Álgebra | Pablo Beltrán-Pellicer

Para despejar x, se sigue un largo y complicado proceso que no vamos a ver

Sat, 28 Feb 2026 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de unos hilos publicados en Twitter(X): este y este otro.

Es desolador encontrarse en un libro de 2º ESO, al respecto de la fórmula de la ecuación de segundo grado, que:

La justificación de esta fórmula queda para cursos superiores. Por ahora, conviene que la memorices y que aprendas su manejo como se muestra en los siguientes ejemplos.

Más todavía, ver que, en el curso inmediatamente superior, lo prometido se queda en agua de borrajas (el subtexto es añadido mío):

Para despejar $x$, se sigue un largo y complicado proceso que no vamos a ver aquí. Es lo que parece sugerir el currículo, pero como ni el profesorado está en condiciones de plantear situaciones al respecto ni el alumnado de aprender a razonar, disimulemos que hacemos matemáticas.

No me lo estoy inventando, no:

Nótese que en ese subtexto que me he permitido añadir no utilizo el verbo explicar. Ocurre que, a veces, se explica la demostración y, claro, solo se enteran un par, con suerte. Va de plantear situaciones donde el alumnado razone, represente y, en el proceso, emerja el completar cuadrados. Como he dicho muchas veces, y lo mantengo: uno de los problemas en la educación matemática es que se explica demasiado.

Sobre ecuaciones y funciones cuadráticas

No pasa nada por taladrar a palo seco la fórmula de la ecuación de segundo grado. Es muy importante aunque en otros países o no se vea o se aborde dos o tres cursos más tarde que aquí. Por cierto, cada vez que un alumno hace $(a+b)^2=a^2+b^2$ muere un gatito.
¿Cómo dices?

Sostener las dos afirmaciones anteriores al mismo tiempo es incoherente. Si las identidades notables se quedan a vivir en su tema correspondiente y no muestran su gracia en ningún momento más, el calificativo de notables se les muda a «aquellas del tema ese que yo qué sé».

Una conexión intramatemática muy clara es aprovecharse de estas identidades para resolver ecuaciones de segundo grado. Vaya por dios, sin la fórmula. O que esta aparezca más adelante al generalizar este tipo de técnicas. Vamos a dar sentido aquí al cuadrado de una suma. Considera un rectángulo de lados $3$ y $b$, su área es $3b$, ¿no?

¿En cuánto aumenta su área si aumentamos el lado que mide $b$ en $3$ unidades?

En efecto, aumenta en $9$ unidades de área. Ahora tenemos un rectángulo de lados $3$ y $(b+3)$, con lo que hemos descubierto que $3·(b+3)=3b+3^2$. Si ahora, además, aumentamos el lado original que medía $3$ en $b$ unidades, ¿en cuánto aumenta el área?

Ahora a lo que hemos llegado es que el área del cuadrado de lado $(b+3)$ es igual a $b^2+3b+3b+3^2$; es decir:

$$(b+3)^2= b^2+6b+3^2$$

Y ya podemos decir lo que aumenta el área, cuánto es ese área, etc.

Basta generalizar permitiendo que el lado que mide $3$ pueda variar, para llegar a nuestro querido $(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$.

En otras palabras, el cuadrado de una suma es el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Lo mismo se puede hacer con $(a-b)^2$ y con $(a+b)(a-b)$, conectando lenguaje algebraico con gráfico y consideraciones geométricas. Si tenemos cierta soltura (aka competencia). Con esto, convertir $f(x)=x^2+3x+2$ en $f(x)=(x+p)^2+q$ es bastante directo.

No hay más que jugar un poco. Si pienso que $x^2+3x$ forma parte del cuadrado de una suma, vendría a ser el cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, lo estaría viendo como $x^2+2 \cdot x \cdot \frac{3}{2}$.

Como resulta que $\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=x^2+3x+\frac{9}{4}$, tengo que gestionar ese $\frac{9}{4}$, quitándolo (como estoy añadiéndolo, hay que restarlo):

$$f(x)=x^2+3x+2 = \left( x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+2 = \left( x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$$

Si lo que quiero es resolver la ecuación $\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}=0$, ya está a huevo:

$$\left( x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$

Hago la raíz cuadrada y blablabla. Pero es que, además, tener $f(x)$ como $f(x)=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$ visibiliza qué está pasando aquí:

¡Anda! Más conexiones intra matemáticas. El eje de simetría me lo está dando el que acompaña a la $x$ dentro del paréntesis. Y la ordenada del vértice, su coordenada en $Y$, me la está dando el número que va suelto, $-\frac{1}{4}$.

Para que todo quede más claro, ¿no sería mejor convertirla en $f(x)=(x-p)^2+q$? Nótese el cambio de signo donde $p$. Claro que sí, porque entonces el vértice no sería $(-p,q)$ sino directamente $(p, q)$. Pero es que esto también es hacer matemáticas, discutir, hacer conexiones.

Si vamos teledirigidos a la fórmula y a hacer cosas con la fórmula nos dejamos muchas matemáticas por el camino. Y resulta que lo interesante está en el camino. Además, ojo, resolver la ecuación de segundo grado completando el cuadrado se hace también en una línea.

No digo nada nuevo, esto se puede ver en materiales de, por ejemplo, el año 1981, Grup Zero, donde se asume también un trabajo previo en identidades (que lleve a algún sitio, claro).

Había una página con todos los libros del Grup Zero: www.grupzero.cat/llibres/, pero parece estar caída. He conseguido recuperar algunos en el archive.

Empezar lenguaje algebraico definiendo monomio: por ahí no es

Sat, 03 May 2025 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de un hilo publicado en BlueSky y en Twitter(X).

Recuerdo aquellos hilos que hacía de «Elige tu propia aventura». Pues para empezar lenguaje algebraico en, digamos, 1º ESO, habría varios caminos, pero el peor de todos es el que empieza definiendo monomio. Al mismo nivel que la regla de tres para proporcionalidad. Va hilo.

Ese camino empieza por ahí y sigue explicando muy claro (¿?) lo de la parte literal (aka las letras) y lo de, mira, hay monomios que tienen la misma parte literal y se les llama semejantes. Resulta que esos los puedes sumar y restar. Los demás no.

Inciso. A que mola el meme del mono mío. Pues tiene dos niveles de lectura. O es un mono mío a secas o un monomío semejante al monogrande. ☂️☂️☂️☂️☂️

‪ Hay varios enfoques o visiones del álgebra escolar, sobre los que hay multitud de literatura científica (al final pondré alguna referencia) y ninguno contempla empezar por el camino descrito anteriormente. Ninguno. Sin ser exhaustivo y teniendo en cuenta que hay autores que solapan algunos enfoques y que estos no son para nada excluyentes:

Aritmética generalizada. Expresar las leyes o propiedades de la aritmética en términos generales.‪
Identificación y generalización de patrones. Hay quien unifica el estudio de patrones con el anterior, pues también va de generalizar regularidades. Estructura.
Enfoque funcional, donde las letras, cuando llegan, tienen el significado de variables. Expresar relaciones, que pueden emanar de un contexto intramatemático o físico.
Modelización de situaciones físicas. Puede verse como incluido en el punto anterior.
Álgebra para resolver problemas. Ecuaciones, etc. Donde las letras, cuando llegan, tienen significado de incógnita. Las reglas algebraicas, una vez establecidas, permiten resolver tipos específicos de problemas, una vez identificados. En efecto, la regla de tres puede verse como un método algebraico para resolver problemas de valor faltante o perdido.
Álgebra como lenguaje. Para comunicar. Para explicar. El álgebra con literales me ayuda a explicar una regularidad.

El álgebra es mucho más que hacer cosas con letras. Por eso, antes, he ido poniendo la coletilla cuando llegan a las letras. Porque, sí, el pensamiento algebraico arranca desde la más tierna infancia, en infantil. ¿Acaso no hay patrones en infantil? Pues eso. Sin embargo, vamos a centrarnos en ese punto de ruptura que suele estar en 1º ESO que es cuando se empieza a hacer álgebra con letras. Cuando se introduce un contenido (sí, los saberes son contenidos) lo mejor es que sea motivado por algo.

‪No me refiero a algo extrínseco como tratar de encajar el camino del principio en una gamificación sobre la serie de streaming que esté de moda. No. ¿Por qué aprender álgebra? Eso tiene que apreciarse en la mismísima primera actividad. Los que me habéis ido siguiendo, sabéis de mi predilección por el enfoque de la propuesta de Eva Cid, donde a la vez que se introduce el álgebra con literales, se van construyendo los enteros como estructura numérica. Eso sería una aproximación funcional con tintes de aritmética generalizada. Funcional porque las letras aparecen en los primeros problemas como variables. Y aritmética generalizada porque echa mano de estrategias de cálculo oral. Pero dejemos eso a un lado, porque hoy quiero hablar de patrones. Que, por cierto, no es incompatible con lo anterior. Imaginemos que la primera actividad de la unidad «lenguaje algebraico», que es un clásico de 1º de ESO, fuera un patrón de los de visualpatterns.org (otra de esas páginas especializadas en un tipo de recurso), como este:

La actividad consiste en continuar un par de pasos la serie, y dar el número de elementos del paso <un número suficientemente grande como para que me resulte cansado dibujarlo> (en visualpatterns.org lo hacen con 43). Eso ya es trabajo algebraico. Reconocer la regularidad y explicarla. ¿Cómo los cuentas? ¿Cómo explicas cómo lo has hecho a un compañero? Si estamos en un ambiente #thinkingclassroom con pizarras verticales, cómo lo registramos para que un compañero comprenda cómo lo hemos hecho?

‪En el patrón anterior vemos que la sucesión es 5, 10, 15, etc. Ah, siempre es 5 veces el número del paso. ¿Cómo será el paso $n$? ¿Escribirlo así ayuda a explicarlo? Dos observaciones. Este patrón es demasiado sencillo y apenas requiere del dibujo. Sin embargo, aparecen otras formas de contar. ‪ Y hay quien lo expresa como $4·n+n$. ¿Será lo mismo eso que $5·n$? Bueno, pues ahí tienes ya una forma de empezar a manipular expresiones algebraicas. Tras una charla de aula más que rica y más que llena de matemáticas.

¿Qué puede pasar si propones esta actividad después de una aproximación como la de los primeros posts? Pues varias cosas, que cuando se pide generalizar, sin más, el alumnado no sabe qué se le pide. ¿Por qué no pedir el paso $n$? ‪ Pero lo más llamativo es que, si después de dos o tres semanas con las cantinelas de parte literal y operaciones con monomios semejantes, se pone sobre la mesa la cuestión de si $4·x+x$ es lo mismo que $5·x$ y un alumno se arranca a decir que no, que $4·x+x$ es lo mismo que $4·2x$, vamos apañados. Porque en general, estar varias sesiones dando estirando patrones como el anterior y como estos, y discutiendo diferentes maneras de contar y expresar esos conteos, se ve como pérdida de tiempo. Sin embargo, lo otro no tanto, porque parece que es lo que toca.

Pues lo siento, pero no.

