Numeración y aritmética | Pablo Beltrán-Pellicer

«Less is more»: un juego de nrich en un aula thinking de 5º de Primaria

Sun, 02 Aug 2026 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter/X y este hilo de BlueSky.

Aprender a través de la resolución de problemas, nrich y thinking classrooms. Os cuento cómo fue llevar un juego de nrich a un 5.º de Primaria a lo thinking, con mesas apartadas, alumnado de pie, escribiendo e interactuando en pizarras y… una pregunta casi cansina: ¿por qué?

El punto de partida: el currículo

El punto de partida, los ya no tan nuevos currículos LOMLOE. En nuestro caso, el currículo aragonés, la resolución de problemas y el juego aparecen por todos lados (competencias, principios pedagógicos, orientaciones metodológicas). ¡Si aparece mencionado el propio nrich!

El juego: «Less is more»

El juego es «Less is more». Se generan al azar ocho cifras del 0 al 9 y hay que colocarlas para formar dos parejas de números de dos cifras, de modo que se cumpla $a<b$ y $c<d$. Si se cumplen las dos, puntúas $a+c$. El objetivo es conseguir la puntuación más alta posible.

En la web de nrich ya nos indican las dos modalidades de juego que hay. Colocación inmediata (vas colocando cada cifra según sale) o posterior (esperas a tener las ocho). La primera obliga a decidir bajo incertidumbre, sobre la marcha; la segunda es optimizar con toda la info.

Marida estupendamente con el enfoque de enseñanza a través de la resolución de problemas y con la metodología thinking classrooms:

Tarea abierta.
Multinivel.
Sin una única solución óptima evidente.
Moviliza valor posicional y composición y descomposición de números.

Pero sobre todo, genera la necesidad genuina de convencer al resto del equipo. Es decir, la interacción para COMUNICAR ideas matemáticas forma parte de la actividad. ¡Anda! Hola, competencia específica de comunicación y representación.

En sus libros @pgliljedahl metería esta actividad dentro de las «no curriculares» (ojo comillas), porque no van teledirigidas a aprender un contenido en concreto. Y que por eso vienen tan bien para crear cultura de aula a principio de curso.

Ojo comillas porque sí que es curricular. Moviliza competencias específicas claramente. Y hay saberes matemáticos, como ya hemos señalado: al menos, sistema decimal posicional. Cosillas de estocástico también, intuitivamente o… dependiendo del curso… más formalmente.

Gestión de aula

Gestión de aula. Se apartan las mesas y se colocan pizarras a modo de Superficies Verticales No Permanentes, orientadas de distintas maneras para que unos grupos vean lo que hacen los otros (movilidad del conocimiento). Instrucciones orales y en la pizarra solo lo imprescindible.

Seguimos con el canon thinking. Agrupamientos visiblemente aleatorios, que se hicieron con una baraja con los números del 1 al 8 y tres palos. Cada cual, a la pizarra de su número. Todos de pie salvo quien tenía movilidad reducida. 24 alumnos, 50 minutos de juego (una sesión).

Los primeros cinco minutos, la docente-investigadora ni se acerca. Que experimenten, jueguen, se atasquen (eso son matemáticas, sí). Solo después empieza a recorrer el aula, recoger información y dar pistas que no resuelvan. Que las pistas no sean spoilers es importante.

Las preguntas

Era la primera vez que trabajaban justo así, y llovieron las preguntas de proximidad. Respuesta habitual: «¿Qué recuerdas que he dicho?». Si lo tenían claro, sonrisa y a otra cosa (lo interpretaban como confirmación). Si no, a preguntar al equipo o a otro grupo.

Las preguntas de proximidad son las que se hacen, casi de manera automática, porque tienes al profe cerca.

También salieron las preguntas para dejar de pensar: «¿está bien?», «¿podemos hacer una mejor?». Ahí, «¿tú qué crees?», «¿qué opinan tus compañeras?». Y a una alumna que decía que las mates no eran lo suyo: si lo habéis probado todo, confía en tu criterio y en el de tu equipo.

Porque de eso va el proceso/competencia de razonamiento, argumentación, conjetura y prueba: de armar argumentos que convenzan. Al principio, todos los equipos decían haberlo resuelto «al azar», probando.

Como tenían varios casos escritos en la pizarra, se les pidió analizarlos y buscar patrones, diferencias, regularidades. Extraer conjeturas fue lo más costoso, con diferencia.

Y… «¿por qué?», una y otra vez. Un grupo explicaba que ponía los números grandes a la derecha y los pequeños a la izquierda, pero en uno de sus casos habían hecho justo lo contrario. ¿Por qué? Ahí es donde empieza a aparecer la conjetura.

Enternece ver que tendían a borrar la pizarra cuando se acercaba un docente. Si no venía nadie, los errores no los borraban, los tachaban. Las SVNP reducen el anonimato del pupitre, sí, pero la cultura de aprender a partir del error se construye despacio.

Qué recogimos

La experiencia, que formaba parte del TFG de la primera autora, Beatriz Sánchez-Valls, incluía una rúbrica de observación sistemática, autoevaluación grupal e individual (continuos con indicadores solo en los extremos, tipo escala visual analógica) y diarios de aprendizaje.

La asunción de riesgos fue el indicador mejor autoevaluado por todos los grupos, por delante de perseverancia y colaboración. ¿Lo peor valorado? Compartir el rotulador. ¿Cuesta repartir protagonismo?

Oralmente explicaban estrategias completamente razonadas, con búsqueda de patrones y valor posicional. Por escrito, diarios escuetos. 22 de 24 evidencian sentido numérico, pero solo 7 llegan a describir su estrategia. Escribir en mates también se aprende.

Sobre esto, recomiendo ver las pizarras que comparte @chussiabaleston y cómo se ve una evolución de los primeros días de curso al final. Tremendo es poco.

En lo emocional, 22 de los 23 que lo mencionan lo hacen en positivo: «entretenido», «a gusto». Alguno desde la comparación: «Estos problemas son mucho mejores que los de los libros». Y solo cuatro (tres de ellas chicas) aluden a la competición como motivación.

Cierre y referencias

La limitación es evidente, es una sola sesión que formaba parte de un TFG (excelente). No obstante, es un ejemplo que permite ver que construir la cultura de aula no es cosa de un día y enseñar a trabajar en grupo (quizá con roles al principio, para retirarlos después).

Este hilo ha sido un resumen de nuestro artículo con Beatriz Sánchez-Valls en Edma 0-6, Una propuesta desde el enfoque thinking classrooms y el juego para “aprender a pensar”. Si te ha gustado y quieres saber más… en acceso abierto: ENLACE EDMA 0-6

Enlace al juego de nrich: less is more. Ojo que hay continuaciones que siguen dando juego.

Y enlace al grupo de Telegram Aulas para pensar: https://t.me/AulasParaPensar

Tablas de multiplicar, sí, otra vez en redes, calculadoras y cuñadismo

Sun, 22 Feb 2026 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de varios hilos de Twitter.

Tablas de multiplicar, otra vez

Qué cansancio con las tablas ( hilo). Como a mí me las hicieron aprender de memoria, primero la del 1 (la del UNOOOO), luego la del 2, luego la del 3 (POR QUÉEEE está y no por lo menos la del 4 que se obtiene desde la del DOS), y así… pues será que es bueno porque fíjate.

Saberse algún hecho numérico no va mal, para estimar y tal. Pero una cosa es eso y aprenderlos en el seno de tareas ricas y otra aprenderse de forma machacona y exhaustiva las tablas porque si no no saben hacer nada más. Pues mira, no. Y yo las cuentas del restaurante, calcu.

Es que no hay que aprenderlas de forma machacona y previa a abordar ideas sobre la multiplicación.

Que no sepas 8x6=48 de memorieta, pero sí que 8x6=8x5 + 8, es indicativo de que sabes más sobre la multiplicación que si solo supieras recuperar cantando el 8x6=48.

Uso de calculadoras

Nivel de cuñadismo ( hilo) con lo de las calculadoras que hace honor a esta red. Os resumo el espresso de @CambridgeMaths al respecto:

El uso temprano de calculadoras está respaldado por la investigación. No obstante, faltan estudios, debido a q muchas veces se prohíben por norma.
El alumnado con acceso sin restricciones a calculadoras desde chiquitines no parece volverse dependiente de ellas.
Las calculadoras pueden (y deben) utilizarse para múltiples propósitos, incluyendo la exploración y la evaluación de errores conceptuales en aritmética.
El diseño de las tareas debe prestar especial atención al modo en que se utiliza la calculadora.
Las calculadoras deberían ser un catalizador para rediseñar los currículos, no solo un complemento de los ya existentes (los currículos no deberían ignorar que existen).
Su uso en matemáticas en Primaria puede hacer que la asignatura sea más abierta e interesante para el alumnado.

Hubo quien decía, desde el sarcasmo, supongo, que estaba compartiendo un estudio para decir que faltan estudios, que qué brillante. Bien, ya sé que eso es Twitter(X) y allí se va a jugar. Sin embargo, dos apuntes:

Cada espresso de CambridgeMaths no es un estudio, es una síntesis divulgativa de cómo está el tema en investigación.
Siento decepcionar a los que piensan así, pero la ciencia pocas veces ofrece certezas absolutas. En este espresso se citan estudios que sugieren que las prohibiciones existentes acerca del uso de calculadoras en muchos centros, a menudo en contra de los currículos oficiales, dificultan que haya más estudios.

Operaciones, operaciones, operaciones

Lola Morales ( hilo) comentaba que qué sentido tenía pasar clases y clases en 6º de Primaria haciendo operaciones infernales con decimales.

Aporto un giro más hilo. A veces, en sexto se hace así porque creen que es lo que se les pide en el IES. Y, a veces, como me dijeron en un cole hace poco, no es que lo crean, es que el IES de referencia les pide que multiplican y dividan “como dios manda”. Es bien triste que estén intentando hacer las cosas bien en ese sentido, trabajando estrategias flexibles y variadas, etc., hasta 5º. Y luego, en 6º EP, se vean empujados a repetir esas multiplicaciones y divisiones con el algoritmo que quiere ver el de secundaria.

Matemáticas es lo que se entiende

Vamos a decirlo una vez más. Matemáticas es “lo que se entiende”. Hay que erradicar ese mantra de hay que saber hacer muchas cuentas (o cosas con números o letras), practicar y luego ya si eso llegará la comprensión. Porque mientras llega, si es que llega, oh, no se hacen mates. ( hilo).

Siguiendo ese mantra, lo que se hace es enseñar a obedecer sin rechistar. Porque toca. Porque luego… luego ya verás (que si son necesarias, que si son muy bonitas, que si manzanas traigo). Cómo será la cosa que ha transcendido al cine alguna vez:

Recuerdos del ayer

Descubriendo algoritmos desde la resolución de problemas

Sun, 23 Nov 2025 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Martínez-Juste, S. (2025). Descubriendo algoritmos desde la resolución de problemas. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 110, 7-12. https://www.grao.com/revistas/aprendizaje-heuristico-aprender-a-transformar-que-hay-detras-de-un-algoritmo-78535?contenido=504350

Entre números, signos y letras: Enteros y Álgebra al comienzo de la ESO

Mon, 01 Jul 2024 00:00:00 +0000

Cítese como:

Cid, E., Beltrán-Pellicer, P., & Muñoz-Escolano, J. M. (2024). Entre números, signos y letras: Enteros y Álgebra al comienzo de la ESO. Actas 21 JAEM «Matemáticas entre el mar y la montaña», 1048-1064.

¿Qué opinan y qué saben los futuros maestros sobre el uso de la calculadora en Educación Primaria?

Fri, 24 May 2024 00:00:00 +0000

What Do Future Teachers Think and Know About the Use of Calculators in Primary Education?

Abstract

Given the educational significance of using technological tools such as calculators in mathematics learning, it is essential that future teachers possess the necessary knowledge and skills to harness their potential. This study focuses on exploring the mathematical and technological knowledge of future primary education teachers, as well as their beliefs about the use of calculators as an educational tool. A mixed methodology is employed with a specially designed questionnaire (n=65) that helps to understand their beliefs and self-concept regarding the didactic use of calculators. Additionally, tasks that require the mobilization of technological-mathematical knowledge are included. The results highlight the need for more effective training in the use of calculators, integrating didactic-mathematical education with technological training.

Cítese como:

García-Lázaro, D., Arnal-Bailera, A., & Beltrán-Pellicer, P. (2024). ¿Qué opinan y qué saben los futuros maestros sobre el uso de la calculadora en Educación Primaria? Praxis Educativa, 19(e22837), 1-18. https://doi.org/10.5212/PraxEduc.v.19.22837.037

Semiotic bundle approach and OntoSemiotic Approach: a dialogue between two theories on an arithmetic-algebraic problem

Fri, 01 Sep 2023 00:00:00 +0000

Cite as:

Manolino, C., Giacomone, B., & Beltrán-Pellicer, P. (2023). Semiotic bundle approach and Onto-Semiotic Approach: A dialogue between two theories on an arithmetic-algebraic problem. Educação e Pesquisa, 49, e256699. https://doi.org/10.1590/s1678-4634202349256699eng

Una propuesta rompedora a nivel conceptual

Sat, 22 Jul 2023 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

De todas las propuestas que he compartido por aquí, de la que más orgulloso me siento cada vez que alguien me dice que la hace en el aula, es la de la construcción de los enteros a la vez que se introduce el álgebra con literales (aka tesis de Eva Cid). ¿Quieres saber por qué?

Porque supone un desafío a todos los niveles. Suele cuestionar, no solo la cultura de aula, sino el lugar asumido en la planificación curricular de un objeto matemático tan «básico» como los enteros. Y el álgebra que se hace al comienzo de la ESO.

¿Qué leches hacen en la aritmética? Ahora tenemos el sentido númerico, que podríamos definir como «la buena aritmética». Pero el problema es el mismo. ¿Qué hacen ahí, antes que el álgebra?

Una prueba muy sencilla e interesante es pasar los problemas que hay en una unidad de enteros de un libro de texto cualquiera de 1°ESO a un niño o una niña de 4° o 5° de primaria.

Porque para resolverlos, los enteros no hacen falta para nada. Algunos autores, de hecho, hablan de números relativos.

Los modelos concretos (todos) patinan en el tema de los enteros. Porque en la aritmética no son necesarios, su hábitat natural es el álgebra.

Si te pica la curiosidad, aquí dejé los hilos en versión blog. Y el grupo de Telegram «De la aritmética al álgebra», donde hay material y una comunidad de docentes interactuando en torno a él: enlace aquí.

Vídeos con Eva Cid hablando sobre su trabajo:

¿Qué algoritmo elijo para la resta?

Sun, 30 Apr 2023 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

En efecto, la resta como sustracción detrás del “tomar prestado” de algunos algoritmos (anglosajón); y la resta para cuantificar la diferencia en una comparación detrás del “sumar arriba y abajo” (tradicional español). Añado unas reflexiones al interesante hilo de @bpalop.

La pregunta «¿cuál elijo para mi alumnado?» está viciada de entrada. Si el progreso en Matemáticas (la pongo en mayúscula porque me refiero a la asignatura) va a depender exclusivamente de que se maneje con un algoritmo en concreto, mal vamos.

Es que no sabe ni restar.

Si al decir esto nos referimos a que no sabe manejarse con un algoritmo, no estamos hablando de si sabe o no sabe restar. No hace falta ningún algoritmo para restar. Mucho menos, las situaciones-problema de primer ciclo de Primaria.

Sobre todo con el nuevo marco curricular, la cuestión es que estos algoritmos se engloban maravillosamente dentro del sentido algebraico y pensamiento computacional. Os voy a pegar, literalmente, fragmentos del currículo de Primaria de Aragón.

«Está claro que en la sociedad actual, las técnicas escritas de cálculo han perdido relevancia y utilidad, por lo que el aprendizaje de algoritmos ha de convertirse en un aprendizaje sobre algoritmos, relacionado con el pensamiento computacional. Al mismo tiempo, las actividades planteadas sobre estos algoritmos deberán permitir establecer conexiones y aprender elementos básicos y propiedades del sistema decimal posicional. En ningún caso debe articularse el aprendizaje del sentido numérico desde la ejecución automatizada de algoritmos que hayan sido aprendidos sin significado. Cuando eso ocurre, se anula el desarrollo de prácticamente cualquier estrategia de cálculo mental,pues este se relaciona más con las técnicas orales (calcular mentalmente no pasa por tratar de imaginarse un algoritmo escrito). La calculadora aparece como un recurso excelente para plantear tareas de exploración sobre estructuras numéricas e indagar con números grandes.»

Más, dentro de la descripción del Sentido algebraico y pensamiento computacional:

«Un ejemplo muy claro de pensamiento computacional en matemáticas lo encontramos en el análisis, adaptación y creación de algoritmos. Desde la popularización de las calculadoras, el énfasis en el aprendizaje de algoritmos para las operaciones aritméticas básicas ha quedado en entredicho. Evidentemente, la repetición mecánica e insistente de una serie de pasos para sumar, restar, multiplicar y dividir hace tiempo que no se justifica de ninguna manera. En la vida cotidiana, los adultos no solemos sacar papel y lápiz: o hacemos la cuenta mentalmente (posiblemente, estimando), o utilizamos un dispositivo.

Más aún, tanto las pruebas de acceso a ciclos formativos como las pruebas de acceso a la universidad se hacen con calculadora. Esto no quiere decir que no haya que aprender algoritmos, sino que los objetivos no pasan por conseguir que el alumnado haga el mayor número de cuentas inverosímiles en el menor tiempo posible. El objetivo es desarrollar el pensamiento computacional al mismo tiempo que se profundiza en aspectos propios del sistema de numeración posicional y el sentido numérico.»

Y la madre del cordero en las orientaciones de primer ciclo sobre Sentido numérico:

«Es más importante dominar las estrategias anteriores, que llevan a un cálculo más comprensivo, que trabajar un algoritmo. Las sumas y restas, que además deben presentarse de forma intercalada, pues ambas forman parte de las situaciones aditivas, deben acompañarse de la manipulación del material, para garantizar la representación con la comprensión y se tenga un buen dominio de la agrupación de unidades en decenas. Los algoritmos de las operaciones no tienen sentido en este ciclo y no favorecen el desarrollo del sentido numérico a estas edades. Sí tienen valor como objeto de estudio dentro del pensamiento computacional en ciclos posteriores.

Pero ahora se trata de enfatizar cálculo oral y mental, así como flexibilidad sobre las operaciones y comprensión de las situaciones-problema que responden a ellas. Se trata de trabajar con situaciones aditivas (“de suma o de resta”) con la intención de que las reconozcan, las resuelvan utilizando su conocimiento de los números y traduzcan a lenguaje matemático. Que se enfrenten a situaciones que se pueden modelizar y resolver de diversas maneras e igualmente correctas, por ejemplo, 7+2=9 es lo mismo que 2+7=9, o que si tenemos que saber el dinero que nos falta para comprar algo que cuesta 11 euros y ya tenemos 5, podemos resolverlos preguntando ¿cuánto me falta de 5 a 11 euros? Y después escribirlo 11-5=? o 5 +?= 11. La iniciación en la resta, tendrá que hacerse de la misma manera, manipulando materiales, y empleando estrategias diversas para calcular el resultado, entendiendo que con frecuencia es necesario descomponer decenas y centenas.

Cuando se llegue a un resultado, tanto si es correcto como si no lo es, hay que iniciar la reflexión de cómo han llegado, cómo lo han hecho, comunicarlo y contrastarlo con sus compañeros o compañeras. Esta conversación ayudará a ampliar las estrategias y encontrar la más eficiente. Después de este proceso de reconocimiento, obtención del resultado, explicación de cómo se ha llegado se puede escribir con lenguaje matemático, (+, -, = ); en grupo, pautado por el profesorado y hacia una mayor autonomía.»

Volviendo a la cuestión de qué algoritmo elijo. Que se lían si mezclo varios. Pues es que en primer ciclo la respuesta es fácil. NINGUNO. Y en segundo ciclo, VARIOS, de forma comprensiva y para movilizar pensamiento computacional y aspectos del sistema decimal posicional.

Para más orientaciones buscar el currículo de Mates de Primaria de Aragón aquí. Recuerdo que va hasta con referencias y enlaces a recursos. 89 páginas.

Créditos

Imagen destacada obtenida de Unsplash.

Matemáticas en la piscina: de la proporcionalidad a la aritmética modular sexagesimal

Wed, 26 Apr 2023 00:00:00 +0000

Mathematics in the swimming pool: from proportionality to modular sexagesimal arithmetic

Abstract

The swimming pool stopwatch is an instrument used in the practice of swimming that helps to mark training rhythms. In this way, the instructions given by the coaches must be correctly interpreted by the swimmers, who, in addition, can use the stopwatch to individually control the start and finish times in each repetition. In this article we describe the use of this stopwatch, as well as other issues related to this real context that swimming provides. Likewise, we propose ideas to elaborate classroom proposals in which the context becomes realistic, that is, imaginable for the students, since it will only be daily for swimmers. Also, even for the latter, much of the homework will also be realistic, because who does algebra while swimming?

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2023). Matemáticas en la piscina: De la proporcionalidad a la aritmética modular sexagesimal. Epsilon, 113, 49-55.

¿No conoces todavía los Numberblocks?

Mon, 26 Dec 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Dentro de poco toca nueva entrega de Matemáticas animadas en la revista EDMA0-6 y volveremos a hablar de los @numberblocks. ¿Os apetece ir calentando?

Antes de seguir, sabed que hay canales oficiales en YouTube y que tienen un interesante potencial didáctico tanto en infantil como en primaria:

En inglés
En español

En la primera temporada se presentan los números del 1 al 5 según una adaptación de la axiomática de Peano. Primero, aparece Uno. Dos aparece en el segundo capítulo mediante la adición de un bloque a Uno.

Es algo que verbalizan como «uno más uno equivale a dos» y que simbolizan como $1+1 = 2$. Siempre presentan la verbalización y la simbolización desde el otro punto de vista; es decir, «dos equivale a uno más uno» o $2=1+1$.

La expresión que se emplea en inglés no es arbitraria, ya que, en lugar de decir «one plus one is equal to two», dicen «one plus one equals two». Este uso del lenguaje indica que se quiere presentar el igual con significado relacional en lugar algo puramente operativo.

El resto de números se introducen de la misma manera. Tres se forma añadiendo un bloque a Dos; Cuatro, añadiendo un bloque a Tres, etc. No se dedica un capítulo a cada número, pues cada temporada tiene 15 episodios, y en esta primera solo se presentan los cinco primeros.

Después de presentar a Cinco se tratan situaciones donde se comparan números, se ordenan, se efectúan diferentes recuentos remarcando la estabilidad del recitado y el principio de correspondencia uno a uno, los ordinales y el empleo de los números como código.

Ya hemos hablado alguna vez desde esta cuenta sobre los principios elementales del conteo (véase nuestro querido Conde Draco). Estos se van vislumbrando a lo largo de toda la temporada. Sin embargo, en el episodio 1x10 How to count, se sintetizan.

Principio de correspondencia uno a uno. Es decir, al contar el cardinal de un conjunto, cada vez que se nombra una nueva palabra de la secuencia numérica, se señala un elemento de dicho conjunto y ya no vuelve a señalarse más.
Principio de cardinalidad y estabilidad del recitado. Es decir, las palabras numéricas deben recitarse siempre en el mismo orden, sin saltarse ni repetir ninguna. La última representa el ordinal de ese elemento y el cardinal del conjunto.
Principio de irrelevancia del orden de elección de los elementos. El orden en que sean elegidos los elementos del conjunto a la hora de asignarles las palabras numéricas es irrelevante de cara a la obtención del cardinal del conjunto.

Venga, ¿os animáis a identificarlos en el episodio?

En español:

En inglés:

De momento, lo dejamos aquí. Pero la serie continúa y crece al ritmo de los peques. El NCETM ofrece en su web guías para las tres primeras temporadas. Son documentos en pdf donde se indica el título de cada episodio, el argumento y el contenido matemático. Además, proporcionan materiales de ayuda orientados a docentes para la primera y segunda temporadas.

