganos a otros jugadores; el guante de látex, para hacer perder turno y mano a los demás jugadores (muy gráfico el dibujo); y el error médico o cambio de expediente, para intercambiar todos tus órganos por los de otro jugador.

Partida de Virus en progreso. El jugador que hace la foto tiene el estómago (color verde) inmunizado, por haber colocado dos medicinas sobre él.

Dicho esto, creo que estamos ante un juego piscinero. Es fácil de explicar y divertido. Las risas están aseguradas, ya que se trata de fastidiar a los demás jugadores. Sirva de muestra el diálogo de ayer:

Niño a adulto: ¡Ponme el virus!, ¡ponme el virus!
Adulto: ¿Ein? No sé, venga, toma…
Niño: ¡Achú! -Es decir, juega la carta de contagio, devolviéndole el virus que le acaba de poner, junto con el resto que tenía. Y gana la partida. Y se parte de la risa.

Y las posibilidades didácticas, qué

A este post le he puesto las etiquetas de infantil y primaria, porque siendo un juego tan sencillo, es de los que pueden utilizarse para ir aprendiendo la dinámica de los juegos de mesa. Jugar por turnos, esperar, tomar alguna decisión, etc. Y acostumbrarse a que no siempre se gana. De hecho, en este juego es indispensable ser consciente de que te van a intentar fastidiar sí o sí.
En el juego no parece haber una estrategia clara que maximice tu probabilidad de ganar. Tampoco es que haya hecho un análisis exhaustivo, pero no creo que haga falta. En cuanto tienes tres órganos sanos vas a pasar a ser el blanco de los virus y tratamientos del resto de los jugadores. Así que, caso de haber una estrategia, el pasar desapercibido es lo mejor. También es arriesgado guardarte el cambio de expediente mucho rato, porque otro jugador puede jugar el guante de látex y, bueno, ya sabemos lo que representa el guante.
Se me ocurre que se podría tratar de analizar el juego de cara a proponer variantes en las que sí que hubiera algo de estrategia. Por ejemplo, no utilizar las dos cartas de guante de látex, para no desbaratar posibles estrategias. O inventarse algo para las dos cartas en blanco que vienen en la cajita.

Otras reseñas sobre el juego

Página del juego en la BGG, donde le puntúan con un, nada desdeñable, 6,8.

Reseña de Virus en el blog Jugando en pareja.

Reseña en El dado de Jack.

Introduciendo el modelado y la impresión 3D en el aprendizaje de matemáticas

Sat, 11 Aug 2018 00:00:00 +0000

A pesar de que las impresoras en 3D utilizan una tecnología conocida ya desde hace tiempo, es en los últimos años cuando se han comenzado a extender entre el gran público, mostrando un amplio rango de aplicaciones. Las causas de este auge hay que buscarlas, en primer lugar, en lo asequible que resulta adquirir uno de estos aparatos. Para ello, ni siquiera hemos de ir a comercios especializados, basta con acudir a un centro comercial o comprarla en Internet.

Comunidades y clones

Por otro lado, de forma previa y anticipando esta popularización de la tecnología, surgieron comunidades formadas por personas interesadas en la impresión en 3D, tanto a nivel profesional como amateur. En el seno de estas comunidades han ido surgiendo modelos de impresoras cuyo diseño se compartía libremente. De esta forma, alguien que desee construirse una de estas máquinas, puede hacerlo teniendo en cuenta esos diseños, encontrar a alguien que le imprima -normalmente, de manera altruista- las piezas de plástico necesarias, y comprar el resto.

Las máquinas RepRap (Replicating Rapid-prototyper) fueron inventadas por Adrian Bowyer, apareciendo esta idea por primera vez en Internet en 2004 y, no en vano, es en torno a la web RepRap.org que se ha creado la que posiblemente sea la comunidad más importante. El árbol genealógico de la rama española, iniciado por Juan «Obijuan» González Gómez y Andrés Prieto en 2009, puede verse en el Imperio de los Clones.

Y en matemáticas, qué

Aunque esto de las impresoras 3D dé mucho juego -obviamente- en asignaturas como Tecnología, el proceso de fabricación de un objeto está lleno de matemáticas. A continuación, introducimos brevemente algunas tareas que hemos propuesto @crjaso y un servidor (que están descritas en más detalle aquí y aquí):

Montaje de una impresora

@crjaso realizó este proyecto con un grupo de alumnos de 3º de ESO (programa de diversificación) durante todo un curso, persiguiendo objetivos de aprendizaje transversales. Por un lado, para los alumnos participantes:

Que aplicaran sus conocimientos científico-tecnológicos en el proceso de montaje y calibración de la impresora
Que desarrollaran su capacidad de expresión en público.