Inciso. Probad diferentes maneras de abordar este de aquí. Y que una de ellas sea fijándoos en los incrementos. Tremendo.

Y nada más. Como había prometido alguna referencia, esta de aquí es amplia, relativamente reciente y viene a hablar de todo un poco: The Learning and Teaching of Algebra de Abraham Arcavi, Paul Drijvers y Kaye Stacey. No obstante, como lectura introductoria, suelo recomendar este texto de Marta Molina sobre concepciones del álgebra escolar, que está accesible en abierto).

¡Feliz clase!

Entre números, signos y letras: Enteros y Álgebra al comienzo de la ESO

Mon, 01 Jul 2024 00:00:00 +0000

Cítese como:

Cid, E., Beltrán-Pellicer, P., & Muñoz-Escolano, J. M. (2024). Entre números, signos y letras: Enteros y Álgebra al comienzo de la ESO. Actas 21 JAEM «Matemáticas entre el mar y la montaña», 1048-1064.

Semiotic bundle approach and OntoSemiotic Approach: a dialogue between two theories on an arithmetic-algebraic problem

Fri, 01 Sep 2023 00:00:00 +0000

Cite as:

Manolino, C., Giacomone, B., & Beltrán-Pellicer, P. (2023). Semiotic bundle approach and Onto-Semiotic Approach: A dialogue between two theories on an arithmetic-algebraic problem. Educação e Pesquisa, 49, e256699. https://doi.org/10.1590/s1678-4634202349256699eng

Una propuesta rompedora a nivel conceptual

Sat, 22 Jul 2023 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

De todas las propuestas que he compartido por aquí, de la que más orgulloso me siento cada vez que alguien me dice que la hace en el aula, es la de la construcción de los enteros a la vez que se introduce el álgebra con literales (aka tesis de Eva Cid). ¿Quieres saber por qué?

Porque supone un desafío a todos los niveles. Suele cuestionar, no solo la cultura de aula, sino el lugar asumido en la planificación curricular de un objeto matemático tan «básico» como los enteros. Y el álgebra que se hace al comienzo de la ESO.

¿Qué leches hacen en la aritmética? Ahora tenemos el sentido númerico, que podríamos definir como «la buena aritmética». Pero el problema es el mismo. ¿Qué hacen ahí, antes que el álgebra?

Una prueba muy sencilla e interesante es pasar los problemas que hay en una unidad de enteros de un libro de texto cualquiera de 1°ESO a un niño o una niña de 4° o 5° de primaria.

Porque para resolverlos, los enteros no hacen falta para nada. Algunos autores, de hecho, hablan de números relativos.

Los modelos concretos (todos) patinan en el tema de los enteros. Porque en la aritmética no son necesarios, su hábitat natural es el álgebra.

Si te pica la curiosidad, aquí dejé los hilos en versión blog. Y el grupo de Telegram «De la aritmética al álgebra», donde hay material y una comunidad de docentes interactuando en torno a él: enlace aquí.

Vídeos con Eva Cid hablando sobre su trabajo:

¿Qué algoritmo elijo para la resta?

Sun, 30 Apr 2023 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

En efecto, la resta como sustracción detrás del “tomar prestado” de algunos algoritmos (anglosajón); y la resta para cuantificar la diferencia en una comparación detrás del “sumar arriba y abajo” (tradicional español). Añado unas reflexiones al interesante hilo de @bpalop.

La pregunta «¿cuál elijo para mi alumnado?» está viciada de entrada. Si el progreso en Matemáticas (la pongo en mayúscula porque me refiero a la asignatura) va a depender exclusivamente de que se maneje con un algoritmo en concreto, mal vamos.

Es que no sabe ni restar.

Si al decir esto nos referimos a que no sabe manejarse con un algoritmo, no estamos hablando de si sabe o no sabe restar. No hace falta ningún algoritmo para restar. Mucho menos, las situaciones-problema de primer ciclo de Primaria.

Sobre todo con el nuevo marco curricular, la cuestión es que estos algoritmos se engloban maravillosamente dentro del sentido algebraico y pensamiento computacional. Os voy a pegar, literalmente, fragmentos del currículo de Primaria de Aragón.

«Está claro que en la sociedad actual, las técnicas escritas de cálculo han perdido relevancia y utilidad, por lo que el aprendizaje de algoritmos ha de convertirse en un aprendizaje sobre algoritmos, relacionado con el pensamiento computacional. Al mismo tiempo, las actividades planteadas sobre estos algoritmos deberán permitir establecer conexiones y aprender elementos básicos y propiedades del sistema decimal posicional. En ningún caso debe articularse el aprendizaje del sentido numérico desde la ejecución automatizada de algoritmos que hayan sido aprendidos sin significado. Cuando eso ocurre, se anula el desarrollo de prácticamente cualquier estrategia de cálculo mental,pues este se relaciona más con las técnicas orales (calcular mentalmente no pasa por tratar de imaginarse un algoritmo escrito). La calculadora aparece como un recurso excelente para plantear tareas de exploración sobre estructuras numéricas e indagar con números grandes.»

Más, dentro de la descripción del Sentido algebraico y pensamiento computacional:

«Un ejemplo muy claro de pensamiento computacional en matemáticas lo encontramos en el análisis, adaptación y creación de algoritmos. Desde la popularización de las calculadoras, el énfasis en el aprendizaje de algoritmos para las operaciones aritméticas básicas ha quedado en entredicho. Evidentemente, la repetición mecánica e insistente de una serie de pasos para sumar, restar, multiplicar y dividir hace tiempo que no se justifica de ninguna manera. En la vida cotidiana, los adultos no solemos sacar papel y lápiz: o hacemos la cuenta mentalmente (posiblemente, estimando), o utilizamos un dispositivo.

Más aún, tanto las pruebas de acceso a ciclos formativos como las pruebas de acceso a la universidad se hacen con calculadora. Esto no quiere decir que no haya que aprender algoritmos, sino que los objetivos no pasan por conseguir que el alumnado haga el mayor número de cuentas inverosímiles en el menor tiempo posible. El objetivo es desarrollar el pensamiento computacional al mismo tiempo que se profundiza en aspectos propios del sistema de numeración posicional y el sentido numérico.»

Y la madre del cordero en las orientaciones de primer ciclo sobre Sentido numérico:

«Es más importante dominar las estrategias anteriores, que llevan a un cálculo más comprensivo, que trabajar un algoritmo. Las sumas y restas, que además deben presentarse de forma intercalada, pues ambas forman parte de las situaciones aditivas, deben acompañarse de la manipulación del material, para garantizar la representación con la comprensión y se tenga un buen dominio de la agrupación de unidades en decenas. Los algoritmos de las operaciones no tienen sentido en este ciclo y no favorecen el desarrollo del sentido numérico a estas edades. Sí tienen valor como objeto de estudio dentro del pensamiento computacional en ciclos posteriores.

Pero ahora se trata de enfatizar cálculo oral y mental, así como flexibilidad sobre las operaciones y comprensión de las situaciones-problema que responden a ellas. Se trata de trabajar con situaciones aditivas (“de suma o de resta”) con la intención de que las reconozcan, las resuelvan utilizando su conocimiento de los números y traduzcan a lenguaje matemático. Que se enfrenten a situaciones que se pueden modelizar y resolver de diversas maneras e igualmente correctas, por ejemplo, 7+2=9 es lo mismo que 2+7=9, o que si tenemos que saber el dinero que nos falta para comprar algo que cuesta 11 euros y ya tenemos 5, podemos resolverlos preguntando ¿cuánto me falta de 5 a 11 euros? Y después escribirlo 11-5=? o 5 +?= 11. La iniciación en la resta, tendrá que hacerse de la misma manera, manipulando materiales, y empleando estrategias diversas para calcular el resultado, entendiendo que con frecuencia es necesario descomponer decenas y centenas.

Cuando se llegue a un resultado, tanto si es correcto como si no lo es, hay que iniciar la reflexión de cómo han llegado, cómo lo han hecho, comunicarlo y contrastarlo con sus compañeros o compañeras. Esta conversación ayudará a ampliar las estrategias y encontrar la más eficiente. Después de este proceso de reconocimiento, obtención del resultado, explicación de cómo se ha llegado se puede escribir con lenguaje matemático, (+, -, = ); en grupo, pautado por el profesorado y hacia una mayor autonomía.»

Volviendo a la cuestión de qué algoritmo elijo. Que se lían si mezclo varios. Pues es que en primer ciclo la respuesta es fácil. NINGUNO. Y en segundo ciclo, VARIOS, de forma comprensiva y para movilizar pensamiento computacional y aspectos del sistema decimal posicional.

Para más orientaciones buscar el currículo de Mates de Primaria de Aragón aquí. Recuerdo que va hasta con referencias y enlaces a recursos. 89 páginas.

Créditos

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A vueltas con los algoritmos tradicionales

Mon, 14 Mar 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Con lo bueno que es este tuit y ya he leído por ahí que si los algoritmos tradicionales por aquí y por allá. Hasta las narices, pero lo diré una vez más.

Link al tweet

El ÚNICO problema que tienen los algoritmos tradicionales radica, en todo caso, en la enseñanza «tradicional» de estos con objetivos «tradicionales».

Más aún, ahora en el currículo de primaria está el sentido algebraico y pensamiento computacional. No sé cómo lo veréis, pero los algoritmos forman parte de ese pensamiento computacional.

Que en primero y segundo de EP habría que limitarse a algoritmos en contextos de orientación espacial, acciones varias, etc. Sí. Y no ver un algoritmo de las operaciones, ni tradicional ni otro, también.

Pero a partir de final de 3ºEP o 4º EP los algoritmos de las operaciones son una oportunidad excelente para revisitar conceptos que tienen que ver con el sistema de numeración posicional y, vaya, cosicas del pensamiento computacional.

Las actividades sobre algoritmos de las operaciones pueden (deben) arrancar del trabajo con manipulativos. Como siempre, la reflexión sobre las acciones físicas que se hacen es la que motiva las instrucciones del algoritmo.

A partir de ahí, y teniendo claro que el algoritmo con lápiz y papel para obtener, simplemente, resultados de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, deja bastante que desear y que, como mínimo, es una alternativa más… se plantea un mundo de posibilidades.

Y con estos números, ¿habría que modificar el algoritmo?
¿Y si empezamos por la izquierda en lugar de por la derecha?
Y este otro algoritmo (se enseña una representación, como el de la multiplicación “japonesa” o “maya” -viral en cualquier caso 🤪-).. ¿cómo funciona?

¿Con manipulativos? ¿Cómo? Algo así. En el hilo lo muestro con billetes de base decimal, pero para los de la suma y la resta usaría puntos-barras-placas o similares.

Sumas y restas con llevadas, traditional flavour, con billetes

Aquí multiplicación y división

¿Distintos algoritmos en clase?
Sí.
Es que se lían.
Es que una cosa es restar y otra trabajar algoritmia (por lo de pensamiento computacional).

Y si en clase tengo alumnado que usa el algoritmo anglosajón y otro que…

Multiplica al revés

Créditos

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¿Por qué usar Ooodle (y Nerdle) como recurso en clase de Matemáticas?