Si queréis saber más, aquí el artículo que escribí ya casi hace dos añitos en esa revista tan maja que es EDMA0-6 para, sobre todo, Infantil, pero también Primaria.

El conde Draco y su aritmomanía

Fri, 19 Aug 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. Te invito también a que visites el artículo que que publiqué en The Conversation.

Quizás sabías que el TOC que sufre el Conde Draco se llama aritmomanía. Lo que quizás no sabías es que no es tan casual que se eligiera a un vampiro para las cosas del contar en Barrio Sésamo. Va hilo con curiosidades y un poquitín de didáctica del conteo.

La aritmomanía puede llegar a ser muy limitante. Consiste en sentir la necesidad de contar constantemente o relacionar cualquier aspecto de la vida cotidiana a números, evitar ciertos números, etc. Por ejemplo, tener que abrir y cerrar la puerta un número determinado de veces.

Dentro de la abundante y variada mitología vampírica, además de ajos y crucifijos para ahuyentar a estos seres, podemos aprovecharnos de su… ¡aritmomanía!

Es decir, que, si les ponemos un montón de granos de cereal o de arena, el vampiro se entretendrá contándolos hasta que se haga de día y ya no pueda hacernos daño por el tema del sol y el bronceado poco sano que les produce.

Aprovecharse de la aritmomanía de las criaturas maléficas está más extendido de lo que parece. Cuando hablé con @turmasalduitana de todo esto me dijo que le recordaba a la leyenda vasca del eguzkilore.

📷 Alicia Egara

Hay varias versiones. En algunas, es el parecido de esta flor con el sol lo que ahuyenta a los malvados espíritus nocturnos. Sin embargo, en otras, se relata que las lamias, para poder entrar en una casa y llevarse a los niños, debían contar los flósculos y dar con el número.

Y claro, como se equivocaban, pues se les hacía de día y salía el sol. Pero volvamos a nuestro querido Conde Draco. Es una lástima que el nombre por el que se le conoce en España no refleje su verdadera naturaleza, porque en el original estaríamos hablando del Count von Count.

Lo cual es delicioso juego de palabras -intraducible- que viene a significar algo así como Conde de la Cuenta. En Latinoamérica fueron fieles a esta idea y se le bautizó como el Conde Contar.

El Conde es de los personajes más queridos. Son varios los motivos que ayudan a ello, desde el carácter que muestra en todo momento, hasta que no comparte todos los clásicos atributos vampíricos. Así, se le ha visto relajándose a la luz del sol.

Su primera aparición en el Sesame Street original fue en 1972, contando bloques dentro de un sketch con Epi y Blas. Aquí, da la impresión de ser algo más siniestro de lo que sería después. De hecho, se observa cómo el Conde hipnotiza a Epi y a Blas.

📷 http://muppet.fandom.com

En ese estreno también se aprecia, cuando termina el conteo y aparece la grafía del número resultante, el que después sería su característico relámpago de fondo.

Es muy característico el humor que desprenden sus sketches a partir de las situaciones más absurdas en torno al conteo. Eso sí, este es siempre es impecable. Desde el punto de vista didáctico, ofrece múltiples oportunidades en Infantil, Primaria y en formación del profesorado.

Los principios en que se sustenta el conteo son un contenido habitual en las asignaturas de los grados de Magisterio. En su presentación clásica (Gelman y Gallistel, 1975, recogido, por ejemplo, en Chamorro, 2005), son los siguientes (contemos):

Principio de correspondencia uno a uno. Cada elemento de la colección que se va a contar debe corresponderse, de manera únivoca, con una, y solo una, palabra-número de la secuencia de palabras numéricas.
Principio de orden estable. La secuencia de palabras numéricas que escojamos para contar debe ser recitada siempre de la misma forma. Uno, dos, tres, cuatro, … One, two, three, four, …
Principio de abstracción. Contar una colección supone interesarse solo por el aspecto cuantitativo de la misma, dejando de lado otras características físicas, irrelevantes, de los objetos de dicha colección.
Principio de no pertinencia del orden. El número obtenido al contar una colección no depende del orden en el que se enumeran sus elementos. Da lo mismo empezar a contar por uno que por otro, el cardinal de la colección no varía.
Principio de cardinalidad. El número enunciado en último lugar no representa únicamente al elemento correspondiente, sino también al total de la colección. ¡Cinco! Cinco maravillosos principios del conteo. Ah, ah, ah.

Cualquiera que conozca mínimamente al Conde (qué pena no escribir este hilo en inglés: “anyone who knows just a little bit about the Count” observará que tiene bien interiorizados todos estos principios.

Es especialmente cuidadoso con en el principio de cardinalidad. Cada vez que termina de contar una colección, el Conde repite el cardinal, cuyo símbolo numérico aparece a veces en pantalla. Entonces, explota su carcajada, a la vez que surgen truenos y rayos de su nube personal.

Por supuesto, el dominio de recitado de la secuencia de palabras numéricas por parte del Conde es absoluto. Resulta imprescindible, como docentes, conocer los niveles de dominio en el recitado para poder promover situaciones de aprendizaje adecuadas.

Los guiones están repletos de juegos de palabras que pierden algo de gracia al doblarse. En una ocasión, el Conde lo que quiere es contar pájaros. Previsor como es él, y conocedor del principio de correspondencia, prepara un conjunto de miguitas.

El Conde, al igual que otros Teleñecos, tiene sus propias canciones. Y son recurrentes las escenas con el órgano, que aprovecha, cómo no, para contar notas musicales del derecho y del revés.

Entre las colecciones más extrañas que ha contado el Conde, estaría sin duda alguna, el número de rechazos que sufre por parte de la Condesa Natacha (the Countess) a sus peticiones de mano

También ha compartido escena -muy divertida- con Susan Sarandon. De regreso al castillo se encuentran con la puerta cerrada y Sarandon observa que tendrán que llamar, a lo que el Conde añade que será una excelente oportunidad para…

La grafía de los números no aparece en todos los sketches del Conde. Ya hemos mencionado alguna vez que son muchos los autores que previenen de una introducción prematura de los símbolos, por lo que tampoco es que sea algo necesario para el conteo y el recitado. No obstante, aunque la grafía en sí es algo puramente convencional, hay que trabajar su trazado en algún momento. Dentro del universo de Barrio Sésamo nos encontramos con algunos personajes que enseñan directamente esta cuestión.

Muchos de los teleñecos tienen cuenta de Twitter, y el Conde no es una excepción. En @CountVonCount se dedica a contar, como no podría ser de otra manera. Si es que cuenta algo, claro. ¿Estará, simplemente, recitando? A día de hoy va por el 3617. ¿Hasta dónde llegará? Veamos…

Podemos jugar a elucubrar a partir de una entrevista que le hicieron en el programa de radio More or Less, de la BBC, a Jerry Nelson, su marionetista de siempre. Perdón, no, ¡al Conde en persona!

📷 http://muppet.fandom.com

La entrevista comenzó con una charla distendida sobre parámetros numéricos de la conexión y con unas preguntas para calentar, como qué fue lo primero que contó (sus dedos de las manos, sus dedos de los pies y las orejas, en ese orden) o acerca de cómo era vivir con aritmomanía. El Conde confesó que tuvo un problema una vez que intentó contar unos pollos que quería vender antes de que nacieran. Al eclosionar los huevos, lo que pensaba que eran 10 pollos, en realidad eran 5 pollos, 3 tortugas y 2 caimanes. Claro, esto no hizo gracia a los compradores.

Sin embargo, la pregunta del millón fue más simple. “¿Cuál es su número favorito?” 34969, respondió el Conde, añadiendo: “Es algo que tiene que ver con raíces cuadradas”. En efecto, la raíz cuadrada de 34969 es 187, pero… ¿qué tiene de especial 187? Los oyentes del programa comenzaron a especular, realizando las siguientes observaciones:

Toby Lewis señaló que 187 es el número total de puntos en las casillas del Scrabble, pudiendo resultar que el Conde las hubiese contado (y le gustase el juego).

David Lees observó que 187 puede escribirse como el producto de dos números primos (11 y 17), algo, sin duda, hermoso.
Simon Philips calculó que 187 es igual a 94²-93², además de que 187=94+93. Lynn Wragg estuvo atenta al indicar que eso es cierto para cualquier pareja de números consecutivos.

Como también señalaron, lo más inquietante de todo es que 187 es también el número del código penal de California para el homicidio, usándose prácticamente como sinónimo en la jerga en unos cuantos estados. ¿Estará ocultando algo nuestro Conde? Quedémonos con su amabilidad y aventuremos que habrá sorpresa en su cuenta de Twitter el día que llegue a 34969. ☺️

Tenéis una versión extendida de esto en la última entrega de Matemáticas animadas en la revista EDMA0-6, con más referencias.

Termino agradeciendo. A José María Muñoz Escolano, compañero en @dm_unizar con quien comparto una línea de TFG sobre dibujos animados que nos lleva a hablar mucho sobre estos temas (¿o es al revés?). A @turmasalduitana, quien me señaló la semejanza de la aritmomanía vampírica con el mito vasco del eguzkilore. Y también quiero dedicarlo con cariño a twitteros con los que he interactuado sobre el Conde, como @mininacheshire y @chussiabaleston, entre otros.

Por cierto, si tenéis sketch favorito del Conde… ¡ aquí hay espacio de sobra para compartir! ¡Feliz lunes!

El TOC que sufre el Conde Draco se llama aritmomanía

Tue, 16 Aug 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2022). El TOC que sufre el Conde Draco se llama aritmomanía. The Conversation. https://theconversation.com/el-toc-que-sufre-el-conde-draco-se-llama-aritmomania-188481

No existen las «matemáticas manipulativas»

Mon, 25 Jul 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

No existen las «matemáticas manipulativas». Los manipulativos no son recetas mágicas ni su uso implica una comunión con una visión concreta de las matemáticas. Intento compartir una reflexión veraniega sobre ello.

Mi ejemplo favorito para ilustrar esto son los números enteros. Cualquier modelo concreto, sea con manipulativos o un modelo referido a un fenómeno sensible, presenta obstáculos. Cualquiera. Para saber más sobre los enteros, aquí.

Los números enteros, con sus propiedades de orden y su estructura aditiva y multiplicativa, surgen por una necesidad interna de las matemáticas. A más de uno (a mí me pasó) le vuela la cabeza que haya que detenerse en clase en «tontadas» como por qué (-8) es menor que (-2).

Cuando utilizamos un modelo concreto para esto, funciona porque nosotros, como docentes conocedores de las reglas del juego, explicamos cómo usar el manipulativo. Se suma así, se resta asá, etc.

“Funciona”, en el sentido de una regla nemotécnica. En lugar de aprenderse a palo seco unas reglas algebraicas, te aprendes cómo usar un manipulativo. Dos de estas hacen un -2, junto estas para hacer un cero, etc.

¿Sirve mejor como recordatorio de las reglas de los signos en este caso? Evidentemente, porque tienes más puntos de apoyo para recordar. Pero si se te olvida lo uno, y sigues sin dar sentido a lo otro, estás perdido.

¿Hemos hecho matemáticas en el proceso? ¿Qué matemáticas? Si el manipulativo solo sirve como facilitador para recordar y no como medio para reconstruir el objeto en caso de olvido, cuando hablamos de técnicas como estas de la regla de los signos, lo siento pero tecnología.

El otro día decía que yo nunca digo que no es que no haya que ver técnicas, sino reflexionar acerca de qué técnicas son interesantes y cómo llegar a ellas. Si evitamos ciertos procesos en su construcción, no pasa nada por tirar de tecnología.

Ay, profe, que no sé si $(-2)(+3)$ es $+6$ o $-6$. Había una regla o algo. Desde luego, tendremos algunos alumnos que ya pueden haber vivido la experiencia más constructiva al respecto posible y que sigan teniendo estas dudas.

Pero cuando estemos haciendo matemáticas, tengamos claro qué matemáticas queremos hacer. Si eso es coherente con lo que pensamos, adelante. Nada más.

Otro ejemplo que he mencionado alguna vez, y admito que puede ser más sutil, lo encontramos en las regletas de Cuisenaire. Es verdad que un buen o mal uso pasa, en primer lugar, por el lenguaje que se utilice. Dejando a un lado el tema del color, que se las trae…

Resulta que en aritmética mal, porque no conectan directamente con el conteo. Y en medida, su propósito, regular, porque al ser estructuradas se saltan cositas del proceso de medida y no dan pie a que el alumno construya eso por sí mismo.

Por eso las tareas iniciales suelen ser muy guiadas. Que sea estructurado significa que, aquí, hay 10 regletas con unas medidas concretas. Hay una estructura que permite hacer unas cosas y otras no. Es un material diseñado de antemano para reflejar cierto objeto matemático.

Esto último no es malo per se. De hecho, las regletas podrían servir para establecer conexiones en cierto momento, pero como tareas iniciales de medida tienen sus pegas. Mucho mejor un material sin estructurar para tener que tomar decisiones a la hora de construir la subunidad.

A tope con los manipulativos (en mi perfil hay varios hilos que muestran que los he usado en secundaria). Pero también con la reflexión acerca de su uso. A mí, personalmente, me ha servido de mucho preguntarme si lo que hago concuerda con mi idea de las matemáticas.

Vaya, que con esto no quiero desanimar al uso de los manipulativos, eh. Que sé de coles de primaria donde su presencia es testimonial o nula y eso no puede ser. Y en secundaria, en fin.

Créditos

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De la aritmomanía de cierto Conde

Mon, 18 Jul 2022 00:00:00 +0000

About Count von Count’s arithmomania

Abstract

It is obvious that Sesame Street and its inseparable Muppets (Muppets) do not fall within what could be considered as cartoons. However, it was the first TV show for kids with a serious educational objective, so this section would be orphaned without having approached it. Furthermore, experts and researchers participated in its design and scripting from the beginning. Although there are several Muppets that deal with mathematical questions, we will dedicate the article to the Count von Count, a specialist in everything related to counting.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2022). De la aritmomanía de cierto Conde. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 11(1), 95-109. https://doi.org/10.24197/edmain.1.2022.95-109

Sobre la revista

Dialnet métricas

A vueltas con los algoritmos tradicionales

Mon, 14 Mar 2022 00:00:00 +0000

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Con lo bueno que es este tuit y ya he leído por ahí que si los algoritmos tradicionales por aquí y por allá. Hasta las narices, pero lo diré una vez más.

Link al tweet

El ÚNICO problema que tienen los algoritmos tradicionales radica, en todo caso, en la enseñanza «tradicional» de estos con objetivos «tradicionales».

Más aún, ahora en el currículo de primaria está el sentido algebraico y pensamiento computacional. No sé cómo lo veréis, pero los algoritmos forman parte de ese pensamiento computacional.

Que en primero y segundo de EP habría que limitarse a algoritmos en contextos de orientación espacial, acciones varias, etc. Sí. Y no ver un algoritmo de las operaciones, ni tradicional ni otro, también.

Pero a partir de final de 3ºEP o 4º EP los algoritmos de las operaciones son una oportunidad excelente para revisitar conceptos que tienen que ver con el sistema de numeración posicional y, vaya, cosicas del pensamiento computacional.

Las actividades sobre algoritmos de las operaciones pueden (deben) arrancar del trabajo con manipulativos. Como siempre, la reflexión sobre las acciones físicas que se hacen es la que motiva las instrucciones del algoritmo.

A partir de ahí, y teniendo claro que el algoritmo con lápiz y papel para obtener, simplemente, resultados de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, deja bastante que desear y que, como mínimo, es una alternativa más… se plantea un mundo de posibilidades.

Y con estos números, ¿habría que modificar el algoritmo?
¿Y si empezamos por la izquierda en lugar de por la derecha?
Y este otro algoritmo (se enseña una representación, como el de la multiplicación “japonesa” o “maya” -viral en cualquier caso 🤪-).. ¿cómo funciona?

¿Con manipulativos? ¿Cómo? Algo así. En el hilo lo muestro con billetes de base decimal, pero para los de la suma y la resta usaría puntos-barras-placas o similares.

Sumas y restas con llevadas, traditional flavour, con billetes

Aquí multiplicación y división

¿Distintos algoritmos en clase?
Sí.
Es que se lían.
Es que una cosa es restar y otra trabajar algoritmia (por lo de pensamiento computacional).

Y si en clase tengo alumnado que usa el algoritmo anglosajón y otro que…

Multiplica al revés

Créditos

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¿Por qué usar Ooodle (y Nerdle) como recurso en clase de Matemáticas?

Tue, 22 Feb 2022 00:00:00 +0000

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¿Por qué usar Ooodle como recurso en clase de Matemáticas?

Tranquilidad, que no es el #Ooodle diario, sino uno de práctica.

Uf, 77, qué número… Veamos, lo primero que me viene a la mente es que es 7x11.
Ya, claro, pero el 11 no está entre los números a elegir, pero 9x8 se queda cerca, solo hay que sumar 5, que es lo mismo que…

¿No será que van al revés el 9 y el 8? Con otros números no me quedo tan cerca al multiplicarlos… y para llegar a 77… Vamos a probar, y buscamos otros dos números cuya diferencia sea 5.

Enhorabuena, Pablo. ¿Eso es todo? Qué va. El orden de las operaciones cambia. Por ejemplo, aquí tenemos primero una resta primero.

No es una tontería. Realmente, exige pensar en estas expresiones de un modo más… algebraico, no en orden secuencial, sino en global. Además, si me encuentro con que necesito disminuir el valor de la expresión a lo mejor primero he de sumar y luego restar algo mayor.

¿Y cómo la podemos usar en clase? Una propuesta es como actividad de calentamiento, dando lugar a una charla de aula donde primen los argumentos para elegir unos números y no otros, favoreciendo la interacción.

Otra, dedicar parte de una sesión en grupos, donde, igualmente, se trate de dar valor al proceso de argumentación. Esto se puede complementar con el diseño de Ooodles, de manera que un grupo se lo pase a otro. Se me ocurre que se pueden plantear restricciones en los números, etc.

En definitiva, que es una actividad para desarrollar el sentido numérico y que llega a conectar con el álgebra. Os dejo el enlace por si no la conocíais, cosa rara en esta efervescencia de Wordle y derivados.

Enlace: https://mathszone.co.uk/resources/grid/ooodle/

Con versión MAX: Ooodlemax.

Atención al NerdleGame y todas sus variantes (que conocí gracias a @smaccarrone). Muy, muy interesante, ofrece incluso más grados de libertad. 💪

Y para los compañeros de Geografía e Historia… el Worldle.

¿Sabes que usamos un sistema de numeración diferente al hablar que al escribir?

Mon, 31 Jan 2022 00:00:00 +0000

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¿Sabes que usamos un sistema de numeración diferente al hablar que al escribir? Haz la prueba con unos cuantos.

Al escribir usamos un sistema posicional regular de base diez. Para ello, se utilizan 10 símbolos, que llamamos cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Y, al hablar, qué. Porque al leer 3200 no se dice tres-dos-cero-cero.

Tampoco se lee cero-cero-dos-tres, como apunta @arivero por los comentarios. 11 por ejemplo se lee ‘once’ y eso es una irregularidad, porque no se dice ‘dieciuno’. Pero más aún, cuando hablamos, ¿usamos realmente un sistema posicional?

Venga, que después de recuperarnos de lo de Nadal y mientras se la juegan los hispanos… Nuestro sistema oral va a ser que lo que se puede llamar un sistema híbrido de base 10 pero con irregularidades.

¿Qué es un sistema híbrido? Pues tenemos el ejemplo del chino tradicional (o del japonés, o como apuntaba @bpalop por los comentarios, el coreano nativo). En el chino tenemos estos símbolos. Es decir, no hay símbolo para el cero, porque no va a hacer falta.

Hay símbolos para la unidad (1), la base (10), para las potencias de la base (100, 1000, 10000, etc.) y para todos los números entre la unidad y la base (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

O sea, que para escribir 50347, lo que hay que hacer es pensar (y escribir) algo así:

5 veces diez mil, 3 veces cien, 4 veces diez y 7.

Y por qué nos vamos al chino para hablar de cómo decimos nosotros los números. Como decíamos, es muy parecido. El nuestro hablado también es híbrido.

Observemos que hay símbolos para los números entre la unidad y la base (dos, tres, cuatro, …, nueve) y también para la base (diez) y sus potencias (cien o ciento, mil). 3200 lo leemos como ‘tres mil doscientos’. 3 MIL 2 CIENTOS.

Pero tiene irregularidades, vaya que si las tiene. Como apuntaba antes, 11 se lee ‘once’ y no ‘diez y uno’ que sería lo normal si el sistema fuese regular. Esto ocurre hasta el quince (hablo del español, eh).

Además, decimo ‘veinte’ y no ‘dos-dieces’ o ‘dos-decenas’. Es decir, hay palabras específicas para las decenas: veinte, treinta, … noventa.

Con las centenas, la cosa empieza regular (regular de bien, de lógica, 😉): dosCIENTOS, tresCIENTOS, cuatroCIENTOS. Pero tenemos la cosa esta del quinientos, donde se pierde un poquito este principio multiplicativo.

Por otro lado, no todas las potencias de la base (10) tienen su propia palabra específica. 10000 es diez mil. Sin embargo, luego 1000000 es ‘millón’.

En el aprendizaje de la lectura y escritura de números hay que tener todo esto en cuenta, porque no es trivial en absoluto. En vocabulario técnico, tenemos que pasar de un sistema posicional a un sistema híbrido. O al revés, claro.

Si queréis profundizar sobre todo esto, os dejo link al capítulo de Cid, Godino y Batanero sobre sistemas numéricos en el proyecto Edumat-maestros.

Y bueno, qué mejor referencia sobre sistemas de numeración que el libro de G. Ifrah, From One to Zero.

Algunas actividades sobre sistemas de numeración al comienzo de la secundaria en este enlace.

Relacionado

@smargeli mencionó una interesante actividad de Fisher y Vince en Investigando las matemáticas. ¿Sabrías rellenar los huecos?

El caso del número que al multiplicarlo por 45 da 555555555

Mon, 15 Nov 2021 00:00:00 +0000

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Multiplica el número 12345679 por 45. Va hilo con actividad maja para ~5ºEP-2ºESO.

Ahora, multiplica 12345679 por 27.

¿Qué observas?

Bueno, pues aprovechando que peque mayor (5ºEP) se ha prestado, os comento. Esto es lo que sale la primera (luego comento sobre el algoritmo).

Y esto es lo que sale la segunda multiplicación.

Amazing, ¿verdad? ¿Qué observas? Tómate tu tiempo, que luego viene lo que viene.

¿Qué observas? Si es que hasta me lo ha escrito…

Nota de clase: no hacer spoilers. Cosas como esta, salen. La mejor forma de trabajarlas, dejarlos en grupos de cuatro.

Preguntas.

¿Y por qué número he de multiplicar para obtener todo doses? ¿Y todo ochos?

Aquí la respuesta de peque mayor.

Efectivamente, por 18. Aquí le he invitado a usar la calculadora, que estaba por la mesa.

Vale, ¿y para obtener todo 8 ochos?
Pues por 72.

¿Es posible obtener números formados por todo 1, todo 2, todo 3, … todo 9?
Sí… vamos a ver.
Pero compruébalo, eh.
Todo 1, por 9. Todo 2, por 18. Todo 3, por 27…

Hasta aquí hemos conjeturado. Y hemos comprobado todos los casos. Sin embargo, ¿por qué ocurre esto?

Al principio, me ha repetido lo de bajar una unidad y subir otra.

Mmm, pero eso es lo que has hecho para construir esos números, no es una razón para que funcione, ¿no? ¿Qué más observas?

Realmente, antes de esta pregunta ya había observado que todo eran múltiplos de 9. Ahora es cuando ha vuelto a ver que si para sacar todo 1 se multiplica por 9, para sacar todo 2 habrá que multiplicar por el doble (18, que es el siguiente múltiplo…).

Cuando lo he hecho en clase sale también la cuestión de las factorizaciones, que realmente es decir lo mismo con otro lenguaje.

$45=5\times 9$.