Por otro lado, el taller trata de acercar la tecnología de modelado e impresión en 3D al resto del alumnado del centro, transmitiendo los valores de aprender por aprender y la cultura del software libre. Todos los viernes, durante el recreo, el taller de tecnología se convirtió en un lugar de entrada libre donde se explicaban los progresos.
La apertura del proyecto al resto de alumnado, permitió flexibilizar las actividades para adaptarlas a otros niveles, como programar la impresora para que dibujara. Para ello, se acopló en el cabezal de la impresora un rotulador de forma que esta se podía programar para que dibujara sobre un papel colocado en la base. Puesto que este tipo de impresora es de tipo “cartesiana”, se aprovechó el momento para en el aula dar el tema de funciones y el plano, haciendo hincapié en las coordenadas de los puntos del plano.

Conceptos geométricos

Otra actividad implementada por @crjaso, esta vez con un alumnos de 2º de ESO, fue la realización de un taller sobre los sólidos platónicos. Los objetivos eran conocer estos cuerpos y deducir cuáles son sus propiedades fundamentales, evitando la enseñanza de tipo memorística y ausente de significado. Las tareas que se plantearon utilizaron como recurso una impresora 3D y palos de brochetas. Los alumnos se organizaron en grupos de 3 o 4 integrantes, teniendo lugar la experiencia durante dos sesiones de clase de 50 minutos, incluyendo las siguientes tareas:

Tarea 1: fórmula de Euler para el cubo

A partir de la imagen mental, dibujos u objetos cotidianos.

Tarea 2: fórmula de Euler para el resto de sólidos platónicos

En este caso, a los alumnos con dificultades se les dejó un poliedro físico para facilitarles la comprobación.

Tarea 3: impresión de los vértices necesarios

Ahora los alumnos proceden a construir los poliedros correspondientes. Los vértices los tenía impresos el profesor de antemano, ya que es algo que puede consumir bastante tiempo. Lo interesante del modelo de vértice escogido (de W. Adams, disponibles en http://www.thingiverse.com/thing:9359 es que es un diseño paramétrico y, por tanto, permite adaptar el modelo al grosor del objeto que seleccionemos como arista (los palos de brocheta, en nuestro caso) posibilitando el hacer poliedros de gran tamaño.

Tarea 4: montaje de los poliedros

El uso de palos de brochetas como aristas conlleva una manipulación. Hay que cortarlas para que sean todas iguales y, pese a que al alumnado se le pidió que fuera riguroso, siempre hay alumnos que cuando pasan a la fase de montaje se dan cuenta que necesitan nuevas aristas de la longitud correcta.

Relacionando geometría, fabricación y probabilidad

Y de paso, articular significado frecuencial y clásico de la probabilidad. En este caso, la tarea la propuse yo con otro grupo de 2º de ESO, de forma voluntaria en la asignatura de matemáticas, durante la unidad didáctica de cuerpos geométricos, aunque el objetivo final era detectar intuiciones primarias erróneas y sesgos en el razonamiento probabilístico de los alumnos. La consigna fue:

*La tarea consiste en diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade 0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados. A continuación, os explico cómo hacerlo. *

El mismo día de presentación de la actividad, se introdujo a los alumnos brevemente en el manejo de la aplicación online TinkerCad, y durante esa misma semana fueron entregando sus diseños.

Posteriormente, se les citó individualmente para hacerles una breve entrevista basada en las siguientes preguntas: ¿es este el dado que diseñaste? ¿te gusta cómo ha quedado? ¿lo usarías para jugar a algún juego de mesa? ¿cómo sabrías si es un buen dado? ¿hacemos la prueba? En la experiencia que realizamos se observó cómo, casi ninguno de ellos, intenta ni siquiera que las caras de los dados pesen lo mismo.

Y en educación infantil también

La cuarta y última de las situaciones se realizó con un niño de 5 años de edad (segundo curso de Educación Infantil). La tarea consistió en construir un juego sobre los animales de los polos, para el que se utilizó el software de modelado Tinkercad y la impresora 3D para hacer realidad esos diseños, los cuales se subieron a Thingiverse. Los objetivos didácticos, desde el punto de vista lógico-matemático, consistieron en trabajar formas de figuras planas y de cuerpos en el espacio, así como vocabulario propio de medida y de geometría (altura, grosor, espesor, círculo, cilindro, etc.), así como lógico (unión de figuras, diferencia).

Para terminar

Hemos esbozado diferentes opciones de introducir el modelado y la impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas. Los diferentes paquetes de software mencionados poseen características que complementan otros entornos de geometría dinámica, como Geogebra, que ya son habituales en las aulas, permitiendo articular álgebra y geometría y facilitando la manipulación y visualización de las piezas.

Por otro lado, el disponer de una impresora en el centro educativo abre las puertas a la introducción de la robótica. Si bien existen modelos de robots orientados al ámbito educativo, el abanico de posibilidades se extiende al poder diseñar piezas nuevas, modificar diseños existentes e imprimirlos directamente.