Tue, 22 Feb 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

¿Por qué usar Ooodle como recurso en clase de Matemáticas?

Tranquilidad, que no es el #Ooodle diario, sino uno de práctica.

Uf, 77, qué número… Veamos, lo primero que me viene a la mente es que es 7x11.
Ya, claro, pero el 11 no está entre los números a elegir, pero 9x8 se queda cerca, solo hay que sumar 5, que es lo mismo que…

¿No será que van al revés el 9 y el 8? Con otros números no me quedo tan cerca al multiplicarlos… y para llegar a 77… Vamos a probar, y buscamos otros dos números cuya diferencia sea 5.

Enhorabuena, Pablo. ¿Eso es todo? Qué va. El orden de las operaciones cambia. Por ejemplo, aquí tenemos primero una resta primero.

No es una tontería. Realmente, exige pensar en estas expresiones de un modo más… algebraico, no en orden secuencial, sino en global. Además, si me encuentro con que necesito disminuir el valor de la expresión a lo mejor primero he de sumar y luego restar algo mayor.

¿Y cómo la podemos usar en clase? Una propuesta es como actividad de calentamiento, dando lugar a una charla de aula donde primen los argumentos para elegir unos números y no otros, favoreciendo la interacción.

Otra, dedicar parte de una sesión en grupos, donde, igualmente, se trate de dar valor al proceso de argumentación. Esto se puede complementar con el diseño de Ooodles, de manera que un grupo se lo pase a otro. Se me ocurre que se pueden plantear restricciones en los números, etc.

En definitiva, que es una actividad para desarrollar el sentido numérico y que llega a conectar con el álgebra. Os dejo el enlace por si no la conocíais, cosa rara en esta efervescencia de Wordle y derivados.

Enlace: https://mathszone.co.uk/resources/grid/ooodle/

Con versión MAX: Ooodlemax.

Atención al NerdleGame y todas sus variantes (que conocí gracias a @smaccarrone). Muy, muy interesante, ofrece incluso más grados de libertad. 💪

Y para los compañeros de Geografía e Historia… el Worldle.

Sistemas de ecuaciones en 2º ESO

Wed, 24 Nov 2021 00:00:00 +0000

¡Pero si no había subido este hilo a la página! Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Sistemas de ecuaciones en 2º ESO. Elige tu propia aventura como profesor:

A. Esto es sustitución, esto es igualación y esto reducción. Ejemplos y ejercicios.

B. ¿Cuánto vale un croissant?

Los problemas como el del croissant vienen de la tesis de Abraham de la Fuente. Había hecho cosas parecidas anteriormente, pero el desarrollo gradual y explotación que permite su propuesta es tremendo. Aquí solo muestro las líneas generales. Referencias al final.

Vamos allá. La opción A es propia de un enfoque PARA resolver problemas. En este caso la consecuencia habitual es que no se contempla con cuidado el paso de la aritmética al álgebra y todo esto desemboca en malabares mentales y aprendizaje de procedimientos con poco significado.

No es una cuestión trivial. En el de sustitución, por ejemplo, se sustituye una variable por una expresión más compleja. ¿Se ha hecho esto antes? ¿Qué significa? Y si vamos al de reducción, vemos que juntamos expresiones alegremente.

La opción A también te permite «pulirte» el currículo en un par de días.

Vamos a la opción B, que es la que me interesa contaros. No comienza exactamente con el problema del tuit inicial, sino que arrancamos con algo más sencillo que enlaza con los conocimientos previos del alumnado. Esta aparente sencillez lleva asociada ya una carga de profundidad.

Primer problema

Somos tres amigos que han comprado dos ensaladas y tres pizzas para cenar. Solo tenemos el precio total, 19,90 €.

a) ¿Podemos saber el precio de una ensalada y una pizza por separado?

Esta pregunta se podría discutir entre todos, a modo de charla de aula, como calentamiento. Después lo ideal es trabajar en pequeños grupos de 3 o 4 alumnos. Dejar que vayan discutiendo (importante que sea el alumnado), pasar por las mesas y luego al final puestas en común.

Vale, no, no podemos saber cuánto vale una pizza o una ensalada por separado. Sin embargo, con esta información, seguro que podemos decir algo más.

b) Razona que dos ensaladas no pueden costar más de 20 euros.

c) Razona que una pizza no puede costar más de 7 euros.

No os hagáis el remolón. Os invito a tratar de razonar estas preguntas para poneros en el lugar del alumno que trata de abordarlas. Muy pegado al razonamiento aritmético todavía.

d) Razona que cuatro ensaladas y siete pizzas cuestan más de 39 euros.

Hay que estar muy atento a cómo se expresan al responder todas estas cuestiones. Claro, aquí ocurre que 4 ensaladas y 7 pizzas son más del doble.

Y en la siguiente se pregunta exactamente por el doble.

e) ¿Puedo saber cuánto cuestan 4 ensaladas y 6 pizzas? ¿Por qué?

f) ¿Puedes saber cuánto cuestan una ensalada y dos pizzas? Razona la respuesta.

Vaya, resulta que puedo conocer el precio de algunas combinaciones.

h) ¿De qué otras combinaciones puedes saber el precio? Explica.

Aún más. Si supiera el precio de la ensalada, podría decirte el precio de la pizza. ¿No?

i) Di 5 posibles precios de la ensalada y los correspondientes de cada pizza. Explica cómo encuentras la forma de saber el precio de la pizza a partir del precio de la ensalada.

INCISO. Con estos grupos habíamos trabajado proporcionalidad incidiendo mucho en la necesidad de asumir una condición de regularidad antes de comparar cantidades de magnitud o encontrar el valor faltante. Pues bien, aquí hubo alumnos que volvieron a hacerlo explícito.

No me lo esperaba. Pero es lo bueno que tiene que esto no sean «unidades» al uso, que facilitan conexiones que ni te esperas.

Si cada ensalada cuesta lo mismo…

Seguimos con un problema similar

a) Razona si con la información que tenemos podemos saber el precio de una porción y una bebida.

Preguntas que siempre hay que discutir y razonar.

b) ¿Podemos saber el precio de 8 porciones y 12 bebidas? ¿Y de 4 bebidas y 2 porciones? ¿De qué combinaciones podemos saber el precio?

c) ¿Podemos saber el precio máximo para una pizza y una bebida?

Por ejemplo, se puede decir el precio de 2 porciones y de 3 bebidas, porque es la mitad.

Se deja algo de libertad para explorar.

d) Di 5 cosas que podemos asegurar del precio de las porciones de pizza, de la bebida o de alguna combinación a partir de la información que tenemos. Esta información puede incluir valores máximos.

e) Di 5 posibles precios de la bebida y los correspondientes de cada porción de pizza. Explica cómo encuentras la forma de saber el precio de la porción de pizza a partir del precio de la bebida.

Aquí viene otra estructura…

Preguntas similares a las anteriores, donde la clave es…

Si somos tres amigos, ¿puedo decir cuánto hemos de pagar cada uno? Es decir, ¿puedo saber cuánto vale una porción y una bebida? ¿Podemos conocer más cosas?

Y vamos con un saltito. Si juntamos la información sobre el precio de las dos compras, ¿podemos saber el precio de una porción y tres bebidas? ¿Hay alguna otra combinación de la que podamos conocer el precio? Razonadlo

Con esta información, puedes saber el precio de cada porción y el precio de cada bebida. Explica cómo los encontrarías. ¿Hay más de una forma de saberlo?

En este momento están empleando estrategias verbales que se alinearán con las algebraicas. Es clave que se exploren alternativas y se juegue con la información disponible.

Ahora lo que viene ya son problemas similares donde esas diferentes formas de resolverlo se relacionan con diferentes técnicas algebraicas. Yo en 2º de ESO no les pondría ni nombre, pero veréis que son los clásicos sustitución, igualación y reducción.

Vamos con el del tuit inicial. ¿Cuánto vale un croissant? ¿Cuánto vale un café? Venga, daros un tiempo para pensar un par de formas sin usar álgebra.

Como sé que 2 croissants y un café son 2,8 €, lo que falta hasta 4,8 € serán 2 €.

Me voy a la de arriba y averiguo el precio de un croissant, porque sé que un croissant y un café son 2 euros. Lo que falta hasta los 2,80 € del precio será el precio del croissant.

Veníamos de trabajar lenguaje algebraico con la secuencia de enteros desde el álgebra de Cid. Ningún problema en expresar lo de arriba como $2c+t=2,8$. Lo que hemos hecho antes es sustitución de expresiones algebraicas.

Pero se pueden hacer más cosas. Como sé el precio de 2 croissants y 1 taza de café (por eso la t, que ojo, esto de los literales que uso no es trivial tampoco), puedo saber el precio del doble, es decir, de 4 croissants y 2 tazas.

¡Anda! A qué me suena (como profesor) este método. Ya tengo la c, el precio del croissant, como $5,6-4,8 = 0,8€$.

$4c+2t=5,6$

$3c+2t=4,8$

¿Cuál es la diferencia?

No quiero alargarme mucho más, solo dar a conocer esta aproximación. La cosa sigue con problemas similares. Similares, pero que van introduciendo giros interesantes. Aquí, por ejemplo, el hecho de que ambos conjuntos valgan lo mismo… es uno de mis momentos favoritos.

Es que sé cuántos sombreros valen lo que una gafa.

Ahí lo dejo. Y cuando vemos el siguiente problema entendemos más cosas. ¿Puedo hacer algo similar al anterior? Sí, pero habrá que igualarlos antes…

La evaluación

No quiero alargarme en exceso, solo dar a conocer esta aproximación. Pero sí que me gustaría enseñaros la evaluación. Además de lo que se va viendo en clase, que ya es una evidencia (y se ve mucho si los dejas trabajar), la autoevaluación que hicimos era básicamente esto.

Eso es más que de sobra. Había una tarea extra:

Tarea 2. (EXTRA) Inventa un problema de dos ecuaciones de dos incógnitas y que tenga solución. Resuélvelo, al menos, de una manera. Y bueno, lo llamamos autoevaluación porque van sin nota e indican su percepción.

Esas autoevaluaciones se comentan en clase. Dan mucho juego. Aquí por ejemplo vemos un uso extraño del lenguaje algebraico (los números que multiplican a las letras se suelen poner antes, como coeficientes, para no dar lugar a equívocos).

En general, esa sesión de comentarios es sumamente interesante para poner en común errores o imprecisiones y métodos alternativos de resolución.

Y hasta aquí. Faltaría conectar con la representación gráfica y alguna cosa más, pero eso da para varios hilos y creo que con esto nos hacemos a la idea. Vuelvo a dar crédito a Abraham de la Fuente, a su director de tesis, Jordi Deulofeu por los problemas (imágenes incluidas, salvo la de las palmeras). Es algo que también aparece desarrollado en el libro Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria, de C. Calvo, J. Deulofeu, J. Jareño y L. Morera (2016). El enfoque es similar al que puede verse, por ejemplo, en los trabajos del Grup Vilatzara.