Por lo tanto, si $12345679 \times 9=111111111$, $12345679 \times 9 \times 5 = 555555555$.

Había prometido que hablaría sobre los algoritmos de los tuits iniciales. Ni le he dicho de hacerlos a mano ni cómo. Como veníamos de hacer el otro día esta otra actividad

Me ha preguntado si podía hacerlo como quería, y le he dicho que sí. Ahora bien, al final le he preguntado si tener los algoritmos ahí delante le ha ayudado con sus observaciones o no. Es decir, si se había fijado en ellos o no.

No, lo de cada fila no tiene nada que ver…

De hecho, esta actividad la vi hace tiempo en la Guía Praxis, aunque está recogida en más sitios. Y se propone directamente con calculadora. Porque aquí el algoritmo no aporta nada.

Con este hilo he querido mostrar, por un lado, una actividad sobre «la multiplicación» y sus cositas asociadas. Por otro, contrastar el objetivo con el de la del otro día, la de hacer el algoritmo de izquierda a derecha, que también era rica, pero diferente.

Alejados de la vida cotidiana TM

Ayer escribí un hilo sobre una actividad para hacer en clase de matemáticas que, en realidad, está muy alejada de la «vida cotidiana» TM. Es puramente intra-matemática. ¿Cómo se motiva al alumnado para hacer esto?

Si esperáis una receta mágica, aquí no la encontraréis. PERO.

Me atrevo a sintetizar el asunto en las siguientes claves:

Que estas tareas se planteen sobre los significados personales de los alumnos. Es decir, sobre lo que ya conocen los alumnos, no sobre lo que se supone que saben. Insisto, sobre lo que conocen y cómo lo conocen.

Para eso es indispensable que el trabajo parta de ellos. Por esta razón, en algún momento del hilo hablaba de que estén en grupos de cuatro, de puestas en común, etc.

De esta manera los significados se «negocian», en lugar de «imponerse». Y esto quiere decir que se construyen. Es eso lo que permite que el aprendizaje sea significativo (por esto hablo en este hilo de significado) y no si el contexto (o decorado) es de la vida cotidianaSigno de marca registrada o no.

Que la cultura de aula tenga integradas este tipo de tareas, donde aunque las preguntas iniciales puedan parecer tontorronas, sepan que siempre hay algo más. Ese tipo de tareas no hace falta disfrazarlas de nada.

Estos cambios en la cultura de aula no llegan de un día para otro. Siempre lo digo. Esa resistencia, además, no es cosa mía, está recogida en la literatura científica sobre el tema. Y la solución, que no receta mágica, pasa por mostrarse coherente.

Así que, respondiendo a la pregunta inicial, no se motiva a los alumnos de ninguna forma específica para realizar esa tarea. Lo que se busca es la motivación intrínseca.

Y bueno, en la búsqueda de esa coherencia, ayuda mucho, especialmente, la evaluación. Pero eso es otra historia, sobre la que ya hemos hablado alguna vez, y seguiremos haciéndolo.

¿Y si empiezas a multiplicar al revés, de izquierda a derecha?

Sun, 14 Nov 2021 00:00:00 +0000

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Peque mayor (5º primaria) me ha dejado plantearle un problema. Están con multiplicaciones. Algoritmo tradicional.

Vale, ¿y si empiezas al revés?
¿Cómo que al revés?
Sí, de izquierda a derecha.

Hemos empezado con uno más tontorrón.

Y a escuchar justificaciones.

Aritmética sexagesimal en la piscina

Mon, 11 Oct 2021 00:00:00 +0000

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Me gusta nadar. Así que tendréis que aguantar unas breves divagaciones acuático-matemáticas por mi parte.

En natación, al igual que en atletismo, suele hablarse de ritmo en lugar de velocidad. Es decir, cuando decimos que vamos a uno treinta el cien, significa que tardamos 1'30'' en nadar 100 m. Siempre ritmos. En cambio, en Tokyo 2020 las retransmisiones mostraban esto:

Bueno, menos mal que por lo menos iba en m/s y no km/h. Reconozco que servía para comparar, pero hubiese dado mucha más información conocer el ritmo de los 100 m o los 50 m.

El segundero de pared que podemos encontrar en muchas piscinas precisamente permite controlar, entre otras cosas, los ritmos. Y las cuentas que se echan para ello son en sexagesimal.

Si vamos a hacer series de 100 crol cada 1'30'', eso significa que se sale cada ese tiempo. Es decir, que la idea es llegar antes y descansar hasta que toque salir. Saliendo con la «roja arriba» en la primera, en la segunda se sale con la «roja abajo». Y así.

Sin embargo, si la cosa no cuadra tanto, se complica un poco. Supongamos que hacemos series de 50 m cada 50''. Salimos con la roja arriba. En la segunda, tocará salir con la roja a menos diez. En la tercera, con la roja a menos veinte. Y así.

Esto, además de ser un sistema que te indica cuándo salir, te permite contar las series. Si vas cansado o te despistas pensando en otra cosa, es habitual perder la cuenta. ¿Llevamos 5 o 6 series? La respuesta siempre es 6, aunque lo más probable es que llevemos 5.

Bromas aparte, el control con el segundero te permite saber la respuesta real. En la quinta se sale a y veinte. Y en la sexta a y diez.

Todo esto abre la puerta a plantear problemillas majos en clase. Desde indicar en qué posiciones se sale en las series si son cada cierto tiempo, a indicar en qué posición estará la aguja de un determinado color en la serie número n.

Más aún. A qué intervalo estamos haciendo las series si estamos por la quinta, hemos salido con la azul arriba y ahora está en esta posición. Vamos, creo que esto da para una secuencia de tareas ricas. Y solo son pinceladas.

Si se va a nadar algo medianamente largo, como a partir de un 200 m o un 400 m, una mirada al salir de la vuelta te permite controlar el ritmo. Para eso tienes que saber cuándo has salido o cuándo has tocado la última pared.

Alguna vez, hablando con @SergioMJGR, me señalaba la posible pérdida del 25 como punto de referencia sencillo para las cuentas mentales, al no existir monedas de 25 ct de euro.

El caso es que en natación sigue usándose mucho. 4x25 son 100 metros, 8x25 son 200 m y para nadar 400 m tendrás que hacer 16 largos. Piscina de 25 m, claro.

Todavía recuerdo cuando un chico en la piscina creía haber nadado 3000 m, todo orgulloso, cuando en realidad había nadado 1500 m. Menudo chasco cuando le dije que eran 25 m cada largo, no 50 m.

No sabe multiplicar en 1º de ESO

Thu, 15 Jul 2021 00:00:00 +0000

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1º ESO.

¡Si es que no sabe ni multiplicar!

Cuando he tenido este tipo de conversaciones, siempre he respondido con:

¿A qué te refieres con que no sabe «multiplicar»?

Pongo comillas porque primero hay que ver qué es lo que no sabe exactamente. Pero vaya, el big problem es que no se saben las tablas del todo o que no controlan los algoritmos para hacer cuentas con números de más de dos cifras.

El big big problem sería que no fuera capaz de abordar situaciones multiplicativas y que no tuviera estrategias alternativas. Este big big problem resulta que muchas veces va de la mano del big problem anterior.

Porque si se incide en la repetición mecánica de algoritmos sin comprensión se quita tiempo a la resolución de problemas de verdad. Y la repetición mecánica basada en la memorización bruta de hechos numéricos sin darle significación conlleva que nos dejamos atrás a muchos.

No solo eso, sino que los que «no nos dejamos atrás» y «tiran para adelante» lo hacen con una base matemática muy pobre. Pero vaya, que me estoy yendo por las ramas…

¿Qué nos puede hacer pensar que, si en 6 años de primaria no ha sido capaz de hacerse con las tablas o con el algoritmo, va a ser capaz de coger soltura repitiendo más de lo mismo?

Si en 1º ESO no se sabe la tabla de multiplicar, que trabaje con ella al lado. Si no controla los algoritmos, que utilice la calculadora. Lo que sea. Cualquier cosa, menos tenerlo anclado a esas matemáticas en las que lleva tiempo fracasando. Nuevos horizontes.

Lo que no quita para que, en el contexto de un taller, se puedan reconstruir ciertas cositas. Revisitar los algoritmos con material manipulativo y reflexionando sobre lo que se hace, sin más afán que la comprensión, es un momento ¡ajá! en toda regla.

Momentos de los que he sido testigo incluso en prácticas de Didáctica de la Aritmética I.

¡¡Así que esto era por esto!!

Pd1. No me vengáis con el no sé qué de las tablas de multiplicar y la memoria, por favor. Distingo memoria de memorieta. Asociar excelencia matemática y exigencia a saberse las tablas es de risa. Enlace a otro hilo sobre esto de las tablas de multiplicar

Pd2. Formas de ver los algoritmos desde la comprensión en primaria para profundizar en propiedades del sistema decimal posicional y que pueden continuar con tareas ricas sobre estos no centradas en la mera repetición:

¿Alguien más ha puesto melodía a lo del big problem o es que estoy muy mal?

La suela de la zapatilla: ¿qué observas? ¿qué te preguntas?

Fri, 28 May 2021 00:00:00 +0000

Esto da para empezar una clase. ¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

¿Qué pasa con los números romanos?

Fri, 02 Apr 2021 00:00:00 +0000

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Esto que se levanta uno y ve el tuiter on fire con los números romanos. Y entonces, el tuiter se divide en dos clases de personas. Resulta que en el aprendizaje de las matemáticas hay por lo menos dos factores que se relacionan con los sistemas históricos de numeración. Mini Hilo

Uno, la apreciación de las matemáticas. Como producto cultural, por su belleza, relación con el progreso, formas de pensamiento, etc. Otro, con el desarrollo del sentido numérico y la comprensión de nuestro sistema de numeración posicional.

Al final enlazaré ejemplos de actividades sobre numeración.

Los números romanos tienen una preponderancia excesiva y ocurre que no es el sistema histórico más apropiado con el que empezar a «comparar» nuestro sistema posicional.

Pareciera que están en el currículo para saber leer siglos, reyes y relojes. Y para eso no hace falta un tema entero.

No conviene empezar con los romanos porque presentan muchas peculiaridades. Primero habrá que distinguir el papel que juega la base de numeración, por ejemplo. Y qué es un sistema aditivo. Los números egipcios son un sistema aditivo de base 10 sin excepciones.

Los romanos tienen dos bases. 10 como principal y 5 como auxiliar. Y a eso se añaden sus conocidas excepciones para reducir la cantidad de símbolos escritos. Todo eso hace que su enseñanza muchas veces se centre en esa sintaxis.

Propuestas alrededor de los sistemas históricos se pueden hacer muchas y muy interesantes. Hoy en día nos parece muy sencillo nuestro sistema de numeración, pero no lo será tanto cuando costó muchísimo que apareciera. Incluso ya llegado a Europa, costó su aceptación.

Esta actividad no falla. Contar no es algo tan fácil. Enlace
Continuación sobre sistemas de numeración. Enlace
Y pequeñas ocurrencias que surgen alrededor de estas cosicas. ¿Qué sistema de numeración usa este juego?

Créditos

Imagen destacada obtenida de UnSplash

Algunas conexiones con el juego del 24

Tue, 23 Mar 2021 00:00:00 +0000

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Mis alumnos de 2º ESO me habían pedido hace días jugar al 24. Lo recuerdan del curso pasado y les encanta. Me gusta porque permite:

Incidir en cómo escribimos la expresión.
Trabajar cálculo mental.
Y lo mejor… establecer conexiones con cosas que hemos hecho en enteros.

También tiene su punto gracioso.

¿Qué número tenía que darnos al final?
23, porque por eso se llama juego del 24. 😉

Bromas aparte, en la tarjeta del ejemplo tenemos:

$(8-5+1) \cdot 6=24$

Yo tengo otra, profe:

$(8-(5-1))\cdot 6=24$

Pero… ¿son la misma?
No, bueno, sí, es que en la segunda ese restar 4 es lo mismo que restar 5 y sumar 1.

Para jugarlo en clase he utilizado esta página, que incluye la posibilidad de sacar tarjetas por nivel.

Se me olvidaba. Les he recordado que el curso pasado estas expresiones, muchos, las escribían mal:

No, si lo hacíamos mal no nos lo recuerdes, que nos liaremos.
Si es que, mirad:

$8-5=3+1=4 \cdot 6=24$

💀 Mentira cochina. ¿3=4? ¿A que no?

Hemos terminado poniendo también esto sobre la mesa. Es un clásico.

📷 Fuente

¿Por qué (-8) es menor que (-2)?

Sun, 21 Feb 2021 00:00:00 +0000

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¿Por qué (-8) es menor que (-2)?

(Docente) Fácil, dibuja una recta numérica y lo verás.
(Estudiante) A ver si me aclaro. Yo dibujo la recta, marco el cero y luego escribo los números a la derecha, que van aumentando, cada vez son mayores. Luego me pongo a escribir los números de la izquierda, que también irán aumentando, ¿no? 😖
(Docente) A lo mejor es porque te lo he puesto en horizontal. Vamos a verlo con un termómetro. Las temperaturas aumentan hacia arriba y disminuyen hacia abajo, ¿no?
(Estudiante) Sí, pero a -8 ºC tienes más sensación de frío que a -2ºC. De toda la vida, digo yo… 😖
(Docente) ¿Y si pensamos en un garaje subterráneo?
(Estudiante) Cada vez estás a mayor profundidad, ¿no será que el -8 es mayor que el -2? 😖
(Docente) Espera, que lo podemos hacer con estas fichas azules y rojas. Puedes pensar que son cargas eléctricas. Si tienes 5 rojas y 7 azules, 5 de ellas se neutralizan y te quedan 2 azules, que son negativas. ¿No es mejor tener menos de estas azules?
(Estudiante) 😖

Nota: nos vamos a encontrar obstáculos de este tipo intentando argumentar así con cualquier modelo concreto. Otro ejemplo que me compartía esta mañana @charotaber es esta balanza numérica

Para esto que pretendemos aquí, esa balanza también es un obstáculo. Si puedo compensar el +2 y el +6 con el -8, es que este es mayor, “pesa” más (ya sé que aquí la cosa va de momentos, pero los alumnos en este nivel argumentan legítimamente en estos términos).

¿QUÉ HACEMOS ENTONCES? 😱

Oye, Pablo, que no es para tanto, se enseñan las reglas de los signos y ya lo entenderán más adelante. Bueno, es una opción, pero este “pequeño” gesto se orienta hacia cierta visión de las mates, que a lo mejor no es la que queremos transmitir.

Por ejemplo, cuando en primaria se enseña a dividir con decimales y se habla de bajar ceros, es posible que se piense que:

a) Ya lo entenderán. b) No hace falta que lo entiendan.

Pues con esto lo mismo.

Venga, ¿qué hacemos? Y ojo, que vienen curvas.

(Docente) Deja que piense… Antes hemos aprendido a calcular diferencias de expresiones algebraicas, ¿verdad? Vamos a ver qué tal con esta situación que te voy a plantear. En la primera semana de curso, Alberto consigue ahorrar cuatro euros, mientras que en la segunda semana no recuerda si consiguió ahorrar o no. Por otro lado, María gastó dos euros en la primera semana y tampoco recuerda qué ocurrió en la segunda.
(Docente) ¿Cuál es la diferencia entre lo ahorrado por uno y por otra en la primera semana?
(Estudiante) Hay una diferencia de 6 euros a favor de Alberto… ¿4 - -2?
(Docente) Usaremos paréntesis para no escribir esos dos signos seguidos. Además, así dejamos claro que ese (-2) modeliza la pérdida de euros.
(Estudiante) Vale, entonces 4-(-2)=6. Puedo decir que restar un número que resta equivale a sumar ese número.
(Docente) ¿Y teniendo en cuenta lo que ocurre también en la segunda semana?
(Estudiante) Como no sabemos lo que ocurre, la diferencia será 6+a-m, siendo a lo que ahorra o gasta Alberto y m lo que ahorra o gasta María.
(Docente) Analicemos qué puede ocurrir en la SEGUNDA semana, donde la diferencia es a-m.
(Estudiante) Si Alberto ahorra 6 en una semana y María ahorra 4,la diferencia es de 2 euros a favor de Alberto. a-m = 6 - (+4) = 2
(Docente) Si Alberto ahorra 6 en una semana y María gasta 4.
(Estudiante) a-m = 6 - (-4) = 10. La diferencia es de 10 euros a favor de Alberto.
(Docente) Si Alberto gasta 6 en una semana y María ahorra 4.
(Estudiante) a-m = -6 - (+4) = -10. La diferencia es de 10 euros a favor de María. Y por cierto, entonces restar un número que suma es lo mismo que restarlo, ¿no?
(Docente) Si Alberto gasta 6 en una semana y María gasta 4.
(Estudiante) a-m = -6 - (-4) = -2. La diferencia es de 2 euros a favor de María.
(Docente) Y volviendo a la pregunta que motivaba todo esto… La diferencia nos sale positiva cuando es mayor el primer término, ¿no?
(Estudiante) Sí. Por ejemplo, 8-5= 3. El 8 es mayor que el 5.
(Docente) Y cuando la diferencia sale negativa es porque es mayor el segundo término, ¿no?
(Estudiante) Sí. Por ejemplo, 5-8 = -3. El 8 es mayor que el 5.
(Docente) Vamos a hacer la diferencia de esos números. (-8) - (-2) = -6
(Estudiante) Mmm, ¡sale negativa! ¡Eso quiere decir que el (-2) es mayor que el (-8)!

Disclaimer. Esto forma parte de una secuencia didáctica mucho más amplia en la que, poco a poco, se van construyendo los números enteros en un entorno algebraico.

La secuencia ideal no es tan dialógica (ni breve) como la que he dramatizado en estos tuits, sino que hay momentos en que los alumnos se enfrentan a estas y otras situaciones y después se comentan sus soluciones y argumentos.

Si quieres saber más sobre los obstáculos de los modelos concretos para la enseñanza de los negativos (es un tema apasionante de la didáctica), aquí enlazo el artículo de Eva Cid. http://quadernsdigitals.net/datos/hemeroteca/r_40/nr_460/a_6233/6233.pdf

Y la secuencia de la que hablo está basada en la que describe Cid en su tesis, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos, del año 2015.

Veo comentarios que surgen, obviamente, de un conocimiento matemático avanzado, como lo de extender ciertas propiedades de los naturales. Quizás no he remarcado, culpa mía, que se trata de introducir los enteros, pensemos en estudiantes de 1º o 2º de ESO (12-13 años aprox.)

La idea de la secuencia, entre otras, es evitar presentar a los enteros como un monumento. Y mientras se introducen, fíjate, hacemos matemáticas, en una etapa obligatoria.

Si este hilo os ha sabido a poco, intenté capturar la esencia de la propuesta de la tesis de Cid en este post, aunque la fuente original siempre será mucho mejor.

Algoritmos tradicionales de la multiplicación y de la división con billetes.

Sun, 07 Feb 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Algoritmos tradicionales de la multiplicación y de la división con billetes.

Para los nuevos. Con esto de los algoritmos (con los tradicionales y con cualquiera) hay que tener claro que el papel principal que deben jugar en el aprendizaje no es el mismo que el que pudieran tener hasta mediados del s. XX. No tienen la misma importancia social que entonces.

Habrá que poner el foco en el desarrollo del sentido numérico, la estimación y técnicas de cálculo oral y mental. Así mismo, trataremos de profundizar en la comprensión de nuestro sistema de numeración posicional.

Una propuesta adecuada, por ejemplo, evitaría el uso de algoritmos en 1º EP, porque en el momento que los introduces y pones ahí el centro de atención, olvídate del cálculo mental. Tiene sentido introducirlos hacia finales de 2º EP, con números de tres cifras.

Pero entonces… ¿cómo los pongo a hacer problemas si no saben ni sumar? Bueno, pues es que una cosa es sumar y resolver situaciones aditivas y otra es cómo llegues al resultado de la suma.

De hecho, centrarte en los algoritmos hace que dediques muy poco tiempo a otras cosas. Confunden idea de suma con procedimiento para sumar. Y entonces los problemas son o de suma o resta. Y me lo juego, si es la una será la otra. Datos, operación, solución. Hombre llevándose la palma de la mano a la cara

Algoritmo de la multiplicación

Venga, al lío. Vamos a justificar con billetes el algoritmo tradicional de la multiplicación por un número de una cifra. Representamos el número 1426 con el menor número de billetes posible.

Esto ya es una situación interesante. Con el MENOR NÚMERO DE BILLETES. Si hubiese usado 26 billetes de uno, podría haber cambiado 20 de ellos por 2 billetes de diez.

Construye ahora una cantidad de dinero tres veces mayor. De nuevo, represéntala con el menor número de billetes posible. Pasaré a tener 18 billetes de uno, 6 billetes de diez, 12 de cien y 3 de mil.

Pero como tengo 18 billetes de uno, puedo cambiar 10 de esos por 1 billete de diez. Y como tengo 12 billetes de de cien, puedo cambiar 10 de esos por 1 billete de mil. Esos cambios van a ser las llevadas.

Pd. Para este hilo he tenido ayuda.

Veamos ahora el algoritmo en relación con las acciones que hemos hecho con los billetitos. El primer paso es escribir el número grande arriba (multiplicando) y el pequeño debajo (multiplicador). Bien alineados

Triplicamos los billetes de uno. Nos salen 18.

Pero 10 de esos los podemos cambiar por 1 de diez. De ahí viene el “y nos llevamos una”.

Se pasa a multiplicar la siguiente cifra del multiplicando, a cuyo resultado añadiremos la “llevada” que hemos guardado del paso anterior.

Se procede de la misma manera hasta llegar a la última cifra del multiplicando. El resultado de esta última se escribe íntegro.

Vamos a por la multiplicación por un número de dos cifras. Como paso previo, veamos qué ocurre cuando multiplicamos un número por 10.

La tarea es igual que la anterior. Representa el número 327 con la menor cantidad de billetes posible. Entonces, construye una cantidad 10 veces mayor y represéntala con el menor número de billetes posible.

Lo que ocurre es que, en este caso, te juntas con 70 billetes de uno, 20 de diez y 30 de cien; que puedes cambiar por 7 de diez, 2 de cien y 3 de mil. En definitiva, tienes ante ti el número 3270.

Por eso cuando multiplicamos por 10 basta con añadir un cero a la derecha. Nos apoyamos, como se ha visto, en que diez unidades de un orden equivalen a una unidad de un orden superior.

Ahora sí estamos en condiciones de multiplicar el 327 por un número de dos cifras, como el 24. Habiendo trabajado técnicas orales de cálculo, discutimos en clase que para hacer una cantidad 20 veces mayor, podemos duplicarla primero y luego construir algo 10 veces mayor.

Después de haber manipulado con algunos ejemplos, reflexionamos y justificamos el algoritmo, relacionando los pasos de este con las acciones realizadas.

Realmente, como veremos, hacer una cantidad 24 veces mayor que otra, es lo mismo que hacer una cantidad 4 veces mayor, una cantidad 20 veces mayor, y sumar ambos resultados.

Si quiero hacer mentalmente 35x24, puedo pensar en hacer 35x20, que se puede hacer duplicando 35 y multiplicando por 10 (sale 700). Luego le sumo lo que falta, 35x4, que es 140, número al que puedo llegar duplicando 35 y volviendo a duplicar el resultado. Total, 700+140=840.

Que me voy por las ramas. Estábamos en 327x24. Primero, multiplicamos por 4 el multiplicando, cosa que ya sabemos hacer. Ahí tenemos el 1308.

Si recordáis el algoritmo, ahora pasamos a multiplicar 327x2, pero el resultado lo ponemos desplazado. Esto es porque estamos duplicando y multiplicando por 10, que ya sabemos que es añadir un cero (por lo que hemos explicado antes). Ese 654 es en realidad un 6540.

Y ahí tenemos el resultado final, al sumar ambas filas.

El “problema” está en que no se suele justificar ese desplazamiento de la segunda fila, con lo cual tenemos a gran parte del alumnado ejecutando un algoritmo sin saber lo que está haciendo para algo que en realidad no le hace falta.