Referencias

Para saber más, os invitamos a leer el artículo en extenso en la revista ReiDoCrea:

Beltrán-Pellicer, P. y Rodríguez-Jaso, C. (2017). Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudioexploratorio. ReiDoCrea, 6, 16-28.

La experiencia del dado está descrita en detalle en este otro artículo: Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad. Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Curiosidad: en el Imperio de los Clones puede verse que la máquina de Carlos es el clon #409, Vulcano, mientras quela mía es el clon #541, Vega, descendiente de la de Carlos.

Elaboración de Indicadores Específicos de Idoneidad Didáctica en Probabilidad: Aplicación para la Reflexión sobre la Práctica Docente

Fri, 01 Jun 2018 00:00:00 +0000

Elaboration of Specific Didactical Suitability Criteria in Probability: Application for Reflection on the Teaching Practice

Abstract

This paper introduces the development of a didactic suitability assessment guide (DSAG) for probability studies in secondary education. The objective is to have an instrument that promotes teacher reflection about teaching and learning experiences within a specific content. The starting point which the research method takes is the systematic review of the didactic-mathematical knowledge of each of the facets in which an educational process is decomposed: epistemic-ecological, cognitive-affective, and instructional (interactional and use of technological means). Subsequently, the DSAG is applied to an educational experience with students of secondary education. The results of this application reveal this tool’s potential to streamline the reflection on the practice itself, to establish relationships between the different facets, and to identify possible improvements in the design in successive cycles.

Cítese como:

Beltran-Pellicer, P., Godino, J. D., & Giacomone, B. (2018). Elaboración de Indicadores Específicos de Idoneidad Didáctica en Probabilidad: Aplicación para la Reflexión sobre la Práctica Docente. Bolema: Boletim de Educação Matemática, 32(61), 526-548. https://doi.org/10.1590/1980-4415v32n61a11

Análisis de recursos en internet sobre correlación y regresión por futuros profesores

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Gea, M. M., Beltrán-Pellicer, P., Arteaga, P., & Molina-Portillo, E. (2018). Análisis de recursos en Internet sobre correlación y regresión por futuros profesores. 1er Workshop sobre Entornos Tecnológicos en Educación Matemática. Valencia, España.

Do high school students understand the sampling distribution of a proportion?

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Begué, N., Gea, M. M., Batanero, C.,& Beltrán-Pellicer, P. (2018). Do high school students understand the sampling distribution of a proportion? En M. A. Sorto, A. White, & L. Guyot (Eds.), Looking back, looking forward. Proceedings of the Tenth International Conference on Teaching Statistics (ICOTS10, July, 2018), Kyoto, Japan. Voorburg, The Netherlands: International Statistical Institute.

El diagrama de árbol: un recurso intuitivo en Probabilidad y Combinatoria

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Tree diagram: an intuitive resource in probability and combinatorics

Abstract

Tree diagrams allow representing the structure of many combinatorial and probabilistic problems, facilitating their resolution. However, research on this topic shows the existence of difficulties in the construction and interpretation of tree diagrams by students, possibly because they do not receive the necessary attention in teaching. In this work we analyze the properties of tree diagrams and the difficulties when working with them described in previous research. Finally, we show examples of learning opportunities offered in probability and combinatorics, including the understanding of some probability theorems. As a conclusion we suggest the need of using them from an early age in order to form correct intuitions that will then be applied throughout training in probability and combinatorics.

Cítese como:

Roldán López de Hierro, A. F., Batanero, C., & Beltrán-Pellicer, P. (2018). El diagrama de árbol: Un recurso intuitivo en Probabilidad y Combinatoria. Épsilon: Revista de Educación Matemática, 100, 49-63.

Technological Tools in the Training of Teachers: an Experience in the Topic of Correlation and Regression

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Una interesante actividad sobre probabilidad (y geometría) con la impresora 3D

Sun, 16 Jul 2017 00:00:00 +0000

Eso que aparece imprimiéndose en la foto de portada, es un dado. Diseñado por un alumno de 2º de ESO. Se trata de una experiencia piloto en primer ciclo de secundaria sobre la enseñanza-aprendizaje de nociones probabilísticas, en la que los alumnos diseñan dados, los imprimen en 3D y posteriormente analizan si son sesgados. La experiencia se enmarca dentro del significado frecuentista de la probabilidad, facilitando su puesta en relación con el significado clásico o a priori.

Para esta experiencia se optó por utilizar Tinkercad, que simplifica la tarea de diseño. Se planteó como actividad voluntaria en 2º de ESO, prácticamente a final de curso y la consigna inicial fue la siguiente:

La tarea consiste en diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade 0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados. A continuación, os explico cómo hacerlo.