Os remito a su tesis Construcción del lenguaje algebraico en un entorno de resolución de problemas. El rol del conocimiento del profesor, disponible en el siguiente enlace

Y a la presentación de su ponencia en la #IVJEMA de la @sapmciruelos. «Aprender a usar el álgebra mediante la resolución de problemas. Una propuesta de Abraham de la Fuente». Enlace a la presentación

Por mi parte, si os interesan hilos como este, sabed que los tengo bien cosidos en mi tuit fijado.

¡Feliz clase!

Pd. Leches, se me olvidaba. Justo hoy me preguntaban por las adaptaciones significativas y atención a la diversidad. Pues bien. Estas tareas son para todos, no tienes que hacer materiales aparte. Suelo bajo y techo alto.

El problema de esas ACS, que no se nos olvide, es que tal como están las cosas prácticamente imposibilitan la titulación. Pero eso sí que es otro melón.

Cuadrado de una suma (meme)

Wed, 29 Jul 2020 00:00:00 +0000

Una tontadica que puse en Twitter. Si eres profe de matemáticas, te ha pasado. Y lo sabes.

Y si me dejáis explotar el chiste…

Entreacto de los enteros: características de su introducción con modelos concretos

Sat, 02 May 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de varios hilos de Twitter.

Entreacto, en algún lugar entre el segundo y el tercero. Una vez presentados los personajes, para completar la reflexión faltaría exponer cuáles son las características de la introducción en el aula de los enteros por medio de modelos concretos.

Dentro spin-off.

1️⃣ Supone que los enteros se ven en el ámbito de la aritmética

¿Cómo? ¿No son números? Ya vimos que una característica fundamental de la resolución aritmética de problemas es el control semántico del contexto.

Esto quiere decir que es el significado de cada número el que nos permite decidir qué operaciones ir haciendo en cada momento. Una consecuencia es que no se necesita incluir nuevos símbolos que los empleados ya para los naturales.

Resolver un problema de este tipo acudiendo a los enteros, con todo lo que conlleva, no hace sino aumentar innecesariamente la complejidad de la notación. Hay ejemplos de problemas de deudas y haberes desde épocas remotas (vete a decírselo a los escribas del faraón).

2️⃣ Se invierte el proceso de modelización matemática

En las ciencias experimentales o sociales lo que se estudia es un fenómeno o situación, que se representa mediante un modelo matemático, que permite obtener información, hacer predicciones, etc.

En la enseñanza de la aritmética elemental la cosa va al revés. Lo que se modeliza es el objeto matemático por medio de un sistema físico. El uso de modelos concretos (ej, manipulables) para naturales y fraccionarios reproduce intuitivamente sus propiedades e ideas de medida.

Ahora, los enteros surgieron por una necesidad interna de las matemáticas. Ya vimos en los tres actos que los modelos concretos no consiguen reproducir de forma intuitiva su estructura.

Además, el uso de modelos concretos aquí refuerza la idea de los números enteros como medida de cantidades de magnitud relativas o con dos sentidos y relaciona sus operaciones con ciertas acciones físicas.

3️⃣ La utilización de modelos concretos dificulta la justificación del orden y la estructura multiplicativa de los enteros

Esta es breve. Ya vimos el porqué.

4️⃣ Las operaciones entre números enteros se presentan como operaciones entre naturales con el añadido de alguna consideración sobre los signos

¿Cómo? ¿No queda claro que estamos ante un nuevo conjunto numérico? En la enseñanza de la aritmética elemental se peca habitualmente de un reduccionismo que consiste en definir las operaciones entre cualquier tipo de números como operaciones entre naturales. Ya lo hemos comentado aquí con el modelo parte-todo de las fracciones, que no hace sino considerarlas como un doble recuento. Lo mismo con las reglas de manejo de la coma decimal. Y este reduccionismo alcanza, por supuesto, a los enteros.

¿Quién no ha oído lo de sumar positivos por un lado y negativos por otro? Todo esto es un obstáculo para captar la naturaleza de los enteros e integrarlos en un nuevo conjunto numérico.

5️⃣ Las técnicas de cálculo de expresiones numéricas que indican operaciones combinadas se algoritmizan

No se busca el modo más simple de operar. Esto es un aspecto de las expresiones numéricas, que no es sino el preludio de una característica elemental del quehacer algebraico.

Descuidar el punto anterior tiene importantes consecuencias a la hora de establecer buenas prácticas de cálculo algebraico.

6️⃣ La presentación inicial de la notación completa impide el desarrollo de las prácticas de cálculo habituales

Ya comentamos lo que implicaba esto de la notación completa y las instrucciones que promueven la supresión del signo + predicativo, en lugar del signo + binario.

7️⃣ Se introducen las notaciones sin considerarlas objetos de estudio

El alumnado va viendo cómo, ante sus ojos, se suceden diversas notaciones. Y sí, esto es herencia todavía de las matemáticas modernas de los años 60 y 70.

Símbolos que antes eran exclusivos del dominio algebraico (símbolos de operaciones, de relaciones, etc.) ahora se ven como si nada en el campo de la aritmética. Y el significado de estos, presenta matices importantes en cada uno de estos ámbitos.

8️⃣ No se explicitan las diferencias existentes entre los enteros y los naturales

La introducción de los enteros exige reinterpretar el significado del cero. Pobre, ahora ya no es el cero absoluto, sino que pasa a ser un cero origen.

La resta pasa de ser una sustracción a ser una diferencia. Y no, no es lo mismo. También se modifican propiedades que afectaban a todos los números, como que el resultado de una suma es mayor o igual que cualquiera de sus sumandos.

O que el minuendo de una diferencia tiene que ser mayor o igual que el sustraendo, o que el resultado de un producto de factores distintos de cero es mayor o igual que cualquiera de sus factores, o que el dividendo de una división es mayor o igual que el cociente…

O que no existen números menores que cero, etc. Todas estas diferencias hay que ponerlas sobre la mesa en una secuencia didáctica bien pensada y articulada. No hacerlo puede hacer creer que dichas propiedades siguen cumpliéndose con los enteros.

A modo de conclusión

La próxima vez que alguien te diga que son sencillas las matemáticas de primaria o de 1º y 2º de ESO, ten presente este tipo de consideraciones.

Ahora, por ejemplo, se menciona que el curso que viene se trabajará en 1º de ESO por ámbitos. Adelante, pero con dos especialistas trabajando de forma coordinada y flexible.

Referencia, al igual que en los tres actos, la tesis de Eva Cid, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos (2015).

Esto ha sido un spin-off de los tres actos de los enteros.

¡Feliz clase!

Los tres actos de los enteros

Tue, 28 Apr 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de varios hilos de Twitter, sobre los que además se han incorporado una serie de correcciones y ciertos matices que se pierden en el formato de los 280 caracteres.

Los tres actos de los enteros.

1️⃣ Presentación de personajes y puesta en escena. ¿Qué modelos concretos hay?

2️⃣ El nudo. Inconvenientes.

3️⃣ Desenlace. Una propuesta.

Introducción

Vamos con una de película, porque hoy toca ver números enteros.

Hola alumnos: $(+1)+(-3)+(-4)-(-5)=¿?$
No os preocupéis que esto se ve muy bien con ascensores, termómetros, pócimas, fichas, …

¿Y si os dijera que los modelos concretos, aquí, patinan?

«Actualmente, parece haber un consenso general en que la introducción de los números negativos en el aula debe basarse en modelos concretos: deudas y haberes, temperaturas, movimiento en dos sentidos, etc. Se supone que estos modelos, al ser familiares al alumno y poseer un grado de abstracción adecuado a su edad, le ayudarán a dar sentido a los números negativos y a justificar sus reglas de cálculo. Tanto los libros de texto como la mayor parte de las propuestas de los investigadores en el tema van en esa línea, diferenciándose únicamente en la elección del modelo. A continuación, ponemos en duda la pertinencia de una introducción de los números negativos por medio de modelos concretos, analizando los efectos no deseados que produce.»

Demoledor, ¿verdad? Pues bien, el párrafo anterior está copiado literalmente del resumen de una ponencia de Eva Cid en las JAEM de 2001.

Lo que voy a hacer aquí es desgranar algunos resultados de su investigación, en tres actos.

¿Qué modelos concretos existen?
Inconvenientes de los modelos concretos.
Líneas generales de una propuesta que los evita.

Como esto es muy largo, serán tres hilos. Previsiblemente, hoy por la mañana, este, que no es más que la presentación de los personajes. Por la tarde, el segundo acto, el nudo. Y ya mañana, el desenlace.

Tengo la inmensa suerte de conocer a Eva Cid y haber hablado con ella sobre lo que he observado al llevar su propuesta con mi alumnado. Al final, para las mentes más inquietas, dejaré las referencias. Solo espero, por lo menos, motivar, al menos, la reflexión de los lectores.

Primer acto - LOS MODELOS CONCRETOS: presentación de los personajes

Hay dos tipos de modelos concretos: los de neutralización y los de desplazamiento.

Modelos de neutralización

Los modelos de neutralización se basan en la manipulación de cantidades de magnitud con sentidos opuestos que se neutralizan entre sí. Para describirlos utilizaremos un modelo de fichas de dos colores donde se supone que cada ficha de un color neutraliza a una ficha del otro color. ¿Os suena?

Ejemplos: deudas y haberes, personas que entran o salen de un recinto, juegos con puntuaciones positivas o negativas, fichas de dos colores que se neutralizan, cargas eléctricas positivas o negativas, etc. Veamos cómo se interpretan las operaciones aritméticas.

La suma es sencilla. Es una agregación de fichas seguida del correspondiente proceso de neutralización para obtener la representación canónica formal del resultado. $+2+(-3)$ implica hacer dos parejas de fichas que se neutralizan entre sí. Al final, me queda una del color que representa los negativos.

La resta se relaciona con la acción de quitar o separar fichas. Si hay que quitar más fichas de un color que las que hay, se añaden pares de fichas azules y rojas convenientemente. Reflexión: quitar fichas de un color equivale a añadir el mismo número de fichas del otro color.

Antes de ir con la operación estrella, veamos qué pasa con el orden. Resulta que para justificar la ordenación aquí hay que jugar con juicios morales, como que lo positivo es mejor que lo negativo. Es mejor tener fichas rojas que azules, o haberes que deudas.

Porque… ¿quién prefiere que le pongan puntos negativos pudiendo recibir positivos? Vamos a ver, quién.

Inciso. En los ejemplos usaremos el convenio de que las fichas rojas son las positivas y las azules, las negativas. Que es el que se suele emplear para representar cargas eléctricas.

Una manera de justificar el producto de enteros desde la neutralización es diciendo que $(–a)(–b)$ significa que a una situación cero hay quitarle $a$ veces $b$ fichas azules.

Esto lo conseguimos introduciendo $ab$ parejas de fichas rojas y azules, lo que permite quitar $b$ fichas azules un número $a$ de veces y quedan $ab$ fichas rojas. Es decir, $(–a)(–b)=+ab$. Y de forma similar para los casos: $(+a)(+b)$, $(–a)(+b)$ y $(+a)(–b)$.