Algoritmo de la división

Lo de la división, que parece que trae más de cabeza al personal, ya lo traté de pasada en el de las tortillas, hilo que enlazaré después. La cuestión es que voy a presentarlo aquí como el reparto de una cantidad de dinero.

Comenzamos igual que antes. Representa el número 6284 con el menor número de billetes posible y reparte esa cantidad entre 6 personas. Cuando esto se plantea así, sin más, tampoco hay por qué ir en orden, pero van a salir elementos clave en los que se apoya el algoritmo.

Por ejemplo, un niño o una niña podrían empezar repartiendo los billetes de diez. Como hay 8, pueden dar 1 billete de diez a cada participante. Sobran 2. También pueden dar 1 billete de mil a cada uno, y en este caso no sobra ninguno.

Me quedan por repartir entonces 2 billetes de cien, 2 de diez y 4 de uno (es decir, 224). Está claro que puedo seguir repartiendo. Vaaaale, cambio los 2 de cien por 20 de diez y sigo repartiendo, porque ahora puedo dar 3 de diez a cada uno y me sobran 2 de diez.

Y así puedo seguir hasta ver que a cada participante le tocan 1047 y que sobran 2 billetes de uno. Nota: he elegido un ejemplo en el que sale un cero en el cociente que suele ser fuente de dificultades. Se puede empezar con otros que no incluyan estos ceros.

Sin embargo, quiero ilustrar que teniendo un control semántico sobre lo que estamos repartiendo en cada momento, evitamos que se «olvide» ese cero y que el resultado final no tiene sentido. Cosa que, con algo de sentido numérico, se vería al instante (¡¡no puede ser 147!!)

Cómo justificamos el algoritmo. El tradicional en España tiene la siguiente pinta inicial.

Lo voy a describir desplegado del todo, para incidir en todo lo que está pasando. Esto suele llamar la atención, porque si se usa el algoritmo tradicional de la resta (el que modifica el sustraendo), no suele escribirse lo que se resta, sino que se hace “on the fly”.

Hay alumnos que cuando hacen lo de la división, no saben que están restando. Y no es culpa suya.

Tenemos esto. Empezamos por la cifra de mayor valor posicional. ¿Cuántos billetes de mil puedo dar a cada uno de los 6 participantes? A ver, tengo 6, pues puedo dar 1 billete de mil a cada uno.

Aquí lo tenemos. He dado 1 billete de mil a cada uno y por eso esto irá en la cifra del cociente correspondiente a las unidades de millar. He dado 6 billetes de mil en total y no me sobra ninguno.

Vamos ahora con los billetes de cien. Tengo solo 2 de cien, por lo que los participantes no van a recibir ningún billete de cien.

Si quiero continuar, con el algoritmo habitual se dice que “bajamos el 8”. Lo que hacemos en realidad es convertir los 2 billetes de cien en 20 billetes de diez, que junto con los 8 de diez del dividendo, nos hacen un total de 28 billetes de diez a repartir entre 6 personas.

De esos 28 billetes de diez, puedo dar 4 a cada uno de los 6 participantes, dando en total 24. Me sobran 4 billetes de diez.

Igual que antes, cambio esos 4 billetes de diez por 40 de uno, que añadidos a los 4 “que bajan del dividendo” me hacen un total de 44 unidades.

Y ya estaría. De esas 44 unidades, puedo dar 7 a cada uno de los participantes, doy un total de 42 y me sobran dos unidades.

La idea de reparto permitirá conectar más adelante representación decimal y fraccionaria del número racional. Más información sobre esto aquí en el de las tortillas, donde ya hablaba de esto de la división.

¿Y cuando el divisor es un números de dos cifras? Bueno, ya sabéis que hay países que no lo tienen en el currículo. No tiene mucho sentido perder mucho tiempo en ello. Pero vaya, se justifica igual que la que acabamos de hacer. Lo que ocurre es que es tedioso.

Fijaos si son tediosas las divisiones estas que he puesto un número donde no era en una de ellas y he usado tippex para no repetir el asuntoHombre llevándose la palma de la mano a la cara. Espero que me perdonéis. Yo nunca lo haría, porque soy de elogiar el tachón Rodando por el suelo de risa.

Y con esto ya estaría. En el hilo de los algoritmos de la suma y de la resta (tradicional y anglosajón) dejé unas plantillas muy cutres para los billetes. Recuerdo que vale con material estructurado de base decimal (puntos, barras y placas, casi mejor).

Todo esto está basado en las prácticas preparadas por @dm_unizar en @FacultadEducaUZ para Didáctica de la Aritmética I.

¡Un saludo y feliz clase! Si has encontrado interesante el hilo, ya sabes, a compartir.

Epílogo

El siguiente hilo, sobre el tratamiento de la medida en diferentes etapas.

Pd. Me dicen por el pinganillo que son muy pequeños estos billetines. Sí, lo son, son los que imprimí en casa para trabajarlo con mis pequeños. Mejor más grandes y, como he dicho en el hilo, mejor puntos, barras y placas, por lo menos para los de la suma y resta.

Aunque no me diréis que no habéis pensado en un kit individual para tiempos pandémicos. En cualquier caso, tened en cuenta que esto se supone que se plantea para niños y niñas de 2ºEP (hacia mitad de curso) y 3ºEP. Antes, como he dicho, ni hace falta ni viene bien.

Pd2. Siempre que hago un hilo sobre esto me gusta mencionar que las matemáticas en primaria no son sólo aritmética. Al igual que las mates en secundaria, que no son solo álgebra.

Sumas y restas con llevadas. Traditional flavour. Usando billetes.

Sat, 06 Feb 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Sumas y restas con llevadas. Traditional flavour. Usando billetes.

Ahora que tengo vuestra atención, debo deciros que el tuit anterior lo tiene todo mal. En primer lugar, no hay «sumas con llevadas». En todo caso, se puede hablar del algoritmo tradicional o estándar con llevadas. Digo esto porque 23+18 es una suma. Punto.

Puedo calcular 23+18 sumando 20 a 23 (en lugar de sumar 18) y quitando 2. Total, 41. O puedo hacer 23+10, que da 33, y luego sumar 8, cosa que hasta podría hacer contando con ayuda de los dedos.

O sea, que una cosa es sumar, restar, multiplicar y dividir, y otra, la forma de hacerlo. Los algoritmos tradicionales son UNA FORMA de efectuarlas. Más turra sobre implicaciones educativas de esto al final del hilo.

En el gif salen billetes porque voy a justificar los algoritmos con billetes, pero esos del Monopoly no sirven. No hay de 1 €, ni de 10 €, y además hay de 2000 €, 5000 € y 50000 €. Necesitamos un sistema de billetes estrictamente decimal, desde la unidad.

Como estos de aquí. Tranquilidad, que al final dejaré plantillas. Sosillas como estas (pero que son pequeñas e incluso pueden proponerse kits individuales para el contexto actual) y otras más realistas.

De todas maneras, dependiendo de la edad, sería mejor utilizar material del tipo de puntos, barras y placas. Se diferencia de los billetes en que la barra se ve que está compuesta por 10 puntos.

Dicho todo esto, vamos al lío. La suma. Comenzamos representando los dos números que queremos sumar, con el menor número de billetes posible. Pongamos como ejemplo que quiero hacer 356+878.

Ya con la representación de los números tenemos un interesante problema. Con el MENOR número de billetes posible. Es decir, que esto de aquí no nos vale, aunque represente el 356.

No nos vale porque podemos cambiar 10 billetes de uno por 1 billete de diez.

Aquí tenemos el 356 y el 878.

Ahora juntamos las del mismo tipo y contamos. Me salen 14 billetes de uno. ¡Pero puedo cambiar! Recordemos que quiero utilizar el menor número de billetes posible, así que si puedo cambiar 10 de uno por 1 de diez, lo hago.

Y si hago esto con las demás, ocurre lo siguiente:

¿Qué ocurre en el algoritmo tradicional o estándar de la suma?

Pues que cuando hago 8+6 y me sale 14, digo que pongo 4 y «me llevo una». Ese «me llevo una» es la decena del catorce. En lo que hemos hecho antes, viene de que podemos cambiar 10 billetes de uno por uno de diez.

Es tan icónico esto del «y me llevo una» que es el título de un libro de @tocamates 😉. Aquí es fácil de comprender qué es eso de la llevada, pero luego veremos que en el de la resta tradicional no lo es tanto.

Se llaman algoritmos porque son una serie de instrucciones sistemáticas. O sea, que se pueden programar. Este es el de la suma:

Escribe los sumandos uno debajo de otro de manera que las unidades de un mismo orden de los diferentes números queden situadas en la misma columna.
Traza una raya horizontal debajo del último sumando.
Suma las cifras que se encuentran en la columna de la derecha.
Si el resultado de la suma es menor que 10, escríbelo en dicha columna debajo de la raya y pasa a sumar la columna siguiente. Si no, salta al paso 5.
Si el resultado de la suma es mayor o igual que 10, escribe sus unidades en la columna actual y añade la cifra de las decenas a la suma de la columna siguiente.
Continúa el procedimiento (vuelve a paso 3) hasta llegar a la última columna.
El resultado de sumar la última columna se escribe íntegro debajo de la raya.
El número que aparece debajo de la raya es la suma de dichos sumandos.

Aquí está la suma anterior completa. Los unos en rojo son «las llevadas»; es decir, los cambios que hemos hecho. Observemos que la última suma («el doce», doce centenas) se pone íntegra (una unidad de millar y dos centenas), tal y como indica el algoritmo.

Inciso: una actividad muy maja sería programar estas cosas en Scratch.

Algoritmos de la resta: tradicional (en España) y anglosajón

Vamos con la resta. Explicaré dos algoritmos. El anglosajón y el tradicional (el estándar, en España). El anglosajón es más fácil de justificar y, por tanto, de comprender. Luego tiene alguna implicación que hay que tener en cuenta, pero sin mayor importancia.

Hagamos 425-178. Represento 425 con el menor número de billetes posible. Restar 178 significa quitar (sustraer) 8 billetes de uno, 7 de diez y 1 de cien. Pero, ¿qué ocurre? Que no puedo quitar 8 de donde solo hay 5. Solución anglosajona, cambiar uno de los billetes de 10.

Aquí el algoritmo anglosajón completo con billetes y en notación simbólico-numérica.

Una característica fundamental del anglosajón es que, para poder hacer la resta, solo se modifica el minuendo (el de arriba). El sustraendo permanece igual.

El anglosajón se basa en que 425 = 410 + 15. Es decir, que puedo cambiar 1 unidades de un orden por 10 unidades del orden inferior. Por ejemplo, 1 decena por 10 unidades; o 1 centena por 10 decenas. Según me convenga.

El tradicional o estándar (en España) se basa en una compensanción. Antes de introducirlo hay que tener claro que si tú tienes 25 euros y yo 10, tú tienes 15 euros más que yo. Y que si nos dan 10 euros a ti y otros 10 euros a mi, seguirás teniendo 15 euros más que yo.

Parece una tontada, pero no es evidente. Sobre todo cuando hablamos de niños y niñas de 7-8 años y que «la llevada» del tradicional tiene que ver con esto. Hay muchísimos alumnos que no llegan a entender qué es la llevada. Lo hacen, y punto.

Vamos a verlo con billetes. 425-178, como antes. Representamos 425 con el menor número de billetes posible. Restar 178 implica quitar 8 billetes de uno, 7 de diez y 1 de cien. Pero no podemos quitar 8 de uno. Así que cojo 10 billetes de uno del montón y los añado a los cinco.

Pero claro, para compensar tengo que añadir la misma cantidad al sustraendo. Añado 1 billete de diez. Esa es la llevada del tradicional. Aquí lo represento (y en simbólico-numérico he escrito más de lo que normalmente se escribe).

La compensación en que se basa el algoritmo tradicional es la siguiente:

$$425-178 = (425 +10 ) - (178 +10)$$

Volvamos al anglosajón. Una vez aprendido como antes, hay que poner sobre la mesa qué ocurre cuando tenemos ceros intermedios en el minuendo. Tal y como lo hemos hecho, no sirve. Os planteo como ejercicio hacer 2001-975. ¿Qué instrucciones adicionales necesita el algoritmo?

Y el tradicional, ¿tiene este problemilla? Intentad hacer el 2001-975.

No tiene el problemilla del anglosajón. Sin embargo, cuando el sustraendo tiene menos cifras que el minuendo, hay lugares vacíos en las cifras de órdenes superiores. En esos casos, hay niños que no compensan la llevada porque son lugares vacíos.

A los que os enseñaron el tradicional, sabed que seguramente también hayáis restado alguna vez con el anglosajón. Y si no, pensad en cómo hacéis para calcular intervalos temporales expresados en horas, minutos y segundos.

El anglosajón implica, más adelante, que en la división se tienen que escribir las restas parciales. Se necesitan, porque se va escribiendo sobre el minuendo. El tradicional, en cambio, se hace on the fly y no suelen ponerse.

Para terminar, la turra prometida. No se debería enseñar ningún algoritmo (ni estos ni otros) en 1º de Primaria. Y en 2º, únicamente que se manejen los alumnos mentalmente y con diversas estrategias con números de dos cifras. Vamos, que con números de 3 cifras.

Si introducimos algoritmos de forma prematura vamos a anular esas estrategias de cálculo mental. Que, por cierto, pueden aparecer de forma espontánea, pero hay que trabajarlas y discutirlas en clase.

No solo eso, sino que muchos alumnos asimilarán suma y resta con sus algoritmos.

El objetivo de introducir estos algoritmos será el de comprender cómo funciona el sistema decimal posicional. Son adecuados, ya que explotan al máximo sus características. El objetivo, desde luego, no es que hagan N operaciones en 30 minutos.

Más objetivos de aprendizaje: valorar si me compensa hacer la operación de una forma o de otra, estimar lo que va a salir antes de hacerla.

Las plantillas: aquí. Recordad que sería mejor con puntos, barras y placas. Y dejar esto, quizá, para la multiplicación y la división.

Esto que os he contado está basado en una de las prácticas de Didáctica de la aritmética I que se hacen en Zaragoza desde hace mucho, antes de que yo llegara. Así que crédito para @dm_unizar en la Facultad de Educación de la Universidad de Zaragoza.

Si os portáis bien, el año que viene continúo con la multiplicación y la división.

Pd1. Todo esto en paralelo con situaciones concretas (problemas). Y recordando dos cosas:

Que la aritmética no solo es hacer cuentas.
Que las matemáticas en primaria no son solo aritmética.

Pd2. Aquí un pequeño test.

Pd3. Hubo un tiempo en que hacía falta dominar estas técnicas de cálculo para el día a día. De ahí a verlas hoy en día sin comprensión (que, como muestra el hilo, se puede), hay un trecho. Mirad aquí cómo se apañaban hace no tantos años.

Numberblocks, donde los números son los protagonistas

Thu, 24 Dec 2020 00:00:00 +0000

Numberblocks, where numbers play the key role

Abstract

We introduce the readers to a new series, but unfortunately only available in English. This is Numberblocks, a British production designed for kids aged 4 to 7 in which numbers are the main characters, the latter being said in the most literal sense possible. The episodes are very short, lasting about five minutes, and the series begin with the introduction of the numbers, starting with one, and go on to deal with multiplicative situations. As we will see, each number has its own personality, which is related to its mathematical properties. A careful use of language from the mathematical point of view, decompositions of the numbers and additional symbolism in the background for viewers at the upper limit of the age range, make this series a resource to consider for the little ones. Not surprisingly, it has been produced with the collaboration of the NCETM of the United Kingdom, whose website offers additional materials. In this article we describe the main characteristics of the series, the content it addresses and… what the children think about it.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2021). Numberblocks, donde los números son los protagonistas. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 9(2), 99-109. https://doi.org/10.24197/edmain.2.2020.99-109

Con lo de las sumas, restas, multiplicaciones en vertical y divisiones en caja, con rejilla o como sea

Wed, 14 Oct 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Vamos a ver. Con lo de las sumas, restas, multiplicaciones en vertical y divisiones en caja, con rejilla o como sea. Nadie en su vida adulta, que yo sepa, y esto incluye a estudiantes de grados de matemáticas, ingenierías, etc. hace esas operaciones de esa manera.

O se pueden hacer mentalmente o se hacen con calculadora.

Si se pueden hacer mentalmente, genial. Fomentemos eso. Si se hacen con calculadora, conviene haber desarrollado el sentido numérico para estimar el resultado.

¿Esto significa que no hay que aprender los hechos numéricos elementales? Por supuesto que no. Si no, ya me dirás cómo estimas mentalmente que 48x4 tiene que ser menor que 200. Eso, si estás perezoso, porque si inviertes un pelín verás que tiene que ser 8 menos que 200.

¿Significa, acaso, que hay que desterrar los algoritmos? Pues no. Y aquí incluyo a cualquier algoritmo, incluidos los tradicionales, que no tienen la culpa de nada. Lo que significa, simplemente, es que hay que replantearse su papel en la enseñanza.

El objetivo debe ser desarrollar el sentido numérico y aumentar la comprensión del sistema decimal posicional, nuestra forma de escribir los números. La comprensión de la ‘llevada’ implica que 10 unidades de un orden equivalen a una de orden superior.

Y para eso hay muchas actividades más allá del martillo pilón, comenzando por la construcción de los hechos básicos y la justificación de esos algoritmos vía manipulables.

Eso, y que las matemáticas en primaria no son solo aritmética. Al igual que en secundaria no son solo álgebra.

No sabía si meterme en un jardín o no, pero, como siempre que hablo de estas cosas me nombran el ABN, voy a dar unas pinceladas sobre supuestos algoritmos alternativos.

Y comienzo por el final de la primera parte. En contra. He visto los libros de ABN y son casi todo aritmética. Por ejemplo, el tratamiento de la medida va mucho más allá del sistema monetario.

A favor. Obviamente, que se puede sumar descomponiendo y con manipulables. Me resulta llamativo que esto se siga considerando innovación hoy en día. Lleva décadas diciéndose desde la didáctica de la matemática y en pocas cosas habrá tanto consenso.

A ver si me van a pedir ahora el copyright si me da por usar palillos.

En depende. El ABN, y cualquier algoritmo, puede pecar exactamente de lo mismo que se acusa a los tradicionales. He visto hacer rejillas para descomponer números y hacer sumas que se deberían haber hecho verbalmente. No solo eso, también he visto hacerlas de forma poco flexible.

Vaya, antes de que salte nadie. Es que el ABN no dice eso, hay que hacer no sé qué. Bueno, vale, pero es lo que ocurre luego, por lo menos, en algunas aulas que dicen que hacen ABN. Que los algoritmos tradicionales también pueden usarse bien, teniendo claro lo que se persigue.

Reflexión. Alguna vez he hablado con maestros y maestras que querían hacer una especie de canal de comunicación para explicar el ABN a las familias y que pudieran ayudar a sus hijos. Loable.

Porque claro, es un follón. Pero, oye, ¿y si generamos situaciones de comunicación en torno a los algoritmos tradicionales (y otras formas de calcular)?

Me gustaría que el “conflicto” no estuviese generado por una forma u otra de calcular, sino por una u otra forma de concebir las matemáticas. Ya lo he mencionado alguna vez, enseñar a través de la resolución de problemas lleva aparejada una ruptura del contrato didáctico.

Esa ruptura, desde mi punto de vista, es más profunda y merece más la pena. Y creo que de momento ya vale por ahora. ¡Luego buceo en las interacciones!

A todo esto, muy interesante la reflexión de @IreneFerrando1 y @carsecor sobre los métodos milagro en matemáticas.

Una cosita más, por si me leen recién llegados. Lo de enseñar a través de la resolución de problemas lo tengo desarrollado entre mis hilos, en el perfil, y, específicamente, en este momento. Claro, también a lo largo y ancho de este blog.

Créditos

Imagen de cabecera: Wikimedia

Una actividad para trabajar la estimación en clase de Matemáticas con arroz

Thu, 01 Oct 2020 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2020). Una actividad para trabajar la estimación en clase de Matemáticas con arroz. En P. Usán y C. Salavera (Coords.), Gamificación Educativa, Innovación en el aula para potenciar el proceso de enseñanza y aprendizaje (pp. 257-266). Pregunta Ediciones.

Se trata de una versión ampliada de Beltrán-Pellicer, P. (2019). Una de estimación en clase de Matemáticas con arroz [Entrada de blog]. Blog de experiencias de aula. Formación del profesorado (DGA). Disponible en http://dgafprofesorado.catedu.es/

¿Cómo fue mi primera clase como profesor?

Thu, 02 Jul 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Recuerdo con cariño cómo fue mi primera clase como profesor. Un 1° ESO, en una sustitución. Estaban con el primer tema, de números y tal. Venga, de dividir os acordáis ¿no?

Hice una división en caja, desplegada, divisor de dos cifras 🤦🏻‍♂️ y tal, con todas las operaciones por escrito. En un afán por que quedara todo claro, clarito.

Más tarde aprendí que eso se conocía como el algoritmo extendido. Los chavales, no entendían qué leches estaba haciendo. Y yo…, en aquel momento llevaba más de una década sin hacer una división a mano. Y no me imaginaba cómo podía no entenderse aquello.

Y eso era lo que hacía que me observaran con una mezcla de cautela, sorpresa, e incomprensión: estaba escribiendo las restas completas.

También llegué a aprender la tontería que supone perder tiempo con según qué cosas. Como por ejemplo, dedicar esfuerzo a esa división por un número de dos cifras. Y a hacer divisiones, en general, porque sí.

Si alguien que ha trabajado el algoritmo de la división sabiendo por qué se procede así, no identifica el algoritmo desplegado… cuidado. Más adelante me percataría de que seguramente muchos de esos alumnos realmente no eran conscientes de que estaban restando en cada paso.

Aquella situación, aquella anécdota, se ha ido tornando extrañamente significativa para mí.

Fuente de la imagen: manelzaera.

Spoiler de los enteros para primaria

Sun, 03 May 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de un hilo de Twitter.

Hubo alguien que, después de leer los hilos sobre enteros, me preguntaba que qué pasa con primaria. Porque claro, la propuesta era muy algebraica, y los enteros se ven en primaria. ¿O no?

$-2-5=-7$

¿Qué sentido tiene aprender a hacer eso así, en primaria?

Para responder a esa pregunta, planteo un ejercicio: inventa un problema que se resuelva con esa operación.

Venga, no seas perezoso, inventa uno.

¿Se parece a este?

María perdió dos cromos por la mañana y otros cinco por la tarde. ¿Cuántos cromos ha perdido María?

¿En serio hace falta resolverlo con $-2-5$? Ha perdido $2+5$, que son 7 en total. Y punto.

A lo mejor has sido más pillo y has inventado algo así:

Por la mañana estábamos a dos grados bajo cero, y por la tarde ha bajado cinco grados. ¿Qué temperatura hacía por la tarde?

¿Hace falta ver enteros como estructura numérica o hace falta aprender cómo es la escala de temperatura?

En primaria toca trabajar la aritmética. Y eso no son solo cuentas. Son problemas donde el control semántico de lo que se está haciendo es fundamental.

Lo que no quita para hacer actividades de álgebra temprana, que no es solo usar letras. Sino trabajar generalizaciones, abstracciones, reconocimiento de patrones…

No nos perdamos en primaria en bosques que llegarán en secundaria. Hay mucho trabajo por hacer, y muy entretenido, más allá de reglas operativas como la que motivaba este pequeño spin-off de los enteros.

He dicho que es spin-off de lo de los enteros. Me refería a esta cosita de aquí y al entreacto de acá.

¡Feliz clase!

Entreacto de los enteros: características de su introducción con modelos concretos

Sat, 02 May 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de varios hilos de Twitter.

Entreacto, en algún lugar entre el segundo y el tercero. Una vez presentados los personajes, para completar la reflexión faltaría exponer cuáles son las características de la introducción en el aula de los enteros por medio de modelos concretos.

Dentro spin-off.

1️⃣ Supone que los enteros se ven en el ámbito de la aritmética

¿Cómo? ¿No son números? Ya vimos que una característica fundamental de la resolución aritmética de problemas es el control semántico del contexto.