Consideraciones en el diseño de dados

El diseño de dados no es algo trivial, habiendo propiciado interesantes discusiones en los repositorios de modelos online, como Thingiverse. Los usuarios han realizado, incluso, pruebas chi-cuadrado de significancia estadística para comprobar el correcto balanceo de los dados. Las conclusiones más relevantes son:

Los dados con esquinas más redondeadas, evidentemente, ruedan más. Esto es algo que amplifica cualquier sesgo de diseño, lo que constituye una ventaja de cara a nuestros objetivos.
Si colocamos el dado para que se imprima girado 45º, obtenemos mejores resultados.
El porcentaje de relleno de los dados influye. El software traductor permite ahorrar plástico, rellenando el interior de la pieza con un mallado rectangular o hexagonal. Se comprueba que es mejor imprimir dados sólidos al 100%.

Errores de los alumnos

Los errores de diseño que se identifican en los diseños de los alumnos, y que se prueban experimentando, son los siguientes:

Cuando se indican los puntos con cavidades, no se ha retirado la misma cantidad de material en todas las caras, por lo que unas caras pesan más que otras
Un error similar se produce cuando en lugar de retirar material, se añade, con lo que se propicia que se mantenga sobre ciertas caras mayor masa que en otras.
No se tiene en cuenta que la suma de las puntuaciones de las caras debería sumar 7 para facilitar el equilibrado del dado (esto está relacionado con el error de tipo 2), como ocurre en los dados estándar.
No se centran o alinean los puntos de cada cara, lo cual influye también en la distribución de masa del dado.
El dado no presenta las mismas dimensiones en todas sus caras.

Para saber más

Todo esto se explica con detalle en: Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad.Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Meaning of sampling for secondary school students

Sat, 01 Jul 2017 00:00:00 +0000

Cítese como:

Begué, N., Gea, M.M., Batanero, C., & Beltrán-Pellicer, P. (2017). Meaning of sampling for secondary school students. ICERI2017 Proceedings, 1430-1435. doi: 10.21125/iceri.2017.0456

Aplicación de indicadores de idoneidad afectiva en un proceso de enseñanza de probabilidad en educación secundaria

Thu, 01 Jun 2017 00:00:00 +0000

Applying affective suitability indicators to a teaching process on probability in secondary education

Abstract

Teacher reflection is a key instrument for educational innovation. This paper describes and analyses a reflective experience on the affective suitability of a probability study process in secondary education. The objective of the research is to show the application of affective suitability indicators within a teaching experience, and how they are used to guide the teacher reflection and to identify improvements and to explain didactical phenomena. The methodology is qualitative, descriptive and interpretative, based on the application of affective suitability indicators to evaluate the level of adequacy to the context conditions and to identify significant didactical facts. The result is an application guide of affective suitability indicators to a study process of probability. Finally, after establishing the improvements to be implemented, the conclusions show the pertinence of this kind of reflective analysis as an instrument for teacher innovation.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Godino, J. D. (2017). Aplicación de indicadores de idoneidad afectiva en un proceso de enseñanza de probabilidad en educación secundaria. Perspectiva Educacional, 56(2), 92-116. https://doi.org/10.4151/07189729-Vol.56-Iss.2-Art.559

Una propuesta sobre probabilidad en educación infantil con juegos de mesa

Thu, 01 Jun 2017 00:00:00 +0000

A proposal for learning probability in early-childhood education through board games

Abstract

This article introduces an approach, based on board games, to uncertainty situations and probabilistic reasoning in the early childhood education. Several authors suggest that simple probability notions should be taught as early as with 3-6 years-old children. Therefore, some teaching and learning processes have been suggested, always with an informal and introductory nature and usually about the comprehension of specific terms, such as sure, impossible, or probably. Likewise, it is shown that the main obstacle in the probabilistic reasoning development is that real-world situations where the idea of chance is present do not offer good information to make the learning meaningful. With this approach, some board games are analyzed, where the optimum strategy is based in probabilistic reasoning and it is described an educational proposal for 3-6 years-old children as an exploratory study.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2017). Una propuesta sobre probabilidad en educación infantil con juegos de mesa. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 6(1), 53-61. https://doi.org/10.24197/edmain.1.2017.53-61

El UNO y Mi primer UNO (juegos de cartas)

Sun, 16 Apr 2017 00:00:00 +0000

En mi imaginario particular, el UNO siempre ha sido uno de los juegos piscineros o veraniegos por excelencia. Resulta que tenemos a los peques un poco enganchados y me apetece escribir algo sobre el tema. Eso sí, me es inevitable empezar por la versión infantil del juego, siempre intentando ver qué cosas son aprovechables desde una perspectiva de la educación matemática.