Esto obliga a una nueva interpretación de los signos. Tanto en la suma como en la resta, los signos que acompañan al número son signos predicativos, signos que indican el tipo de objetos al que nos referimos (fichas rojas o azules), mientras que los signos entre números son signos operativos binarios, indican las operaciones de suma o resta. Sin embargo, en (–a)(–b) el signo que acompaña al primer número no es un signo predicativo, es un signo operativo que indica la acción de quitar.

Otra forma de justificar el producto a partir de la neutralización es mediante la noción de ganancia (aumento de la cantidad de magnitud en el sentido positivo) o pérdida (disminución de la cantidad de magnitud en el sentido positivo) por unidad de tiempo.

De esa manera, uno de los términos del producto indica la ganancia o pérdida por unidad de tiempo y el otro el número de unidades de tiempo pasado o futuro a considerar, mientras que el resultado es la pérdida o ganancia total.

Modelos de desplazamiento

Vamos con los modelos de desplazamiento. Son modelos en los que los números positivos o negativos pueden indicar posiciones en un sentido u otro, a partir de un origen, o desplazamientos de una posición en uno u otro sentido. Para describirlos vamos a utilizar un camino dividido en casillas,, donde cada una es una posición que pueden ocupar las fichas. Estas posiciones se numeran a partir de cierta posición inicial, añadiendo el signo $+$ o $-$ según sea el sentido del recorrido.

Ejemplo de modelos de desplazamiento: el termómetro, el ascensor, las escaleras que se suben y bajan, las altitudes por encima y debajo del nivel del mar, los años antes y después de Cristo, los caminos de doble sentido, las posiciones y desplazamientos sobre la recta real, etc.

Un desplazamiento de $+a$ casillas aplicado a una ficha, significa que esta se desplaza $a$ casillas en el sentido positivo de recorrido. Y si es $-a$ casillas, en sentido contrario (negativo). Así, los números enteros pueden indicar tanto posiciones como desplazamientos.

Para cada desplazamiento existe un desplazamiento opuesto. Es decir, un desplazamiento que devuelve la ficha a su posición original.

La suma de enteros se justifica como:

Un desplazamiento aplicado a una posición para obtener otra posición.
Una composición de desplazamientos que da como resultado otro desplazamiento.
O como una composición de desplazamientos que se aplica a una ficha situada en la casilla cero y da como resultado la nueva posición.

La resta de enteros se interpreta como la operación inversa de cualquiera de las anteriores.

El orden se justifica interpretando los números enteros en términos de posiciones. Un entero es menor que otro si, utilizando el sentido de recorrido definido como positivo, la posición que representa al primer número es anterior a la correspondiente al segundo número.

En algunos modelos de desplazamiento, como el del termómetro, el sentido positivo no se define solo por convenio (algo habitual en estos modelos), sino que vuelve a responder a un juicio de valor. Es mejor estar a 3 grados sobre cero que estar a 10 grados bajo cero.

El producto se interpreta como composición repetida de desplazamientos para obtener un desplazamiento resultante al que se le cambia o no el sentido según que el entero que indica la repetición sea negativo o positivo.

Es decir, $(-2)(+3)$ es un desplazamiento de 6 posiciones, pero en sentido negativo (como 3 es en sentido positivo, hay que cambiarle el sentido). También puede interpretarse que el desplazamiento resultante se aplica a una ficha situada en la posición cero.

Así, el producto representa la nueva posición de la ficha. A veces, se considera que el producto $(\pm a)(\pm b)$ indica la posición resultante de transformar una posición inicial $\pm a$.

El valor numérico de la nueva posición pasa a ser $ab$ y, dependiendo de que el signo que acompañe a $b$ sea positivo o negativo, estará situada en la misma semirrecta que $\pm a$ o en la semirrecta opuesta.

Otros autores incorporan a los modelos de desplazamiento la noción de velocidad positiva o negativa y tiempo pasado y futuro y entonces los términos del producto indican desplazamientos y tiempos y el resultado es una posición.

En ocasiones, cuando el modelo de desplazamiento es el de la recta real, se justifica el producto de enteros utilizando dispositivos gráficos parecidos a los que suelen utilizarse para explicar las homotecias de razón entera.

También hay quien interpreta el producto $ab$, con $a$ y $b$ enteros, como el área del rectángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadas $(a,b)$, $(a,0)$, $(0,b)$ y $(0,0)$ acompañada del signo $+$ o $–$ según el cuadrante en que esté situado.

Segundo acto: INCONVENIENTES DE LOS MODELOS CONCRETOS PARA LOS ENTEROS

Y ahora se pone interesante, llegamos al nudo de esta historia en tres actos.

Estructura aditiva

Del primer acto, se desprende que parece que los modelos concretos permiten justificar bien la estructura aditiva de los enteros (sumas y restas).

Pero no nos llevemos a engaño. Solo parece, porque realmente es el conocimiento que tenemos los profesores sobre los enteros lo que permite elegir argumentos para justificar las reglas de operación.

No resultan tan eficaces como medio de reconstrucción de dicha estructura en caso de olvido. Es muy fácil seguir una argumentación correcta dentro del modelo que lleve a cometer errores si no se conoce el comportamiento de los enteros. Veamos.

Alumno: $(+70)-(-10)=+70$ porque si tengo 70€ y me perdonan una deuda de 10 € sigo teniendo 70 €.
Profe: No. Tener 70 € y no deber nada es equivalente a tener 80 € y deber 10€. Si ahora quitamos la deuda de 10 €, nos queda un haber de 80 €, luego $(+70)-(-10)=+80$.

No se puede negar que el argumento del alumno es perfectamente válido desde el sentido común, que es a lo que intenta apelar el uso de modelos concretos. Pasa algo parecido con la versión termómetro…

Alumno: $(-6)-(-2)=+4$, porque entre 6 grados bajo cero y 2 grados bajo cero hay 4 grados de diferencia y $4$ es lo mismo que $+4$.
Profe: No, necesito disminuir en 4 grados una temperatura de 2 bajo cero para obtener una temperatura de 6 grados bajo cero, luego $(-6)-(-2)=-4$.

Lo que está pasando en ese momento por la cabeza del alumno. Con razón.

Orden

Con el orden de los enteros se complica mucho más. Ya hemos dicho que estos modelos obligan a efectuar juicios morales. ¿Qué alumno va a aceptar que tener 5 fichas azules es peor (o menos) que tener 2 fichas azules?

¿O que efectuar un desplazamiento hacia la izquierda de 5 casillas es peor (o menos) que efectuar un desplazamiento hacia la izquierda de 2 casillas?

La mayor parte de los modelos no permite hacer creíble esa valoración adicional que califica las situaciones de “mejores” o “peores”. Algunos, como las deudas y haberes o el termómetro, sí que admiten este tipo de argumentos.

Por ejemplo, $-10<-5$ porque deber 10 € es peor que deber 5 € o porque 5 grados bajo cero es una temperatura más alta que 10 grados bajo cero. Pero incluso en estos casos, se encuentran argumentos igualmente válidos que justifican lo contrario.

Porque podemos decir que una deuda de 10 € es mayor que una de 5 € o que el que debe 10 € debe más que el que debe 5 €, concluyendo que $-10>-5$.

O, en versión termómetro, que 10 grados bajo cero es una temperatura más baja que 5 grados bajo cero y, por lo tanto, mayor, en el sentido de que supone un aumento del frío.

En los de desplazamiento se define un sentido de recorrido y se dice que las posiciones anteriores son menores según ese sentido. Así se asume un convenio que no resulta familiar a los niños. Además, contradice el sentido de recorrido que se utiliza para dibujar el modelo.

En el caso de la recta numérica se define un sentido de recorrido de izquierda a derecha que permite justificar que $-8<-5$ porque $-8$ está a la izquierda de $-5$.

Sin embargo, los niños, al dibujar la recta numérica, ¿qué hacen?

Representar el origen.
Hacia la derecha, van representando los puntos $+1$, $+2$, $+3$, etc.
Después, dibujan los puntos $-1$, $-2$, $-3$, etc.

Es decir, recorren la recta desde el origen hacia la derecha y después desde el origen hacia la izquierda. Ese es el sentido de recorrido que se impone y, de acuerdo con él, $-5$ se dibuja antes que $-8$, lo que sugiere que $-5<-8$.

O sea, que los modelos concretos justifican mal la estructura ordinal de los números enteros (desde luego, mucho peor todavía que la suma o la resta) y fomentan la aceptación de un orden de izquierda a derecha para los enteros positivos y al revés para los negativos.

El producto de enteros

Y llegamos a la operación estrella, el producto de enteros.

Casi todos los investigadores coinciden en que las justificaciones del producto basadas en modelos concretos son tan artificiosas y tan alejadas de la experiencia de los niños, tan poco creíbles, como el hecho mismo de afirmar, sin más explicaciones, que “menos por menos es más”.

En el modelo de neutralización hay que ver $(-3)(-2)$ como quitar tres veces 2 fichas azules, deudas o cargas eléctricas negativas o puntuaciones negativas… Las manipulaciones sucesivas nos llevan a que eso es equivalente a añadir 6 fichas rojas, por lo que $(-3)(-2)=+6$.

Esto significa que $-3$ ya no indica 3 fichas azules, como hasta ahora, sino que es un operador, un multiplicador que actúa reiterando el término $-2$ (que, en cambio, sí que indica 2 fichas azules) y avisando de que el resultado de esa operación ha de ser “quitado” de algún sitio.

Es decir, hay que interpretar que el signo que acompaña al número $3$ es un signo operativo, mientras que el que acompaña al número $2$ es predicativo.

Además, el hecho de identificar el resultado $+6$ con la frase “añadir 6 fichas rojas” obliga a asumir que el signo que precede al número 6 es a la vez predicativo y operativo.

Con los modelos de desplazamiento pasa lo mismo. En el producto $(-3)(-2)$ el $-3$ no puede interpretarse como un desplazamiento o una posición, sino que ha de entenderse como un multiplicador que reitera un multiplicando (el desplazamiento o la posición $-2$), cambiando su sentido.

La confusión entre signos operativos y predicativos se produce tanto en los modelos de neutralización como en los de desplazamiento.

Por último, la posibilidad de justificar el producto de números enteros introduciendo una noción de ganancia o pérdida por unidad de tiempo o de velocidad resulta tan artificiosa como las anteriores.

Sintetizando este segundo acto, existen indicios suficientes para afirmar que los modelos concretos que se utilizan en la enseñanza de los números enteros no cumplen satisfactoriamente la doble función de justificación y reconstrucción de la noción en caso de olvido.

Para profundizar sobre este primer y segundo acto, el artículo de referencia es Los modelos concretos en la enseñanza de los números negativos, de Eva Cid (2001). De hecho, este hilo no deja de ser una especie de versión tuitera.

A continuación, el tercer acto, o desenlace. Donde comento la propuesta de Eva Cid, que evita estos obstáculos y que he llevado al aula con muy pocas variaciones. Aviso, vuelve a ser una secuencia a través de la resolución de problemas.