Esto quiere decir que es el significado de cada número el que nos permite decidir qué operaciones ir haciendo en cada momento. Una consecuencia es que no se necesita incluir nuevos símbolos que los empleados ya para los naturales.

Resolver un problema de este tipo acudiendo a los enteros, con todo lo que conlleva, no hace sino aumentar innecesariamente la complejidad de la notación. Hay ejemplos de problemas de deudas y haberes desde épocas remotas (vete a decírselo a los escribas del faraón).

2️⃣ Se invierte el proceso de modelización matemática

En las ciencias experimentales o sociales lo que se estudia es un fenómeno o situación, que se representa mediante un modelo matemático, que permite obtener información, hacer predicciones, etc.

En la enseñanza de la aritmética elemental la cosa va al revés. Lo que se modeliza es el objeto matemático por medio de un sistema físico. El uso de modelos concretos (ej, manipulables) para naturales y fraccionarios reproduce intuitivamente sus propiedades e ideas de medida.

Ahora, los enteros surgieron por una necesidad interna de las matemáticas. Ya vimos en los tres actos que los modelos concretos no consiguen reproducir de forma intuitiva su estructura.

Además, el uso de modelos concretos aquí refuerza la idea de los números enteros como medida de cantidades de magnitud relativas o con dos sentidos y relaciona sus operaciones con ciertas acciones físicas.

3️⃣ La utilización de modelos concretos dificulta la justificación del orden y la estructura multiplicativa de los enteros

Esta es breve. Ya vimos el porqué.

4️⃣ Las operaciones entre números enteros se presentan como operaciones entre naturales con el añadido de alguna consideración sobre los signos

¿Cómo? ¿No queda claro que estamos ante un nuevo conjunto numérico? En la enseñanza de la aritmética elemental se peca habitualmente de un reduccionismo que consiste en definir las operaciones entre cualquier tipo de números como operaciones entre naturales. Ya lo hemos comentado aquí con el modelo parte-todo de las fracciones, que no hace sino considerarlas como un doble recuento. Lo mismo con las reglas de manejo de la coma decimal. Y este reduccionismo alcanza, por supuesto, a los enteros.

¿Quién no ha oído lo de sumar positivos por un lado y negativos por otro? Todo esto es un obstáculo para captar la naturaleza de los enteros e integrarlos en un nuevo conjunto numérico.

5️⃣ Las técnicas de cálculo de expresiones numéricas que indican operaciones combinadas se algoritmizan

No se busca el modo más simple de operar. Esto es un aspecto de las expresiones numéricas, que no es sino el preludio de una característica elemental del quehacer algebraico.

Descuidar el punto anterior tiene importantes consecuencias a la hora de establecer buenas prácticas de cálculo algebraico.

6️⃣ La presentación inicial de la notación completa impide el desarrollo de las prácticas de cálculo habituales

Ya comentamos lo que implicaba esto de la notación completa y las instrucciones que promueven la supresión del signo + predicativo, en lugar del signo + binario.

7️⃣ Se introducen las notaciones sin considerarlas objetos de estudio

El alumnado va viendo cómo, ante sus ojos, se suceden diversas notaciones. Y sí, esto es herencia todavía de las matemáticas modernas de los años 60 y 70.

Símbolos que antes eran exclusivos del dominio algebraico (símbolos de operaciones, de relaciones, etc.) ahora se ven como si nada en el campo de la aritmética. Y el significado de estos, presenta matices importantes en cada uno de estos ámbitos.

8️⃣ No se explicitan las diferencias existentes entre los enteros y los naturales

La introducción de los enteros exige reinterpretar el significado del cero. Pobre, ahora ya no es el cero absoluto, sino que pasa a ser un cero origen.

La resta pasa de ser una sustracción a ser una diferencia. Y no, no es lo mismo. También se modifican propiedades que afectaban a todos los números, como que el resultado de una suma es mayor o igual que cualquiera de sus sumandos.

O que el minuendo de una diferencia tiene que ser mayor o igual que el sustraendo, o que el resultado de un producto de factores distintos de cero es mayor o igual que cualquiera de sus factores, o que el dividendo de una división es mayor o igual que el cociente…

O que no existen números menores que cero, etc. Todas estas diferencias hay que ponerlas sobre la mesa en una secuencia didáctica bien pensada y articulada. No hacerlo puede hacer creer que dichas propiedades siguen cumpliéndose con los enteros.

A modo de conclusión

La próxima vez que alguien te diga que son sencillas las matemáticas de primaria o de 1º y 2º de ESO, ten presente este tipo de consideraciones.

Ahora, por ejemplo, se menciona que el curso que viene se trabajará en 1º de ESO por ámbitos. Adelante, pero con dos especialistas trabajando de forma coordinada y flexible.

Referencia, al igual que en los tres actos, la tesis de Eva Cid, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos (2015).

Esto ha sido un spin-off de los tres actos de los enteros.

¡Feliz clase!

Los tres actos de los enteros

Tue, 28 Apr 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de varios hilos de Twitter, sobre los que además se han incorporado una serie de correcciones y ciertos matices que se pierden en el formato de los 280 caracteres.

Los tres actos de los enteros.

1️⃣ Presentación de personajes y puesta en escena. ¿Qué modelos concretos hay?

2️⃣ El nudo. Inconvenientes.

3️⃣ Desenlace. Una propuesta.

Introducción

Vamos con una de película, porque hoy toca ver números enteros.

Hola alumnos: $(+1)+(-3)+(-4)-(-5)=¿?$
No os preocupéis que esto se ve muy bien con ascensores, termómetros, pócimas, fichas, …

¿Y si os dijera que los modelos concretos, aquí, patinan?

«Actualmente, parece haber un consenso general en que la introducción de los números negativos en el aula debe basarse en modelos concretos: deudas y haberes, temperaturas, movimiento en dos sentidos, etc. Se supone que estos modelos, al ser familiares al alumno y poseer un grado de abstracción adecuado a su edad, le ayudarán a dar sentido a los números negativos y a justificar sus reglas de cálculo. Tanto los libros de texto como la mayor parte de las propuestas de los investigadores en el tema van en esa línea, diferenciándose únicamente en la elección del modelo. A continuación, ponemos en duda la pertinencia de una introducción de los números negativos por medio de modelos concretos, analizando los efectos no deseados que produce.»

Demoledor, ¿verdad? Pues bien, el párrafo anterior está copiado literalmente del resumen de una ponencia de Eva Cid en las JAEM de 2001.

Lo que voy a hacer aquí es desgranar algunos resultados de su investigación, en tres actos.

¿Qué modelos concretos existen?
Inconvenientes de los modelos concretos.
Líneas generales de una propuesta que los evita.

Como esto es muy largo, serán tres hilos. Previsiblemente, hoy por la mañana, este, que no es más que la presentación de los personajes. Por la tarde, el segundo acto, el nudo. Y ya mañana, el desenlace.

Tengo la inmensa suerte de conocer a Eva Cid y haber hablado con ella sobre lo que he observado al llevar su propuesta con mi alumnado. Al final, para las mentes más inquietas, dejaré las referencias. Solo espero, por lo menos, motivar, al menos, la reflexión de los lectores.

Primer acto - LOS MODELOS CONCRETOS: presentación de los personajes

Hay dos tipos de modelos concretos: los de neutralización y los de desplazamiento.

Modelos de neutralización

Los modelos de neutralización se basan en la manipulación de cantidades de magnitud con sentidos opuestos que se neutralizan entre sí. Para describirlos utilizaremos un modelo de fichas de dos colores donde se supone que cada ficha de un color neutraliza a una ficha del otro color. ¿Os suena?

Ejemplos: deudas y haberes, personas que entran o salen de un recinto, juegos con puntuaciones positivas o negativas, fichas de dos colores que se neutralizan, cargas eléctricas positivas o negativas, etc. Veamos cómo se interpretan las operaciones aritméticas.

La suma es sencilla. Es una agregación de fichas seguida del correspondiente proceso de neutralización para obtener la representación canónica formal del resultado. $+2+(-3)$ implica hacer dos parejas de fichas que se neutralizan entre sí. Al final, me queda una del color que representa los negativos.

La resta se relaciona con la acción de quitar o separar fichas. Si hay que quitar más fichas de un color que las que hay, se añaden pares de fichas azules y rojas convenientemente. Reflexión: quitar fichas de un color equivale a añadir el mismo número de fichas del otro color.

Antes de ir con la operación estrella, veamos qué pasa con el orden. Resulta que para justificar la ordenación aquí hay que jugar con juicios morales, como que lo positivo es mejor que lo negativo. Es mejor tener fichas rojas que azules, o haberes que deudas.

Porque… ¿quién prefiere que le pongan puntos negativos pudiendo recibir positivos? Vamos a ver, quién.

Inciso. En los ejemplos usaremos el convenio de que las fichas rojas son las positivas y las azules, las negativas. Que es el que se suele emplear para representar cargas eléctricas.

Una manera de justificar el producto de enteros desde la neutralización es diciendo que $(–a)(–b)$ significa que a una situación cero hay quitarle $a$ veces $b$ fichas azules.

Esto lo conseguimos introduciendo $ab$ parejas de fichas rojas y azules, lo que permite quitar $b$ fichas azules un número $a$ de veces y quedan $ab$ fichas rojas. Es decir, $(–a)(–b)=+ab$. Y de forma similar para los casos: $(+a)(+b)$, $(–a)(+b)$ y $(+a)(–b)$.

Esto obliga a una nueva interpretación de los signos. Tanto en la suma como en la resta, los signos que acompañan al número son signos predicativos, signos que indican el tipo de objetos al que nos referimos (fichas rojas o azules), mientras que los signos entre números son signos operativos binarios, indican las operaciones de suma o resta. Sin embargo, en (–a)(–b) el signo que acompaña al primer número no es un signo predicativo, es un signo operativo que indica la acción de quitar.

Otra forma de justificar el producto a partir de la neutralización es mediante la noción de ganancia (aumento de la cantidad de magnitud en el sentido positivo) o pérdida (disminución de la cantidad de magnitud en el sentido positivo) por unidad de tiempo.

De esa manera, uno de los términos del producto indica la ganancia o pérdida por unidad de tiempo y el otro el número de unidades de tiempo pasado o futuro a considerar, mientras que el resultado es la pérdida o ganancia total.

Modelos de desplazamiento

Vamos con los modelos de desplazamiento. Son modelos en los que los números positivos o negativos pueden indicar posiciones en un sentido u otro, a partir de un origen, o desplazamientos de una posición en uno u otro sentido. Para describirlos vamos a utilizar un camino dividido en casillas,, donde cada una es una posición que pueden ocupar las fichas. Estas posiciones se numeran a partir de cierta posición inicial, añadiendo el signo $+$ o $-$ según sea el sentido del recorrido.

Ejemplo de modelos de desplazamiento: el termómetro, el ascensor, las escaleras que se suben y bajan, las altitudes por encima y debajo del nivel del mar, los años antes y después de Cristo, los caminos de doble sentido, las posiciones y desplazamientos sobre la recta real, etc.

Un desplazamiento de $+a$ casillas aplicado a una ficha, significa que esta se desplaza $a$ casillas en el sentido positivo de recorrido. Y si es $-a$ casillas, en sentido contrario (negativo). Así, los números enteros pueden indicar tanto posiciones como desplazamientos.

Para cada desplazamiento existe un desplazamiento opuesto. Es decir, un desplazamiento que devuelve la ficha a su posición original.

La suma de enteros se justifica como:

Un desplazamiento aplicado a una posición para obtener otra posición.
Una composición de desplazamientos que da como resultado otro desplazamiento.
O como una composición de desplazamientos que se aplica a una ficha situada en la casilla cero y da como resultado la nueva posición.

La resta de enteros se interpreta como la operación inversa de cualquiera de las anteriores.

El orden se justifica interpretando los números enteros en términos de posiciones. Un entero es menor que otro si, utilizando el sentido de recorrido definido como positivo, la posición que representa al primer número es anterior a la correspondiente al segundo número.

En algunos modelos de desplazamiento, como el del termómetro, el sentido positivo no se define solo por convenio (algo habitual en estos modelos), sino que vuelve a responder a un juicio de valor. Es mejor estar a 3 grados sobre cero que estar a 10 grados bajo cero.

El producto se interpreta como composición repetida de desplazamientos para obtener un desplazamiento resultante al que se le cambia o no el sentido según que el entero que indica la repetición sea negativo o positivo.

Es decir, $(-2)(+3)$ es un desplazamiento de 6 posiciones, pero en sentido negativo (como 3 es en sentido positivo, hay que cambiarle el sentido). También puede interpretarse que el desplazamiento resultante se aplica a una ficha situada en la posición cero.

Así, el producto representa la nueva posición de la ficha. A veces, se considera que el producto $(\pm a)(\pm b)$ indica la posición resultante de transformar una posición inicial $\pm a$.

El valor numérico de la nueva posición pasa a ser $ab$ y, dependiendo de que el signo que acompañe a $b$ sea positivo o negativo, estará situada en la misma semirrecta que $\pm a$ o en la semirrecta opuesta.

Otros autores incorporan a los modelos de desplazamiento la noción de velocidad positiva o negativa y tiempo pasado y futuro y entonces los términos del producto indican desplazamientos y tiempos y el resultado es una posición.

En ocasiones, cuando el modelo de desplazamiento es el de la recta real, se justifica el producto de enteros utilizando dispositivos gráficos parecidos a los que suelen utilizarse para explicar las homotecias de razón entera.

También hay quien interpreta el producto $ab$, con $a$ y $b$ enteros, como el área del rectángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadas $(a,b)$, $(a,0)$, $(0,b)$ y $(0,0)$ acompañada del signo $+$ o $–$ según el cuadrante en que esté situado.

Segundo acto: INCONVENIENTES DE LOS MODELOS CONCRETOS PARA LOS ENTEROS

Y ahora se pone interesante, llegamos al nudo de esta historia en tres actos.

Estructura aditiva

Del primer acto, se desprende que parece que los modelos concretos permiten justificar bien la estructura aditiva de los enteros (sumas y restas).

Pero no nos llevemos a engaño. Solo parece, porque realmente es el conocimiento que tenemos los profesores sobre los enteros lo que permite elegir argumentos para justificar las reglas de operación.

No resultan tan eficaces como medio de reconstrucción de dicha estructura en caso de olvido. Es muy fácil seguir una argumentación correcta dentro del modelo que lleve a cometer errores si no se conoce el comportamiento de los enteros. Veamos.

Alumno: $(+70)-(-10)=+70$ porque si tengo 70€ y me perdonan una deuda de 10 € sigo teniendo 70 €.
Profe: No. Tener 70 € y no deber nada es equivalente a tener 80 € y deber 10€. Si ahora quitamos la deuda de 10 €, nos queda un haber de 80 €, luego $(+70)-(-10)=+80$.

No se puede negar que el argumento del alumno es perfectamente válido desde el sentido común, que es a lo que intenta apelar el uso de modelos concretos. Pasa algo parecido con la versión termómetro…

Alumno: $(-6)-(-2)=+4$, porque entre 6 grados bajo cero y 2 grados bajo cero hay 4 grados de diferencia y $4$ es lo mismo que $+4$.
Profe: No, necesito disminuir en 4 grados una temperatura de 2 bajo cero para obtener una temperatura de 6 grados bajo cero, luego $(-6)-(-2)=-4$.

Lo que está pasando en ese momento por la cabeza del alumno. Con razón.

Orden

Con el orden de los enteros se complica mucho más. Ya hemos dicho que estos modelos obligan a efectuar juicios morales. ¿Qué alumno va a aceptar que tener 5 fichas azules es peor (o menos) que tener 2 fichas azules?

¿O que efectuar un desplazamiento hacia la izquierda de 5 casillas es peor (o menos) que efectuar un desplazamiento hacia la izquierda de 2 casillas?

La mayor parte de los modelos no permite hacer creíble esa valoración adicional que califica las situaciones de “mejores” o “peores”. Algunos, como las deudas y haberes o el termómetro, sí que admiten este tipo de argumentos.

Por ejemplo, $-10<-5$ porque deber 10 € es peor que deber 5 € o porque 5 grados bajo cero es una temperatura más alta que 10 grados bajo cero. Pero incluso en estos casos, se encuentran argumentos igualmente válidos que justifican lo contrario.

Porque podemos decir que una deuda de 10 € es mayor que una de 5 € o que el que debe 10 € debe más que el que debe 5 €, concluyendo que $-10>-5$.

O, en versión termómetro, que 10 grados bajo cero es una temperatura más baja que 5 grados bajo cero y, por lo tanto, mayor, en el sentido de que supone un aumento del frío.

En los de desplazamiento se define un sentido de recorrido y se dice que las posiciones anteriores son menores según ese sentido. Así se asume un convenio que no resulta familiar a los niños. Además, contradice el sentido de recorrido que se utiliza para dibujar el modelo.

En el caso de la recta numérica se define un sentido de recorrido de izquierda a derecha que permite justificar que $-8<-5$ porque $-8$ está a la izquierda de $-5$.

Sin embargo, los niños, al dibujar la recta numérica, ¿qué hacen?

Representar el origen.
Hacia la derecha, van representando los puntos $+1$, $+2$, $+3$, etc.
Después, dibujan los puntos $-1$, $-2$, $-3$, etc.

Es decir, recorren la recta desde el origen hacia la derecha y después desde el origen hacia la izquierda. Ese es el sentido de recorrido que se impone y, de acuerdo con él, $-5$ se dibuja antes que $-8$, lo que sugiere que $-5<-8$.

O sea, que los modelos concretos justifican mal la estructura ordinal de los números enteros (desde luego, mucho peor todavía que la suma o la resta) y fomentan la aceptación de un orden de izquierda a derecha para los enteros positivos y al revés para los negativos.

El producto de enteros

Y llegamos a la operación estrella, el producto de enteros.

Casi todos los investigadores coinciden en que las justificaciones del producto basadas en modelos concretos son tan artificiosas y tan alejadas de la experiencia de los niños, tan poco creíbles, como el hecho mismo de afirmar, sin más explicaciones, que “menos por menos es más”.

En el modelo de neutralización hay que ver $(-3)(-2)$ como quitar tres veces 2 fichas azules, deudas o cargas eléctricas negativas o puntuaciones negativas… Las manipulaciones sucesivas nos llevan a que eso es equivalente a añadir 6 fichas rojas, por lo que $(-3)(-2)=+6$.

Esto significa que $-3$ ya no indica 3 fichas azules, como hasta ahora, sino que es un operador, un multiplicador que actúa reiterando el término $-2$ (que, en cambio, sí que indica 2 fichas azules) y avisando de que el resultado de esa operación ha de ser “quitado” de algún sitio.

Es decir, hay que interpretar que el signo que acompaña al número $3$ es un signo operativo, mientras que el que acompaña al número $2$ es predicativo.

Además, el hecho de identificar el resultado $+6$ con la frase “añadir 6 fichas rojas” obliga a asumir que el signo que precede al número 6 es a la vez predicativo y operativo.

Con los modelos de desplazamiento pasa lo mismo. En el producto $(-3)(-2)$ el $-3$ no puede interpretarse como un desplazamiento o una posición, sino que ha de entenderse como un multiplicador que reitera un multiplicando (el desplazamiento o la posición $-2$), cambiando su sentido.

La confusión entre signos operativos y predicativos se produce tanto en los modelos de neutralización como en los de desplazamiento.

Por último, la posibilidad de justificar el producto de números enteros introduciendo una noción de ganancia o pérdida por unidad de tiempo o de velocidad resulta tan artificiosa como las anteriores.

Sintetizando este segundo acto, existen indicios suficientes para afirmar que los modelos concretos que se utilizan en la enseñanza de los números enteros no cumplen satisfactoriamente la doble función de justificación y reconstrucción de la noción en caso de olvido.

Para profundizar sobre este primer y segundo acto, el artículo de referencia es Los modelos concretos en la enseñanza de los números negativos, de Eva Cid (2001). De hecho, este hilo no deja de ser una especie de versión tuitera.

A continuación, el tercer acto, o desenlace. Donde comento la propuesta de Eva Cid, que evita estos obstáculos y que he llevado al aula con muy pocas variaciones. Aviso, vuelve a ser una secuencia a través de la resolución de problemas.

Tercer acto. El desenlace: UNA PROPUESTA

Venimos de describir los modelos concretos para los enteros y sus inconvenientes. Entonces, ¿qué?

A continuación, voy a intentar reflejar la esencia de la propuesta de Eva Cid. Por lo menos, ilustrar en qué consiste para que, si alguien quiere, se dedique a profundizar en las referencias que voy poniendo.

Su propuesta se basa principalmente en un análisis sistemático de la génesis histórica y en una investigación de aula. No es una propuesta del tipo “hago esto y me funciona bien”. No. Tampoco es algo que se piense ni se escriba en un fin de semana.

Vuelve a ser una secuencia a través de la resolución de problemas. Ya siento dar la turra con este tema, pero es lo que toca. Este enfoque no es nada nuevo. Eva, entre otros, lo tenía claro en 1986. Para mí, es la clave. Si queremos que nuestro alumnos sean capaces de utilizar las matemáticas para resolver problemas, tienen que pasar por la experiencia de verlas surgir en el seno de la resolución de problemas.

Lo primero que hay que tener presente es que la aritmética elemental no necesita de los números negativos. No hacen falta para modelizar aritméticamente sistemas en los que intervienen deudas y haberes, temperaturas, etc. Este tipo de problemas se resuelven con mucha más economía de medios en el ámbito de los números naturales o racionales positivos.

Entonces, ¿por qué se inventaron?, ¿qué es lo que obligó a los matemáticos a ampliar el campo de los números positivos? La respuesta, sintetizando, está en el álgebra. Es allí donde la presencia de letras impide efectuar todas las operaciones y obliga a operar con términos que a su vez son operaciones indicadas. Pero las reglas de manipulación de estos términos desembocan rápidamente en reglas para operar con términos que hacen un papel de sumandos o sustraendos dentro de la expresión algebraica. Posteriormente la aparición de los sustraendos en las soluciones de las ecuaciones y las necesidades de establecer una teoría general de ecuaciones, por un lado, y de construir la recta real para dar paso a la geometría analítica, por otro, forzaron la aceptación de los sustraendos como nuevos números en un proceso histórico que duró alrededor de 1600 años. Por eso se trata de presentar los enteros en un entorno algebraico que verdaderamente justifique su necesidad.

La secuencia está estructurada en cuatro etapas, cada una con un objetivo (razón de ser). Las tres primeras están pensadas para 1º ESO, y la última para 2º ESO. No deja de ser algo orientativo y, por ejemplo, la tercera etapa podría situarse a caballo entre ambos cursos.

Un aviso: se invierte el recorrido escolar habitual en cuanto a notaciones. Así, la notación completa va al final, en lo que ya sería 2º ESO. Empezar enfatizándola, con expresiones del tipo $(-200)+(300)+(-100)+(-100)$ tiene su origen en un excesivo (e innecesario) formalismo.

Empezar con la notación completa y con las instrucciones que promueven suprimir el signo + predicativo, en lugar del signo + operativo binario, dificulta las prácticas habituales de cálculo. ¿Quién no ha oído lo de quitar signos y agrupar positivos y negativos por separado?

Todo esto es herencia de las denominadas matemáticas modernas. Ya no vemos teoría de conjuntos en primaria y ESO, como en EGB, pero la aritmética se algebrizó para siempre, centrando la atención en el estudio de estructuras. Por eso se ven los enteros en el bloque de aritmética.

Etapa 1

Aquí se trata de trabajar prácticas de cálculo económicas y justificar el quehacer algebraico, en paralelo. Se comienza aprendiendo cómo construir expresiones algebraicas, con problemas aritméticos en los que la solución ya no es un número, sino una expresión algebraica, porque alguno de los datos es desconocido.