Mi primer UNO, versión Dora

En realidad, todo comenzó hace tres veranos, con Mi primer UNO (versión Dora la Exploradora), juego al que ya se puede jugar con niños de 2 años y medio, a pesar de que en la caja pone a partir de tres. La comunidad de BGG no puntúa excesivamente bien este juego, apenas con un 4,7/10, variante del UNO que, por otro lado, tampoco recibe muy buenas puntuaciones (un 5,3 la original y un 6,6 la Get Wild).
Es una baraja en la que hay cartas de cuatro colores (rojo, verde, amarillo y azul), números del 1 al 7 y, como cartas especiales, 4 comodines y 4 “roba 2” (chúpate dos en la jerga popular). Por otro lado, son cartas de tamaño grande (king-size), cosa que en realidad no entiendo, porque si las manos de los niños son más pequeñas, ¿no debería mantenerse, por lo menos, el tamaño de las cartas?
Chorradas aparte, desde el punto de vista del aprendizaje de las matemáticas, las cartas son mejorables. Ya que está dirigido a unas edades en las que los niños tienen que desarrollar la idea de número, y no solo el reconocimiento de símbolos numéricos, hubiese estado bien que las cartas tuviesen dibujado un conjunto de personajes de un cardinal acorde con el símbolo del número representado.

No voy a relatar las reglas del juego, pero la idea es que gana el jugador que consigue descartarse. Para ello, hay que ir echando cartas que coinciden, bien en color, o bien en número. Cuando solamente te queda una carta, tienes que decir Uno, porque si se te pasa y te lo tienen que decir, te robas dos. El juego está bien si lo único que pretendemos es aprender a jugar por turnos, tener paciencia, estar atentos, reconocer los símbolos numéricos y los colores. De hecho, lo de reconocer los símbolos numéricos es opcional, puesto que basta con fijarse en los personajes. Por ejemplo, el “3” siempre es el toro, así que el niño puede pensar simplemente en si tiene “carta de toro” o “carta del color x”. El único número que se aprende de verdad, es el uno, ya que cuando te queda una carta, debes decir uno, asociando esa palabra a un conjunto de un elemento que, además, se puede tocar.

El UNO, de las rondas sueltas a los ábacos

Con niños de 4 años ya se puede jugar con cierta agilidad al UNO, aunque en la cajita ponga a partir de 7. En realidad, casi puede decirse que las cartas están un poco mejor diseñadas para el aprendizaje de algunas cosas, aunque a estas edades es algo que ya da un poco igual, pues ya suelen estar asimiladas. Por ejemplo, los roba 2 y los roba 4, ¡tienen 2 y 4 cartas dibujadas junto al número!.

La diferencia con Mi primer UNO es que ahora los números van del 0 al 9 (ya tenemos al cero), y que hay más tipos de cartas especiales: roba dos, comodín roba cuatro, comodín, cambio de sentido, pierde el turno y, como extras en la edición Get Wild, tres comodines personalizables y un comodín intercambio de manos (que es un fastidio cuando te lo enchufan).

Al principio, simplemente hacíamos partidas de una única ronda, siendo el ganador el jugador que primero se descarta. Pero ahora ya hemos jugado unas cuantas según las reglas de verdad; es decir, con las rondas necesarias hasta que un jugador alcanza los 100 puntos. Y nos hemos ayudado de unos ábacos horizontales para que los peques lleven el conteo de sus puntos.

El comodín y el comodín roba cuatro valen 50 puntos, mientras que las cartas extras comodín intercambio de mano y comodín personalizable valen 40 puntos. El resto de cartas especiales tienen un valor de 20 puntos y, las cartas numéricas, lo que indique su número. Al jugar hasta que alguien llegue a los 100 puntos, la estrategia cambia por completo ya que, si te pillan con cartas especiales en la mano, estás perdido. Aunque claro, guardarse alguna, con talento, para el final, también tiene sus ventajas.

De momento, nuestros peques de 4 y 6 años de edad juegan con la información de que 50 es mayor que 40, y 40 mayor que 20. No realizan todavía las sumas correspondientes para ir controlando de manera exacta los puntos que tienen en la mano cuando se acerca el final de la partida, pero intuyen el riesgo de mantener una artillería variada en la mano. Para que cada uno lleve su conteo, utilizamos ábacos horizontales, además de un papel donde anotamos los puntos de todos, niños y adultos.
Como conclusión, lo mejor que pueden ofrecernos estos juegos es una experiencia en la que la gestión del riesgo es importante, con el detalle de que no intervienen dados, sino que la aleatoriedad de la situación viene del desconocimiento de las cartas de los demás.

Catán junior (juego de mesa)

Fri, 14 Apr 2017 00:00:00 +0000

Las primeras partidas con los peques me resultaron algo confusas. No porque las reglas fueran complicadas, que no lo son en demasía, sino porque no estaba seguro de qué me parecía el juego. Se trata de una versión para niños del famoso Los colonos de Catán (sí, es famoso, si has llegado aquí y solamente conoces Monopoly, Party y ya ves el Risk como algo de otro mundo, sigue explorando internet). Así que lo que nos vamos a encontrar son diferentes tipos de recursos que habrá que gestionar para hacer lo que nos interese. De hecho, si ya se han jugado unas pocas partidas, se pueden introducir los tratos para intercambiar recursos y hacerlo más emocionante.