Tercer acto. El desenlace: UNA PROPUESTA

Venimos de describir los modelos concretos para los enteros y sus inconvenientes. Entonces, ¿qué?

A continuación, voy a intentar reflejar la esencia de la propuesta de Eva Cid. Por lo menos, ilustrar en qué consiste para que, si alguien quiere, se dedique a profundizar en las referencias que voy poniendo.

Su propuesta se basa principalmente en un análisis sistemático de la génesis histórica y en una investigación de aula. No es una propuesta del tipo “hago esto y me funciona bien”. No. Tampoco es algo que se piense ni se escriba en un fin de semana.

Vuelve a ser una secuencia a través de la resolución de problemas. Ya siento dar la turra con este tema, pero es lo que toca. Este enfoque no es nada nuevo. Eva, entre otros, lo tenía claro en 1986. Para mí, es la clave. Si queremos que nuestro alumnos sean capaces de utilizar las matemáticas para resolver problemas, tienen que pasar por la experiencia de verlas surgir en el seno de la resolución de problemas.

Lo primero que hay que tener presente es que la aritmética elemental no necesita de los números negativos. No hacen falta para modelizar aritméticamente sistemas en los que intervienen deudas y haberes, temperaturas, etc. Este tipo de problemas se resuelven con mucha más economía de medios en el ámbito de los números naturales o racionales positivos.

Entonces, ¿por qué se inventaron?, ¿qué es lo que obligó a los matemáticos a ampliar el campo de los números positivos? La respuesta, sintetizando, está en el álgebra. Es allí donde la presencia de letras impide efectuar todas las operaciones y obliga a operar con términos que a su vez son operaciones indicadas. Pero las reglas de manipulación de estos términos desembocan rápidamente en reglas para operar con términos que hacen un papel de sumandos o sustraendos dentro de la expresión algebraica. Posteriormente la aparición de los sustraendos en las soluciones de las ecuaciones y las necesidades de establecer una teoría general de ecuaciones, por un lado, y de construir la recta real para dar paso a la geometría analítica, por otro, forzaron la aceptación de los sustraendos como nuevos números en un proceso histórico que duró alrededor de 1600 años. Por eso se trata de presentar los enteros en un entorno algebraico que verdaderamente justifique su necesidad.

La secuencia está estructurada en cuatro etapas, cada una con un objetivo (razón de ser). Las tres primeras están pensadas para 1º ESO, y la última para 2º ESO. No deja de ser algo orientativo y, por ejemplo, la tercera etapa podría situarse a caballo entre ambos cursos.

Un aviso: se invierte el recorrido escolar habitual en cuanto a notaciones. Así, la notación completa va al final, en lo que ya sería 2º ESO. Empezar enfatizándola, con expresiones del tipo $(-200)+(300)+(-100)+(-100)$ tiene su origen en un excesivo (e innecesario) formalismo.

Empezar con la notación completa y con las instrucciones que promueven suprimir el signo + predicativo, en lugar del signo + operativo binario, dificulta las prácticas habituales de cálculo. ¿Quién no ha oído lo de quitar signos y agrupar positivos y negativos por separado?

Todo esto es herencia de las denominadas matemáticas modernas. Ya no vemos teoría de conjuntos en primaria y ESO, como en EGB, pero la aritmética se algebrizó para siempre, centrando la atención en el estudio de estructuras. Por eso se ven los enteros en el bloque de aritmética.

Etapa 1

Aquí se trata de trabajar prácticas de cálculo económicas y justificar el quehacer algebraico, en paralelo. Se comienza aprendiendo cómo construir expresiones algebraicas, con problemas aritméticos en los que la solución ya no es un número, sino una expresión algebraica, porque alguno de los datos es desconocido.

Parece una tontería, pero lo anterior es una de las claves de la propuesta. Los literales representan variables desde el principio, no incógnitas. Esto escenifica mejor que estamos en un mundo nuevo. Hasta ahora las soluciones de los problemas eran numéricas. A partir de ahora podrán ser fórmulas que se convertirán en números cuando nos den el valor numérico del dato desconocido o relaciones entre expresiones algebraicas. Y más adelante el establecimiento de igualdades entre expresiones algebraicas nos permitirá encontrar el valor de una incógnita. Veamos el primero de estos problemas…

Laura se llevó sus cromos al colegio para jugar varias partidas. En la primera perdió 9 cromos y en la segunda ganó 7 cromos. ¿Cuántos cromos le quedaron después de jugar?

Las respuestas de los alumnos son variadas y dan pie a discusiones de aula muy ricas.

2 cromos.
No se sabe.
2 menos que al empezar.

Entonces el profesor les comenta que no siempre que se intenta resolver un problema se conocen todos los datos necesarios para resolverlo y que en ese caso se sustituyen los datos desconocidos por letras. Los alumnos discuten sobre qué letra utilizar y aparecen una variedad de soluciones:

$a – 2$
$c – 9 + 7$
Etc.

Esto plantea dos problemas a discutir en la clase: la equivalencia de las expresiones aunque se utilicen distintas letras, es decir, la convencionalidad de la letra, y la posibilidad de obtener la expresión $a – 2$ a partir de la expresión $a – 9 + 7$.

Esta última posibilidad no está nada clara para los alumnos porque para muchos de ellos $a – 9 + 7 = a – 16$, ya que interpretan los signos como operativos binarios, que es el significado que tienen en aritmética. El profesor interviene preguntando: si a una cantidad le tengo que restar 9 y después sumarle 7, ¿eso a qué equivale? Se inicia así el paso de una interpretación de los signos como operativos binarios entre números absolutos a una interpretación como signos operativos que indican que un número es un sumando o un sustraendo.

Se siguen planteando situaciones-problema donde la solución es una expresión algebraica.

Aquí los alumnos comprueban el interés de obtener una fórmula lo más simplificada posible y de utilizarla cuando se conoce el dato que falta. Los alumnos que obtienen la expresión p + 1 y la usan para rellenar la tabla acaban mucho antes que los que manejan una expresión menos simplificada o reproducen todos los cálculos para cada valor de la variable.

Y algo de problem posing (inventar problemas) que, por cierto, es algo sobre lo que ya hemos hablado alguna vez y que tiene un potencial enorme.

En la primera etapa se sigue aprendiendo cómo simplificar expresiones algebraicas. Se plantean situaciones como las siguientes:

Otro ejemplo. A la hora de simplificar esta expresión:

$45 - f + g - 10 + 500 + f - 500 + 19 + 27 - 19$

Nada de ir en orden ni de separar positivos y negativos. Hay que inspeccionarla entera, y ver si se está sumando y restando el mismo número o cantidad. Las técnicas de cálculo algebraico no son algorítmicas, exigen toma de decisiones para realizarlas de la forma más económica posible. Po eso se pide a los alumnos que lean toda la expresión antes de tomar decisiones y que busquen la manera de hacer cálculos sencillos.

Etapa 2

El objetivo ahora es pasar del significado aritmético de la resta como sustracción al significado algebraico de la resta como diferencia y del significado operativo generalizado de los signos + y - al significado operativo unario.

En otras palabras, va a quedar establecida la estructura aditiva de sumandos y sustraendos. Se comienza con situaciones para aprender a comparar expresiones algebraicas. Veamos cómo es el primer problema, cuya estructura semántica está pensada a propósito…

Javier tiene cierto número de cromos, Carmen tiene cinco más que Javier y Carlos el doble que Javier. Si Javier y Carmen juntan sus cromos, ¿tendrán entre los dos más o menos cromos que Carlos? ¿Quién tiene más cromos, Javier, Carmen o Carlos? ¿Y quién tiene menos?

Que puede resolverle teniendo en cuenta el trabajo realizado en la etapa anterior. Javier tiene $a$ cromos. Por lo tanto, Carmen tiene $a+5$ y Carlos $2a$. Entre Javier y Carmen tienen $2a+5$, que son 5 cromos más que los que tiene Carlos. zº Tras unos problemas profundizando en esto, se plantean tareas como estas.

La etapa termina aprendiendo a encontrar la diferencia entre expresiones algebraicas. Las primeras tareas en este sentido se apoyan en un trabajo sobre cálculo mental que suele ser inexistente y que habría que reforzar.

Digo que habrá que reforzar si vemos a principio de curso que hay dificultades, por ejemplo, para hacer 567+99, donde lo ideal es sumar 100 y luego restar 1. O para hacer 67-29, que se puede hacer restando 30 y sumando 1.

Si se ha trabajado bien lo anterior, el siguiente ejercicio se puede realizar leyendo las expresiones.

Y eso da paso a una de las tareas clave donde, observemos, que no se ha hablado de deshacer nada. Solo de leer expresiones y analizarlas. Eso es lo que permite decir que restar $(a-b)$ es lo mismo que restar $a$ y sumar $b$. Ahí tienes la regla de los signos.

Y es algo que se formaliza de la siguiente manera:

Más tareas que obligan a reflexionar qué hacer con los paréntesis.

Etapa 3

El objetivo es introducir la estructura multiplicativa de sumandos y sustraendos. Comienza con situaciones para aprender a multiplicar expresiones algebraicas.

El trabajo de los alumnos consiste en trabajo por parejas o pequeños grupos… y puestas en común.

Etapa 4

Ya en 2º ESO, tras un recordatorio de lo realizado, es donde se aceptan los sumandos y sustraendos como nuevos números que amplían los conjuntos numéricos ya conocidos. Se recuperan situaciones ya vistas anteriormente, pero ahora el dato desconocido puede tener uno u otro sentido. Esto obliga a incluir la consideración de sumando o sustraendo en los valores numéricos que puede tomar la letra.

Hasta ahora las letras tomaban siempre valores absolutos, pero en el ejemplo aparecen dos fórmulas distintas: –2 + a o –2 – a, según que a sea una ganancia o una pérdida. Para poder unificar las fórmulas es necesario admitir que una letra puede tomar valores positivos o negativos. También ahora aparece por primera vez un sustraendo aislado como solución de un problema.

Se reinterpreta la estructura aditivo-multiplicativa de sumandos y sustraendos en términos de estructura numérica.

También se establece la estructura ordinal.

Ahora ya tenemos razones para considerar a los sumandos y sustraendos como nuevos números: pueden ser solución de un problema, las letras pueden sustituirse por ellos y se pueden definir operaciones y un orden entre ellos. Son los números enteros.

Una vez establecido el carácter numérico de sumandos y sustraendos se introduce la notación completa.

A todo esto, ¿qué es un número? También se atiende a esto y se revisan las propiedades que caracterizan la condición de número, con actividades de este tipo.

Nótese que solo he puesto alguna actividad ilustrativa. Como se ha podido ver, espero, una de las claves está en empezar a trabajar los literales como variables, en lugar de como incógnitas. Y en cambiar el orden habitual de la secuencia.

¿Está “mal” entonces usar modelos concretos con los enteros? Depende de muchos factores. Por eso, la respuesta a la pregunta de si la didáctica debe tener un carácter prescriptivo, dictar normas, es tan compleja. Sí y no. Up to you.