Parece una tontería, pero lo anterior es una de las claves de la propuesta. Los literales representan variables desde el principio, no incógnitas. Esto escenifica mejor que estamos en un mundo nuevo. Hasta ahora las soluciones de los problemas eran numéricas. A partir de ahora podrán ser fórmulas que se convertirán en números cuando nos den el valor numérico del dato desconocido o relaciones entre expresiones algebraicas. Y más adelante el establecimiento de igualdades entre expresiones algebraicas nos permitirá encontrar el valor de una incógnita. Veamos el primero de estos problemas…

Laura se llevó sus cromos al colegio para jugar varias partidas. En la primera perdió 9 cromos y en la segunda ganó 7 cromos. ¿Cuántos cromos le quedaron después de jugar?

Las respuestas de los alumnos son variadas y dan pie a discusiones de aula muy ricas.

2 cromos.
No se sabe.
2 menos que al empezar.

Entonces el profesor les comenta que no siempre que se intenta resolver un problema se conocen todos los datos necesarios para resolverlo y que en ese caso se sustituyen los datos desconocidos por letras. Los alumnos discuten sobre qué letra utilizar y aparecen una variedad de soluciones:

$a – 2$
$c – 9 + 7$
Etc.

Esto plantea dos problemas a discutir en la clase: la equivalencia de las expresiones aunque se utilicen distintas letras, es decir, la convencionalidad de la letra, y la posibilidad de obtener la expresión $a – 2$ a partir de la expresión $a – 9 + 7$.

Esta última posibilidad no está nada clara para los alumnos porque para muchos de ellos $a – 9 + 7 = a – 16$, ya que interpretan los signos como operativos binarios, que es el significado que tienen en aritmética. El profesor interviene preguntando: si a una cantidad le tengo que restar 9 y después sumarle 7, ¿eso a qué equivale? Se inicia así el paso de una interpretación de los signos como operativos binarios entre números absolutos a una interpretación como signos operativos que indican que un número es un sumando o un sustraendo.

Se siguen planteando situaciones-problema donde la solución es una expresión algebraica.

Aquí los alumnos comprueban el interés de obtener una fórmula lo más simplificada posible y de utilizarla cuando se conoce el dato que falta. Los alumnos que obtienen la expresión p + 1 y la usan para rellenar la tabla acaban mucho antes que los que manejan una expresión menos simplificada o reproducen todos los cálculos para cada valor de la variable.

Y algo de problem posing (inventar problemas) que, por cierto, es algo sobre lo que ya hemos hablado alguna vez y que tiene un potencial enorme.

En la primera etapa se sigue aprendiendo cómo simplificar expresiones algebraicas. Se plantean situaciones como las siguientes:

Otro ejemplo. A la hora de simplificar esta expresión:

$45 - f + g - 10 + 500 + f - 500 + 19 + 27 - 19$

Nada de ir en orden ni de separar positivos y negativos. Hay que inspeccionarla entera, y ver si se está sumando y restando el mismo número o cantidad. Las técnicas de cálculo algebraico no son algorítmicas, exigen toma de decisiones para realizarlas de la forma más económica posible. Po eso se pide a los alumnos que lean toda la expresión antes de tomar decisiones y que busquen la manera de hacer cálculos sencillos.

Etapa 2

El objetivo ahora es pasar del significado aritmético de la resta como sustracción al significado algebraico de la resta como diferencia y del significado operativo generalizado de los signos + y - al significado operativo unario.

En otras palabras, va a quedar establecida la estructura aditiva de sumandos y sustraendos. Se comienza con situaciones para aprender a comparar expresiones algebraicas. Veamos cómo es el primer problema, cuya estructura semántica está pensada a propósito…

Javier tiene cierto número de cromos, Carmen tiene cinco más que Javier y Carlos el doble que Javier. Si Javier y Carmen juntan sus cromos, ¿tendrán entre los dos más o menos cromos que Carlos? ¿Quién tiene más cromos, Javier, Carmen o Carlos? ¿Y quién tiene menos?

Que puede resolverle teniendo en cuenta el trabajo realizado en la etapa anterior. Javier tiene $a$ cromos. Por lo tanto, Carmen tiene $a+5$ y Carlos $2a$. Entre Javier y Carmen tienen $2a+5$, que son 5 cromos más que los que tiene Carlos. zº Tras unos problemas profundizando en esto, se plantean tareas como estas.

La etapa termina aprendiendo a encontrar la diferencia entre expresiones algebraicas. Las primeras tareas en este sentido se apoyan en un trabajo sobre cálculo mental que suele ser inexistente y que habría que reforzar.

Digo que habrá que reforzar si vemos a principio de curso que hay dificultades, por ejemplo, para hacer 567+99, donde lo ideal es sumar 100 y luego restar 1. O para hacer 67-29, que se puede hacer restando 30 y sumando 1.

Si se ha trabajado bien lo anterior, el siguiente ejercicio se puede realizar leyendo las expresiones.

Y eso da paso a una de las tareas clave donde, observemos, que no se ha hablado de deshacer nada. Solo de leer expresiones y analizarlas. Eso es lo que permite decir que restar $(a-b)$ es lo mismo que restar $a$ y sumar $b$. Ahí tienes la regla de los signos.

Y es algo que se formaliza de la siguiente manera:

Más tareas que obligan a reflexionar qué hacer con los paréntesis.

Etapa 3

El objetivo es introducir la estructura multiplicativa de sumandos y sustraendos. Comienza con situaciones para aprender a multiplicar expresiones algebraicas.

El trabajo de los alumnos consiste en trabajo por parejas o pequeños grupos… y puestas en común.

Etapa 4

Ya en 2º ESO, tras un recordatorio de lo realizado, es donde se aceptan los sumandos y sustraendos como nuevos números que amplían los conjuntos numéricos ya conocidos. Se recuperan situaciones ya vistas anteriormente, pero ahora el dato desconocido puede tener uno u otro sentido. Esto obliga a incluir la consideración de sumando o sustraendo en los valores numéricos que puede tomar la letra.

Hasta ahora las letras tomaban siempre valores absolutos, pero en el ejemplo aparecen dos fórmulas distintas: –2 + a o –2 – a, según que a sea una ganancia o una pérdida. Para poder unificar las fórmulas es necesario admitir que una letra puede tomar valores positivos o negativos. También ahora aparece por primera vez un sustraendo aislado como solución de un problema.

Se reinterpreta la estructura aditivo-multiplicativa de sumandos y sustraendos en términos de estructura numérica.

También se establece la estructura ordinal.

Ahora ya tenemos razones para considerar a los sumandos y sustraendos como nuevos números: pueden ser solución de un problema, las letras pueden sustituirse por ellos y se pueden definir operaciones y un orden entre ellos. Son los números enteros.

Una vez establecido el carácter numérico de sumandos y sustraendos se introduce la notación completa.

A todo esto, ¿qué es un número? También se atiende a esto y se revisan las propiedades que caracterizan la condición de número, con actividades de este tipo.

Nótese que solo he puesto alguna actividad ilustrativa. Como se ha podido ver, espero, una de las claves está en empezar a trabajar los literales como variables, en lugar de como incógnitas. Y en cambiar el orden habitual de la secuencia.

¿Está “mal” entonces usar modelos concretos con los enteros? Depende de muchos factores. Por eso, la respuesta a la pregunta de si la didáctica debe tener un carácter prescriptivo, dictar normas, es tan compleja. Sí y no. Up to you.

En mi opinión, lo que sí que está mal es, si elegimos un modelo, no reflexionar sobre los obstáculos que genera. Porque las dificultades de los alumnos pueden tener que ver tanto con la naturaleza del objeto a enseñar como con nuestras elecciones como profesores.

También es éticamente cuestionable no tener en cuenta los conocimientos de partida de los alumnos y plantear nuestras clases como un proceso de negociación de significados. Pero ese es otro melón, más complejo si cabe.

Por cierto, ya que estamos de confinamiento. Este tipo de propuestas no pueden hacerse a distancia. A nosotros nos ha pillado justo cuando íbamos a empezar en 1º ESO con esto. Hemos decidido tirar por geometría a partir de lo que ya conocen o deberían conocer.

El curso que viene la idea es centrarnos más en el trabajo algebraico. Para allanar el camino, continuamos trabajando estrategias de cálculo mental orientadas a la secuencia de enteros, con cuestionario como este. ¿Te animas a hacerlo?

Formulario

Estos son los resultados que hemos obtenido en nuestro 1º ESO para el cuestionario anterior. ¿Sorprende ver cuáles son las preguntas que más han fallado?

La tesis de Eva Cid, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos, del año 2015, está disponible en este enlace. En los anexos va la propuesta de aula completa (aquí solo he puesto retazos).

Y hasta aquí. Si has seguido los tres actos, mi gratitud. Y mi más sincera enhorabuena, porque creo que han sido densos. Te dejo en spoiler que tengo un entreacto, pero ya para la semana que viene.

¡Feliz clase!

Agradecimientos

Esta versión de los hilos de twitter sobre los enteros ha contado con las inestimables sugerencias de Eva Cid.

Actividades para ver si sabemos contar

Sun, 15 Dec 2019 00:00:00 +0000

El problema de los triángulos

¿Cuántos triángulos pueden verse en el dibujo? Los triángulos deben tener sus lados sobre las líneas del dibujo.

La solución a este… aquí:

El problema de los cuadrados y de los rectángulos

¿Cuántos cuadrados pueden verse en el dibujo? Los cuadrados deben tener sus lados sobre las líneas del dibujo. ¿Y si contamos cuántos rectángulos?

Nota: un cuadrado es un rectángulo con los lados iguales.

Si no sabe ni sumar, ¡cómo vamos a ponernos con los problemas!

Sat, 14 Dec 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

No, es que mira, el chiquillo o la chiquilla no sabe ni sumar, ¡cómo vamos a ponernos con los problemas! │ └> Error

Es un error y es el comienzo de una historia de terror con las mates en el papel del villano.

Vía formal y vía concreta en paralelo, por favor. La prioridad es comprender. Por ejemplo, en las situaciones aditivas, no se trata de “adivinar” si se tiene que sumar o se tiene que restar.

Si el niño o la niña las resuelven contando hacia delante o hacia atrás, pero saben qué hacer, estupendo. Ya iremos asociando una cosa con la otra.

Esto lo vi muy, pero que muy claro, cuando estuve en adultos. Una persona con muchas dificultades, incapaz de hacer un solo problema. Todo que tuviera texto, de hecho, era un verdadero problema. Pero oye, sumas, multiplicaciones, divisiones escritas casi sin errores. ¿Para qué?

Una propuesta para números en 1º y 2º de ESO

Wed, 11 Dec 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Más cosas sobre números que hemos hecho en 1º y 2º de ESO en una enseñanza a través de la resolución de problemas. Sobre sistemas de numeración, estimación, potencias… Hilo #AcRiMates

En esa actividad les indico que los símbolos egipcios fueron variando según las épocas. También tienen los chinos y los hindúes.

Las tareas consisten en interpretar esos ejemplos y responder a las siguientes preguntas, que enfatizan el uso de símbolos para representar números. De paso, potencias naturales.

Son pequeñas tareas en las que el alumnado tiene la responsabilidad de ponerse a trabajar sobre ellas. Sin más explicación que la consigna de la tarea. ¿Quién no sabe “contar” en 1º de ESO? ¿Quién no puede ver que una flor de loto egipcia vale mil?

¿De verdad no se ve en el ejemplo que los chinos no ponen 7 veces el símbolo del 10000, sino que ponen su símbolo del 7 y después el del 10000, una sola vez? ¿O que los hindúes del s. III aC no tenían el cero?

Sin embargo, hay dificultades, ¡claro que las hay! Las espero, de hecho. Porque no están acostumbrados a pensar en clase. Y este tipo de tareas rompe el contrato didáctico establecido, que no es otra cosa que la creencia de cómo debe ser una clase de mates.

Esta creencia está perfectamente descrita en la p.98 del libro “Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas” (@Matias_ArceSan, @Lau_Conejo y JM Muñoz) :

«Que el profesor debe debe presentar los hechos, reglas y procedimientos para aplicar en las actividades, y que, especialmente en los estudiantes con bajo autoconcepto, el aprendizaje de las matemáticas se liga a la memorización de estos hechos y procedimientos y la repetición rutinaria de actividades prototípicas.»

¿Qué hacemos entonces cuando vamos con este enfoque a una clase habituada a otra cosa? No voy a volver a insistir. Relentless consistency.

Otras tareas que hemos hecho y que implican pensar. Parece increíble cómo van surgiendo cada vez más alumnos que aportan razonamientos, tanto en la puesta en común como en su trabajo de cuaderno.

En el primero, solo hay que hacer cuentas para comprobar.

Tiene que ser base 9. Base 8 o menos no puede ser, porque aparece el 8. Y 11 tampoco porque las cifras son más grandes…

Para el segundo. Basta con probar las tres únicas posibilidades.

No me he inventado este tipo de tareas. Para nada. Estas actividades están sacadas de prácticas que hacemos en magisterio en @FacultadEducaUZ (Rafael Escolano, Eva Cid) y del libro Números y algoritmos de Gairín y Sancho.

Esta me encanta. Anda, si para hacer el 60 vuelven a utilizar el símbolo del 1. ¿Qué magia es esta?

Pero lo han puesto en otro sitio…

Y cuando en la discusión ves que al principio dicen aditivo pero que luego hay algo raro… ves que las cosas van bien. ¡Es la posición lo que me permite reutilizar los dos símbolos!

No es tan raro. ¿Cuántos segundos hay en 33 horas, 10 minutos y 2 segundos? 😉 Pues eso, los 119492 que hemos sacado en la tarea de antes.

Por cierto, gracias @followero por este regalo. Lo he puesto en alguna clase para discutir, entre todos, que no leemos los números igual que los escribimos. Leemos incluyendo un principio multiplicativo-aditivo (y cosas más raras) y escribimos simbólicamente en posicional.

En algún grupo, con más calma y porque surgió así. Cosas curiosas y divertidas.

Al mismo tiempo, cálculo mental y juego del 24 (en este último, obligatorio escribir bien la operación con sus paréntesis y su sintaxis).

También hemos trabajado la actividad de estimar cuántos granos de arroz hay en cierto recipiente, que ya comenté en su día.

Estrategias distintas que siempre dan lugar a charlas de aula muy interesantes.

Esto del arroz, es una tarea abierta, rica y abre una puerta que terminaremos de cruzar cuando lleguemos a proporcionalidad. Y me permite, por raro que suene, empezar a ver qué saben sobre divisibilidad vía los esti-misterios de @SteveWyborney

En 2º, para lo de las potencias de exponente negativo, que es algo que cuesta comprender. Lo hemos abordado de esta manera, intentado conectar diferentes representaciones simbólicas.

Y en 1º ESO, ahora estamos terminando unas tareas con policubos sobre divisibilidad. Ahora sigo con unas reflexiones, que se me acaba la tinta… —–>

Por si alguien tiene curiosidad, veníamos de hacer actividades de este tipo. Todo muy conectado.

Vamos terminando el hilo con alguna reflexión. Ayer nos reunimos unos cuantos profes de la @SAPMciruelos para discutir sobre el currículo de bachillerato. Y discusión hubo poca.

Es un problema grave que muchos estudiantes con 13 y pico de media lleguen a carreras tecno-científicas sin una mínima actitud matemática. Reflexionar sobre el resultado de un problema, ver si es posible o no, atacarlo de alguna manera, etc.

Igualmente inconcebible es que estudiantes en el otro polo del rendimiento académico salgan sin esa misma formación. Que luego nos echamos las manos a la cabeza con ciertos fenómenos. Siempre hay objetores, claro.

Sí, tal como está la EvAU (con v en unos sitios y b en otros) lo que se pide es una instrucción a base de recetas en un bachillerato con un currículo muy extenso y poco profundo. Pero es que a la ESO no llega la sombra de esa prueba y pasa lo mismo. Y en Primaria, también.

Si sumas la Primaria y Secundaria son diez años en donde algo se podría haber hecho, digo yo. Que luego, tal como están las cosas, vienen dos cursos bastante desaprovechados por el carácter de la EvAU… vale. Pero no echemos balones fuera todo el rato.

Lo de teoría->ejercicios->“problemas” hace que la mayoría de la clase esté con encefalograma plano gran parte del tiempo de clase. Mandar la teoría a casa tampoco es solución. Que no pasa nada por hacer algo que se salga del libro de texto. De verdad, no son el currículo.

Le he oído decir a @dsierraruiz decir, con razón, que los libros de 1º y 2º son, muchas veces, indistinguibles. Tanto, que puedes ir con el de 1º a 2º sin darte cuenta y no pasar nada. Por otro lado, se siguen tan al dedillo en tantos sitios que puedes saber con una elevada probabilidad lo que están haciendo en cualquier aula en cierto momento del año. Que una cosa es en espiral y otra en círculo. 🔚

¿Sabemos contar en primero de ESO?

Sat, 07 Dec 2019 00:00:00 +0000

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Esto va de contar puntitos. En 1º de ESO. Lo que pasó a continuación os sorprenderá. Mini hilo #AcRiMates

Se enmarca dentro de las primeras tareas sobre números que hemos hecho. Sigue siendo enseñanza A TRAVÉS de la resolución de problemas, que después de los hilos de probabilidad y estadística he tenido que escuchar “es que ese bloque se presta mucho, pero el de números…” 🤦🏻‍♂️

Antes de esto hicimos tareas de conteo. El título… “¿Sabemos contar?”, que me sirve para sonreír y escribir en algunas hojas ese NO, cuando se ve que a cada grupo le sale un número y que nadie tiene la respuesta correcta.

Se trata de elaborar una estrategia que me facilite contar todos los triángulos, sin dejarme ninguno y sin contar alguno dos veces. Eso es lo que hay que plasmar y es lo que les valoraré en la prueba escrita.

Decía que el visor de documentos que vengo usando desde hace unas semanas me parece brutal. Permite cosas como las capturas que voy haciendo y que comparto con mi alumnado, y maravillas como esta (lleva spoiler si queréis intentar lo de los triángulos).

Son actividades que se sugieren en el libro Números y algoritmos de J.M. Gairín y J. Sancho, de la Editorial Síntesis. Recuerdo que ese libro aborda también la enseñanza del racional.

Vamos al punto de inflexión: la tarea con la que comenzaba el hilo. Ahí tienen que hacer agrupaciones, de 4, de 6, de 10 o de 12, según el caso. E ir escribiendo lo que sobra en la casilla de la izquierda. Ellos tienen unas instrucciones más detalladas que comentamos en clase.

Una vez han terminado viene la pregunta que, a mi juicio, nos tiene que llevar a reflexionar mucho como profesores. … …

¿Cuántos puntitos hay en esos rectángulos?

Y ves que todos (con muy, pero muy pocas excepciones) se ponen a contar de uno en uno. Cuando tienen esto delante de sus narices:

Aunque oye, mucho mejor entrar con la “teoría” y luego hacer unos ejercicios, claro. Esto es una captura de un best seller de 1ºESO. Anda que no habrán hecho de esto en primaria.

¿Parece una pregunta para ir a pillar? Creo que no. Han estado agrupando en decenas y centenas. Ellos. Y si no son capaces de decir que hay 127 después de haber hecho esas agrupaciones, es que nos tenemos que plantear muchas cosas.

Ahí es donde les indico que ya las han contado. Esas anotaciones indican lo que estamos haciendo. Un grupo de diez de diez, más un grupo de diez más siete unidades sueltas.

También nos hemos entretenido escribiendo números con agrupaciones como si fuésemos extraterrestres con cuatro dedos, seis dedos y doce dedos. Que ya lo hemos hecho contando puntitos, pero ahora escribimos.

He aquí una pequeña improvisación.

¡Hicimos algo parecido con vasitos en el cole!

Vamos bien, haciendo conexiones.

Tenemos que aprovechar este bloque de números para ganar en comprensión del sistema de numeración posicional y de los usos de los números.

Perdón por el clickbait del principio, pero a mí, por lo menos, siempre me sorprende. Y me hace reflexionar. Tanto si lo hago en ESO como en la práctica de magisterio de la que procede la actividad (créditos para Rafael Escolano y Eva Cid).

Dejo los hilos que creo que merecen la pena en mi perfil. Aquí pongo enlace al anterior, sobre la enseñanza de la dispersión. A través de la resolución de problemas.

Sobre el algoritmo de la suma y lo que pasa por correr

Mon, 07 Oct 2019 00:00:00 +0000

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Niño de 7 años.

¿900+400?
13 y dos ceros.
¿Ein?
¿Trece mil? Pues eso pasa por correr. Hilo.

Ese niño se sabe el algoritmo escrito de maravilla. Podríamos decir que es de los alumnos buenos. Leches, sacaría un 10 en el examen. ¿Podríamos decir que sabe sumar?

Es todo más complejo de lo que parece. Para dar respuesta a la pregunta, no hace falta irse a números tan “feos”. Simplemente diré que saber sumar no implica saberse el algoritmo escrito (cualquiera de los existentes) de la suma. Eso es solo una parte.

Pero dejémonos de si sabe resolver situaciones aditivas concretas y centrémonos en la vía formal, la de las operaciones. Recordemos, no obstante, la importancia de tratar ambas vías en paralelo. En este caso, sumas de números de tres cifras, terminados eventualmente en ceros.

Ese ejemplo que ponía al principio denota que se han saltado, posiblemente, varios pasos esenciales. Cada cosa a su debido tiempo, como suele decirse. ¿Se ha trabajado el algoritmo con material estructurado de base decimal, tipo billetes?

De base decimal, por favor, sin utilizar bases auxiliares como el 5. Tienen que ser unos “billetes” especiales, si utilizar los de 5, 50 o 500. Aquí preparé unos que se pueden descargar.

No es perder el tiempo el ver que 10 billetes de 1 hacen 1 billete de 10, una decena. Es invertirlo. No es perder el tiempo que el alumno vea y toque que 10 billetes de 10 (10 decenas) hacen 1 de 100 (1 centena). Es invertirlo.

Con ese material estructurado se da significado a las llevadas. ¡Anda! Tengo 14 de 1, que puedo cambiar por 1 de 10 y me quedan 4 de 1. Y así. La única consigna es emplear el menor número de billetes posible para representar un número.

Decía que me iba a centrar en la vía formal. No obstante, se pueden utilizar los billetes para ir resolviendo situaciones aditivas. Esto es algo que debe ir gestionando el docente. No, si ya me gusta a mí el término de ingeniería didáctica. Es por esto.

A ese trabajo con material estructurado le tendría que acompañar mucho trabajo verbal. Esto es, cálculo mental. Pero trabajando estrategias. Y hablar de decenas y centenas. 900 + 400 … si el chaval me responde 13 centenas en lugar de 13 y dos ceros es que vamos bien.

¿A dónde iba? Ah, sí. Que no hemos de ir teledirigidos a la enseñanza de una regla. Con alumnos que van bien pueden pasar cosas como esta. Estos, seguramente, más adelante se darán cuenta de su error y avanzarán. Ahora, para los menos aventajados será el comienzo del desastre.

Una secuencia que incorpore los elementos que he mencionado puede parecer más lenta. Creo que esta percepción depende del ojo con que se mire y que esa secuencia es beneficiosa para todo tipo de alumnado.

Me voy a adelantar antes de que surja. No hace falta irse a ningún método con siglas molonas o nombres llamativos. No. Manipulables utilizados con significado y cálculo mental con estrategias. Y situaciones concretas en paralelo. Se viene diciendo desde hace décadas.

Sobre las tablas de multiplicar

Sun, 15 Sep 2019 00:00:00 +0000

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A ver, que ayer por la noche me pareció leer un tuit sobre el canturreo de las tablas de la multiplicación que degeneró en una retahíla de loas, abundando el manido “pues a mí me enseñaron así y no he salido tan mal”. Abro hilo, especial para #primaria #AcRiMates

El aprendizaje de hechos numéricos básicos, como las tablas de la suma o de la multiplicación, permiten acometer tareas de cálculo con mayor eficiencia. Llegar a la adolescencia sin saber estos hechos es fuente de dificultades. Entonces, ¿qué hacer?, ¿cómo enseñar esto?

Me centraré en las tablas de multiplicar, que son las más problemáticas, pues no es nada raro encontrar alumnos en ESO que no las dominan. Tenemos la opción más socorrida, que llamaremos la del martillo pilón.