En el fondo, sí que hay un buen conjunto de reglas…

Pero se pillan enseguida. Aquí solamente las resumiremos. Gana el jugador que primero construye todas sus guaridas y, para ello, hay que ir aumentando también la flota de barcos y así poder abrir nuevas rutas:

En cada turno, se lanza el dado, y en función de lo que salga te tocan unos recursos (oro, sable, madera, oveja o piña) o aparece en escena el pirata rapaz.
Siempre puede cambiarse, una sola vez por turno, una ficha de recurso por una de los salvavidas.
Siempre pueden cambiarse, las veces que se deseen, dos fichas de recurso por una de la reserva general.
En cada turno se construye lo que se desee (guarida o barco) o se pide ayuda al loro Coco, las veces que se quiera. Pedir ayuda al loro significa que se consigue una ficha de Coco, que viene con sorpresa (recursos o mover al pirata rapaz).
El que más fichas de Coco tenga, pone una guarida sin coste en el centro del tablero. Si alguien consigue más fichas, esa guarida se cambia. Y si hay dos jugadores con el mismo número de fichas, no se pone guarida.
Y más o menos, eso es todo. La cosa es sencilla porque cada jugador dispone de una tarjeta de ayuda que indica los recursos necesarios para cada cosa:

¿Qué se aprende?

Para empezar, en este juego interviene bastante el azar. Como hemos visto, los recursos de los que dispondrás para poder hacer cosas dependen del numerito que salga en el dado. Ahora bien, luego hay que utilizar esos recursos de la forma más conveniente, que es donde interviene la gestión del riesgo y la riqueza educativa del juego. Algunas decisiones que pueden tomarse en un momento dado y ser cruciales son:

Lugares de emplazamiento de las nuevas guaridas y rutas de navegación. Podemos elegir entre intentar fastidiar a otro jugador, cerrando sus rutas y construyendo guaridas para bloquearle, o bien podemos optar por trazar rutas más tranquilas.
Pedir ayuda al loro Coco o no. Sí, conseguimos fichas y recursos, pero son recursos que no empleamos en barcos o guaridas.
Construir un barco en lugar de una guarida, o al revés.
Por supuesto, hay que estar atento al número que sale en el dado, porque los recursos dependen de ello, y si un jugador se despista, luego no puede reclamarlos.

Edad a partir de la que se puede jugar

Con niños de 5 o 6 años se puede jugar perfectamente (la caja pone a partir de 6 años), con un adulto que lleve las riendas del tinglado. Mejor, claro está, si ya están habituados a otros juegos por turnos, porque una partida se puede ir a la media hora de duración, sobre todo si los jugadores jóvenes se lo piensan mucho. Un niño de 4 años puede seguir la partida, pero habrá que ayudarle, ya que hay múltiples distractores en el juego como para que se pierda (que quiera utilizar siempre la ayuda del loro, por ejemplo).
A partir de los 8 años, ya sería buena idea jugar al Catán de verdad, que tiene más intríngulis. No en vano, la comunidad de BGG parece recomendar también esta edad.

Errores y sesgos de razonamiento en probabilidad

Mon, 13 Mar 2017 00:00:00 +0000

Es curioso cómo la probabilidad sigue siendo una rama de las matemáticas relegada al último tema del curso. Con suerte, porque si el calendario apremia, es lo primero que se descarta, como si fuera algo sencillo o poco útil. Y resulta que ni lo uno ni lo otro, pero esta forma de tratar a la probabilidad y la estadística desde las instituciones fomenta el asentamiento de una serie de concepciones erróneas. Y dichas concepciones son el origen de no pocas dificultades cuando nuestros estudiantes han de vérselas con situaciones en donde la probabilidad tiene algo que decir. Por ejemplo, en la toma de decisiones en contextos de riesgo o cuando se trata de continuar la formación en algunas disciplinas de conocimiento (matemáticas, ciencias de la salud, ciencias de la educación, ingeniería, etc.).

Vamos a dejar de lado la organización del currículo, para centrarnos en tratar aquí los sesgos y errores de razonamiento más comunes.

Heurística de la representatividad

Cuando alguien evalúa la probabilidad de un suceso exclusivamente a partir de su representatividad en la población de origen, está llevando a cabo un razonamiento heurístico, poco riguroso y que conduce a error. Es decir, no tiene en cuenta que el muestreo de la población presenta una variabilidad, que además depende del tamaño de la muestra. Las personas que razonan de este modo generalizan los resultados de muestras pequeñas al total de la población, o ven relaciones causales donde no tiene por qué haberlas.