En mi opinión, lo que sí que está mal es, si elegimos un modelo, no reflexionar sobre los obstáculos que genera. Porque las dificultades de los alumnos pueden tener que ver tanto con la naturaleza del objeto a enseñar como con nuestras elecciones como profesores.

También es éticamente cuestionable no tener en cuenta los conocimientos de partida de los alumnos y plantear nuestras clases como un proceso de negociación de significados. Pero ese es otro melón, más complejo si cabe.

Por cierto, ya que estamos de confinamiento. Este tipo de propuestas no pueden hacerse a distancia. A nosotros nos ha pillado justo cuando íbamos a empezar en 1º ESO con esto. Hemos decidido tirar por geometría a partir de lo que ya conocen o deberían conocer.

El curso que viene la idea es centrarnos más en el trabajo algebraico. Para allanar el camino, continuamos trabajando estrategias de cálculo mental orientadas a la secuencia de enteros, con cuestionario como este. ¿Te animas a hacerlo?

Formulario

Estos son los resultados que hemos obtenido en nuestro 1º ESO para el cuestionario anterior. ¿Sorprende ver cuáles son las preguntas que más han fallado?

La tesis de Eva Cid, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos, del año 2015, está disponible en este enlace. En los anexos va la propuesta de aula completa (aquí solo he puesto retazos).

Y hasta aquí. Si has seguido los tres actos, mi gratitud. Y mi más sincera enhorabuena, porque creo que han sido densos. Te dejo en spoiler que tengo un entreacto, pero ya para la semana que viene.

¡Feliz clase!

Agradecimientos

Esta versión de los hilos de twitter sobre los enteros ha contado con las inestimables sugerencias de Eva Cid.

Una introducción a Desmos

Sat, 13 Oct 2018 00:00:00 +0000

La utilización de las TIC en nuestras clases puede responder a diversos propósitos. Estando claro que no hay que introducirlas porque sí, podemos distinguir entre herramientas generalistas, como Moodle o Edmodo, de carácter organizativo; o Kahoot, con el que se consiguen interacciones de aula que pueden resultar atractivas de cuando en cuando. Sin embargo, la dinámica de uso de todas estas herramientas es la misma sea cual sea la materia. Me explico, da lo mismo si estamos enseñando historia, lengua, música o matemáticas. O lo que sea. Sin desdeñar estas herramientas (soy el primero en usarlas), siento más interés por otras que sí que afectan en cómo aprenden nuestros alumnos. En los significados que adquieren. El ejemplo más claro en matemáticas es Geogebra. Esta entrada la voy a dedicar a otro software con elementos de geometría dinámica, Desmos, que también añade la posibilidad de plantear secuencias didácticas muy interesantes. Vale, algunas de ellas pueden llevarse a cabo sin TIC, como el polígrafo, sí, pero Desmos lo facilita mucho. Y otras conjugan la potencia de la geometría dinámica con discusiones de aula muy ricas.

¿Qué es Desmos?

Realmente, Desmos se compone de diferentes aplicaciones:

Una calculadora gráfica.
Una calculadora con cuatro campos de entrada que se pueden relacionar de forma interactiva.
Una calculadora científica.
Una herramienta de geometría dinámica.

Sin embargo, el factor diferenciador de Desmos son las actividades y secuencias didácticas que ofrece, ya preparadas para su utilización y edición. Comentaremos a continuación las más TOP.

Las canicas

Supongamos que echamos un vistazo a la lista de las actividades más populares y que elegimos Marbleslides: Lines. La descripción inicial indica la duración aproximada (45-60 minutos) e incluye una breve explicación y se clasifica a las actividades por tipos: introducción, desarrollo, para practicar o para aplicar. Marbleslides: Lines es una actividad de desarrollo, con la que los estudiantes pueden profundizar en lo que significan los parámetros de la ecuación de una recta, o cómo expresar restricciones en el dominio de estas. En este caso nos encontramos con una guía para el profesor, imprimible y que refleja una serie de buenas prácticas y consejos para pautar la actividad:

Aquí, por ejemplo, se señala la conveniencia de comenzar con lenguaje matemático informal e ir incorporando poco a poco respuestas más formales. En otras palabras, puede decirse que el diseño de la actividad tiene en cuenta el proceso de negociación de significados que caracteriza, por ejemplo, al aprendizaje basado en problemas. Es a partir de las tareas propuestas que emergen los objetos matemáticos considerados en los contenidos. El significado de estos objetos difiere según las situaciones, pero también varía entre los individuos y las instituciones de referencia. Así, ante una fracción como 3/4, un alumno puede estar pensando en los 3 trozos que se ha comido de una tarta dividida en 4 partes; mientras que otro directamente piensa en 0,75; y el docente puede estar pensando en el número racional. El diseño de las secuencias didácticas en Desmos reserva momentos para evaluar estos significados personales, permitiendo negociarlos a través de las sucesivas tareas.

El mecanismo es similar al de otras aplicaciones, como Kahoot. Creamos un código de clase para la actividad y, a partir de ese momento, al docente le aparece un enlace en su lista de actividades para gestionar la misma a través de su dashboard. Este código es el que tienen que introducir los estudiantes en https://student.desmos.com, aunque también se genera un enlace que conduce directamente a la instancia de la actividad. Si los alumnos están registrados en Desmos, podrán volver a la sesión más adelante, pero no es un requisito.

En Las canicas, todo un manipulable virtual, los alumnos deben modificar la expresión de una recta, añadir otras rectas o definir restricciones a un nuevo dominio, de manera que consigan crear un circuito de canicas para que estas pasen por unos puntos predefinidos de antemano por medio de unas estrellitas. Realmente, se puede trabajar esta actividad con rectas o parábolas, ya que tenemos Marbleslides: Lines y Marbleslides: Parabolas y, en cualquier caso, el programa no restringe la función a utilizar.

Por ejemplo, en la Figura 2 basta con extender el dominio, definiendo la función para x<6 en lugar de para x<4, para que la fuerza de la gravedad haga su trabajo y la canica llegue a pasar por la estrellita que está en las cercanías del punto (10,1). Esta solución se muestra en la figura anterior, a la izquierda, y la expresión que hay que introducir es la siguiente:

$$y=-0.4x+6\left\{x<6\right\}$$

Sin embargo, otros alumnos podrían haber planteado:

$$y=-0.4x+6\left\{x<10\right\}$$

$$y=x-9$$

No todas las tareas que componen la actividad son iguales. En las primeras pantallas se proporciona la expresión de alguna función lineal y únicamente hay que cambiar algún parámetro. En las siguientes pantallas se trata de predecir lo que ocurrirá si se cambia el parámetro indicado y de comprobarlo. Las respuestas de los estudiantes pasan a estar disponibles para todos los demás, de manera que cuando llega la puesta en común, todos están al corriente de lo que han puesto los compañeros que han llegado antes a esa tarea. Las últimas pantallas son retos (challenges) en los que los alumnos deben introducir las expresiones que consideren oportunas.

El escritorio del profesor (dashboard) ofrece información para gestionar el desarrollo de la secuencia. De esta manera, el profesor puede observar el avance de cada uno de los alumnos (o parejas, si lo estamos haciendo por pequeños grupos). Además, puede detener la actividad para las puestas en común o momentos de institucionalización.

Aterrizando el avión (Landing the plane)

Al igual que las canicas,esta actividad forma parte del linear bundle, una secuencia más extensa sobre funciones lineales. Aquí se trata de encontrar la ecuación de la recta que representa la trayectoria óptima para el aterrizaje de un avión. Las primeras pantallas se dedican a explorar el entorno o implican cambiar únicamente algún parámetro, mientras que más adelante se ofrece menos guía al alumno y se plantean cuestiones para la reflexión.

El polígrafo

Se trata de un quién es quién en toda regla y es una de las actividades más populares en Desmos, siendo fácilmente editable. De hecho, esto último es la gran ventaja que ofrece respecto a la versión física. Hay polígrafos subidos por otros profesores sobre los más variados contenidos (una búsqueda en septiembre de 2018 devuelve nada menos que 56 polígrafos). La siguiente captura de pantalla es del polígrafo de parábolas. Al igual que el quién es quién, se juega por parejas. Es decir, un ordenador para un estudiante o pareja y otro para otro. Conforme se van registrando los alumnos en la actividad, la propia plataforma los va emparejando para jugar. Se juega por turnos, de manera que una vez es un estudiante el que tiene que adivinar el objeto oculto, haciendo las preguntas necesarias. Estas cuestiones deben formularse de forma que se puedan responder con un sí o un no.

Los polígrafos son una excelente actividad de introducción, ya que permiten evaluar el conocimiento previo del alumnado, qué términos emplean, cómo describen los objetos matemáticos, etc. Por otro lado, también se pueden utilizar como actividad de desarrollo. No en vano, en el linear bundle, en el que se enmarcan la actividad de las canicas y la del avión, se incluyen dos polígrafos, uno como actividad de introducción y otro como desarrollo.

Representando historias gráficamente (Graphing stories)

Esta actividad está inspirada en la madre de todos los recursos para el aprendizaje de las funciones. Bueno, puede que exagere. O no. Me estoy refiriendo al librito de Swan (1985) titulado The language of functions and graphs, del* *Shell Centre. Hay una versión traducida por Alayo (1990), *El lenguaje de funciones y gráficas, *publicada por el Ministerio de Educación que se puede descargar gratuitamente.

Si en el libro de Swan aparecen circuitos de carreras y otros ejemplos a los que hay que asociar o crear una gráfica, en este caso el valor añadido radica en que se trata de vídeos. Este hecho, junto con la posibilidad de ir representando gráficamente la función que describe cada situación según avanza el vídeo, aumenta el rango de contextos y situaciones que podemos utilizar en la enseñanza y aprendizaje de las funciones.

Las tareas que contempla la secuencia, por otro lado, no se limitan a representar cada función, sino que antes de ello se incluyen preguntas para detenerse en las magnitudes involucradas, las unidades de medida apropiadas, etc.

Unos comentarios finales

Aunque el diseño de estas actividades está específicamente pensado para ser llevado a cabo en el aula con la guía del profesor, bien sea con portátiles, dispositivos móviles o en una sala de informática; también es posible asignar actividades de Desmos como tareas para casa. Esto es algo que tiene sentido, por ejemplo, con las actividades para practicar. Algo que solo hemos mencionado por encima es que Desmos permite que los usuarios (profesores) suban modificaciones a muchas de las actividades por defecto y otras nuevas. No resulta complicado modificar actividades ya existentes. Para ello, en la propia web hay bastante material de ayuda.

Dejamos para otra ocasión la experiencia de utilizar las funciones de edición avanzadas de Desmos. Al igual que hace Google con su Google Labs, al marcar las opciones de Desmos Labs accedemos a funcionalidades en estado beta que, en este caso, permiten crear tus propias Marbleslides, utilizar la herramienta de geometría en el constructor de actividades e, incluso, utilizar la capa de computación, con la que se puede utilizar un lenguaje de programación para diseñar actividades más sofisticadas.

Referencias

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Una introducción a los tipos de actividades que podemos encontrar en Desmos. Entorno Abierto, Boletín Digital de la Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemática, 24, 4-10.