Efectivamente. Se trata de llegar a clase cierto lunes y presentar la tabla del 2. La cantamos y mañana la preguntamos. Unos días más tarde presentamos la del 3, la cantamos y la preguntamos. Como tareas para casa, cantarlas.

Esto se hace muchas veces con cierta periodicidad. Cada semana, una tabla, por ejemplo. Siguiendo un orden de menor a mayor, cuando la del 5, sin ir más lejos, es más fácil de recordar que la del 3.

La memorización a palo seco de estas tablas exige un gran esfuerzo. Por eso hay ciertos alumnos que no pasan el corte. Los que sí lo pasan, ¿qué han ganado en el proceso? ¿Han aprendido técnicas y estrategias de cálculo flexibles que les permitan cubrir posibles olvidos? ¿Han progresado en sentido numérico? ¿Las técnicas aprendidas les permiten manejarse mejor en la división entera? Es más, los alumnos que se saben los hechos… ¿necesitan canturrear esa parte de la tabla que se han olvidado?

Ay, el sentido numérico… ese gran olvidado. Meto anécdota que no viene muy al caso: en secundaria a muchos alumnos les explota la cabeza cuando al dividir por cero coma algo les da un número mayor que el de partida.

Y los que no pasan el corte de aprenderse las tablas, ¿qué? Esos están todavía peor.

Vale, entonces qué hacemos. La premisa básica va a ser priorizar el aprendizaje de estrategias, a la par que, obviamente, abordar situaciones multiplicativas para dar sentido a todo esto.

Esta doble vía en paralelo, situaciones concretas y formales, se puede abordar con:

La construcción de la tablas, con una rejilla en donde los alumnos escriben los hechos. Se reflexiona en común, se puede subrayar, colorear… (ej., la columna del 2 siempre acaba en 2…)

La construcción puede hacerse más veces, empleando manipulables, fijándose en diferentes regularidades, etc.

Práctica espaciada y “aleatoria” (pero cubriendo todas las tablas) y trabajando estrategias de cálculo mental.

Lástima que no se pueda subrayar en twitter. TRABAJANDO estrategias, no dejando a los alumnos en la selva. Estas estrategias pueden surgir de forma natural y todos tenemos preferencias, pero se aprenden. Hay actividades muy majas, tanto con lápiz y papel como con TIC.

A mí me gustan mucho las tablas de cálculo de J.J. Jiménez (ojo, tanto para Primaria como para ESO, hay de todo). En la web se explica muy bien de qué van y cómo usarlas. Fichas para descargar.

Esos son algunos tipos de actividades para ir trabajando la vía formal. Hay más, pero con esto creo que se pilla la idea. Esencial también el uso de manipulables, como he dicho, que tienen un lugar claro y directo en la construcción de las tablas.

En paralelo, la vía concreta. Esto es una de las cosas básicas que transmitimos en @FacultadEducaUZ en Didáctica de la Aritmética I y II. La cuestión es ir trabajando situaciones multiplicativas que, progresivamente, se hacen de forma más eficiente sabiéndose los hechos.

Al principio, los alumnos las resolverán mediante sumas o restas reiteradas. Poco a poco, jugando con las variables didácticas, con el tamaño de los números, se introduce la necesidad de ir empleando hechos conocidos.

No conviene hacer packs de ejercicios (aquí uso el término ejercicio, no situación) todos iguales. Introducir diferentes estructuras semánticas e incluso situaciones aditivas, que se resuelvan “sumando” o “restando”.

Uso las comillas porque en esta vía concreta se prima la comprensión. Sobre todo al principio, no importa tanto que elijan la operación correcta (que muchos alumnos eligen en plan random) como la comprensión de la situación.

Sugiero la lectura del artículo: Ter Heege, H. (1985). The acquisition of basic multiplication skills. Educational Studies in Mathematics, 16(4), 375-388.

Voy a ver si me organizo la semana, que me lío con estas cosas y no puede ser, que yo estaba con cosicas de probabilidad y tal.

Los materiales educativos concretos no son drogas milagrosas

Tue, 20 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Vamos con una #DidMatCita (y mini hilo) sobre el uso de materiales manipulativos. Siempre hay que tener presente una cosa, que a veces se olvida: “Los materiales educativos concretos no son drogas milagrosas. Su uso productivo requiere planificación y previsión.” (Szendrei, 1996)

Y es que ya van dos veces, recientemente, que veo experiencias con regletas de Cuisenaire que me hacen torcer el morro. Experiencias que ponen el énfasis en la asociación color-número. Es decir, blanco=1, rojo=2, y así.

Szendrei (1996), precisamente, pone las regletas de Cuisenaire como ejemplo de material manipulativo con gran potencial que, en muchas ocasiones, se utiliza mal o de forma poco adecuada.

Estas regletas son un buen recurso para desarrollar la idea de medida y, a partir de ella, aprender conceptos numéricos y de operaciones. No obstante, aquí lo fundamental es la medida. De hecho, permiten introducir la idea de fracción desde esta rica perspectiva.

No solo eso, sino que también se han mostrado muy útiles para trabajar conceptos de series, funciones y ecuaciones, para formular conjeturas y ayudar a guiar la intuición. Con estas tareas, además, nos acercamos a la idea de prueba en matemáticas.

Todo esto se fundamenta en algo muy básico. Y no es otra cosa que en no hacer una asociación única entre colores y números. Porque el mal uso de estas regletas nace cuando se fuerza a los alumnos a memorizar la convención número-color.

Esta asociación conduce a la realización de tareas triviales de sumas, de manera que las regletas pasan de ser un recurso para el aprendizaje a ser un contenido en sí mismas.

Otro mal uso se produce cuando en las primeras actividades con regletas , el profesor utiliza la regleta blanca llamándola “unidad”. Posteriormente, se miden el resto de regletas y los niños aprenden que la roja es el dos, la verde claro el tres, y así.

Las actividades que siguen a continuación dan la impresión de que los alumnos suman y restan con facilidad usando las regletas. Esto conlleva dos grandes problemas. Por un lado, los alumnos aprenden una asociación sin significado, color-número.

Por otro lado, se crean la concepción, errónea, de que una longitud es un número. Si bien al comienzo pueden decir que la longitud de la roja es dos veces la de la blanca, muy pronto comienzan a decir que la roja es el dos o la amarilla el cinco.

En particular, este proceso genera obstáculos muy serios de cara al aprendizaje de las fracciones. Los alumnos que han sido forzados a utilizar la blanca como unidad, no comprenderán más adelante que no importa qué regleta sea la unidad.

Ahí es donde pueden escuchase cosas tan extrañas como que “ahora el amarillo va a ser el uno”, en lugar de decir que “la longitud de la regleta amarilla (o la que mide 5 cm) será la unidad de medida”.

Szendrei termina señalando que, si bien hay manipulables muy sencillos, hay otros que requieren de un curso para ser usados de forma adecuada. Y esto concuerda con la necesidad de formación en didácticas especificas.

Resolución de problemas y divisibilidad con el juego del 21

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Acabo de ver un post sobre un juego que da mucho juego 😉 en #matemáticas. Me ha recordado lo que hicimos hace unos meses en 1ESO. Lo cuento un poquito en un mini-hilo. 👇

“One of Favorite Games: The Skip Count Game” vía @jennalaib #AcRiMates

Suele conocerse como el 21. El primer jugador dice un número del 1 al 3. Y el otro jugador elige sumar 1, 2 o 3. Así, hasta que uno de los dos llega a 21, ganando la partida.

Se juegan dos o tres partidas y luego se busca la estrategia ganadora. Es fácil ver la secuencia que hay que encontrar.

Permitiendo elegir números hasta el 5 o el que sea. Si no ha salido la idea de divisibilidad con las primeras partidas, buscar la estrategia general en las variantes lo fuerza un poco.

O el modo de jugar que plantea @jennalaib en su post: pierde el que dice 21.

Aunque conmigo la clase es en castellano, decidimos hacer esto en un proyecto @eTwinning_es #etwinning en inglés con alumnos del Lycée et Collège Sainte-Anne. Gracias @EtwTerp por ponerme en contacto con Maryse Duprey.

Después de ese rato en clase de mates, los alumnos prepararon la explicación con su profe de inglés, Isabel, a la que nunca agradeceré lo suficiente que se haya prestado a estas cosas.

Uno de los resultados fueron estas explicaciones tan majas, que compartimos con nuestros amigos franceses desde el canal del @IESValdesparter @plan54zaragoza

¿Qué sistema de numeración utiliza este juego?

Sat, 03 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Tengo un grupo de 1°ESO con mucha curiosidad. Llevamos unos días trabajando el tema de “Números”. Pongo esta imagen en clase y pregunto: “¿Qué tipo de sistema de numeración usa este juego para llevar la puntuación?”

Y sí, ha salido sin dar más pistas. -¿Aditivo? Alguna cara extrañada, porque claro, hay que darse cuenta en la foto de que los puntos pueden tener algo que ver con ese montoncito de gemas.

-¿Por qué? -Bueno, no sé cómo va la cosa pero esas piedrecitas de colores… imagino que cada una valdrá algo. -¿Y específicamente aditivo por qué?

-Mmm…porque da igual cómo las pongas ¿no? -👏

Creo que ha sido una pequeña discusión de aula muy interesante. Denota comprensión, además de decirme que tengo algunos alumnos con capacidad de análisis. Y que posiblemente hayan jugado a juegos más allá de los típicos.

En general les ha parecido una pregunta rara y no sabían a ciencia cierta si lo estaban haciendo “bien”. Eso es una evidencia de que en estos primeros días se va formando el “contrato didáctico”.

Y como estábamos terminando, he aprovechado para contarles de qué iba el juego. Que para visualización y geometría está muy bien. Pero de eso ya hablaremos en otra ocasión.

Análisis del tercer problema de la Olimpiada: Las partidas de dardos

Thu, 30 May 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2019). Análisis del tercer problema de la Olimpiada: Las partidas de dardos. Entorno Abierto, 28, 15-18.

On Squares, Rectangles, and Square Roots

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Burgos, M., & Beltrán-Pellicer, P. (2019). On Squares, Rectangles, and Square Roots. Convergence: Where Mathematics, History, and Teaching Interact, 15. 10.4169/convergence20181128

Una propuesta para la enseñanza de situaciones aditivas en infantil con dibujos animados

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Modrego, A., & Beltrán-Pellicer, P. (2019). Una propuesta para la enseñanza de situaciones aditivas en infantil con dibujos animados. Entorno Abierto, 29, 7-12

Algunas tareas de estimación en series de dibujos animados

Mon, 31 Dec 2018 00:00:00 +0000

Some situations about estimation in animated cartoons

Abstract

We are interested now by the situations on estimation that appear in cartoon series in which mathematics is an essential part of the storyline. We analyse in detail one of them, taken from the first season of Cyberchase, observing how the characters not only put into play different techniques and strategies to solve problems, but they learn with each one of them. In addition, an evolution in the attitudes and beliefs of some of the protagonists towards the mathematical activity is detected. This analysis also reveals some mistakes or inaccuracies in the dubbing process, which would be avoidable if, as in the original production, there were experts in the field of mathematics education. We complete the article mentioning other cartoon series involving estimation situations.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Algunas tareas de estimación en series de dibujos animados. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 7(2), 113-122. https://doi.org/10.24197/edmain.2.2018.113-122

El problema de contar cubitos

Sun, 18 Nov 2018 00:00:00 +0000

Es muy, pero que muy importante conectar registros y representaciones diferentes de un mismo objeto matemático. Por registros entendemos el registro verbal natural, el gráfico, el simbólico-numérico, el simbólico-algebraico, etc. Por representaciones, por ejemplo, diferentes expresiones algebraicas equivalentes. O diferentes gráficos sobre un mismo problema.

Voy a dejar aquí el material para llevar a cabo una sesión de visualización de descomposición de números, con sus factorizaciones y sus potencias (descargables al final). Se trata del problema de contar cuántos cubos pequeños faltan para completar el cubo grande. A partir de este problema, para lo que me he inspirado en el libro de Problemates de Lluís Segarra (de hecho, la primera configuración que se plantea es exactamente la misma que aparece en el libro).

La tarea

Antes de realizar la tarea que propongo en esta sesión, es preferible haber realizado alguna más de visualización de operaciones, como la que muestro en la imagen de cabecera. Con los policubos, o regletas, o cualquier otro material, se trata de componer números y escribir las operaciones que conducen a ellos. Viendo que, precisamente, el dos al cubo se llama así porque…¡es un cubo!
Nota: las configuraciones las he dibujado con esta herramienta del NCTM, enlace que he compartido con ellos y que hemos usado en clase para ayudar con la visualización.

Vamos a contar cuántos cubos pequeños faltan para completar el cubo grande

Dejamos tiempo. De hecho, yo lo propuse como tarea para el siguiente día. Y algunos alumnos consiguieron ver que faltaban 42 cubitos, pero otros no. Así que la siguiente sesión comenzó mostrando una posible visualización, prestando especial atención a la expresión aritmética que representa esa forma de contar.

Y después, la ficha con la tarea. Hay que pintar sobre cada una de las configuraciones y escribir en el recuadro la expresión correspondiente. También les entrego una hoja con un geoplano isométrico para la segunda parte. Conviene observar que esta tarea es un ejemplo claro de atención a la diversidad, cosa que no siempre conseguimos. Los alumnos que visualizan con más facilidad, tienen que buscar más expresiones para una misma configuración. Por ejemplo, contando los que hay en lugar de los que faltan.

Descargables

Ficha con el problema de contar cubitos, lista para imprimir.
Geoplano isométrico.

¡Un saludo y feliz clase!

Actividades de coloreado para los hechos numéricos básicos (ordenación y tablas de la suma, resta, multiplicación y división)

Wed, 01 Aug 2018 00:00:00 +0000

El aprendizaje de los hechos de las operaciones básicas (popularmente conocidos como tablas) ha de realizarse en paralelo o, incluso, de forma posterior, a los campos de problemas que se resuelven con las mismas. En primer lugar, como maestros, no debemos dejar sin abordar determinados problemas de “suma” o de “resta” porque el alumnado no sepa sumar o restar. De hecho, es que si esperamos a que aprendan a sumar y a restar, y no hemos ido trabajando la resolución de problemas, muchos alumnos tienden a jugársela; es decir, tomar los dos números del enunciado y decidirse al azar por una suma o una resta.

Tampoco ayuda que, muchas veces, todos los “problemas” de una ficha determinada sean del mismo tipo. El niño o niña, que no es tonto, aprende enseguida a identificar los dos números en juego y a sumarlos (o restarlos). Dicho esto, a la vez que se trabajan situaciones aditivas y diferentes estrategias, la secuencia de aprendizaje puede incluir actividades como la construcción de la tabla de la suma. En una plantilla como esta, el alumno escribe cada resultado, de manera que los que no conoce, los calcula contando. Una vez terminada, la ficha permite explorar los hechos numéricos; por ejemplo, coloreando aquellas que son equivalentes.
Y hablando de colorear. Una actividad de carácter procedimental para practicar los hechos numéricos que permitirán coger habilidad en el cálculo, pero más motivadora que cantar la tabla, es la de colorear una hoja de cuentas para descubrir un dibujo. Siempre podemos diseñar nosotros mismos estas hojas, pero en la web ColoringSquared hay un montón de fichas descargables en formato pdf para llegar y usar. Y con muchos temas para elegir: Star Wars, superhéroes, Harry Potter, etc.

Análisis inicial de los dibujos animados de Peg+Gato

Mon, 15 Jan 2018 00:00:00 +0000

Tras haber dedicado el primer artículo de la sección Matemáticas animadas de la revista EDMA0-6 a una serie con un claro contenido matemático como Equipo Umizoomi, la idea era continuar con ejemplos de cómo aparecen ciertos objetos matemáticos en producciones sin esa intención didáctica. Sin embargo, resulta que, durante el verano pasado, llegó una serie a las pantallas españolas que también tiene a las matemáticas como protagonista. Se trata de Peg+Gato. Al estar todavía emitiéndose y con nuevas temporadas en producción, estamos ante una buena oportunidad para dar a conocer esta serie, analizando la estructura de los episodios y el contenido matemático que aparece.

Al igual que Equipo Umizoomi, Peg+Gato es una serie de dibujos que se distribuye en canales de entretenimiento, pero tiene tanto contenido matemático que es innegable que posee cierta intención didáctica. Su producción es estadounidense-canadiense y en 2016 obtuvo dos premios Emmy, a la mejor dirección y composición musical y al mejor guion de series de animación infantiles.

¿Cuál es el público objetivo?

Está dirigido para edades de entre tres y cinco años, según la productora y el canal de distribución original PBS Kids. En Latinoamérica, Peg+Gato la distribuye Discovery Kids, que se hace eco de dicha clasificación. En cambio, en España, Clan TV la recomienda para preescolar, categoría que define para edades comprendidas entre 0 y 3 años. Esto no deja de ser chocante, porque tanto el contenido matemático como las historias que cuenta son claramente para mayores de 3 años. Según el sistema de clasificación de Clan TV, el término infantil se reserva para edades entre 4 y 6 años y junior para referirnos a mayores de 7 años. Por lo tanto, sería más apropiado clasificar Peg+Gato en la categoría que Clan TV llama infantil.

Narrativa transmedia: serie de dibujos, actividades, apps…

Realmente, para ser precisos, Peg+Gato es lo que hoy en día se conoce como narrativa transmedia. Es decir, la serie de dibujos en sí es solamente una pieza de un puzle mucho mayor, que se completa con la aplicación para dispositivos móviles, juegos en línea, actividades para descargar, los propios libros, etc. Para la producción de la serie han tenido en cuenta, como consultor matemático, a Francis (Skip) Fennell, quien fuera presidente del NCTM de 2006 a 2008 y autor de diversas publicaciones en didáctica de las matemáticas. Por otro lado, Moorthy, Hupert, Llorente y Pasnik (2014) llevaron a cabo un estudio, como evaluadores externos de la iniciativa Ready to Learn del Departamento de Educación de los EE. UU. La muestra estaba compuesta por 59 niños de 4 años que interactuaron en cinco sesiones de menos de una hora de duración con una serie de vídeos de Peg+Gato y juegos interactivos. Los investigadores analizaron tres dimensiones: el aprendizaje de los niños, las expectativas de los padres y la motivación o compromiso (engagement) hacia las actividades. Aunque los resultados fueron mejores en el post-test que en el pre-test, no son concluyentes. Solamente algunos ítems, como la identificación de una forma 3D (en concreto, cilindros) fueron significativamente superiores en el post-test. Los investigadores del estudio señalan que la causa posiblemente sea que se dedica un tiempo mayor al tratamiento de este contenido a lo largo de la sesión. Finalmente, podemos decir que, si bien los resultados son ciertamente positivos, varían dependiendo del episodio elegido y, por lo tanto, de la atención que recibe cada objeto matemático. Lo ideal, desde nuestro punto de vista, es que el visionado promueva interacciones y situaciones que permitan profundizar en el tratamiento del contenido matemático.

Características de Peg+Gato

Los objetos matemáticos aparecen entrelazados perfectamente con la historia que se cuenta en cada episodio, cuya duración es de unos 12 minutos. Una de las cosas que llama enseguida la atención, a los ojos de una persona adulta, es la intencionalidad educativo-matemática. Esta primera impresión se justifica, sin lugar a duda, por los elementos gráficos que componen las sucesivas escenas. Prácticamente en todo momento, observamos un papel cuadriculado como fondo, con complicadas expresiones matemáticas a medio borrar y nubes dibujadas como símbolos de infinito. En los libros originales, este ambiente matemático va un paso más allá, ya que los números que indican las páginas no son tales, sino pequeñas expresiones. Por ejemplo, 25+1=26.

Sin embargo, la realidad es bien distinta. Todo ese trasfondo matemático resulta, en su mayor parte, transparente para los niños a los que va dirigida. Los símbolos de infinito son meras nubes y las complicadas fórmulas son simples garabatos. Obviamente, si a un niño se le pregunta si salen matemáticas en Peg+Gato, contestará afirmativamente, ya que, en varias ocasiones, Peg o Gato remarcan esta presencia de forma literal: “Las matemáticas nos han ayudado a resolver el problema”. Además, muchos contenidos coinciden con los que se trabajan en la escuela, como recitados, conteos, medida, formas, etc.

Personajes

Los personajes principales son Peg y Gato. Peg es una niña que siempre lleva un gorro de color rojo, donde oculta una pequeña esfera azul que le ayuda a pensar. Ella es la encargada, en cada episodio, de explicar la situación inicial a los niños espectadores. La rotura de la cuarta pared presenta diferencias con respecto al que se da en Dora, la exploradora y otras series similares. En Peg+Gato es más sutil, no se espera a que los niños puedan dar una respuesta. Por otro lado, una característica de Peg es que utiliza las expresiones “tenemos un gran problema” o “tenemos un problema muy, muy grande” para anunciar las situaciones principales. Gato es el mejor amigo de Peg y le encantan los círculos, además de la lana y los punteros láser, como dice en alguna ocasión. Normalmente, ayuda a Peg a encontrar la solución a los problemas, aunque muchas veces no se da cuenta de ello. También se encarga de recordarle a Peg que debe calmarse cuando se pone nerviosa (“me estoy volviendo loca de remate”). En dichos casos, la técnica suele consistir en recitar hacia atrás desde el 5, aunque también aparecen recitados regresivos desde el 10 de 2 en 2, o de otras formas.

Además de Peg y Gato, hay otros personajes secundarios y que aparecen de forma recurrente en la serie. Ramón, por ejemplo, suele intervenir para ayudar a Peg en la resolución de alguna situación, aportando ideas más técnicas.

Un contenido primario y otro secundario en cada episodio

Cada programa de Peg+Gato se compone de dos episodios. En lo que sigue, para facilitar la búsqueda del episodio en cuestión, utilizaremos la codificación de producción, que se encuentra disponible en el espacio web que la cadena PBS ofrece como guía para las familias. El guion de cada uno de los episodios aborda un contenido matemático primario y uno secundario, y además aparecen otros objetos de forma más colateral. Por ejemplo, en el episodio 102a, El problema de la habitación desordenada, en el que Peg tiene que recoger la habitación antes de que llegue una visita, el contenido primario está relacionado con la clasificación (según ciertos atributos o propiedades) y el secundario son las formas de algunas figuras planas y cuerpos en el espacio. Además, hay otros elementos, como el recitado regresivo (normalmente desde 5) que efectúa Peg como técnica de relajación.

Para saber más

Beltrán-Pellicer, P.(2017).Beltrán-Pellicer, P. (2017). Análisis inicial de Peg+Gato y su tratamiento de la medida. EDMA0-6: Educación Matemática en la Infancia, 6(2), 72-79.

Algunas tareas de estimación en series de dibujos animados

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Abstract

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Algunas tareas de estimación en series de dibujos animados. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 7(2), 113-122.

Análisis del conteo como contenido matemático en un episodio de dibujos animados para educación infantil

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Arnal-Bailera, A., & Muñoz-Escolano, J. M. (2018). Análisis del conteo como contenido matemático en un episodio de dibujos animados para educación infantil. Unión: Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 52, 236-249.

Los superpoderes del equipo Umizoomi

Sun, 26 Nov 2017 00:00:00 +0000

La relación de las matemáticas con las películas y series de ficción va más allá de lo puramente anecdótico, no hay más que pasarse -por ejemplo- por la web de J. M. Sorando, Matemáticas en tu mundo. En los dibujos animados orientados a un público infantil también nos vamos a encontrar matemáticas: conteos, aritmética, medidas, azar, geometría, etc., muchas veces inmersas en situaciones cotidianas. O no tan cotidianas, como aventuras con naves espaciales, hadas y duendes, o animales que hablan. Sin embargo, este tipo de situaciones sí que resultan cercanas para los niños y van a constituir un recurso muy interesante, además de jugar un papel fundamental en la progresiva construcción de los significados personales y las creencias de los niños sobre las matemáticas.

Equipo Umizoomi (Kim y Smith, 2010-2015) es una serie de dibujos animados del ámbito del entretenimiento, pero que presenta una clara intencionalidad educativa. Está dirigida a un público de entre 4 y 7 años aproximadamente y tiene entre su equipo de asesores pedagógicos a investigadores en educación matemática como L. English y H. Ginsburg. Los protagonistas son dos superhéroes diminutos llamados Milli y Geo, que siempre van acompañados por el robot Bot. Los tres tienen una serie de habilidades denominadas “los superpoderes matemáticos”:

Así, Milli posee el superpoder de dibujo, que le permite, por ejemplo, replicar formas como si fueran teselados y efectuar alguna transformación, como cambios de color o de posición. Además, sus dos coletas pueden estirarse a su voluntad, lo que le lleva a utilizarlas para medir en diversas situaciones. Geo es el experto en geometría, con el poder denominado super figuras. Es capaz de recrear objetos tridimensionales a partir de formas en dos dimensiones. En la imagen anterior, por ejemplo, se le ve justo antes de terminar de construir una tabla de windsurf a partir de un triángulo y una elipse. Precisamente, este tratamiento de la geometría exige una especial atención, ya que no resulta clara la distinción entre figuras planas (2D) y cuerpos en el espacio (3D). Por último, Bot aporta su panza-panza-pantalla, una suerte de pantalla que recubre su abdomen, con la que se comunica con los niños que solicitan ayuda del equipo Umizoomi y que, de vez en cuando, añade datos adicionales sobre la situación a resolver.

Para saber más

[

Beltrán-Pellicer, P.(2017). Un equipo matemático para resolver problemas. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 6(1), 75-81.

Un ticket de la compra de un día cualquiera

Tue, 26 Sep 2017 00:00:00 +0000

Bueno, cualquiera, cualquiera, no. Y vaya por delante que el ticket es correcto. Ahora bien, descifrarlo es todo un desafío matemático y puede ser utilizado en el aula. Pero comencemos por el principio, ¿qué es eso de Welcome Pack que aparece tantas veces a lo largo del rollo? Cabe decir que ese día me di alta en una especie de club de ahorro en esa cadena, y por ello, me daban 5 euros de descuento. Para completar la información, debo decir que los artículos que marcaban descuento por oferta en los expositores, ya salen con el descuento correspondiente aplicado, salvo las que indican Dto Precio Plus, que aparece explícito en el ticket.

Y todavía se puede exprimir más el ticket. Un poco más abajo, venía la información de la tarjeta de crédito (cosa que, obviamente, he quitado) y los descuentos totales (del programa Plus) y el IVA aplicado. Sí, si nos preguntábamos que son las letras A y B que aparecen al lado de cada producto… es el tipo de IVA. Porque no es lo mismo comprar yogures que queso, por lo menos para los que legislan este tipo de cosas.

Este ticket, u otro cualquiera, se puede trabajar fácilmente en clase:

¿Dónde están los 5 euros de descuento del Welcome Pack?
¿Qué descuento me están haciendo en las frambuesas congeladas? ¿Y en el pan gallego?
¿El IVA se aplica antes o después de efectuar los descuentos?

Juego de Tronos, la cantidad es siempre la misma

Sat, 02 Sep 2017 00:00:00 +0000

En el capítulo 4x05, en torno al minuto 21, asistimos a una conversación entre Cersei y su padre, Lord Tywin, en donde las matemáticas están presentes de forma sutil, pero contundente. Aunque ya hace tiempo de la emisión de este capítulo, y es obvio, hay que dar la alerta de spoilers, porque se cuentan detalles de la trama. En esos momentos de la historia, Lord Tywin es la mano del rey, y al parecer, la Corona está en serias dificultades económicas.

Comencemos con el diálogo en cuestión:

Cersei: ¿Y en quién podemos confiar?
Tywin: Solo en nosotros… Los Tyrell son nuestros únicos rivales en cuanto a recursos, y los necesitamos en nuestro bando.
Cersei: *Robert no era especialmente rico. *
Tywin: A Robert lo financiaba yo. Las guerras tragan oro como un pozo en el suelo.
Cersei: Supongo que eso explica por qué nos fue tan bien en la última.
Tywin: ¿Sabes cuánto oro se extrajo en las minas de Poniente el año pasado?
Cersei: No tengo ni idea.
Tywin: Venga, aventura…
Cersei: Libras, arrobas, onzas… Tywin: No importa, la respuesta es la misma. Cersei: Imposible. Tywin: Nuestra última mina en funcionamiento se agotó hace tres años. Cersei: ¿Y cómo lo pagamos todo? Tywin: La Corona debe al Banco de Hierro de Braavos una tremenda cantidad de dinero.
Cersei: ¿Cuánto? Tywin: Una tremenda cantidad.

Efectivamente, necesitan oro, porque la única cantidad de oro que se representa con el mismo número, se mida en las unidades que se mida, es la que no existe. Y el número es el cero. Ya se mida la cantidad inexistente en libras, onzas, arrobas. Ay, Cersei. Si te hubieses interesado más por la economía de tu casa…

El UNO y Mi primer UNO (juegos de cartas)

Sun, 16 Apr 2017 00:00:00 +0000

En mi imaginario particular, el UNO siempre ha sido uno de los juegos piscineros o veraniegos por excelencia. Resulta que tenemos a los peques un poco enganchados y me apetece escribir algo sobre el tema. Eso sí, me es inevitable empezar por la versión infantil del juego, siempre intentando ver qué cosas son aprovechables desde una perspectiva de la educación matemática.

Mi primer UNO, versión Dora

En realidad, todo comenzó hace tres veranos, con Mi primer UNO (versión Dora la Exploradora), juego al que ya se puede jugar con niños de 2 años y medio, a pesar de que en la caja pone a partir de tres. La comunidad de BGG no puntúa excesivamente bien este juego, apenas con un 4,7/10, variante del UNO que, por otro lado, tampoco recibe muy buenas puntuaciones (un 5,3 la original y un 6,6 la Get Wild).
Es una baraja en la que hay cartas de cuatro colores (rojo, verde, amarillo y azul), números del 1 al 7 y, como cartas especiales, 4 comodines y 4 “roba 2” (chúpate dos en la jerga popular). Por otro lado, son cartas de tamaño grande (king-size), cosa que en realidad no entiendo, porque si las manos de los niños son más pequeñas, ¿no debería mantenerse, por lo menos, el tamaño de las cartas?
Chorradas aparte, desde el punto de vista del aprendizaje de las matemáticas, las cartas son mejorables. Ya que está dirigido a unas edades en las que los niños tienen que desarrollar la idea de número, y no solo el reconocimiento de símbolos numéricos, hubiese estado bien que las cartas tuviesen dibujado un conjunto de personajes de un cardinal acorde con el símbolo del número representado.

No voy a relatar las reglas del juego, pero la idea es que gana el jugador que consigue descartarse. Para ello, hay que ir echando cartas que coinciden, bien en color, o bien en número. Cuando solamente te queda una carta, tienes que decir Uno, porque si se te pasa y te lo tienen que decir, te robas dos. El juego está bien si lo único que pretendemos es aprender a jugar por turnos, tener paciencia, estar atentos, reconocer los símbolos numéricos y los colores. De hecho, lo de reconocer los símbolos numéricos es opcional, puesto que basta con fijarse en los personajes. Por ejemplo, el “3” siempre es el toro, así que el niño puede pensar simplemente en si tiene “carta de toro” o “carta del color x”. El único número que se aprende de verdad, es el uno, ya que cuando te queda una carta, debes decir uno, asociando esa palabra a un conjunto de un elemento que, además, se puede tocar.

El UNO, de las rondas sueltas a los ábacos

Con niños de 4 años ya se puede jugar con cierta agilidad al UNO, aunque en la cajita ponga a partir de 7. En realidad, casi puede decirse que las cartas están un poco mejor diseñadas para el aprendizaje de algunas cosas, aunque a estas edades es algo que ya da un poco igual, pues ya suelen estar asimiladas. Por ejemplo, los roba 2 y los roba 4, ¡tienen 2 y 4 cartas dibujadas junto al número!.

La diferencia con Mi primer UNO es que ahora los números van del 0 al 9 (ya tenemos al cero), y que hay más tipos de cartas especiales: roba dos, comodín roba cuatro, comodín, cambio de sentido, pierde el turno y, como extras en la edición Get Wild, tres comodines personalizables y un comodín intercambio de manos (que es un fastidio cuando te lo enchufan).

Al principio, simplemente hacíamos partidas de una única ronda, siendo el ganador el jugador que primero se descarta. Pero ahora ya hemos jugado unas cuantas según las reglas de verdad; es decir, con las rondas necesarias hasta que un jugador alcanza los 100 puntos. Y nos hemos ayudado de unos ábacos horizontales para que los peques lleven el conteo de sus puntos.

El comodín y el comodín roba cuatro valen 50 puntos, mientras que las cartas extras comodín intercambio de mano y comodín personalizable valen 40 puntos. El resto de cartas especiales tienen un valor de 20 puntos y, las cartas numéricas, lo que indique su número. Al jugar hasta que alguien llegue a los 100 puntos, la estrategia cambia por completo ya que, si te pillan con cartas especiales en la mano, estás perdido. Aunque claro, guardarse alguna, con talento, para el final, también tiene sus ventajas.

De momento, nuestros peques de 4 y 6 años de edad juegan con la información de que 50 es mayor que 40, y 40 mayor que 20. No realizan todavía las sumas correspondientes para ir controlando de manera exacta los puntos que tienen en la mano cuando se acerca el final de la partida, pero intuyen el riesgo de mantener una artillería variada en la mano. Para que cada uno lleve su conteo, utilizamos ábacos horizontales, además de un papel donde anotamos los puntos de todos, niños y adultos.
Como conclusión, lo mejor que pueden ofrecernos estos juegos es una experiencia en la que la gestión del riesgo es importante, con el detalle de que no intervienen dados, sino que la aleatoriedad de la situación viene del desconocimiento de las cartas de los demás.

Billetes imprimibles para aprender el sistema decimal posicional

Fri, 31 Mar 2017 00:00:00 +0000

Introducción, un recurso excelente

Un excelente recurso con el que profundizar en el sistema decimal posicional (el que utilizamos habitualmente para escribir los números) son los billetes. Ahora bien, necesitamos billetes estrictamente decimales; es decir, de 1, de 10, de 100 y de 1000. No nos valen, en este caso, los de 5 o 50, porque introducen una base auxiliar que nos despista y nos aleja del objetivo que se persigue. El caso es que, como tampoco vamos a usar dinero de verdad en clase, dejo aquí unos archivos listos para imprimir con billetes de 1, 10, 100 y 1000, solo por una cara.

Aunque dedicaremos una entrada más adelante a su utilización didáctica, ya adelantamos el tipo de actividades que se pueden plantear:

Representar un número con la menor cantidad de billetes posible.
Sumar dos cantidades, para trabajar los algoritmos de la suma.
Restar dos cantidades, para trabajar los algoritmos de la resta.
Doblar, triplicar, etc. una cantidad para relacionarlo luego con los algoritmos escritos de la multiplicación.
Repartir una cantidad de dinero entre varias personas, para poder establecer luego una correspondencia con los pasos del algoritmo escrito de la división.

No obstante, la primera vez que se justifican los algoritmos, mejor que los billetes es el material conocido como puntos,barras y placas. La diferencia está en que en la barra se identifica claramente que está compuesta por diez puntos.

Billetes de 1, 10, 100 y 100 listos para imprimir

Si no los quieres realistas (que no reales, porque billete de 1€ no hay…), aquí tienes este kit:

Y aquí los realistas. Se descargan pinchando sobre la imagen correspondiente (son archivos pdf):

Para elaborarlos, busqué en Openclipart, encontrando los billetes de 10 y los de 100. Encontré una imagen de un hipotético billete de 1 buscando un poco, y el de 1000 lo tuve que crear a partir del de 50 utilizando Inkscape.

Juego del chi, chip, chin o chis... para el aprendizaje de la secuencia numérica

Mon, 20 Mar 2017 00:00:00 +0000

No sabía muy bien cómo titular esta entrada. Más que nada, porque en cada sitio se les ocurre un nombre distinto para este juego. Con mi hermana, de pequeños, siempre lo llamábamos el juego del chip, pero en Wikipedia, aparece como Chi. El caso es que se trata de un juego de rapidez y reflejos, que podemos aprovechar para practicar el dominio del recitado de la secuencia numérica en progresivo y en regresivo. Con niños a partir de tres años ya se puede probar, sobre todo, dependiendo del tipo de baraja que usemos, como comentaremos al final.

Reglas del juego

Es un juego para dos jugadores, gana el primero que se descarta y el mecanismos es el siguiente:
1- Al comienzo, se reparte la mitad de la baraja a cada jugador.
2- Cada jugador coloca las cuatro primeras cartas de su mazo, boca arriba, enfrente suyo.
3- Cuando se ponen de acuerdo en empezar (tiene que ser a la vez para que no haya discusión posible), cada jugador toma una carta de su mazo (que puede mantener en su mano, pero sin verlo ni reordenarlo) y la pone en el centro de la mesa, a su derecha.
4- A partir de ahora, cada jugador lucha por quitarse sus cartas, colocando una de sus cuatro cartas sobre uno de los montones del centro, cualquiera de los dos. Para ello, dicha carta tiene que ser el siguiente o el anterior a la carta sobre la que la pone.
5- Si en un momento determinado las cartas de ambos montones coinciden, el jugador que se percate podrá gritar chip (chi, chin, chis o cualquiera que sea la variante regional). En ese caso, el otro jugador se lleva los dos montones.
6- Si ninguno de los jugadores puede colocar ninguna carta, vuelve a tomar su montón. Por eso, en caso de tener dos opciones, conviene endiñar las cartas al montón del otro.

Como recurso didáctico

De pequeños siempre jugábamos a esto por puro entretenimiento, pero está claro que podemos utilizar el juego del chip como recurso para trabajar el aprendizaje de la secuencia numérica y afianzar su recitado, tanto hacia delante (progresivo) como hacia detrás (regresivo). Idealmente, con niños pequeños que comiencen su contacto con los números, usaremos cartas donde el número aparezca representado tanto de forma simbólica como mediante un conjunto de objetos. Por ejemplo, la baraja española sin las figuras. De esta manera, afianzamos los conceptos de siguiente y anterior, con un apoyo gráfico que da una idea de la cardinalidad en cada momento.

Cuando los niños ya tienen claro a qué responden los símbolos numéricos, podemos utilizar una baraja como la de las fotos, con solo números, la cual puede descargarse gratuitamente de aquí (en dicho enlace hay más juegos pensados para esa baraja en particular).

Tubo matemático (math spinner)

Wed, 15 Mar 2017 00:00:00 +0000

Vuelvo a tener fina la máquina 3D, y eso significa que voy a ir imprimiendo manipulables para matemáticas. Tengo cosas que imprimí el curso pasado, a las que iré dedicando alguna entrada.

En esta entrada voy a presentar un tubo matemático. El diseño que he utilizado es el de BQ, que en realidad es un remix del de Sebphestos, que a su vez es el rediseño de pauloblank. Bueno, la historia no para ahí, porque este último viene del de cristinachum. Esta es la grandeza de las licencias que permiten obras derivadas y volver a compartir las creaciones. A lo que iba, este diseño en concreto me ha gustado porque el cilindro interior no es liso, sino que presenta unos surcos sobre los que se inserta un clip que llevan las ruedas móviles de los números. Lo único que he hecho es cambiar la forma de las tapas, para que parezca más una lata de refresco. Vaya por delante que a este objeto le llamo tubo matemático porque no sé muy bien cómo traducir math spinner sin que la cosa quede muy ortopédica.

¿Qué es realmente un tubo matemático?

Si observamos las fotografías que acompañan este texto, veremos que este objeto es un tubo sobre el que van enroscadas una serie de ruedas. Hay una que es fija y que lleva el signo igual, de forma que separa una operación de su resultado. La operación está compuesta por dos términos de una cifra, que se representan por sendas ruedas móviles, y de una rueda, también giratoria, para la operación a realizar (suma, resta, multiplicación y división). A la derecha del signo igual hay dos ruedas para representar un número de dos cifras.

Entonces, ¿qué podemos hacer con un tubo matemático de estos?

La cosa está clara, trabajar las operaciones formales con niños en último año de infantil y primer ciclo de primaria. Ahora, lo que parece una chorrada en un principio, esconde relaciones interesantes entre las operaciones que facilitan, por ejemplo, el ir construyendo las tablas de la suma o de la multiplicación.

Por ejemplo, pongamos una suma conocida, 7+5=12, a la que el niño haya llegado recitando desde uno de los sumandos o porque precisamente se sabe ese resultado.

Si giramos una rueda de un sumando una posición, bastará mover la rueda de las unidades del resultado una posición para obtener el resultado, 7+6=13. Aquí va implícita la idea de compensación de ambos lados del signo igual, y se podría discutir si, efectivamente, facilita una comprensión más algebraica del mismo.

Más aún, si giramos m veces un sumando y n veces el otro (sin desbordamiento; es decir, sin pasarnos de 9 en ningún caso), para mantener el resultado válido tendremos que girar la rueda de las unidades m+n veces. Y ahora sí, si llegamos a cero, eso quiere decir que tendremos que girar una posición la de las decenas. Con lo que también ofrecemos una perspectiva nueva sobre la que apoyar la comprensión del sistema posicional decimal.

El caso de la resta todavía es más interesante. Pongamos una resta como 8-5=03. Si aumentamos en una unidad, girando el minuendo para que el 8 pasa a ser 9, para compensar el resultado, tendremos que aumentar también el sustraendo.

Un defectillo

Cuando estamos tratando con niños a los que todavía no se les ha introducido el concepto del cero, el hecho de que para marcar cualquier número de una cifra en el resultado tengamos que acompañarlo de un cero a la izquierda es, cuando menos, forzado. Se podría mejorar haciendo ruedas de 11 caras, siendo una de ellas en blanco.

Máquinas de sumar

Tue, 19 May 2015 00:00:00 +0000

La realización de esta graciosa máquina de sumar es cosa de los tíos de mis pequeñuelos, que se han ganado un puntazo. Ellos tomaron la idea hace tiempo del blog Imágenes educativas, pero al final les ha quedado algo diferente.

La máquina consiste en dos tubos que convergen en forma de “Y”. Por cada agujero de entrada se introducen los sumandos, como bolitas, garbanzos o judías, y en la bandeja inferior se recoge el resultado. Por supuesto, de máquina tiene poco, porque el niño debe contar para obtener el resultado.

Cumple su función didáctica estupendamente. Por un lado, si la máquina se le presenta al niño como algo sofisticado, o incluso mágico, es algo que le va a encantar. Y, por otro lado, permite desarrollar su sentido numérico. Así, el niño se introduce en una de las técnicas para sumar más básicas: agrupamiento y conteo. Ya habrá tiempo para técnicas más avanzadas.

Además, si el niño ya sabe escribir números,puede tratar de anotar los números que va metiendo y lo que obtiene en cada caso. Esta tarea, que a un adulto le podría resultar pesada (a quién se le ocurre anotar números), forma parte del juego de la máquina. Resulta gracioso e interesante comproba cómo se sorprenden cuando obtienen el mismo resultado sumando diferentes cantidades (5+2=6+1=4+3).

Comecocos de papel matemáticos

Fri, 20 Feb 2015 00:00:00 +0000

¿Quién no ha jugado alguna vez a los comecocos de papel? Bueno, pues resulta que están de moda como recurso didáctico en prácticamente cualquier materia.

El juego más sencillo que podemos plantear es el de preguntas y respuestas, que puede jugarse de forma individual o por parejas. De esta manera, una vez elegido número y color, se lee la pregunta y, para ver si la respuesta es correcta, basta con desplegar.

En etapas tempranas de infantil resulta muy interesante el potenciar diferentes representaciones de un número. Así, en las fotos se ven cierto números en forma de lanzamientos de dos dados. Claro está, que el niño no tiene por qué saber sumar para poder decir qué número es, le basta con contar. Sin embargo, mediante este juego se va construyendo la noción de suma en la mente del pequeño. Ello es debido a que visualmente es muy fácil identificar en un dado los números del 1 al 6. Y para números mayores, es más eficiente sumar que contar. Es decir, que las primeras veces que se juegue se ha de tender a contar, pero al descubrir que la suma facilita la tarea, se cambiará de estrategia mental.

Al desplegar la opción elegida se comprueba si el resultado es correcto.

*Comecocos desplegado. Hay páginas web con plantillas para recortar y *

doblar, pero para estos casos concretos no merece la pena.

¿Cómo se hacen estos comecocos?

¿Que no te acuerdas? En este vídeo te lo recuerdan:

Torres de números

Thu, 25 Dec 2014 00:00:00 +0000

Curioso juego que nos describen en el blog Be the thread. Aunque en la foto hayamos empleado regletas de Cuisenaire, de las que ya hablaremos en posteriores artículos, se puede jugar con piezas de construcción o con cualquier juego de bloques. Casi mejor si los bloques pueden unirse, aunque da igual. Si no se unen, se trabaja también la psicomotricidad fina ;).

Con este juego se trabaja el conteo, al tener que montar las torres, la identificación de los símbolos numéricos y la suma. No es obligatorio sumar para jugar a este juego, como se ve en las instrucciones, pero si se suma, se quitan más cubiletes.

¿Qué necesitamos para jugar a Torres de números (Towers Up)?

Dos dados. Podemos variar la dificultad empleando dados con más o menos caras.
Bloques de construcción, cubitos apilables o regletas.
Una hoja como la de la foto. El patrón de números que hemos puesto es el de la versión original, para la que harán falta 88 cubiletes unitarios. Podemos variar el patrón como queramos y los números sean alcanzables con la puntuación de los dados.

¿Cómo se juega?

Primero se monta el chiringuito, apilando los bloques según marca la hoja. Después, por turnos, se van tirando los dados para retirar las torres. Si se obtiene un 3 y un 5, se puede quitar una torre de 3 y una de 5, o dos de 4.

El juego acaba cuando se quitan todas las torres. Puede jugarse en plan solitario, en plan colaborativo (todos ganan cuando se quitan las torres) o en plan competitivo (gana el que más cubiletes haya quitado).

Contar y días de la semana con _Una oruga muy hambrienta_

Tue, 16 Dec 2014 00:00:00 +0000

The Very Hungry Caterpillar (Eric Carle, 1969) es un libro para niños pequeños que es una delicia. En español se conoce como La oruga muy hambrienta. Va dirigido a edades de entre 3 y 6 años, pero no pasa nada por disfrutar de él a partir de los dos añitos.

El autor, Eric Carle, ha publicado diferentes versiones del cuento, consciente del exitazo que es. En casa tenemos el libro desplegable, que invita todavía más a ser tocado y manoseado, por lo que hay que estar más atentos cuando lo leemos con niños especialmente movidos. Lo tenemos en inglés, fundamentalmente porque estas cosas suelen estar más baratas en ese idioma.

Además de disfrutar pasando sus hojas, el libro trabaja una serie de conceptos importantes.

Contar: una cosa es aprenderse los números y, otra muy diferente, aprender a contar. La pequeña oruguita empieza comiéndose una manzana el lunes y, como es una ansiosa y tiene mucho hambre, el martes se arrea dos peras. El miércoles, tres ciruelas, y así hasta que llegamos al viernes, que se mete entre pecho y espalda nada menos que cinco naranjas (¡vaya con la oruguita!). El sábado, la oruguita se viene arriba del todo y ya pasamos del número 5 al concepto de mucho. Porque ahí se le fue la mano al bueno de Eric, ya que lo que se come la oruga es digno de un banquete vikingo. Pobrecita, le entra dolor de tripa.
Días de la semana: el concepto de tiempo, tal como lo conocemos los adultos, no es el mismo que pueden tener los niños. Para lo que nosotros puede ser un instante, para ellos es una eternidad y, particularmente, la idea de lo que es una semana y su repetición cíclica es algo que cuesta. Es un concepto que se aprende alrededor de los cuatro años de edad. El librito, como cuenta la vida de la oruga en siete días, es un apoyo más sobre el que el niño puede construir su idea de semana.
Metamorfosis: esto ya no es matemático, pero resulta chocante que te digan que la oruga se encierra en su casa y luego sale convertida en un bicho con alas de colores.