###Sesgo de insensibilidad al tamaño de la muestra***

Este sesgo se aprecia en educación secundaria cuando, ante una situación en la que se estima de forma frecuencial una probabilidad (por ejemplo, probabilidad de obtener cara y cara en el lanzamiento simultáneo de dos monedas) no se tiene en cuenta el número de repeticiones del experimento. De hecho, incluso si los alumnos son conocedores del espacio muestral y de las probabilidades de cada suceso elemental, muestran sorpresa si la tasa obtenida no es la esperada (en el ejemplo, aparecerá p=1/4, sí, pero solo podremos asegurarlo con un N lo suficientemente grande).
Esto es debido a que, con los estadísticos habituales, la esperanza del estadístico muestral es la misma, sea cual sea el tamaño de la muestra, mientras que su varianza sí que depende de ello.

Concepciones erróneas sobre las secuencias aleatorias

Dentro de la heurística de la representatividad, nos encontramos con diversas concepciones erróneas sobre las secuencias aleatorias, ya que muchas personas consideran que una muestra, del tamaño que sea, ha de presentar las mismas características que la población de origen. Es común pensar que participaciones de lotería con secuencias de números “ordenadas”, como 11111 o 12345 son más difíciles de resultar premiadas, cuando la realidad es que su probabilidad es la misma que de cualquier otra combinación. Es el mismo sesgo que lleva a un apostador, que lleva una mala racha, a apostar una vez más porque cree que su suerte tiene que cambiar, que ya toca. Esto último se conoce como falacia del jugador.

Sesgo de equiprobabilidad

Es la creencia en que todos los sucesos de un experimento aleatorio presentan la misma probabilidad, sin tener en cuenta que puedan tratarse de sucesos compuestos o exista alguna asimetría, de carácter geométrico u otro, en la asignación de las probabilidades. Este sesgo se pone de manifiesto fácilmente, ante la pregunta de si es más probable obtener dos cincos o un cinco y un seis en el lanzamiento simultáneo de dos dados. Muchas personan optan por afirmar que sí. Es decir, no tienen en cuenta la descomposición del espacio muestral y la correcta asignación de probabilidades. La combinación formada por un cinco y un seis se puede obtener de dos formas distintas, mientras que el doble cinco solo de una.

Enfoque en el resultado aislado

Ante la pregunta explícita por la probabilidad de un suceso, hay personas que interpretan que tienen que predecir si el suceso en cuestión ocurrirá. Más que de un fallo de razonamiento, se trata de una ausencia de razonamiento probabilístico. Así, estas personas calificarán como seguros sucesos cuya probabilidad se acerque a 1. Por otro lado, los sucesos con probabilidad casi nula serán imposibles para ellos. Tienden a clasificar como aleatorios sucesos con probabilidades en torno a 0,5.

Por ejemplo, al interpretar una predicción meteorológica en la que se dan unas probabilidades de lluvia de un 70%, muchos sujetos indican que lloverá el día en cuestión. Si el día en cuestión no llueve, pensarán que el meteorólogo se equivocó en sus predicciones. Si llueve un 70% de días para los que se pronosticó un 70% de probabilidades de lluvia, pensarán que el meteorólogo es poco fiable.
Los estudiantes con este sesgo muestran verdaderas dificultades para asimilar la noción frecuentista de la probabilidad, pues no comprenden que cada resultado de un experimento aleatorio puede, y debe, estudiarse en el contexto del conjunto de repeticiones

Para saber más

Batanero, C., Chernoff, E. J., Engel, J., Lee, H. S., & Sánchez, E. (2016). Research on Teaching and Learning Probability. The Proceedings of the 12th International Congress on Mathematical Education. Springer Netherlands.

Konold, C. (1991). Understanding Students’ Beliefs About Probability. En E. von Glasersfeld (Ed.), Radical Constructivism in Mathematics Education (pp. 139-156). Dordrecht: Kluwer.

Lecoutre, M. P. (1992). Cognitive models and problem spaces in «purely random» situations. Educational Studies in Mathematics, 23, 557-568.

Serrano, L., Batanero, C., & Ortiz de Haro, J. J. (1996). Interpretación de enunciados de probabilidad en términos frecuenciales por alumnos de bachillerato. Suma, 22, 43–50.

Tversky, A., & Kahneman, D. (1974). Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases. Science, 185(4157), 1124-1131.

Créditos de imágenes:
Dice, por Steve Johnson.
Poker! por Viri G.
Portland Rain, por Gsloan

Comprensión del enfoque frecuencial de la probabilidad por estudiantes de educación secundaria obligatoria

Sun, 01 Jan 2017 00:00:00 +0000

Cítese como:

Begué, N., Batanero, C., Gea, M.M., & Beltrán-Pellicer, P. (2017). Comprensión del enfoque frecuencial de la probabilidad por estudiantes de Educación Secundaria Obligatoria. En J.M. Muñoz-Escolano, A. Arnal-Bailera, P. Beltrán-Pellicer, M.L. Callejo, & J. Carrillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XXI (pp. 137-146). Zaragoza: SEIEM.

Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad

Sun, 01 Jan 2017 00:00:00 +0000

3D modelling and printing as a didactic tool in probability learning

Abstract

We introduce a pilot experience in the beginning of secondary education about the teaching and learning of probabilistic concepts, where students design some dice, then print them in 3D printing and finally study their fairness. The experience is related to the frequentist meaning of probability, and help students to relate it to the classic or a priori meaning.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad. Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Articulación de los significados frecuencial y clásico de la probabilidad mediante el diseño y la impresión 3D

Fri, 01 Jan 2016 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2016). Articulación de los significados frecuencial y clásico de la probabilidad mediante el diseño y la impresión 3D. Comunicación en el grupo de trabajo de Estadística y Probabilidad en el XX Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM).

Evaluación de la idoneidad didáctica de una experiencia de enseñanza de azar y probabilidad en tercer curso de ESO

Fri, 01 Jan 2016 00:00:00 +0000

El Frutal (Obstgarten, Orchard)

Wed, 10 Dec 2014 00:00:00 +0000

Se nota que en Alemania hay más afición por los juegos de mesa. Y de allí procede el juego que vamos a presentar en este artículo: Obstgarten, cuya traducción en español sería algo así como los frutales, aunque en ocasiones se venda simplemente como El Frutal.

Es un juego perfecto para los más pequeños de la casa y con el que conseguiremos que vayan aprendiendo la dinámica típica de un juego de mesa por turnos, además de pasar un buen rato. Por otro lado, y a pesar de su sencillez, los adultos también podemos disfrutar de la experiencia. A ello contribuye su cuidado diseño y las piececitas de madera, que gustan tanto a chicos como a grandes.
Es un juego colaborativo en el que, o bien todos los jugadores ganan, o todos pierden. El adversario común es un cuervo, y hay que conseguir recolectar toda la fruta antes de que llegue. En la caja pone para edades entre 3 y 6 años, aunque ya con dos añitos se lo pasan pipa tirando el dado y cogiendo la fruta. Eso sí, aunque el dado es grandote, hay que vigilar no se lleven las frutas a la boca. Y sobre la edad máxima, yo mismo he jugado y no me ha pasado nada.
No es fácil de encontrar en España, y habría que acudir a tiendas especializadas en juegos de mesa. También se puede adquirir por Internet y, aunque la caja esté en alemán, el juego es independiente por completo del idioma, pues no hay nada escrito ni el tablero ni en el dado. Y resulta que en Alemania el dibujo de un cuervo se parece mucho al que pudiéramos hacer aquí. En cualquier caso, viene con instrucciones en un montón de idiomas, español incluido.

¿De qué va el juego?

Se reparten las cestas a los jugadores y se colocan las frutas en sus respectivos frutales: manzano, ciruelo, peral y cerezo. Y se empieza a jugar, siendo el más joven el que tira el dado en primer lugar. Las opciones son 6:

Azul: el jugador coge una ciruela.
Verde: el jugador coge una manzana.
Rojo: sí, lo has adivinado, se coge una cereza.
Amarillo: se coge una pera.
Cesta: es el premio gordo, se pueden coger dos piezas de fruta a elegir.
Cuervo: lo peor de lo peor. Se coloca una pieza del puzle central, que tiene 9.

Y así hasta que se termina de recoger toda la fruta, caso en el que ganan todos los jugadores… o hasta que se completa el puzzle del cuervo, caso en el que el que gana es el cuervo, que es un glotón y quiere nuestra fruta.

Matemáticas

Además de aprender a respetar el turno y de fomentar la empatía animando a los demás a ganar (que para eso es un juego colaborativo), se ponen en juego una serie de rudimentos matemáticos que, dada nuestra debilidad por el tema, queremos resaltar:

En el transcurso de la partida podemos ir contando las frutas que quedan de cada tipo, de forma que los niños se vayan familiarizando con el concepto de número y con el conteo. Si los niños ya saben contar, esto se puede explotar más, preguntando a ellos. En cualquier caso, no se debe forzar la situación, simplemente debemos utilizar de forma natural el conteo.
La **probabilidad ** está muy presente en el juego. De hecho, aunque no es nada difícil para un adulto darse cuenta de la mejor estrategia, la cosa no está tan clara para los niños pequeños. Dicha estrategia exige la asimilación del concepto de azar. Así, si nos sale la cesta, dándonos opción a coger dos frutas cualesquiera, lo mejor es tomar de las más abundantes. En cambio, los niños, al principio, tienden a recolectar las que les parecen más bonitas, pasando de cualquier estrategia. Enseguida aprenderán a intentar forzar que salga la cesta, cosa que nos sacará de quicio.
Los conceptos de **siguiente ** y anterior, propios de la dinámica de un juego por turnos, son fundamentales y previos a los procedimientos de conteo.

Una garantía, si es que hace falta alguna, es que en BoardGameGeek lo hayan puntuado con un estupendo 6,52.

Para saber más

Beltrán-Pellicer, P.(2017). Una propuesta sobre probabilidad en educación infantil con juegos de mesa. Edma0-6: Educación Matemática en la Infancia, 6(1), 53-61.