Pensamiento algebraico temprano de alumnos de quinto de primaria en la resolución de una tarea de proporcionalidad

Sat, 01 Sep 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Burgos, M., Beltrán-Pellicer, P., & Godino, J. D. (2018). Pensamiento algebraico temprano de alumnos de quinto de primaria en la resolución de una tarea de proporcionalidad. En L. J. Rodríguez-Muñiz, L. Muñiz-Rodríguez, A. Aguilar-González, P. Alonso, F. J. García García, & A. Bruno (Eds.) Investigación en Educación Matemática XXII (pp. 181-190). Gijón: SEIEM. Gijón, España.

Cohetes y ecuaciones en Cielo de octubre

Sat, 09 Sep 2017 00:00:00 +0000

Este año 2017, la revista Making Of: Cuadernos de cine y educación dedicó el número 124-125 a la utilización del cine como recurso en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Y pude colaborar con un artículo con una justificación de la utilización de este recurso. Así que, junto a los ya clásicos en esto del cine y las matemáticas José Mª Sorando, Alfonso J. Población (ver su reseña de este monográfico en DivulgaMat), Angel Requena y Abel y Marta Martín y otros apasionados de esto como Juan M. Sepulcre, Eva Mª Perdiguero y Jorge García escribí sobre la película Cielo de octubre, en clave didáctica.

El simple hecho de que una revista dedique un especial a la relación del cine con las matemáticas, ya es un indicativo de que no se trata de algo anecdótico. Existen multitud de referencias matemáticas, tanto en largometrajes como series de ficción, que conforman un recurso didáctico muy fácil de utilizar por el profesorado, al requerir únicamente de un PC y un proyector en el aula. Ahora bien, lo que justifica el empleo de este recurso, más allá de esta disponibilidad y facilidad de uso, es la riqueza en objetos matemáticos y de representaciones que ofrecen este tipo de fragmentos audiovisuales. El lenguaje cinematográfico articula estos objetos, en el seno del contexto introducido por la narración, y sienta las bases para efectuar propuestas didácticas que permiten un aprendizaje significativo.

En el artículo describo tres fragmentos de la película de una duración de no más de dos minutos, junto con los que propongo una serie de cuestiones sobre lenguaje algebraico, estimaciones, conversión de unidades, expresiones polinómicas y ecuaciones de segundo grado, para un nivel de 2º de ESO. En realidad, las actividades, muy directas a partir de los fragmentos, son una excusa para su análisis.

Realmente, Cielo de Octubre (Joe Johnston, 1999) es una vieja conocida en esto del cine y las matemática. No en vano, José Mª Sorando le dedica ya una de sus entradas en el maravilloso sitio Matemáticas en tu mundo. En la película se narra cómo Homer, un estudiante de un instituto de un pueblo minero de EE.UU., tras ver cruzar el cielo al Sputnik en 1957, reúne a sus amigos para participar en una feria científica. Es la única opción que tienen para conseguir una beca e ir a la universidad, ya que no son muy buenos en el aspecto deportivo, cauce usual para conseguir una de tales ayudas. El proyecto que eligen es la construcción de cohetes, para lo que necesitan documentarse, conseguir material y montar una base de lanzamiento en un lugar retirado.

En el primer fragmento, se observa la base de lanzamiento, desde la cual los estudiantes realizan las pruebas con los cohetes. Así mismo, se pone de manifiesto la expectación que crean en el pueblo, ya que se concentran muchas personas para asistir a uno de esos lanzamientos. Más adelante, se les acusa de que haber causado un incendio, al no poder explicar la localización de uno de sus cohetes. Homer, junto con uno de sus compañeros, se esfuerza en calcular dónde pudo caer dicho cohete (segundo fragmento). Previamente, en la película se observa cómo debe estudiar matemáticas para llegar a tales conclusiones. Un detalle interesante, que se aprecia en el fotograma, es que los papeles muestran esbozos de lo que parecen trayectorias parabólicas.

En el tercer y último fragmento, el protagonista principal, Homer, que había dejado el instituto para trabajar en la mina, debido a la acusación anterior, vuelve al aula para demostrar que no pudo ser su cohete el causante del incendio. Es entonces cuando se produce un conflicto, al entrar el director del instituto (Sr. Turner) en el aula y exigirle explicaciones.

HOMER: Aquel incendio fue a 5 km de nuestra rampa de lanzamiento y en aquella época nuestro máximo alcance era de 1,9 km, que es exactamente donde hemos encontrado este cohete. Verá, Sr. Turner, aquel cohete cayó durante unos 14 segundos, lo que significa que llegó a una altura de 900 m, según la ecuación de S =1/2 at2, siendo S la distancia, a la constante de gravedad y t el tiempo que tardó el cohete en volver al suelo. ¿Me sigue usted, Sr. Turner?

A lo largo de los fragmentos, se parte de una situación-problema -la pérdida de un cohete amateur- que ha de resolverse por medio de las matemáticas. En la secuencia fílmica no se observa todo el proceso, pero sí que se muestran diversas representaciones de expresiones algebraicas de segundo grado (la ecuación, la curva gráfica, los argumentos en torno al lanzamiento), articuladas gracias a la narrativa. A partir de este material cinematográfico, estático (no interactivo), es el docente el que ha de diseñar y proponer las situaciones de aprendizaje oportunas para trabajar sobre esos objetos y esas representaciones. Ya no se trata de una situación con un contexto pobre, o incluso sin contexto, como las que suelen aparecer en los libros de texto, sino que la base proporcionada por los fragmentos permite engarzar las diferentes representaciones de uno o varios objetos matemáticos.

Dentro del universo de referencias matemáticas en películas y series de ficción, existen multitud de fragmentos que, sin proporcionar tanta riqueza en términos de representaciones de objetos matemáticos, siguen siendo adecuados para el aula. Bien sea porque permiten plantear actividades que consumen poco tiempo lectivo, porque tratan precisamente sobre un aspecto que complementa lo ya tratado en clase, o porque dan pie a realizar un acercamiento diferente.

Beltrán-Pellicer, P.(2017). Cohetes y ecuaciones en Cielo de octubre. Making Of: Cuadernos de Cine y Educación, 124-125, 59-65*.*

Cohetes y ecuaciones en Cielo de octubre

Mon, 01 May 2017 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2016). Cohetes y ecuaciones en Cielo de octubre. Making Of: Cuadernos de Cine y Educación, 124-125, 59-65.

Introducción histórica a los números complejos

Thu, 20 Apr 2017 00:00:00 +0000

El concepto de número complejo no va a surgir como una necesidad real del hombre para conocer y observar el universo, sino de una necesidad puramente algebraica, en el contexto de la resolución de ecuaciones. No obstante, el desarrollo de la teoría de números complejos y, sobre todo, la teoría de funciones complejas, tienen en la actualidad numerosas e importantes aplicaciones a la física y a la ingeniería. Gracias a los complejos se describen las ondas electromagnéticas, los circuitos eléctricos y se llega a ecuaciones como la de Schrödinger, que explican la teoría cuántica del átomo. Se emplean, incluso, en el diseño aeronáutico.

El primero en introducir los números complejos es Cardano (s. XVI), quien en su obra Ars Magna, explica cómo resolver los diferentes casos de ecuaciones cuadráticas y cúbicas. Por ejemplo, la ecuación $$x^2+1=0$$ no tiene solución en el sistema de los números reales, porque no existe unnúmero real cuyo cuadrado sea -1. A partir de Cardano, se emplearía el símbolo $$\sqrt{-1}$$ para manejar este tipo de soluciones, que aunque fueran manipuladas algebraicamente, se consideraban falsas o carentes de sentido.
Habría que esperar a Euler para dar el primer paso hacia un tratamiento formal y sistemático de los complejos. Hizo una cosa muy sencilla, utilizar el número $$i$$ como $$i=\sqrt{-1}$$, asignándole el mismo estatus de existencia que a los números reales, definiendo sus reglas operacionales.

A principios del s. XIX, Wessel y Argand introdujeron la representación geométrica de los complejos en el plano cartesiano, de manera independiente. Poco más tarde, todavía en la primera mitad del s. XIX, Gauss y Hamilton propusieron casi al mismo tiempo la idea de definirlos como pares ordenados $$(a,b)$$ de números reales, dotados de ciertas propiedades especiales, tal y como los conocemos actualmente. Por otro lado, Gauss, en su tesis doctoral, demostró el famoso teorema fundamental del álgebra, que establece que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.
Desde ese momento, se inicia el desarrollo de la teoría de funciones complejas, de la mano de Hamilton y Cayley, quienes además crearon los sistemas hipercomplejos. Cauchy, por otro lado, sienta las bases del cálculo diferencial e integral de funciones complejas y el matemático alemán Riemann profundizaría en el estudio de la geometría partiendo de los números complejos, originando la topología.

Créditos:
Imagen de Cardano: http://wellcomeimages.org/indexplus/obf_images/ae/d3/8753d7ad74cb086ba79ccfc75e7f.jpg

Reconocimiento de niveles de algebrización en una tarea de proporcionalidad por futuros profesores de matemáticas de secundaria

Sun, 01 Jan 2017 00:00:00 +0000

Cítese como:

Burgos, M., Giacomone, B., Beltrán-Pellicer, P., & Godino, J. D. (2017). Reconocimiento de niveles de algebrización en una tarea de proporcionalidad por futuros profesores de matemáticas de secundaria. En J.M. Muñoz-Escolano, A. Arnal-Bailera, P. Beltrán-Pellicer, M.L. Callejo y J. Carrillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XXI (pp. 177-186). Zaragoza: SEIEM.

Más humor sobre matrices

Wed, 04 Nov 2015 00:00:00 +0000

Sí, lo sé, es malo malísimo. Pero si te han hecho calcular el rango por Gauss alguna vez seguro que te hace gracia, aunque sea una poca.

Un poco de humor sobre determinantes

Wed, 28 Oct 2015 00:00:00 +0000

Nada mejor que un poco de humor antes del examen de matrices y determinantes con mis alumnos de bachillerato.

Los 5+1 mandamientos de las ecuaciones

Wed, 15 Apr 2015 00:00:00 +0000

La enseñanza de la resolución de ecuaciones de primer grado y una sola incógnita puede enfocarse de diferentes maneras. Por ejemplo, al principio pueden señalarse las diferencias entre lo que es una igualdad y lo que es una ecuación. Después, en qué consiste solucionar una ecuación. Y, finalmente, puede introducirse la metáfora de la balanza algebraica para justificar cómo proceder para despejar la incógnita.

Ahora bien, una vez superadas la primeras tareas, llega la fase de operacionalización. Es decir, automatizar la resolución de ecuaciones, olvidarnos de la balanza. Se puede plantear como una especie de juego con unas reglas básicas, siempre teniendo en cuenta que se ha llegado a este punto a través de situaciones ricas. El objetivo de dicho juego es dejar la incógnita, la x, sola a uno de los lados. ¿Y cuáles son las reglas? La siguiente colección de memes nos los explica, son los 5+1 mandamientos de la resolución de ecuaciones: